Aula 2 P1

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula IV
IMC-Unifei
Nesta aula vamos estudar o conceito de limite. Podemos dizer, sem sombra
de du´vidas, que a noc¸a˜o de limite e´ responsa´vel por boa parte do desenvolvi-
mento tecnolo´gico atual uma vez que este e´ o conceito chave por traz da definic¸a˜o
de Derivada e de Integral, que por sua vez, sa˜o utilizados para modelar situac¸o˜es
reais atuais.
1 Motivac¸a˜o
Observe as tabelas a seguir:
x 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
sen
(
1
x
)
−0, 54402 −0, 50636 0, 82688 −0, 30561
x · sen
(
1
x
)
−0, 05440 −0, 00506 0, 00082 −0, 00003
δ = |x− 0| 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
x −0, 1 −0, 01 −0, 001 −0, 0001
sen
(
1
x
)
0, 54402 0, 50636 −0, 82688 0, 30561
x · sen
(
1
x
)
−0, 05440 −0, 00506 0, 00082 −0, 00003
δ = |x− 0| 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
1
(A) Considere as func¸o˜es
f(x) = sen
(
1
x
)
, ∀x 6= 0; e g(x) = x · sen
(
1
x
)
, ∀x 6= 0
Temos que:
• A func¸a˜o f na˜o esta´ definida para x = 0 e a medida que x se aproxima
de 0, o valor de g(x) fica oscilando no intervalo [−1, 1] e, portanto, na˜o
se aproxima de nenhum valor!
• A func¸a˜o g na˜o esta´ definida para x = 0 mas, a medida que x se
aproxima de 0, o valor de f(x) se aproxima de 0!
Conclusa˜o: O fato de uma func¸a˜o na˜o estar definida em um ponto a
na˜o significa que seus valores numa vizinhanc¸a deste ponto na˜o possam se
aproximar de um nu´mero real bem definido.
(B) Considere as func¸o˜es
f(x) =
 x · sen
(
1
x
)
se x 6= 0
0 se x = 0
g(x) =
 sen
(
1
x
)
se x 6= 0
pi se x = 0
h(x) =
 x · sen
(
1
x
)
se x 6= 0
1 se x = 0
Temos que:
• A func¸a˜o f esta´ definida para x = 0 e, a medida que x se aproxima
de 0, o valor de f(x) se aproxima de 0 = f(0)!
• A func¸a˜o g esta´ definida para x = 0 mas , a medida que x se aproxima
de 0, o valor de g(x) fica oscilando no intervalo [−1, 1] e, portanto,
na˜o se aproxima de nenhum valor!
• A func¸a˜o h esta´ definida para x = 0 mas, a medida que x se aproxima
de 0, o valor de h(x) se aproxima de 0 6= h(0) = 1!
Concluso˜es:
• O fato de uma func¸a˜o estar definida em um ponto a na˜o significa
que seus valores numa vizinhanc¸a deste ponto se aproximem de um
nu´mero real bem definido.
2
• Se, a medida que os valores de x se aproximem de um ponto a, o
valor de f(x) ficar cada vez mais pro´ximo de um nu´mero real L, na˜o
e´ necessa´rio que L = f(a).
2 Ponto de Acumulac¸a˜o
Dada uma func¸a˜o f : X → R, nos interessa o comportamento de f(x) quando
x se aproxima de a por valores x 6= a. Para isto, f na˜o precisa estar definida no
ponto a mas sim, numa vizinhanc¸a de a, isto e´, pontos x ∈ R que fiquem ta˜o
pro´ximos de a quanto quisermos. Temos, assim, a seguinte definic¸a˜o:
Definic¸a˜o 1 (Ponto de Acumulac¸a˜o). Um ponto a e´ chamado um ponto de
acumulac¸a˜o do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes
de a, ta˜o pro´ximos quanto quisermos de a, ou seja, a e´ ponto de acumulac¸a˜o de
X se puder ser aproximado por pontos de x ∈ X com x 6= a.
Dado um conjunto X, denotaremos por X ′ o conjunto de todos os pontos de
acumulac¸a˜o de X.
Exemplo 1.
(A) A = [2, 3)
(B) B = [1, 2]
(C) C = (0, 1) ∪ (1, 2)
3
(D) D = (1, 2) ∪ (3, 5] ∪ {6}
Observac¸a˜o 1. Conforme vimos nos exemplos acima, dado um conjunto na˜o
vazio X ⊂ R temos:
• Existem pontos de acumulac¸a˜o de X que na˜o sa˜o elementos de X.
• Existem pontos de X que na˜o sa˜o pontos de acumulac¸a˜o de X.
