Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)
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Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)


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Çom p,y e púy representando, respectivamente, o tempo médio populacional pafn
alunos da turma J e da turma Á. As amostras forneceram os seguintes valOres:
nt: l4,Totts:11157 e sl"u": 4,L;
n2 : L3,Tot 
" 
:15,38 e szy"u" : 4,3 
'
Então,
ãot,"
-25,',0"
Como a hipótese alternativa apresentada é bilateral, a região crítica tem a
íbrma RC : {t e m :t 1. -t" ou t) Í"}.Logo, parao-:0,01temos
0,01 : P(rejeitar Ho I H"verdadeira)
:P(7 1-t.ou T>t"lH").
l)a tabela da distribuição ú-Student com 25 graus de liberdade, obtemos
1,,, : 2,79. Conseqüentemente,
:Íolts 
-Tot,r: LIr57 - 15,38 :(rr-Dtï*"*(n, 
-t)tï*":6 -3,81 
;
_ 
L3 x 4,I +_L2 x 4,3 : 4.2
25
.ï08 Ct plt tt I o g : 7'ó pi uts Esltet:itt ltt
RC: {te m.:t1_2,7g out}2,Tg}.
Utilizando as estimativas calculadas temos, sob I1o,
-3,81
\/4,2(rlL4 + 1/13)
I
Ique pertence à região crítica e, assim, concluímos que os métodos de fato diferem,
a um nível de significânciade LVo. tr
. 
dult"
-: í t?*"(rlu + Tlnz)
: _4,93;
Caso 38: Amostras independentes com variâncias desçÁnhecidas e diferentes/
o teste para o caso em que as variâncias são/esconhecidas e desiguais é
consideramos as mesmas hipóteses apresentadas no\
quantidade a ser usada para o teste será
o teste para o caso em que as variâncias sã?désconhecidas e desiguais éteoricamente mais envolvente. Assim, sem 
"nfru. em maiores detalhes,consideramos as mesmas hipóteses apresentadar no\cu.o 3A, só qu", ugoru, 4
,\ r: D-(t"x-ttv)
í sk/", + sl,ln2
A exemplo do caso anterior, ú também tem distribuição ú-student, mas osgraus de liberdade z são corrigidos pela expressão
(s'"1"t
A seqüência do teste é similar àquela apresentada nos casos anteriores.
Na Tabela 9.1 mostramos um resumo dos testes considerados nesta seção.
Encerramos esta seção, considerando a situação em que a característica deinteresse não se comporta segundo um modelo Normal. Novìmente, a alternativa
será coletar uma amostra de tamanho grande o suficiente, a fim de utilizar oTeorema Central do Limite e obter distribuições amostrais aproximadamente
Normais. como um exemplo desse procedimento, vamos desenvolver o teste para
n igualdade de duas proporções.
'j
,tr-tÊ.
Ctttttpuruç{lo de Duets Mérlilt,r
:'{
a.2 30e)
Tabela 9.1: Comparação de médias para duas populagões,
Exemplo 9.9.' Num estudo sobre doenças infantis, desejamos investigar se
a incidência de casos de contaminação por vermes é afetada pela idade. Dois
grupos de crianças, um com idades de 2 a 4 anos (Grupo I) e outro, com idades de
7 a 9 anos (Grupo II) foram escolhidos para serem examinados quanto iì
ocorrência de vermes. Os dados são apresentados a seguir:
3t0
Cttpítu\o g:'l'ópit tts l!,rpeciuis
Grupo Amostra Proporção comVerãJnõG
I 720 0,095
II 260 0,103
Para saber se as duas faixas etárias acima têm o mesmo comportamento, quanto aincidência dessa doença, podemos rearizar ; Ã;jJ,r,ïnot"r". 
"nuàtu.nooproporções. / tr
' Considere que desejamos verificar o .o-ponlmento de uma certacaracterística em duas popurações. se a amostra for suficientemente grandesabemos, pelo Teorema central do Limite, que a distribuição de probabilidade daproporção amostral tem um comportamento aproxim qbamente igual ao modeloNormal. Na comparação de proiorções 
"n., 
á;;r/d;Ës, usaremos comoestimador a diferença enrre as respectivas propgíções u,norr.uir. ìvão ã oiïr"ìïverificar que ela será um estimadoinao viesaoo 4Jr*""* diferença entre asproporções populacionais. \
população, teremos d'as proporções amostrais independentes e a diferença entreelas também terá distribuiçãó aproximadamente Normal. Assim, se o interesse étestar:
Ho : pt : Ih versus Ho i pt # h,
então o estimador a ser utilizado será fr, 
- fr, cuja distribuição será aproximadapela Normal cujos parâmetros são obtiioì, considerando-r" u, relações:
E(6r-fr):pt-pz;
Var(fi 
- fr) : Var(f1) +var(f2) 
- 
nQ 
- or) 
* 
m(L 
- m) 
.TL1 D2
Note que, para calcular a 
^variância, a independência entre as amostras garantiu aindependência entre ft 
" 
fr e, portanto, a covariância entre eres se anulou.Sendo a hipótese nula verdadeira, as proporções populacionais são iguais.Denotando seu valor comum por p, isto é pr : p2: p, foO"*os obter umestimador para p através da ponderação dos 
"rir*uããr"r'não viciad., ã ; ,:Dessa forma, obtemos
^ -ntfr.+n2fr,Yp--nrTíz'
-!-F
t).2 (:(,tnpurilçtlo de Duen Médhts
Srrlrstituindo os valores de p1 e Pz Porfl,na exptessão da V ar(f1 - fr), podemos
cscrever, sob fIo,
Pt -Pz
- 
N(0,1).
