trabalho inter final 2013

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1 Graduandos do 4º período do curso de Engenharia de Controle e Automação, do Centro 
Universitário Newton Paiva. 
Prof. Orientador: Ricardo Martins Ramos 
SINAIS PERIÓDICOS NÃO SENOIDAIS 
 
 
DINIZ, Elnatã Mateus Evangelista ¹ 
OLIVEIRA, Fabiana Gonçalves 
MORAIS, Giovanny Batista 
FERREIRA, Jamil Anjos 
TOLOMELLI, Vinicius Frederico Vieira 
RABELO, Wesley 
Resumo 
 
O estudo das ondas e sinais é amplo e muito importante para compreensão do 
funcionamento de vários sistemas. A partir da análise de suas características e da 
identificação da sua formação podemos classificá-las de acordo com diversos 
aspectos e características, como: senoidais ou não senoidais, simples e complexas, 
periódicas e aperiódicas. Como as ondas são formadas? Como promover a 
classificação das ondas? Ao longo deste, serão estudadas e respondidas questões 
como estas e serão trabalhados outros itens importantes ao estudo das ondas, 
como, por exemplo, os diversos tipos de ondas não senoidais, sendo ela onda 
quadrada, triangular e dente de serra, cada uma com suas devidas característica e 
aplicação no sistema. Analise de onda não senoidal esta fundamentada nos 
conceitos apresentado pelo teorema de Fourier, que deu origem as series e 
transformadas de Fourier, as principais ferramentas na interpretação das formas de 
onda. De acordo com teorema de Fourier toda onda não senoidal é formada pelo 
somatório de ondas senoidal, possibilitando o estudo de qualquer onda não 
senoidal. As ondas não senoidais podem se aplicadas em diversos sistemas como 
circuitos de chaveamento digital e dispositivos lógicos, também em acionamentos de 
elementos elétricos, permitindo ampla utilização dos seus recursos na elétrica. Toda 
onda é compostas por frequência fundamental e frequências harmônicas. As 
harmônicas são múltiplas da fundamental, classificadas como sendo par ou impar o 
que possibilita diferentes características para onda. Dessa forma podemos ver que o 
estudo de onda é amplo e muito importante para compreensão do funcionamento de 
vários dispositivos. 
 
 
Palavras-chave: onda, frequência, senoidal, sinais. 
 
2 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
Geralmente utilizados na comunicação, sinais são funções de uma ou mais variáveis 
que expressam informações sobre um sistema ou fenômeno físico. Dentre os 
diferentes tipos de sinais existentes, será dada ênfase aos sinais periódicos, estes 
são sinais que apresentam determinada repetição do valor de sua amplitude em 
intervalos regulares de tempo. Cada sinal tem uma forma de onda característica. 
As ondas podem ser classificadas em simples e complexas, as simples são puras 
livres de interferência, definidas como senoidais periódicas. Já as complexas, são 
não-senoidais, periódicas ou aperiódicas. Os principais tipos de onda não-senoidais 
são: quadrada (encontradas nos circuitos de chaveamento digital e dispositivos 
lógicos), triangular (utilizada principalmente em acionamentos elétricos) e dente de 
serra. No decorrer deste, será realizada uma análise dos tipos de ondas, 
identificando sua formação e suas principais características, análise do Teorema de 
Fourier e um estudo das frequências harmônicas. 
 
 
2. ONDAS 
 
 
As ondas são perturbações que se propagam por um meio transportando energia. 
As ondas podem ser classificadas de diversas maneiras, possibilitando analisar suas 
diferentes características. Uma onda pode ser diferenciada pelo seu modo de 
propagação, ondas mecânicas precisam de um meio para se propagar, este pode 
ser sólido, líquido ou gasoso; ondas eletromagnéticas se propagam na presença ou 
não de um meio. As ondas podem, ainda, ser chamadas de progressivas. Neste 
caso, são classificadas conforme sua direção de propagação diante do elemento 
que a originou, ou seja, longitudinais ou transversais. Ondas longitudinais assumem 
propagação na mesma direção do movimento que as originaram, as transversais 
são criadas perpendiculares ao elemento do meio. 
Unidimensional, bidimensional e tridimensional é a classificação das ondas de 
acordo com sua direção de propagação, ou seja, única direção de propagação, 
único plano de propagação, pode se propagar em todas as direções do espaço. 
3 
 
