Buscar

Aula 1 P2

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 3, do total de 18 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 6, do total de 18 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Você viu 9, do total de 18 páginas

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis

Prévia do material em texto

MAT 001 - Ca´lculo I
Aula III
IMC-Unifei
A seguir, vamos estudar com mais detalhes as chamadas func¸o˜es elementares.
1 Func¸a˜o Constante
• E´ toda func¸a˜o do tipo f(x) = k que associa a cada nu´mero real x o nu´mero
real k.
• Gra´fico: A representac¸a˜o gra´fica sera´ sempre uma reta paralela ao eixo
dos x passando pelo ponto (0, k).
Figura 1:
• O dom´ınio da fun¸c˜ao f(x) = k ´e D(f) = R
• O conjunto imagem ´e Im(f) = {k}
1
2 Func¸a˜o Identidade
• E´ a func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = x.
• Gra´fico: O gra´fico desta func¸a˜o e´ uma bissetriz do primeiro e do terceiro
quadrantes.
Figura 2:
• O dom´ınio da fun¸c˜ao f(x) = x ´e D(f) = R
• O conjunto imagem ´e Im(f) = R
3 Fun¸c˜ao do 1
o
Grau
•
´
E a fun¸c˜ao f : R→ R definida por f(x) = ax+ b, onde a, b ∈ R e a 6= 0.
• Os n´umeros a e b s˜ao os chamados coeficientes angulares e lineares respec-
tivamente.
• Se x, y ∈ R s˜ao n´umeros com x 6= y, ent˜ao
f(x)− f(y)
x− y
= a e f(0) = b.
• A raiz da fun¸c˜ao ´e x = −
b
a
2
• Gra´fico: O gra´fico desta func¸a˜o e´ uma reta com inclinac¸a˜o θ em relac¸a˜o
ao eixo x, onde a = tan(θ).
Figura 3: a > 0
Figura 4: a < 0
• O domı´nio da func¸a˜o f(x) = x e´ D(f) = R
• O conjunto imagem e´ Im(f) = R
3.1 Exerc´ıcios
1 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es do 1o grau abaixo e obtenha explici-
tamente os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y.
(a) y = kx onde k = 0, 1, 2, 12 , −1, −2.
(b) y = x+ b onde b = 0, 1, −1.
(c) y = 32x+ 2.
3
4 Func¸a˜o do 2o Grau
• E´ a func¸a˜o f : R→ R definida por f(x) = ax2 + bx+ c, onde a, b, c ∈ R e
a 6= 0.
• Seu domı´nio e´ D(f) = R.
• A raizes da func¸a˜o, se existirem, sera˜o dadas por
x1 =
−b+√∆
2a
e x2 =
−b−√∆
2a
, onde ∆ =
√
b2 − 4ac.
• O gra´fico de uma func¸a˜o do 2o grau e´ uma para´bola com eixo de simetria
paralelo ao eixo y.
• A intersec¸a˜o do eixo de simetria com a para´bola e´ um ponto chamado
ve´rtice cujas coordenadas sa˜o
xv = − b
2a
e yv = −∆
4a
.
• Se a > 0 a concavidade da para´bola e´ voltada para cima. Caso contra´rio,
ou seja, se a < 0 a para´bola tem concavidade voltada para baixo.
• No quadro abaixo caracterizamos as diversas possibilidades para o gra´fico:
Figura 5:
4
4.1 Exerc´ıcios
1 Fac¸a um esboc¸o do gra´fico das func¸o˜es do 2o grau abaixo e obtenha explicita-
mente os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y bem como as coordenadas
do ve´rtice.
(a) y = ax2, onde a = 1, 12 , −2.
(b) y = x2 + c, onde c = 0, 1, 12 , −3.
(c) y = y0 + (x− 1)2, onde y0 = 0, 1, −1.
(d) y = x2 − 2x+ 5.
2 Prove que se x1 e x2 sa˜o soluc¸o˜es da equac¸a˜o f(x) = 0, onde f(x) = ax
2+bx+c
com a 6= 0, enta˜o:
(a) x1 + x2 = − b
a
.
(b) x1 · x2 = c
a
(c) f(x) = a(x− x1)(x− x2).
(d) xv =
x1+x2
2 , ou seja, o eixo de simetria passa pelo ponto me´dio entre das
ra´ızes.
(e) f(xv) = yv
Sugesta˜o : Utilize as fo´rmulas para as ra´ızes.
5
5 Func¸o˜es Polinomiais
• E´ a func¸a˜o f : R→ R definida por
f(x) = anx
n + an−1xn−1 + . . .+ a1x1 + a0
