Limites e Assíntotas em Cálculo I

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula XI
IMC-Unifei
1 Introduc¸a˜o
Nesta aula vamos finalizar o estudo das aplicac¸o˜es da derivada
Conteu´dos a serem vistos:
• Limites no Infinito e Ass´ıntotas Horizontais;
• Limites Infinitos e Ass´ıntotas Verticais;
• Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hopital;
• Aplicac¸o˜es nos esboc¸os de gra´ficos.
1
2 Limites no Infinito
Dada f : X → R, nos interessa investigar (se poss´ıvel) o comportamento de
f(x) quando x→ ±∞.
Definic¸a˜o 1. Dizemos que um nu´mero real L e´ o limite de f(x) quando
x→ +∞ e denotamos por
lim
x→+∞ f(x) = L
quando f(x) se aproxima tanto quanto quisermos de L a medida que x cresce
indefinidamente, ou seja,
“ para cada � > 0 existe A > 0 tal que se x ∈ X e x > A, enta˜o |f(x)−L| < �”.
Neste caso, dizemos que a reta y = L e´ uma ass´ıntota horizontal do gra´fico
de f .
Figura 1: Gra´fico de f(x) = 1 +
1
x
2
Definic¸a˜o 2. Dizemos que um nu´mero real M e´ o limite de f(x) quando
x→ −∞ e denotamos por
lim
x→−∞ f(x) = M
quando f(x) se aproxima tanto quanto quisermos de M a medida que x decresce
indefinidamente, ou seja,
“ para cada � > 0 existe A > 0 tal que se x ∈ X e x < −A, enta˜o
|f(x)−M | < �”.
Neste caso, tambe´m dizemos que a reta y = M e´ uma ass´ıntota horizontal
do gra´fico de f .
Figura 2: Gra´fico de f(x) = −1 + 1
x
3
Exemplo 1.
(A) f : [2; +∞)→ R dada por f(x) = 1
x
.
(B) g : (−∞, 3)→ R dada por g(x) =

4 +
1
x
se x ≤ 1
6 se −1 < x < 3
4
(C) h : R→ R dada por h(x) = sen(x).
Figura 3: Gra´fico de h(x) = sen(x)
2.1 Alguns Limites Ba´sicos no Infinito
(A) lim
x→±∞ c = c
(B) Se α ∈ R, com α > 0 e c 6= 0, enta˜o:
lim
x→±∞
c
xα
= 0 (se fizerem sentido!)
(C) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
= e
(D) lim
x→+∞
ln(x)
x
= 0
(E) lim
x→−∞ e
x = 0 e lim
x→+∞
1
ex
= 0
(F) lim
x→+∞
1
ln(x)
= 0
Observac¸a˜o 1. Com as devidas adaptac¸o˜es, valem os mesmos teoremas vistos no estudo dos limites.
5
Exemplo 2.
(A) lim
x→+∞
−5x3 + 2x
x3 − 4x2 + 3
(B) lim
x→−∞
3x− 4
5x2
(C) lim
x→+∞
√
5x2 − 6
4x+ 3
6
(D) lim
x→−∞
sen(x)
x
(E) lim
x→+∞
1
ex
= 0
(F) lim
x→+∞ e
−x2
7
3 Limites Infinitos
Dada f : X → R e a ∈ X ′ nos interessa estudar o caso em que na˜o existe o
lim
x→a f(x) mas f(x) tem um comportamento especial quando x→ a:
Escrevemos lim
x→a f(x) = +∞ quando f(x)→ +∞ a medida que x→ a.
-3 -2 -1 0 1 2 3
5
10
15
20
25
30
Figura 4: Na˜o existe lim
x→1
1
|x− 1|
8
De maneira ana´loga, escrevemos lim
x→a f(x) = −∞ quando f(x) → −∞ a
medida que x→ a.
-3 -2 -1 1 2 3
-30
-25
-20
-15
-10
-5
Figura 5: Na˜o existe lim
x→1
− 1|x− 1|
9
Observac¸a˜o 2.
(i) Temos conceitos ana´logos para os limites laterais lim
x→a+
f(x) e lim
x→a−
f(x).
(ii) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o lim
x→a f(x) na˜o existe. Apenas escre-
vemos lim
x→a f(x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de f(x)
quando x se aproxima de a.
(iii) Como o limite lim
x→a f(x) = ±∞ na˜o existe, o ponto a , quando pertencer
ao domı´nio X de f , sera´ um ponto de descontinuidade.
Exemplo 3.