2.1 Características das ondas 
 
 
A onda tem como característica principal sua identificação física, por isso são 
compostas de pico e vale. O pico de uma onda é o maior ponto que pode ser 
atingindo por ela, o seu valor máximo, vale é o menor ponto de uma onda, o seu 
valor mínimo. 
Algumas grandezas compõe uma onda, tais como: a frequência (ƒ), que permite 
identificar o número de oscilações de uma onda no intervalo de tempo de um 
segundo, sua unidade é o hertz (Hz). O período (T), que representa o tempo 
necessário para formação de um ciclo completo, sua unidade é o segundo (s). O 
comprimento de onda (λ), que identifica o tamanho da onda, sua unidade é o metro 
(m). A velocidade angular (v), adquirida pela onda ao se propagar pelo meio, pode 
ser determinada pela sua distância em relação ao tempo gasto para sua formação. 
 
 
2.2 Onda periódica senoidal 
 
 
A onda senoidal ou sinusoidal esta relacionada a uma função seno ou cosseno e é 
uma forma de onda simples. Analisando a onda senoidal podemos identificar 
algumas grandezas como frequência, período, comprimento de onda, velocidade 
angular, valor de “pico” (valor de amplitude máximo alcançado pela onda) e o valor 
de “pico-a-pico” (relação entre pico positivo e pico negativo da onda). O valor de 
pico-a-pico é dobro do valor de pico. 
Toda onda tem uma parte efetiva de potência dissipada que pode ser transformada 
em trabalho determinado através do valor eficaz ou valor RMS (Root Mean Square) 
da onda. O valor médio é a divisão proporcional da onda em mesma área, que no 
caso de uma senóide é nula, já que são proporcionalmente simétricas. 
De acordo com Fourier toda forma de onda pode ser decomposta na somatória de 
um conjunto de ondas senoidais, o que possibilita diversas aplicações para as ondas 
senoidais. 
 
 
4 
 
3. ONDAS NÃO SENOIDAIS 
 
 
A onda não senoidal é uma forma de onda que não pode ser decomposta ou 
representada por uma função seno ou cosseno. As formas de ondas não senoidais 
mais comum são “quadrada”, “triangular” e “dente de serra”. Esses tipos de onda 
podem ser encontrados em vários dispositivos eletrônicos. As ondas não senoidais 
são representadas através da somatória de ondas senoidais de diferentes 
frequências e períodos. 
 
 
4. TIPOS DE ONDAS NÃO SENOIDAIS 
 
 
4.1 Onda quadrada 
 
 
A onda quadrada é uma forma de onda que se alterna regulamente e 
instantaneamente entre seus pontos de valor máximo e mínimo, no mesmo intervalo 
de tempo. Quando o tempo é diferente do outro essa onda também pode ser 
chamada de retangular. Esse tipo de onda é muito encontrado em áreas eletrônicas 
e no processamento de sinais. Tais ondas são utilizadas principalmente em circuitos 
digitais, o que a torna uma referencia devido às transições rápidas entre seus níveis 
em intervalos de tempo precisos. 
Tem em sua formação uma grande quantidade de harmônicos que é um múltiplo 
inteiro da frequência fundamental, dessa forma pode ocorrer a geração de radiação 
eletromagnética ou até mesmo pulsos de corrente sujeitos a interferir em sistemas 
próximos, sendo causador de ruídos ou erros. Uma onda quadrada ideal necessita 
realizar uma transição do seu nível alto para o baixo de maneira limpa e instantânea, 
o que é impossível de se obter em sistemas reais, já que isso depende de uma 
largura de banda infinita que na pratica não é possível de ser encontrada nesse tipo 
de onda. 
 
