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MAT 001 - Ca´lculo I Aula III IMC-Unifei A seguir, vamos estudar com mais detalhes as chamadas func¸o˜es elementares. 1 Func¸a˜o Constante • E´ toda func¸a˜o do tipo f(x) = k que associa a cada nu´mero real x o nu´mero real k. • Gra´fico: A representac¸a˜o gra´fica sera´ sempre uma reta paralela ao eixo dos x passando pelo ponto (0, k). Figura 1: • O dom´ınio da fun¸c˜ao f(x) = k ´e D(f) = R • O conjunto imagem ´e Im(f) = {k} 1 2 Func¸a˜o Identidade • E´ a func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = x. • Gra´fico: O gra´fico desta func¸a˜o e´ uma bissetriz do primeiro e do terceiro quadrantes. Figura 2: • O dom´ınio da fun¸c˜ao f(x) = x ´e D(f) = R • O conjunto imagem ´e Im(f) = R 3 Fun¸c˜ao do 1 o Grau • ´ E a fun¸c˜ao f : R→ R definida por f(x) = ax+ b, onde a, b ∈ R e a 6= 0. • Os n´umeros a e b s˜ao os chamados coeficientes angulares e lineares respec- tivamente. • Se x, y ∈ R s˜ao n´umeros com x 6= y, ent˜ao f(x)− f(y) x− y = a e f(0) = b. • A raiz da fun¸c˜ao ´e x = − b a 2 • Gra´fico: O gra´fico desta func¸a˜o e´ uma reta com inclinac¸a˜o θ em relac¸a˜o ao eixo x, onde a = tan(θ). Figura 3: a > 0 Figura 4: a < 0 • O domı´nio da func¸a˜o f(x) = x e´ D(f) = R • O conjunto imagem e´ Im(f) = R 3.1 Exerc´ıcios 1 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es do 1o grau abaixo e obtenha explici- tamente os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y. (a) y = kx onde k = 0, 1, 2, 12 , −1, −2. (b) y = x+ b onde b = 0, 1, −1. (c) y = 32x+ 2. 3 4 Func¸a˜o do 2o Grau • E´ a func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = ax2 + bx+ c, onde a, b, c ∈ R e a 6= 0. • Seu domı´nio e´ D(f) = R. • A raizes da func¸a˜o, se existirem, sera˜o dadas por x1 = −b+√∆ 2a e x2 = −b−√∆ 2a , onde ∆ = √ b2 − 4ac. • O gra´fico de uma func¸a˜o do 2o grau e´ uma para´bola com eixo de simetria paralelo ao eixo y. • A intersec¸a˜o do eixo de simetria com a para´bola e´ um ponto chamado ve´rtice cujas coordenadas sa˜o xv = − b 2a e yv = −∆ 4a . • Se a > 0 a concavidade da para´bola e´ voltada para cima. Caso contra´rio, ou seja, se a < 0 a para´bola tem concavidade voltada para baixo. • No quadro abaixo caracterizamos as diversas possibilidades para o gra´fico: Figura 5: 4 4.1 Exerc´ıcios 1 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es do 2o grau abaixo e obtenha explicita- mente os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y bem como as coordenadas do ve´rtice. (a) y = ax2, onde a = 1, 12 , −2. (b) y = x2 + c, onde c = 0, 1, 12 , −3. (c) y = y0 + (x− 1)2, onde y0 = 0, 1, −1. (d) y = x2 − 2x+ 5. 2 Prove que se x1 e x2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = 0, onde f(x) = ax 2+bx+c com a 6= 0, enta˜o: (a) x1 + x2 = − b a . (b) x1 · x2 = c a (c) f(x) = a(x− x1)(x− x2). (d) xv = x1+x2 2 , ou seja, o eixo de simetria passa pelo ponto me´dio entre das ra´ızes. (e) f(xv) = yv Sugesta˜o : Utilize as fo´rmulas para as ra´ızes. 5 5 Func¸o˜es Polinomiais • E´ a func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = anx n + an−1xn−1 + . . .