(A) lim
x→−3
1
(x+ 3)2
=
1
0+
= +∞
(B) lim
x→−3+
1
(x+ 3)3
=
1
0+
= +∞
(C) lim
x→−3−
1
(x+ 3)3
=
1
0−
= −∞
(D) De maneira mais geral temos que :
• Se n e´ par, enta˜o lim
x→a
1
(x− a)n =
1
0+
= +∞;
• Se n e´ impar, enta˜o lim
x→a+
1
(x− a)n =
1
0+
= +∞ e lim
x→a−
1
(x− a)n =
1
0−
= −∞
(E) lim
x→0+
ln(x) = −∞
(F) lim
x→pi2 −
tan(x) = lim
x→pi2 −
sen(x)
cos(x)
=
1
0+
= +∞
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3.1 Ass´ıntotas Verticais
Definic¸a˜o 3. Seja f : X → R e a ∈ X ′.
Dizemos que a reta x = a e´ uma ass´ıntota vertical do gra´fico de f quando
QUALQUER uma das opc¸o˜es abaixo ocorrer:
• lim
x→a+
f(x) = +∞
• lim
x→a+
f(x) = −∞
• lim
x→a−
f(x) = +∞
• lim
x→a−
f(x) = −∞
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
Figura 6: Ass´ıntotas Verticais x =
pi
2
e x = −pi
2
do gra´fico de f(x) = tan(x).
11
1 2 3 4 5
-10
-5
5
Figura 7: Ass´ıntota Vertical x = 3 do gra´fico de f(x) =

1
x− 3 se x < 3
x+ 2 se x ≥ 3
Teorema 1 (Para ajudar no ca´lculo de Limites).
Sejam lim
x→a f(x) = +∞ , limx→a g(x) = c ∈ R e limx→ah(x) = −∞.
Temos:
(a) lim
x→a[f(x) + g(x)] = +∞ e limx→a[h(x) + g(x)] = −∞.
(b) lim
x→a
g(x)
f(x)
= 0 , lim
x→a
g(x)
h(x)
= 0 .
(c) Se c > 0, temos:
• lim
x→a f(x)g(x) = +∞
• lim
x→a
f(x)
g(x)
= +∞
• lim
x→ah(x)g(x) = −∞
• lim
x→a
h(x)
g(x)
= −∞
(d) Se c < 0, temos:
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• lim
x→a f(x)g(x) = −∞
• lim
x→a
f(x)
g(x)
= −∞
• lim
x→ah(x)g(x) = +∞
• lim
x→a
h(x)
g(x)
= +∞
Exemplo 4.
(A) lim
x→3
2x2
x2 − 9
(B) lim
x→−pi2 +
sen(x) tan(x)
(C) lim
x→0+
x4 +
√
2
ln(x)
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Observac¸a˜o 3. De maneira inteiramente ana´loga ao que fizemos para
lim
x→a f(x) = ±∞, podemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e
os resultados, como o teorema anterior, continuam va´lidos. (Apenas na˜o
temos mais as ass´ıntotas verticais nestes casos !)
(D) lim
x→+∞x = +∞, limx→−∞x = −∞.
(E) lim
x→+∞ e
x = +∞
(F) lim
x→+∞ ln(x) = +∞
(G) lim
x→+∞−5x
4 + 3x+ 2
4 Formas Indeterminadas e a Regra de L’Hopital
4.1 Concluso˜es que NA˜O podemos tirar
Devemos sempre tomar cuidado com operac¸o˜es entre func¸o˜es que envolver limites infinitos,
pois podem surgir as chamadas “Indeterminac¸o˜es”, que sa˜o formas cujos com-
portamentos na˜o podemos prever a prio´ri.
Destacamos aqui as principais indeterminac¸o˜es:
0
0
,
∞
∞ , ·∞, 0
0, ∞0, 1∞, ∞−∞
Em qualquer um dos casos acima, devemos trabalhar com as func¸o˜es dadas de
maneira a ELIMINAR as indeterminac¸o˜es:
14
Exemplo 5.
lim
x→+∞
x2 + 3
x3 + 6x− 3
4.2 Regra de L’Hopital e Indeterminac¸o˜es do tipo
0
0
ou
∞
∞
Teorema 2. Suponhamos que
f(x)
g(x)
tome a forma indeterminada
0
0
ou
∞
∞ ,
quando x→ c ou x→ ±∞.
Se
f ′(x)
g′(x)
tem limite (ou tambe´m e´ uma forma indeterminada do tipo
0
0
ou
∞
∞ ) quando x→ c, enta˜o
lim
f(x)
g(x)
= lim
f ′(x)
g′(x)
Exemplo 6.