 
5 
 
4.2 Onda TriangularA onda triangular é uma onda básica classificada como onda não senoidal, 
caracterizada por ter um crescimento linear até seu nível de ponto máximo e um 
decrescimento linear rumo ao seu nível de ponto mínimo. Essa transição pode 
demorar o mesmo intervalo de tempo ou ainda intervalos diferentes, o que permite 
identificar o porquê do seu nome diretamente relacionado ao formato de um 
triangulo. São encontradas principalmente no acionamento de circuitos elétricos 
como fontes chaveadas, circuito de comutação e inversores, devido a suas 
características composta por apenas harmônicos ímpares (semelhantes à onda 
quadrada), porém, com as harmônicas superiores reduzidas rapidamente, 
proporcionando um som próximo das ondas senoidais. 
 
 
4.3 Onda dente de serra 
 
 
Outro exemplo de onda não senoidal é a onda dente de serra, com características 
de aplicação semelhantes à onda triangular se diferencia por ter uma ascendência 
ou descendência na qual o tempo é igual à zero. A semelhança com uma lâmina de 
uma serra define o nome que identifica este tipo de onda, caracterizada por ter um 
som desarmonioso e limpo, essa onda é composta por ambos harmônicos: ímpares 
e pares. É considerada uma das melhores formas de onda para formação de outros 
sons. 
 
 
 
6 
 
5. TEOREMA DE FOURIER 
 
 
O conhecimento da estrutura da onda periódica não senoidal só é possível graças a 
análise proporcionada pelas séries e transformada criada pelo matemático Jean 
Baptiste Joseph Fourier. Nascido em 1768 na cidade Auxerre na França e órfão aos 
oito anos, estudou no colégio militar dirigido por monges beneditinos, local no qual 
demonstrou sua grande aptidão em matemática. 
Em 1807 Fourier propôs que toda onda não senoidal poderia ser decomposta 
através da somatória infinita de um conjunto de ondas senoidais, demostrado 
através das series e transformada de Fourier. 
De acordo com Sadiku (2011, p.756) “Uma função periódica é aquela que se repete 
a cada período de segundo”, dessa forma qualquer função periódica é formada de 
uma soma infinita de funções seno ou cosseno. 
 
 ∑ 
 
 
 
Fonte: Função periódica 
 
 A função que representa uma onda é composta por alguns elementos que 
proporcionam diversas características, como: frequência fundamental, encontrada 
quando se tem n igual a um, representada por ω0 a frequência fundamental é 2π/T; a 
frequência harmônica é múltiplo inteiro da frequência fundamental demostrada 
através de kω0, onde k é a ordem que pode ser ímpar ou par. 
“A série de Fourier é uma representação de um sinal periódico através de uma soma 
de senóides com a frequência fundamental e frequências harmônicas.”(DORF, 2008, 
p.668). 
As constantes A0, An e Bn são denominadas coeficientes trigonométricos de Fourier. 
O coeficiente A0 é uma componente de corrente contínua ou valor médio, que no 
caso de ondas senoidais é nulo. Já An e Bn são coeficientes onde k é diferente de 
zero, que é a amplitude da ondas senoidais do tipo corrente alternada. 
A função que é representada pela série de Fourier pode convergir dependendo de 
algumas condições denominadas “condições de Dirichlet”, como a função apresenta 
um único valor em qualquer ponto, a função tem um número finito de 
7 
 
descontinuidade em qualquer período ou tem um número finito de máximos e 
mínimos em qualquer período e, por último, a integral de t0 a t0 + T da função ƒ(t) é < 
que infinito para qualquer t0. 
Através da análise do coeficiente de Fourier é possível determinar a simetria de uma 
onda que pode ser par, ímpar ou de meia onda, dependendo do valor do coeficiente. 
Onda de simetria par apresenta coeficiente Bn igual a zero para qualquer valor de k, 
já na função de simetria ímpar o coeficiente An é igual a zero para qualquer valor de 
k, a onda ainda pode apresenta simetria de meia onda onde An e Bn são zero para k 
com valores pares. 
A série de Fourier também permite encontrar o espectro de um sinal periódico 
existente na frequência fundamental e harmônica de uma onda, pode ser dividida 
em dois: amplitude e fase. O espectro de amplitude é a representação gráfica entre 
amplitude das harmônicas An e da kω0, cuja altura é proporcional ao módulo do 
coeficiente da série e, espectro de fase é a representação gráfica na qual a altura é 
proporcional a fase do coeficiente da série de Fourier. 
Para Sadiku (2011, p.782) “A série de Fourier exponencial de uma função periódica 
descreve o espectro de uma função em termos de ângulo de fase e de amplitude 
das componentes CA nas frequências harmônicas positiva e negativa.” 
 