• Se I for um intervalo, enta˜o I ⊂ I ′, ou seja, todo ponto de um intervalo
e´ um ponto de acumulac¸a˜o.
3 Limite
Exemplo 2. Considere f : R− {1} → R dada por
f(x) =
3x2 − 2x− 1
x− 1 .
Note que 1 na˜o pertence ao domı´nio de f mas e´ um ponto de acumulac¸a˜o
de R− {1}. Podemos, enta˜o, observar o comportamento de f(x) a medida que
x→ 1:
x 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001
f(x) 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003
|x− 1| 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
|f(x)− 4| 0, 3 0, 03 0, 003 0, 0003
x 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999
f(x) 3, 7 3, 97 4, 997 3, 9997
|x− 1| 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001
|f(x)− 4| 0, 3 0, 03 0, 003 0, 0003
Observe que f(x) se aproxima cada vez mais de 4, a medida que x→ 1.
4
Dizemos enta˜o que 4 e´ o limite de f(x) quando x tende a 4 denotamos por
lim
x→1
f(x) = lim
x→1
3x2 − 2x− 1
x− 1 = 4
Definic¸a˜o 2. Sejam f : X → R e a ∈ X ′.
Dizemos que um nu´mero real L e´ o LIMITE de f(x) quando x tende para
a, e denotamos por
lim
x→a f(x) = L
quando . . .
· · · podemos obter f(x) ta˜o pro´ximo de L quanto quisermos, bastando para
isto, tomar valores de x suficientemente pro´ximos de a.
m
· · · dado � > 0, for poss´ıvel obter δ > 0 de maneira que
x ∈ X
0 < |x− a| < δ
}
⇒ |f(x)− L| < �.
5
4 Alguns Limites Fundamentais
1) Fixemos c ∈ R e seja f1 : R→ R dada por f1(x) = c ; ∀x ∈ R.
Para cada a ∈ R temos que
lim
x→a f1(x) = limx→a c = c
2) Seja f2 : R→ R dada por f2(x) = x; ∀x ∈ R (Func¸a˜o Identidade).
Para cada a ∈ R temos que
lim
x→a f2(x) = limx→ax = a
3) Seja f3 : R→ R dada por f3(x) = sen(x); ∀x ∈ R.
Temos que
lim
x→0
f3(x) = lim
x→0
sen(x) = 0
6
4) Seja f4 : R→ R dada por f4(x) = cos(x); ∀x ∈ R .
Temos que
lim
x→0
f4(x) = lim
x→0
cos(x) = 1
5) Seja f5 : R→ R dada por f5(x) = ex; ∀x ∈ R .
Temos que
lim
x→0
f5(x) = lim
x→0
ex = 1
6) 1o Limite Trigonome´trico Fundamental
Seja f6 : R− {0} → R dada por f6(x) = sen(x)
x
; ∀x 6= 0 .
Temos que
lim
x→0
f6(x) = lim
x→0
sen(x)
x
= 1
7) 2o Limite Trigonome´trico Fundamental
Seja f7 : R− {0} → R dada por f7(x) = cos(x)− 1
x
; ∀x 6= 0 .
Temos que
lim
x→0
f7(x) = lim
x→0
cos(x)− 1
x
= 0
8) Limite Exponencial Fundamental
Seja f8 : R− {0} → R dada por f8(x) = e
x − 1
x
; ∀x 6= 0 .
Temos que
lim
x→0
f8(x) = lim
x→0
ex − 1
x
= 1
7
5 Alguns Teoremas para (Ajudar No) Ca´lculo
de Limites
Veremos agora alguns teoremas que sa˜o bastante u´teis no ca´lculo de limites.
Teorema 1 (Unicidade do Limite). Sejam f : X → R e a ∈ X ′. O limite
lim
x→a f(x), quando existe, e´ u´nico.
Teorema 2. Sejam f : X → R e a ∈ X ′. Temos:
lim
x→a f(x) = L⇔ limx→a (f(x)− L) = 0⇔ limx→a |f(x)− L| = 0
Exemplo 3.
(A) lim
x→0
|x|
(B) lim
x→0
(cos(x)− 1)
(C) lim
x→0
(ex − 1)
Teorema 3 (Propriedades Alge´bricas dos Limites). Sejam f, g : X → R, a ∈ X ′
e suponha que lim
x→a f(x) = L e limx→a g(x) = M .
Enta˜o:
(i) lim
x→a [f(x)± g(x)] = L±M
(ii) lim
x→a [f(x) · g(x)] = L ·M
(iii) Se M 6= 0, enta˜o lim
x→a
[
f(x)
g(x)
]
=
L
M
(iv) lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a f(x) =
n
√
L
{
se n ı´mpar
se n par e L > 0
8
Exemplo 4.
