Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)
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Lívro Noções de Probabilidade e Estatística - Magalhães parte 2 (1)


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entre 4 e r0 anos, num certo bairro, para urnapesquisa sobre saúde bucal. Foram propostas três alternqtiÍaslpru u 
"ãl"tu,
l;Y#.lJlïio 
aleatório , reatizado enrre as crianças iir,uaár\g no.io
II: um sorteio aleatório de casas do bairro e, em seguida, uma escolha
aleatória de uma criança de cada casa sorteada, se houver.III: Escolhe-se, ao acaso, um dia de semana em uma das escolas dobairro. Nessa ocasião, 100 crianças são sorteadas dentre as várias
classes, com alunos na faixa etária de interesse.
comente as diferenças e dificuldades de cada alternativa.
7.2 Parãmetros, Estimadores e Estimativas
Para formalizar as idéias que serão apresentadas neste capítulo,precisamos definir alguns conceitos.
Definíção 7. I : Parâmetro
As quantidades da população, em geral desconhecidas, sobre as quais
temos interesse, são denominadas parâmetros e, usualmente, representadas por
letras gregas tais comol$ 
__ 
e gentre outras. tr
Dffinição 7.2: Estimador e estimativa
À combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de
representar, ou estimar, um parâmetro de interesse na população, denominamos
estimador. E^m geral, denotamos os estimadores por ^rr-boio, com o acento
circunflexo: ê, fu, õ, etc. Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores
denominamos estimativas pontuais ou simplesmente estimativcrs. tr
A notação utilizada paru a média de uma população é p, acrescida de um
subscrito, se houver possibilidade de confusao soúre a que população ou variável
209
7, J I'ttr(ìrtrttlrrts' lislittndttt'es r E:tlltttttliytts
s referimos. Por exemplo ' px e Fe 1ão-us1ct :J:Ï"':1i,ïì';;ïtï::i:i:iiïíïì,ïï:'ï":;,::JJJïïïïËil,:r:i.:,=T":lï^.,ïi:ïïTfi *fi'""jËjïï
llÍ:l : *ïJff :ï : ï.ilÏï,ï'ï í'"il1*::: |:3ï1i: ï;,:ïïï#ÍJi: i:
Ëï;ì,Ëlï:ilffi l.:1iïi.ï'T:',:íti""if ï;#"Ëï"ïilï,ï,::*ffÍ:1:llilll ïÍ 3Ï 8iÏ:: ï ffi ;: ;; 
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" 1 i. t,1"^ .',."*..ïff ,.: ï :? :Ï,''n l;
ïïliü:ïil:ïï"fi", aurores e tentaremos utilizar aquera que nos 
pareça mars
Notamos que um estimador' digamos 3' :,::"-função t*r:::U",:i
nr.,,,o.ijì iï'nï#;' J" am?stla' ,i":. i 3 ^:^!^Í:::^!-::;;*Ì;,ti:ï;""#
: iï i ìff:ï ffi:i';ï-" ;;;i;ï "ú:r' I ::ï::i :iÍ:i[ 
^l' ï111ï;:ï: i:;ïllilïffi "ïÏ?"ï-i';;;u,"-o*"eo*"no::ï#".:ïïii'"'*dlll-o*:ïil,ïïilï*iïi,ï*í*u" da amosrra para os parâmetros da população'
";;'r';;;;';.r,u"u'.,o'interessados*:::::.1ï*'ffi 
.tïii""ïït""i"i*:
':::,:'i:Íi;"J:ï:#"ìil;:"Ëq:"i:*..1"^Ti":,,:Jï:J:iïï,ïiï
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"ï *1t i ó'ü.' ;;; d" s oeí e 1i,y1ltt:ï i i.ï"n'.ï;"'ï "l::,ffir::ìlï::ïï ","ï;'"'3ff:J'J'l;"Ëil, 
";'";ìhtd;' 
uo u"u'o dentre a popuração
ioï"n',*uoécompost"^p"l,.t^l::::i?1,ï:J:?iiïflïi::tlt;'::
,,,'",,n"LtÏïlï:t':H"Ë;#;ï;;'a*"o"4"*'ï::'ï;:liï:ïï:::f ï::i',',ïlïJiï:'"Ïï"::'Ëïru*;Ì{,:j:;"*l'li:ï,ïïl'3i;';""ïffi :iovens, representaoa PUr Á'' n orrrvu!rw'--'Lu" o."cisamos resolver é que função;ì;, ;;;t dizer algo a respeito de p' o- i .^*^^r^ ;",^ 6 n.ar será o estimador.ttcla, vamos üzet.a;1o a rçòPe*v uv r/' v â,uàtu, isto é, qual será o estimador.
rlos valores amostrais "ïti'"ÏÏ::f:i "t'
Apresentamos a seguir algumas opçoes:
ímínimo + máximo) .pr: f1(Xr, ..., Xro) :
frz: lz(Xt ..',Xto) : Xt"Xt*...+Xro
Ft: hlXr,..., Xto) : -----6-
Poderíamos listar outros estimadores' mas 
os três apresentados são
suficientes putu lo'itu'- *"u discussão' Inicialmente' 
vamos esclarecer o
significado de cada trn a"i"t' O estimado'fu' é 
a média aritmética entre os
valores mínimo e máximo da amostra e frz'é"simplesmente' 
o primei::"1'1]":
sorteado na amostra' Ëì""f-"tt"' F' é ?-eáiu dos valores da amostra' 
ou seJï' il
rnédia amostral.. Apresentamos, a seguir, 
os valores observados na amostra e âs
re spectivas 
"rti'nutiu 
u' ï;;iú ; 
"Ín o-s estimadores 
definido s acima'
Amostra (em metros): 1,65; !,57; !,72;1,66; |,7|; |,74; |,8|;1,68; 1,60 
e 1,77.