onde n ∈ N, a0, a1, . . . , an ∈ R e an 6= 0.
• O nu´mero n e´ chamado de grau do polinoˆmio e o nu´mero real an e´ chamado
de coeficiente l´ıder.
• A func¸a˜o constante e´ uma func¸a˜o polinomial de grau zero.
• A func¸a˜o do 1o grau e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 1.
• A func¸a˜o do 2o grau e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 2.
Exemplo 1. A func¸a˜o f(x) = x5 − 6x+ 7 e´ uma func¸a˜o polinomial de grau 5.
Seu gra´fico e´ :
Figura 6:
6
6 Func¸o˜es Racionais
• E´ a func¸a˜o definida como o quociente de duas func¸o˜es polinomiais, isto e´,
f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q sa˜o polinoˆmios.
• Seu domı´nio e´ D(f) = {x ∈ R; q(x) 6= 0}.
Exemplo 2. (A) A func¸a˜o f(x) =
x− 1
x+ 1
e´ uma func¸a˜o racional de domı´nio
D(f) = R− {−1}. Seu gra´fico e´ :
Figura 7:
7
(B) A func¸a˜o f(x) =
(x2 + 3x− 4)(x2 − 9)
(x2 + x− 12)(x+ 3) e´ racional de domı´nio
D(f) = R− {−4, −3, 3}. Seu gra´fico e´ :
Figura 8:
8
7 Func¸a˜o Exponencial
• Seja a ∈ R positivo tal que a 6= 1. A func¸a˜o exponencial na base a e´
definida como
f : R → R
x 7→ f(x) = ax
.
• Se a > 1, enta˜o a func¸a˜o exponencial de base a e´ crescente.
• Se 0 < a < 1, enta˜o a func¸a˜o exponencial de base a e´ decrescente.
• Propriedades :
(i) ax · ay = ax+y;
(ii) (ax)
y
= axy;
(iii) (a · b)y = ay · by;
(iv) a0 = 1.
• Gra´fico:
Figura 9: Gr´afico da Exponencial de base a > 1
9
Figura 10: Gr´afico da Exponencial de base 0 < a < 1
• Atrav´es do gr´afico vemos que a fun¸c˜ao exponencial ´e injetora. Restrin-
gindo o contradom´ınio para os reais positivos R
+
obtemos uma fun¸c˜ao
BIJETORA e, portanto, invert´ıvel .
7.1 Exerc´ıcios
1 Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico das seguintes fun¸c˜oes exponenciais
(a) f(x) = 2
x
(b) f(x) = e
x
onde e ≈ 2, 718 ´e o n´umero de Euler.
(c) f(x) =
(
1
2
)
x
(d) f(x) =
(
1
e
)
x
(e) f(x) = e
x+3
(f) f(x) = e
1−x
2 Prove que
(a) Se a > 1, ent˜ao
(
1
a
)
x
= a
−x
.
(b) Se a > 1, f(x) = a
x
e g(x) =
(
1
a
)
x
, ent˜ao f(−x) = g(x).
10
8 Func¸a˜o Logar´ıtmica
Vimos na sec¸a˜o anterior que se a ∈ R e´ positivo e tal que a 6= 1, enta˜o a func¸a˜o
exponencial de base a
fa : R → R+
x 7→ fa(x) = ax
. e´ bijetora e, portanto, invert´ıvel.
• Seja a ∈ R positivo e tal que a 6= 1. A func¸a˜o logar´ıtmica de base a e´
definida como sendo a func¸a˜o inversa da exponencial de base a, ou seja,
f−1a : R+ → R
x 7→ f−1a (x) = loga(x)
.
• Como a func¸a˜o logar´ıtmica e´ a inversa da exponencial, e´ imediato que na˜o
existe logaritmo de zero nem de nu´meros negativos!
• Se a > 1, enta˜o a func¸a˜o logar´ıtmica de base a e´ crescente.
• Se 0 < a < 1, enta˜o a func¸a˜o logar´ıtmica de base a e´ decrescente.
• Propriedades
(i) ax = y ⇔ loga(y) = x;
(ii) loga(x · y) = loga(x) + loga(y);
(iii) loga(x
y) = y loga(x);
(iv) loga(1) = 0
• Gra´fico:
Figura 11: Gr´afico da Fun¸c˜ao Logar´ıtmica de base a > 1
11
Figura 12: Gr´afico da Fun¸c˜ao Logar´ıtmica de base 0 < a < 1
8.1 Exerc´ıcios
1 Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico das seguintes fun¸c˜oes logar´ıtmicas
(a) f(x) = log
2
(x)
(b) f(x) = log
e
(x) = ln(x) onde e ≈ 2, 718 ´e o n´umero de Euler.
(c) f(x) = log 1
2
(x)
(d) f(x) = log 1
e
(x)
(e) f(x) = ln(x+ 3)
(f) f(x) = ln(1− x).
2 Seja a ∈ R positivo tal que a 6= 0. Prove que:
(a) log
a
(
x
y
)
= log
a