+ a1x1 + a0 onde n ∈ N, a0, a1, . . . , an ∈ R e an 6= 0. • O nu´mero n e´ chamado de grau do polinoˆmio e o nu´mero real an e´ chamado de coeficiente l´ıder. • A func¸a˜o constante e´ uma func¸a˜o polinomial de grau zero. • A func¸a˜o do 1o grau e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 1. • A func¸a˜o do 2o grau e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 2. Exemplo 1. A func¸a˜o f(x) = x5 − 6x+ 7 e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 5. Seu gra´fico e´ : Figura 6: 6 6 Func¸o˜es Racionais • E´ a func¸a˜o definida como o quociente de duas func¸o˜es polinomiais, isto e´, f(x) = p(x) q(x) , onde p e q sa˜o polinoˆmios. • Seu domı´nio e´ D(f) = {x ∈ R; q(x) 6= 0}. Exemplo 2. (A) A func¸a˜o f(x) = x− 1 x+ 1 e´ uma func¸a˜o racional de domı´nio D(f) = R− {−1}. Seu gra´fico e´ : Figura 7: 7 (B) A func¸a˜o f(x) = (x2 + 3x− 4)(x2 − 9) (x2 + x− 12)(x+ 3) e´ racional de domı´nio D(f) = R− {−4, −3, 3}. Seu gra´fico e´ : Figura 8: 8 7 Func¸a˜o Exponencial • Seja a ∈ R positivo tal que a 6= 1. A func¸a˜o exponencial na base a e´ definida como f : R → R x 7→ f(x) = ax . • Se a > 1, enta˜o a func¸a˜o exponencial de base a e´ crescente. • Se 0 < a < 1, enta˜o a func¸a˜o exponencial de base a e´ decrescente. • Propriedades : (i) ax · ay = ax+y; (ii) (ax) y = axy; (iii) (a · b)y = ay · by; (iv) a0 = 1. • Gra´fico: Figura 9: Gr´afico da Exponencial de base a > 1 9 Figura 10: Gr´afico da Exponencial de base 0 < a < 1 • Atrav´es do gr´afico vemos que a fun¸c˜ao exponencial ´e injetora. Restrin- gindo o contradom´ınio para os reais positivos R + obtemos uma fun¸c˜ao BIJETORA e, portanto, invert´ıvel . 7.1 Exerc´ıcios 1 Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico das seguintes fun¸c˜oes exponenciais (a) f(x) = 2 x (b) f(x) = e x onde e ≈ 2, 718 ´e o n´umero de Euler. (c) f(x) = ( 1 2 ) x (d) f(x) = ( 1 e ) x (e) f(x) = e x+3 (f) f(x) = e 1−x 2 Prove que (a) Se a > 1, ent˜ao ( 1 a ) x = a −x . (b) Se a > 1, f(x) = a x e g(x) = ( 1 a ) x , ent˜ao f(−x) = g(x). 10 8 Func¸a˜o Logar´ıtmica Vimos na sec¸a˜o anterior que se a ∈ R e´ positivo e tal que a 6= 1, enta˜o a func¸a˜o exponencial de base a fa : R → R+ x 7→ fa(x) = ax . e´ bijetora e, portanto, invert´ıvel. • Seja a ∈ R positivo e tal que a 6= 1. A func¸a˜o logar´ıtmica de base a e´ definida como sendo a func¸a˜o inversa da exponencial de base a, ou seja, f−1a : R+ → R x 7→ f−1a (x) = loga(x) . • Como a func¸a˜o logar´ıtmica e´ a inversa da exponencial, e´ imediato que na˜o existe logaritmo de zero nem de nu´meros negativos! • Se a > 1, enta˜o a func¸a˜o logar´ıtmica de base a e´ crescente. • Se 0 < a < 1, enta˜o a func¸a˜o logar´ıtmica de base a e´ decrescente. • Propriedades (i) ax = y ⇔ loga(y) = x; (ii) loga(x · y) = loga(x) + loga(y); (iii) loga(x y) = y loga(x); (iv) loga(1) = 0 • Gra´fico: Figura 11: Gr´afico da Fun¸c˜ao Logar´ıtmica de base a > 1 11 Figura 12: Gr´afico da Fun¸c˜ao Logar´ıtmica de base 0 < a < 1 8.1 Exerc´ıcios 1 Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico das seguintes fun¸c˜oes logar´ıtmicas (a) f(x) = log 2 (x) (b) f(x) = log e (x) = ln(x) onde e ≈ 2, 718 ´e o n´umero de Euler. (c) f(x) = log 1 2 (x) (d) f(x) = log 1 e (x) (e) f(x) = ln(x+ 3) (f) f(x) = ln(1− x). 