(A) lim
x→2
x+ 3
(B) lim
x→1
x(x+ 2)
(C) lim
x→0
sen(x) · cos(x)
(D) lim
x→0
tan(x)
(E) lim
x→0
√
x+ 4
(F) lim
x→1
x2 − 1
x
(G) lim
x→2
x2 − 4
x− 2
9
(H) lim
x→−1
2x2 + 8x+ 6
x+ 1
(I) lim
x→0
√
x+ 1− 1
x
(J) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
10
(K) lim
x→0
cos(x)− 1
x
(L) lim
x→0
sen(2x)
x
(M) lim
x→0
cos(x)− 1
ex − 1
11
Teorema 4 (Mudanc¸a de Varia´vel). Se lim
u→b
f(u) = L e lim
x→au(x) = b, ou seja,
x→ a ⇒ u→ b, e x 6= a⇒ u 6= b, enta˜o
lim
x→a f (u(x)) = L
.
Exemplo 5.
(A) lim
x→0
sen(4x)
4x
(B) lim
x→0
sen(4x)
x
(C) lim
x→0
e3x − 1
x
12
(D) lim
x→1
x− 1√
x− 1
(E) lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
(F) lim
x→a sen(x)
(G) lim
x→a cos(x)
13
(H) Se a ∈ (0,+∞)− {1}, enta˜o
• lim
x→0
ax
• lim
x→b
ax
• lim
x→0
ax − 1
x
(I) lim
x→0
cos(2x)− 1
ex − 1
14
(J) lim
x→0
sen(2x)
sen(3x)
(K) lim
x→pi2
cos(x)
x− pi2
(L) lim
x→0
cos(x)
15
Teorema 5 (Teoremado Sandu´ıche (ou Confronto)). Sejam f, g e h func¸o˜es
tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x 6= a num intervalo aberto contendo a.
Se lim
x→a f(x) = L = limx→ah(x), enta˜o limx→a g(x) = L.
Exemplo 6.
(A) lim
x→0
sen(x)
(B) lim
x→0
sen(x)
x
(C) lim
x→0
x · sen
(
1
x
)
Podemos generalizar o u´ltimo exemplo da seguinte forma:
Teorema 6 (Atratividade do Zero). Se lim
x→a f(x) = 0 e g e´ uma func¸a˜o limitada
em um intervalo aberto contendo o ponto a (sem precisar estar definida no ponto
a!), enta˜o lim
x→a f(x) · g(x) = 0
16
O teorema a seguir e´ utilizado para verificar que determinado limite na˜o
existe.
Teorema 7. Sejam f, g : X → R e a ∈ X ′. Se lim
x→a f(x) = L 6= 0 e limx→a g(x) = 0
enta˜o NA˜O EXISTE o lim
x→a
f(x)
g(x)
Exemplo 7.
(A) lim
x→0
1
x
(B) lim
x→0
cos(x)
x
(C) lim
x→−2
x2 + 2
x+ 2
(D) lim
x→pi2
tan(x)
17
6 Outros Teoremas
Os teoremas a seguir nos permitem obter informac¸o˜es a respeito da func¸a˜o
atrave´s do limite.
Teorema 8. Sejam f : X → R e a ∈ X ′. Se lim
x→a f(x) = L enta˜o a func¸a˜o f e´
limitada em algum intervalo aberto contendo o ponto a.
Teorema 9. Sejam f : X → R, a ∈ X ′ e suponha que lim
x→a f(x) = L .
(i) Se L > M , enta˜o f(x) > M para todo x 6= a do domı´nio em um intervalo
aberto contendo o ponto a.
(ii) Se L < M , enta˜o f(x) < M para todo x 6= a do domı´nio em um intervalo
aberto contendo o ponto a.
7 Limites Laterais
Sejam f : X → R e a ∈ X ′. Se a pode ser aproximado por pontos de X maiores
do que a, podemos investigar o LIMITE LATERAL A` DIREITA
lim
x→a+
f(x).
Ana´logamente, se a pode ser aproximado por pontos de X menores do que a,
podemos investigar o LIMITE LATERAL A` ESQUERDA
lim
x→a−
f(x).
Teorema 10. Sejam f : X → R e a ∈ X ′. Temos que limx→a f(x) existe se, e
somente se, os limites laterais existem e sa˜o iguais.
Podemos destacar dois motivos para estudar os limites laterais:
1. Existem func¸o˜es cujo domı´nio conte´m pontos de acumulac¸a˜o que so´ podem
ser aproximados por um dos lados.
18
Exemplo 8. f : [0,+∞)→ R dada por f(x) = √x.