(x)− log
a
(y)
(b) Seja b ∈ R positivo tal que b > 0.
Ent˜ao: log
b
(x) =
log
a
(x)
log
a
(b)
(Mudan¸ca de Base)
12
9 Revisa˜o: Trigonometria
• Medida de Aˆngulos em radianos:
Um aˆngulo mede 1 radiano quando corresponde a um arco de circun-
fereˆncia (entrada no ve´rtice do aˆngulo) de comprimento igual ao raio da
circunfereˆncia considerada.
Assim, um aˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento
θ · r, sendo r o raio da circunfereˆncia considerada.
Sabendo que o comprimento de um c´ırculo de raio r e´ 2pir, e´ fa´cil ver que
a medida em radianos do aˆngulo correspondente a` “uma volta”e´ 2pi:
• Relac¸o˜es Trigonome´tricas nos Triaˆngulos Retaˆngulos
Consideremos 0 < θ <
pi
2
e um aˆngulo de θrad em um triaˆngulo retaˆngulo:
sen(θ) =
b
a
, cos(θ) =
c
a
, tan(θ) =
sen(θ)
cos(θ)
=
b
c
, cos2(θ) + sen2(θ) = 1
13
• O C´ırculo Trigonome´trico
• Relac¸o˜es Trigonome´tricas
sen2(θ) + cos2(θ) = 1, 1 + tan2(θ) = sec2(θ), 1 + cot2(θ) = csc2(θ),
14
10 A´ngulos Nota´veis
θ rad 0 ou 2pi
pi
6
pi
4
pi
3
pi
2
pi
3pi
2
ou − pi
2
sen(θ) 0
1
2
√
2
2
√
3
2
1 0 −1cos(θ) 1
√
3
2
√
2
2
1
2
0 −1 0
tan(θ) 0
√
3
3
1
√
3 @ 0 @
sec(θ) 1
2
√
3
3
√
2 2 @ −1 @
csc(θ) @ 2
√
2
2
√
3
2
1 @ −1
11 Fo´rmulas de Transformac¸a˜o
Listamos a seguir algumas fo´rmulas de transformac¸a˜o:
• {
sen(a+ b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sen(a)sen(b)
11.1 Exerc´ıcios
Prove as seguintes fo´rmulas de transformac¸a˜o:
(a) sen(a− b) = sen(a) cos(b)− sen(b) cos(a)
(b) cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sen(a)sen(b)
(c) sen2(θ) =
1− cos(2θ)
2
(d) cos2(θ) =
1 + cos(2θ)
2
(e) cos(a) · cos(b) = 1
2
· cos(a+ b) + 1
2
· cos(a− b)
(f) sen(a) · sen(b) = 1
2
· cos(a− b)− 1
2
· cos(a+ b)
(g) cos(a) · cos(b) = 1
2
· cos(a+ b) + 1
2
· cos(a− b)
15
12 Func¸o˜es Trigonome´tricas
Func¸a˜o Seno
sen : R→ R
x 7→ sen(x)
• Gra´fico:
Figura 13:
• Im(sen) = [−1, 1].
• A fun¸c˜ao sen ´e uma fun¸c˜ao impar pois sen(x) = −sen(−x). (Exerc´ıcio.
Sugest˜ao: sen(−x) = sen(0− x))
• A fun¸c˜ao sen ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2pi pois sen(x + 2pi) =
sen(x).
• A fun¸c˜ao sen ´e crescente em
[
2kpi −
pi
2
, 2kpi +
pi
2
]
∀k ∈ Z.
• A fun¸c˜ao sen ´e decrescente em
[
2kpi +
pi
2
, 2kpi +
3pi
2
]
∀k ∈ Z.
• A fun¸c˜ao sen assume valor m´aximo absoluto 1 em x = 2kpi +
pi
2
, k ∈ Z.
• A fun¸c˜ao sen assume valor m´ınimo absoluto −1 em x = 2kpi −
pi
2
, k ∈ Z.
16
• Se sen(x) 6= 0, ou seja, x 6= pi + kpi temos csc(x) = 1
sen(x)
. Obtemos,
portanto, a func¸a˜o csc : R− {pi + kpi; k ∈ Z} → R que associa x 7→ csc(x)
cujo gra´fico e´:
Figura 14:
• A fun¸c˜ao sen n˜ao ´e injetora nem sobrejetora.
Se restringirmos o seu dom´ınio ao intervalo
[
−
pi
2
,
pi
2
]
e o seu contradom´ınio
ao intervalo [−1, 1] obtemos uma fun¸c˜ao:
f : [−
pi
2
,
pi
2
]→ [−1, 1]
x 7→ f(x) = sen(x)
que ´e bijetora. Sua inversa, portanto, ´e a fun¸c˜ao
arcsen : [−1, 1]→
[
−
pi
2
,
pi
2
]
17
12.1 Exerc´ıcios
1) Fac¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a func¸a˜o SENO, para as
func¸o˜es COSSENO e TANGENTE.
2) Construa o gra´fico das func¸o˜es trigonome´tricas a seguir, verifique se sa˜o
perio´dicas e , em caso afirmativo, determine o per´ıodo.
(a) f(x) = sen(kx), k = 2, 3,
1
2
,
1
3
(b) f(x) = k cos(x), k = 2, 3,
1
2
,
1
3
,−1
(c) f(x) = sen
(
x− pi
2
)
(d) f(x) = 1 + sen(x)
18

Outros materiais