(A) lim
x→0
3− 2x− 3 cos(x)
5x
(B) lim
x→+∞
ln(x)
x
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(C) lim
x→+∞
e2x
x2
Observac¸a˜o 4.
Cuidado: Na˜o saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que real-
mente se tem uma indeterminac¸a˜o do tipo
0
0
ou
∞
∞ .
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4.3 Indeterminac¸o˜es do tipo 0 · ∞
Para indeterminac¸o˜es deste tipo, podemos utilizar o seguinte truque:
• f(x) · g(x) = f(x)(
1
g(x)
) ou
• f(x) · g(x) = g(x)(
1
f(x)
) .
Fazendo isto, obtemos indeterminac¸o˜es do tipo 0/0 ou ∞/∞.
Exemplo 7.
(A) lim
x→0+
x · ln(x)
(B) lim
x→+∞
(
arctan(x)− pi
2
)
· x
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4.4 Indeterminac¸o˜es do tipo 00, ∞0, ou 1∞
O seguinte roteiro pode ser u´til nestes casos:
(i) Seja f(x)g(x) a expressa˜o que gera a indeterminac¸a˜o.
(ii) Fac¸a y = f(x)g(x).
(iii) Tomando logaritmos reca´ımos em casos ja´ vistos anteriormente:
ln(y) = g(x) · ln (f(x))
(iv) Calcule o lim ln(y) = lim g(x) · ln (f(x)) (Se existir!)
(v) Se lim ln(y) = L, enta˜o
lim f(x)g(x) = lim y = lim eln(y) = eL.
Observac¸a˜o 5. Atenc¸a˜o! Na˜o parar no item (iv)!!!
Exemplo 8.
(A) lim
x→+∞x
1
x
(B) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x
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(C) lim
x→+∞x
1
ln(x)
4.5 Indeterminaco˜es do tipo ∞−∞
Use sua criatividade e trabalhe com as expresso˜es para cair nos casos anteriores.
Exemplo 9.
(A) lim
x→pi2 −
(sec(x)− tan(x))
(B) lim
x→0+
(
1
ex − 1 −
1
x
)
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5 Aplicac¸a˜o: Esboc¸o do Gra´fico de umaFunc¸a˜o
Podemos utilizar o que aprendemos sobre derivada para esboc¸ar o gra´fico de
func¸o˜es. O roteiro a seguir e´ especialmente u´til neste caso:
Roteiro
1) Obtenha a derivada f ′, os pontos cr´ıticos e, estudando o seu sinal , obtenha
os intervalos de crescimento e decrescimento de f , assim como os pontos de
ma´ximo ou mı´nimo local.
2) Obtenha a derivada segunda f e , estudando seu sinal, obtenha informac¸o˜es
sobre a concavidade do gra´fico da func¸a˜o f .
3) Obtenha alguns pontos essenciais do gra´fico de f para auxiliar no esboc¸o
tais como: pontos cr´ıticos, descontinuidades, ma´ximos e mı´nimos , pontos
de inflexa˜o, intersec¸a˜o com os eixos coordenados.
4) Verifique se o gra´fico de f possui ass´ıntotas horizontais ou verticais.
Exemplo 10.
Fac¸a um estudo completo das func¸o˜es abaixo e aproveite as informac¸o˜es para
fazer um esboc¸o do gra´fico.
(A) f : R→ R dada por f(x) = x3 + 3x2 + x+ 1
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(B) g : R− 2→ R dada por g(x) = x
3x− 6
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6 Exerc´ıcios
APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, fac¸a um esboc¸o do gra´fico
de cada func¸a˜o f dada abaixo:
(a) f(x) = 4− x2.
(b) f(x) = x3.
(c) f(x) = x3 − 9x.
(d) f(x) = x4 − 6x2.
(e) f(x) = 1− 3√x.
(f) f(x) =
x2
1 + x2
.
(g) f(x) = 10x3(x− 1)2.
(h) f(x) = 3
√
x(x− 1).
(i) f(x) = ex.
(j) f(x) = e−x.
(k) f(x) = ex − x.
(l) f(x) = e−x
2
.
(m) f(x) = ln(x).
(n) f(x) = e
1
x .
(o) f(x) =
x
ex
.
(p) f(x) = cosh(x) =
ex + e−x
x
.
(q) f(x) = senh(x) =
ex − e−x
x
.
(r) f(x) = arctan(x).
Sugesta˜o: Utilize o Mathematica para conferir os resultados!
Comando Plot :
Para plotar o gra´fico de uma func¸a˜o f : [a, b]→ R utilize o comando abaixo
Plot[func¸a˜o de x, { x, a, b } ]
:
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