Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)
97 pág.

Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)


DisciplinaProbabilidade e Estatística12.964 materiais121.891 seguidores
Pré-visualização39 páginas
da média e da variância para
us rrrodelos contínuos estudados até aqui.
Tabela 6.1: Modelos contínuos - vsror esperado e variâncía.
,lv-
/88
Cultítulo 6: Varidveis Aleatórias
P ri t r c ipais M odelo s Contínuos
lnnrnial, melhor será a aproximação. Nos casos em que certa assimetria estiver
te, valores crescentes de n fornecerão melhores resultados.
Densidade de
Freqüência
Figura 6,4: Aproximação Normal para o Modelo Binomíal.
Para melhorar a aproximação, alguns autores introduzem a correção de
corltinuidade no cálculo com a Normal. Esse mecanismo consiste em alterar de
0,5 unidade o valor com que se deseja calcular a probabilidade. A alteração para
tuitis ou para menos depende, respectivamente, da probabilidade desejada excluir
ou incluir a igualdade ao valor desejado. Por exemplo, teríamos,
P(X > 50) 
- 
P(Y > 50,5) 
= 
P(Z > ) :0,9292.
Note que, com relação a Y e Z, é indiferente se a desigualdade inclui ou não o
sinal de igual.
Para calcular a igualdade a um valor, digamos X : 50, criamos um
intcrvalo artificial, pois com variáveis contínuas essa probabilidade seria zero.
189
::: r: fl.'; :ï'1,:',":?, ilïïïj;.:ï: ::'.'"" i mp ortan re s em Es tarís ti ca M
;"ï,i""1ï:ïiïi:,,ïq"""'à''ï''HJ'ïï-iiJ;,ïï"ffi il';"rï:H';;i
se refere à c,,o ,,,,,1ï:: da média. Uma outra razão daimnorÍÂn^i. r^ rÌ_se_refere à sua util' ""'"::l:u razãoda importânciad;No;
próximo 
"*;;;;, ï"ffi:XïffÏï,,fi|fà'*ação para outras 
- 
disrribuições.
Exemnln tÇ o, ,.-t-_:- ara aproximar o modelo Bin;;;.lxeryrto 6.9.' Estudo do sindicato oo, n-.n;;:;; :,ooelo 
smomial'
Fïï'ï:.',ï:*:'#:if ï#ffi 
" 
j#l':ï'ï,ï**fi :,"":il:í:;
menos 50 com 
"rru 
ào"nçu ? 's' Qual seria a probabilidaJ" ã";
Admitindo o,ro 
"."oo ho-^:_i_
i:r:Ëii:$ìrnrïïËrlJr*i'ï', trï*#ïïï:ï:rïïï
;lï:#,Tlt":*'ilï*l" r":ï Ë.'r'":ï ub1,:,i?que conra o número torar r;ifffrliil""ï""ülâ:::;;;;;;;;Jï:::;;:ï,ïff :ï::;üïiï:r:
1,ffïJ[i:,i,ïil,ï;J,i']i1ïH"l ã f#ï,ï"11;"'::i,?fi; indicando que a so,uçãodada pela distribuição N;;;d ; ##X; sera u'e484; indicando que a soluçãohistograma d" Bi;;iul e a densirran. n. 
^1oi1"l' 
Na.Figura 6.4, representamos ohistograma da Binãmiar 
" "ï""rrãÌ;ï';""ï'"""e1' 
Na Figura 6.4, representamoì obaseúa no r"or",ãu ôentral do Lïmite ,,,''1o*l_:1r.!zaaa,1a aproxìmaçã";;;;baseada no Teorema ; 
* 
- 
_ uwrròrudue oa lormaÌ utili
flo Canírrrt^ ? E* _ Central do Lïmite, um impo.tanie
P(x>50):f1zoo\
'tãn\ n )o'sro'7200-t'
P(x >5o) 
- 
P(Y > 4s,s) : P(z > W, : o,e4l4;
50,5 
- 
60
----------
\/ 42
n o c apíru r o 7 . Em g"'ur, q, *ì'ilï : ffi ,'ftïnï"r;"ïi r:: ilHf,ïffi :ï ;
FT çap#ulo 6: Vartdvels Alearárlas t9l
Assim,
P(X :50) 
- 
p(4g,5< f < 50,5)
- 
p150,5 - 60 
-'/42ì
3^:r1::,&quot;. exaro da probabilidade fornece oa qualidade da aproximaçao.
v _ 49,5_60.
' > 
-õ-) :0,0182.
valor 0,0190; mostrando,
Note como o histograma se aproxima de um modelo simétrico e em lbrma
Élrro (semelhante ao modelo Normal) à medida que caminhamos da esquerdo
ir direita (valores crescentes de n). Pode também ser notado que a
tvcrgência será mais râpida em situações em que a distribuição Binornial é'
Ëpftrxirnitclitmente simétrica, o que ocorre para valores de p próximos a 112. '
' Uma propriedade muito importante do modelo Normal, cuja
CCtttotrstração será omitida, é aquela que garante que qualquer combinação lineAr
de virriírveis Normais independentes, também, terâ distribuição Normal, Em
\u20acgtlrrs palavras, se X1 , Xz, .. ., X, formam uma seqüência de variáveis aleatóriaS
N(tt,,r?) independentes è atta2,...,a,,, são constantes quaisquer, então
g,r . fouxuterá distribuição Normal. Seus parâmetros são determinados a partir
i=L
dns propriedades do valor esperado e da variância, ou seja,
'\tr 'n rL n,p*: E(DarXr):\n@rxr ) : Don E(Xn):Lorlu;i--r i:l i:l i--L
oï : V&quot;r(Do;Xr, ) : \var(arXr ) : \alvar(Xr) : l&quot;l ol,i:L i.:l i.:l i:l
liste resultado amplia, consideravelmente, o uso da Normal em várias sitUnçõeU,
conforme pode ser notado nos exemplos a seguir.