lï
2t0
Estimativas:
lJlno" :
u":
teria coletar a amostra?
concordam. Assim tomamos
Capítulo 7: Inferência Estcttístícq _ Es
: 1,69;
1,65;
7,65+r,57+...+r,77
10
16.91: 
-10 : 1'69 '
Apesar desses números, calculados para uma amostra particurar,
serem muito distintos uns dos outros, não devemos escolher o estimador olh:
apenas, se a estimativa correspondente é, razoâvel. como decidir qual deles u
X:,::lï, "1lllj:l que esra questão_é resolvida, estudando_s" u, p.opr"Aua",diversos estimadoràs. É .ómp." uo* t"-ú.u; õ;;ú"; Ëï;ï;.'
::ï:1i:ï:l:tïli--Íota na população, pois se eló fosse conhecido, que senti
Exemplo 7.5: Para detectar.o apoio popular a um projeto governamental
reforma agrâria, foram entrevistadãs +oô pessoas espalhadás 
".n-uá.iu, capitairamostra conrém as 400 resposras que'consistem de 
"r,, (o;:;tïn""Ï:ïtïconcordam com o projeto) e não (para os que discordam).
Para formarizar o problema, iniciàlmente caracterizamos a populaçãointeresse como aquela formada pelos habitantes adultos do país. A informa<desejada é a proporção das pessoãs que concordam com o ,&quot;fàido projeto,
oparâmetro de interesse é p: proporlão dos que concordam com o projeto.
/ t, _, A oTorrra pode ser pensada como o vetor de variáveis aleatór\Ãt,Á2,...,xq00), cada uma delas seguindo um modelo Bernouili, ou seassumindo.valT. 1 para sucesso (resposta sin) e 0 parufraro&quot;&quot;, çrerpo sta naQ.E intuitivo considerar como estimador ã prãporçao àmostral dos r
p- número dos entrevistados eue aprovctm o projeto
400
que, tendo em vista as variáveis de Bernoulli, pode ser escrito como:
ì-Xt+.Xz]-&quot;'*Xqoo.
- 400
como veremos adiante, esse estimador arém de intuitivo tem boas propriedades. El
Suponha, como antes, que uma amostra de tamanhopopulação e representada pero cónjunto de variáveis areatóritrs
n é retirada da(Xr, Xz,'.., X,,),
(1,57 + 1,g1)
___
211
7.2 Parôtmetros, Estimadores e Estimativas
Xt*Xz-l +x&quot;
l)cnote os parâmetros média, variância e
população PoÍ F, o'&quot; p, respectivamente'
cprantidades são as correspondentes média,
proporção de certa característica nâ
Os estimadores &quot;naturais&quot; para estas
variância e proporção calculadas na
n rì1ostra. Representpnd-o-os, respectivamente, por /í., o- e P, temos
'^l l,e-
t '&quot;-
X:
^2o.:
:i&,?nn
r1ìjf (xn 
- 
X), ;n-'
número de itens com a característica na amostra
f'í'hryt n
Note que cada um dos\estiàadores apresentados depende dos valores pertencentes
h o*oìtra aleatória (Xr,'..,Xr;'Como veremos no decorrer desta seção' os
;r;;;;;;r&quot;, X 
&quot;?, uié* d&quot; serem intuitivos, 
têm as boas propriedades que serão
tlcÍ'inidas adiante. No entanto, com respeito àG2, uma alteração na sua expresSãO
scrá necessár ia paraque satisfaça uma dessas importantes propriedades'
Iixcmplo 7.6: Paraestudar o nível de colesterol em uma população de esportistas,
colctamos uma amostra de 10 jovens atletas, obtendo os segUintes valores:
ItÌ0,196, 185, 165, 190, 195, 180, 176, 165 e195'
Vamos definir nosso interesse como sendo o nível médio de colesterol e'
irssumindo que não temos acesso à toda a população, estimaríamos o parâmetro p
(valor descoìhecido da população) pela média amostral calculada com os valores
rlirclos, isto é,
180 + 196 + 185 + + L76 + 165 + 195 : L82,7.Td,&quot;: 10
I'rrrtanto, a amostra, através do estimadot X, fornece para o parâmetrO pl n
trstimativa 182,7. O limite de colesterol para pessoas sadias é'200, isto é, acimn
rlcsse valor o indivíduo aumenta o seu risco de ter uma complicação cardíaCA' A
iilÌìostra forneceu um valor relativamente baixo, indicando que as pessoas que
lrrilticam esportes, aparentemente, estão mais protegidas de complicações 
do
coraçito.
Tendo em vista que a população em estudo é constituída de jovens atletas,
rrrn nível de colesterol acima de 190 poderia ser considerado preocupante e
inrlicativo para um acompanhamento médico mais freqüente. Dessa forma,
,ufnnno quà classifiqu&quot;*o, como tendo taxa alta os atletas com valores acima de
2t2
790