F,,(L -F)Gln, + Iln2)
l)irrir concluir o teste, calculamos a quantidadê zotts, substituindo bt e Íi por suas
crrrrespondentes estimativas. Verificamos se zobs peftence à região crítica, que nO
clso bilateral é dada por
RC :{z e IR l, 1 r", ou z > z"r}.
l)aclo um nível de significância a, os valores zct e zc2 são obtidos da tabela dt
tlistribuição Normal padrão. Como procedimento alternativo, podemos também
usáÌr o nível descritivo para decidir sobre a aceitaçáo ou não de Ho.
Iìxemplo 9.10: Parao Exemplo 9.9, testaremos
Ho: pt 
- 
p2 versus Ho: Pt # Pz,
com p1 e p2 representando as proporções de crianças com verminosg nn
população dos grupos I e I I, respectivamente. Pelas informações recebidns,
rt4 
- 
I20, nz : 260, fior,, :0,085 e frob" :0,103' Logo, sob 'FIo
120 x 0,085 +260 x 0,103 : ç,097;
120 +260
e também,
Fnr,"(L -\r,",,,)(Llu * rlnz): 0,097 x 0,903 x (LlL20 + L1260)
:0,0011'
Segue então que
Pt-Pz
- 
t/(0,1).
Para a: 0,08 os valores zct e zc2 são calculados através das expressões
P((it 
-DlJo,o}Lt 1 z.,lH,) :0,04;
P( (6t 
- D I Jo,ooLL ) z",l Ho) : o,o4 .
.1u
nt itot," * Trz ?2ot'"::rltobs n1 I n2
Jt2 Capítulo 9: Tópicos Especiais
I
xamés escolares, doze alunos
pois do exame.
10 11 t2
Assim,
RC :{z e R I z < -I,75 ou z } I,TS}.
Fazendo os cálculos, temos \ue 2o6&quot;: 
-0,54g não pertence à RC. Logo,
aceitamos a igualdade das proporções, ao níver gvo 
&quot; &quot;on&quot;lrímos que a incidênóiade verminose nas duas faixas etárias pode ser considerâ{a a mesma. tr
Exercícios da Seção 9.2:
l. Para se avaliar o nível de tensão ocasionada por
foram escolhidos e sua pulsação medida antes e
Est
83 84 79 88
76 B0 82
75 81 74 77 78 73
76 79
76 71
Faça um teste, com nível de significânci a de l7o, para verificai se existe maior
tensão (isto é, maior pulsação) antes da realização dos exames. Indique as
suposições necessárias.
2. Sabe-se que o tempo necessário para percorrer uma determinada rota no final
da tarde pode ser estudado por um modero Normal com desvio padrão de 17
min. Foram instalados sensores para controlar o tempo de âbertura dos
semáforos presentes na rota e deseja-se verificar .&quot; ó t&quot;rrrpo gasto para
completar o percurso diminuiu. Estudos anteriores indicam que o tempo ãeve
continuar se comportando segundo um modelo Normal, com mesmo desvio
padrão. com os sensores desativados, 11 veículos de mesmo ano e marca,
denominado Grupo controle, tiveram o tempo gasto no percurso anotado. Em
seguida, os sensores foram ativados e outros 13 veículos (Grupo Teste)
pcrcorreram a mesma rota. os tempos observados, em minutos, foram os
seguintes:
Grupo
Controle
Teste
38 26
17 31 3218 35 29
Indique se o uso dos sensores contribui para diminuir o tempo médio de
percurso utilizando o nível descritivo do teste.
Instante
T utilizados no urso
16 26 38 32
50 2L 20 51
45 49
10 22
9.2 Comparação de Duas Médias 313
3. Para verificar se duas populações têm a mesmamédia, amostras independentes
foram retiradas. Sabendo que a população I é Normal (pt,25) e a população II
Normal (pz,4o), que conclusão pode ser tirada, ao nível 2vo? os valores obtidos
foram:
População
r 12L4 1514 131714 13
II 1317L4 131617 1816
4. As variáveis X e Y seguem a distribuição Normal com mesma variância,
Deseja-se testar se, também,