Iìxemplo 6.10: rJm serviço de fiscalização é criado para averiguar se garrafm de
u,r&quot;, 
&quot;&quot;ito refrigerante 
contém, de fato, o volume especificado pelo fabricante. Parn
tanto, 10 gariafas do produto são compradas no varejo, em várias regiões dn
cidade. Cada uma dessas garrafas é esvaziada e o volume de seu conteúdo, que
denotaremos por I/, é aferido. Uma vez obtidos os 10 valores, a média aritmética
M é calculada e, se M < 290 mililitros (ml), a companhia é multada. Estudos na
linha de produção do fabricante mostraram que variações sempre ocorrem' rnesmo
,&quot; os 
&quot;rp&quot;&quot;ificações 
forem seguidas. Por essa tazáo, considera-se o volume dO
conteúdó das garrafas como seguindo um modelo Normal, com média P : 300 ml
e desvio-padrão o:25 ml. Gostaríamos de calcular qual é a probabilidade de
que o fabricante seja multado injustamente?
A multa será injusta se, apesar de dentro das especificações, o valor de M
for abaixo de 290 ml. Observe que isto pode ocorrer devido ànattreza aleatória
do enchimento das garrafas.
Como ilust
ïÌïïrïït*::ïïx';i;;ïïJ;'rïïïiii:íf r::ïï,&quot;,Í;'.,rrlvator de n ;.;,.i;ï; temos assim p iguat a 0,2.;0,j 
&quot; 
õ; ;.,ioo o&quot; cada linharumentado, tomando os valores ro, sóÍil,roo
P=0.3,n 
=10r[fl 'Àï'='
o'4l]Fn. Jl][
p=0.5,n=100
Â
p=0.2,n 
=tO p=0.2,n 
=30
p=0.2,n=100
p=0.5,n=10
P=0.5,n 
=30
Figura 6.5: Histogramas para valores simulados da Binomíal
''qItF
t92
Denotando por uo volume da z-ésima ganadaa ser aferida e suque o fabricanre esreja denrro das especificaço&quot;i ;;;ìr]ã.ü 
_ weoo,'i : 7,... 
, 10. A média aritmética U-ãáá'Aupo,
nt:YJ-&quot;+Vo 1-- 1:ro%+...+ruro,
que coffesponde a u.ma. combinação linear com ai :assumindo ìndependência entre as variávels aleatóriasqueM 
- 
N(pu,o2nn), com
10 10
t-LM : D&quot;ur: à#ros : Boo;i:7
10
o3,r:Ë&quot;i&quot;r: Ë(#)'rrr:
P(mutta) : p(M < 290) : o(, - ro, 
-' \ otr /t/n -
: P(z < 
-r,26): o,1o3g.
Portanto, a probabilidade de que a empresa seja multada, indevidamente, será de,aproximadamente, I0 Vo. &quot; &quot;vJs 'rqrrcu.' ,ruçvr 
tr
iïJ#íJ&quot;,i ;í j;, H.ï:&quot;&quot; ï;:ï&quot;:: j:::11, r,J.':' n a Ì o r s a de var ore s e u til i za u mmodelo probabilístico para avaliar ,&quot;r, l*'&quot;o rrc Duròil ue valores e utili
comnrâ ê vcnrìe qi;6È^^ t-^^ . 
-ucros. 
Suas aplicações financei
:&quot;i::ï&quot;:&quot;&quot;n1 ï*:ï il9: áre as : a gri c u il;&quot;il;;' ;ï *ffi:' :ïlïï1ïï'&quot; Í:ffi:ïï ï#&quot;&quot;i:lo representu o &quot;o-portamenro do lucro di u;ïï &quot;. 
&quot;:.:ilï,1ï:rnilhares de reais):
Cnpftulo 6: VtrlrÍvels Aletttórittt C,
If I0, para todo z.
V,i=1,...,10,
252
10'
Logo,
290 
- 
300\
I
25/\/n )
L:2Let-5Lr*BLc,
com 24, L1 e Ls representando, respectivamente, os lucros diários nos setores deagricultura, indústria e comércio. As distriúçr&quot;;;&quot; o'rãf&quot;olioude dessasvariáveis aleatórias são fe - N(3, 4), ir- lr(0,9) 
&quot; 
t.l-nrça, 16). supondo
llï,ï],ï'S?ï*,ii,r&quot; os rrês setor&quot;r,'qíu-.&quot;.á a probabilioãae àe um lucro diário
'!ÇtF
P t i u t' i 1 tt t i,t M r x I t I tt:t Con! ít t ttt t,r
confbrme mencionado, a variável -L, sendo uma combinação linear
ruis inclependentes, segue distribuição Normal com parâmetros dados por:
&quot; 
-2x3*5x6*3x4:48:;Itr 
- 
.
^2 
- 
22 x 4*52 x 9+32 x 16 : 385'uL-o 
^ïIv ^r I 
u
t L 
- 
N(48, 385) e, portanto,
P(L>bo) : P(z > 4ff) : P(z > o,1o) :0,4602;
' /385 '
clnclo uma alta probabilidade de lucros superiores a 50 mil'
Ercrcícios da Seção 6.2:
1, Sr:rrdo X - Ul\,4l, calcule
n. P(X > 2).
b. P(x > 2).
c.P(1 <X<2).
d.P(l <X<2lX<3).
c.P(X <311<X<2).
2. Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica
cle 10 quilômetros.
a. euai é a probabilidade da pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de
ocorrer nos 3 quilômetros centrais da rede? , ,&quot;&quot;
5. O custo de reparo da rede depende da distância do centro de