2 Seja a ∈ R positivo tal que a 6= 0. Prove que: (a) log a ( x y ) = log a (x)− log a (y) (b) Seja b ∈ R positivo tal que b > 0. Ent˜ao: log b (x) = log a (x) log a (b) (Mudan¸ca de Base) 12 9 Revisa˜o: Trigonometria • Medida de Aˆngulos em radianos: Um aˆngulo mede 1 radiano quando corresponde a um arco de circun- fereˆncia (entrada no ve´rtice do aˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunfereˆncia considerada. Assim, um aˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r, sendo r o raio da circunfereˆncia considerada. Sabendo que o comprimento de um c´ırculo de raio r e´ 2pir, e´ fa´cil ver que a medida em radianos do aˆngulo correspondente a` “uma volta”e´ 2pi: • Relac¸o˜es Trigonome´tricas nos Triaˆngulos Retaˆngulos Consideremos 0 < θ < pi 2 e um aˆngulo de θrad em um triaˆngulo retaˆngulo: sen(θ) = b a , cos(θ) = c a , tan(θ) = sen(θ) cos(θ) = b c , cos2(θ) + sen2(θ) = 1 13 • O C´ırculo Trigonome´trico • Relac¸o˜es Trigonome´tricas sen2(θ) + cos2(θ) = 1, 1 + tan2(θ) = sec2(θ), 1 + cot2(θ) = csc2(θ), 14 10 A´ngulos Nota´veis θ rad 0 ou 2pi pi 6 pi 4 pi 3 pi 2 pi 3pi 2 ou − pi 2 sen(θ) 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 0 −1cos(θ) 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 −1 0 tan(θ) 0 √ 3 3 1 √ 3 @ 0 @ sec(θ) 1 2 √ 3 3 √ 2 2 @ −1 @ csc(θ) @ 2 √ 2 2 √ 3 2 1 @ −1 11 Fo´rmulas de Transformac¸a˜o Listamos a seguir algumas fo´rmulas de transformac¸a˜o: • { sen(a+ b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b) 11.1 Exerc´ıcios Prove as seguintes fo´rmulas de transformac¸a˜o: (a) sen(a− b) = sen(a) cos(b)− sen(b) cos(a) (b) cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sen(a)sen(b) (c) sen2(θ) = 1− cos(2θ) 2 (d) cos2(θ) = 1 + cos(2θ) 2 (e) cos(a) · cos(b) = 1 2 · cos(a+ b) + 1 2 · cos(a− b) (f) sen(a) · sen(b) = 1 2 · cos(a− b)− 1 2 · cos(a+ b) (g) cos(a) · cos(b) = 1 2 · cos(a+ b) + 1 2 · cos(a− b) 15 12 Func¸o˜es Trigonome´tricas Func¸a˜o Seno sen : R→ R x 7→ sen(x) • Gra´fico: Figura 13: • Im(sen) = [−1, 1]. • A fun¸c˜ao sen ´e uma fun¸c˜ao impar pois sen(x) = −sen(−x). (Exerc´ıcio. Sugest˜ao: sen(−x) = sen(0− x)) • A fun¸c˜ao sen ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2pi pois sen(x + 2pi) = sen(x). • A fun¸c˜ao sen ´e crescente em [ 2kpi − pi 2 , 2kpi + pi 2 ] ∀k ∈ Z. • A fun¸c˜ao sen ´e decrescente em [ 2kpi + pi 2 , 2kpi + 3pi 2 ] ∀k ∈ Z. • A fun¸c˜ao sen assume valor m´aximo absoluto 1 em x = 2kpi + pi 2 , k ∈ Z. • A fun¸c˜ao sen assume valor m´ınimo absoluto −1 em x = 2kpi − pi 2 , k ∈ Z. 16 • Se sen(x) 6= 0, ou seja, x 6= pi + kpi temos csc(x) = 1 sen(x) . Obtemos, portanto, a func¸a˜o csc : R− {pi + kpi; k ∈ Z} → R que associa x 7→ csc(x) cujo gra´fico e´: Figura 14: • A fun¸c˜ao sen n˜ao ´e injetora nem sobrejetora. Se restringirmos o seu dom´ınio ao intervalo [ − pi 2 , pi 2 ] e o seu contradom´ınio ao intervalo [−1, 1] obtemos uma fun¸c˜ao: f : [− pi 2 , pi 2 ]→ [−1, 1] x 7→ f(x) = sen(x) que ´e bijetora. Sua inversa, portanto, ´e a fun¸c˜ao arcsen : [−1, 1]→ [ − pi 2 , pi 2 ] 17 12.1 Exerc´ıcios 1) Fac¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a func¸a˜o SENO, para as func¸o˜es COSSENO e TANGENTE. 2) Construa o gra´fico das func¸o˜es trigonome´tricas a seguir, verifique se sa˜o perio´dicas e , em caso afirmativo, determine o per´ıodo. (a) f(x) = sen(kx), k = 2, 3, 1 2 , 1 3 (b) f(x) = k cos(x), k = 2, 3, 1 2 , 1 3 ,−1 (c) f(x) = sen ( x− pi 2 ) (d) f(x) = 1 + sen(x) 18
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