 
5.1 Serie de Fourier ondas não-senoidais 
 
Onda quadrada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
Onda triangular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
Onda dente de serra: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
8 
 
5.2 Frequências harmônicas 
 
 
Segundo Sadiku (2011, p.644), a frequência harmônica é um múltiplo inteiro da 
frequência fundamental. As ondas de corrente e de tensão não senoidal podem ser 
obtidas através da soma das ondas senoidais com frequências distintas, o que 
permite identificar as frequências harmônicas que podem ser par ou ímpar 
dependendo do seu multiplicador. 
Os harmônicos são encontrados em todos os sistemas não senoidais e podem 
causar grandes influências nos sistemas. Os harmônicos ímpares são os grandes 
causadores de distorções nos circuitos, principalmente o terceiro harmônico que, por 
ter 90% da amplitude da frequência fundamental, o torna responsável por causar 
aquecimento e ruídos nos circuitos. Nos transformadores o terceiro harmônico é o 
principal responsável por causar perdas no núcleo através do aquecimento por efeito 
Joule e corrente parasita. 
 
 
6. APLICAÇÃO EM CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
 
Determine as grandezas no circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
-
Vs
15V
R
2k
L
0.5H
C
181,98uF
9 
 
Determina serie de Fourier para a forma de onda triangular da figura abaixo: 
 
1º passo: Encontrar termo A0. T = 4ms 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 = 
 
 
∫ 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 = 1 
2º passo: Encontrar termo An. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 = 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 = 
 
 
[
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 )] [
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 )] = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3º passo: Encontrar termo Bn. 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 = 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
∫ 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 )= 
 
 
[ 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) ] 
 [ 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 ) ] = 
 
 
[ 
 
 
 
 
 ] = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A onda triangular apresenta simetria impar, pois para qualquer valor de n. 
Série de Fourier: ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5
10 
 
7. ANEXOS 
 
 
ANEXO I - Tipos de ondas não senoidais 
 
Fonte: www.infoescola.com.br 
 
ANEXO II - Forma de onda com componente fundamental e o quinto harmônico 
Fonte:(COGO,1996). 
11 
 
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
 
No decorrer desta pesquisa, foi possível aprimorar o conhecimento sobre ondas, e 
através do estudo das características, como frequência, amplitude, tipo de onda, 
compreender sua formação e a aplicação em elementos do sistema. Devido diversos 
aspectos analisado a classificação de uma onda se torna ampla e de extrema 
importância para a atuação de diferentes sinais. 
Associado à matemática aplicada e teoremas, o estudo teve maior especificidade e 
pôde esclarecer detalhadamente os comportamentos e as influências de cada tipo 
de onda nos circuitos elétricos. 
 
 
9. REFERÊNCIAS 
 
 
SADIKU, Matthew N. O.; ALEXANDER, Charles. Fundamentos de Circuitos 
Elétricos. 3. Ed. Editora Mcgraw-hill Interamericana, 2008, 1007 p. 
 
MARTINS, Lucas. Ondulatória. Disponível: http://www.infoescola.com/fisica/ 
ondulatoria-ondas/. Acesso em: 25 mar. 2013. 
 
UNIUBE. Forma de onda. Disponível: http://www.ebah.com.br/content/ 
ABAAABMfQAK/forma-onda2# . Acesso em: 26 mar. 2013. 
 
DORF, Richard C.; SVOBODA, James A. Introdução aos Circuitos Elétricos. 7.Ed. 
Editora LTC, 2008, Rio de Janeiro, 795 p. 
 
GUIMARÃES, Mauro. Ondas não senoidais. UFU – FEELT. 45 p. 
 
TEIXEIRA, Deivid Cezario. Tipos de ondas. Disponível: 
http://www.infoescola.com/fisica/tipos-de-ondas/. Acesso em: 25 mar. 2013. 
 
GEOCITIES. Harmônicos. Disponível: 
http://www.geocities.ws/jcc5000/juvresposta67harmonicas.html. Acesso em: 30 mar. 
2013.