2. Existem func¸o˜es cuja fo´rmula de definic¸a˜o e´ dada em determinados sub-
conjuntos da reta.
Exemplo 9. (A) f : R→ R dada por f(x) =
{
x+ 1 se x > 0
x− 1 se x ≤ 0
(B) f : R→ R dada por f(x) =

sen(x)
x se x > 0
1 se x = 0
ex−1
x se x ≤ 0
Observac¸a˜o 2. TODOS OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBE´M
PARA LIMITES LATERAIS, COM AS DEVIDAS ADAPTAC¸O˜ES!
19
8 Exerc´ıcios
A) Calcule os limtes abaixo justificando:
1) lim
x→3
x2 − 9
x− 3
2) lim
x→ 12
3 + 2x
x− 5
3) lim
x→0
√
x+ 2−√2
x
4) lim
x→2
x− 2
x4 − 16
5) lim
x→−3
x+ 3
1
x +
1
3
6) lim
x→0
|x|√
x4 + 7
7) lim
x→−3
x2 + 5x+ 6
x2 − x− 12
8) lim
u→−1
1√
5− u
9) lim
x→0
x3 · sen
(
1
3
√
x
)
10) lim
h→0
4−√16 + h
h
11) lim
x→3
3
√
2 + 5x− 3x3
x2 − 1
12) lim
y→−2
y3 + 8
y + 2
13) lim
t→0
1− cos(t)
sen(t)
14) lim
x→2
x2 − x− 2
(x− 2)2
15) lim
x→4
3x2 − 17x+ 20
4x2 − 25x+ 36
16) lim
w→0
sen(3w)
sen(5w)
17) lim
h→0
3
√
h+ 1− 1
h
18) lim
x→0
1 + tan(x)
sen(x)
19) lim
t→0
sen2(2t)
t2
20) lim
x→pi
sen(x)
x− pi
21) lim
x→0
x
cos(x)
22) lim
x→0
1− cos(x)
x2
23) lim
x→0
32x − 1
x
24) lim
x→0
3x2
1− cos (x2 )
25) lim
x→ 1√
2
x5 −
(
1√
2
)
x−
(
1√
2
)
26)
lim
x→−2
(x− 1)(x+ 2)
x2 + 4x+ 4
27) lim
x→3
√
x2 − 9
x− 3
28) lim
y→0
e7y − 1
sen(y)
29)
lim
x→0
(1− sec(x)) · cot(x) · cos(x)
x
30) lim
x→3
x2 − 6x+ 9
(x+ 1)(x− 3)
31) lim
x→√3
pi
√
3− pix
x3 − 3√3
32) lim
x→pi2
x− pi2
cos(x)
33) lim
x→0
sen3(x)
5x(1− cos(x))
34) lim
y→0
3
√
1− e2y
y
35) lim
x→√2
3x− 3√2
x6 − 8
20
36) lim
y→0
√
sen(piy)
y
37) lim
x→1
x2 − 1
(1− x)3
38) lim
x→−pi
1 + cos(x)
x+ pi
39) lim
x→0
ex + sen2(x)− 1
x
40) lim
x→3
3
√
x− 3
27− x3
41) lim
x→−1
x3 + 2x2 + x
x+ 1
42) lim
x→0
esen(x) − 1
2x
43) lim
y→0
sen(7y) + cos(piy)− 1)
y
44) lim
x→0
1− cos(x)√
5 · x · sen(x)
45) lim
x→√3
x3 − 3√3
4x− 4√3
46) lim
y→0
e2y − 1
sen(3y)
47) lim
x→−1
x3 + x2 − x− 1
x3 − x
48) lim
x→pi2
1− sen(x)
x− pi2
B) Sejam f, g : R→ R dadas por f(x) =
{
x3 + 3 se x ≤ 1
x+ 1 se x > 1
e
g(x) =
{
x2 se x ≤ 1
2 se x > 1
.
Fac¸a um estudo sobre os limites:
1) lim
x→1
f(x)
2) lim
x→1
g(x)
3) lim
x→1
f(x)g(x)
21
9 Respostas
A)
1) 6
2) 8/9
3)
√
2/4
4) 1/32
5) −9
6) 0
7) 1/7
8) 1/2
9) 0
10) −1/8
11) −2
12) 12
13) 0
14) @
15) 1
16) 3/5
17) 1/3
18) @
19) 4
20) −1
21) 0
22) 1/2
23) 2 ln(3)
24) x
25) 5/4
26) @
27)
√
6
28) 7
29) −1/2
30) 0
31) −pi/9
32) −1
33) 2/5
34) − 3√2
35)
√
2/16
36)
√
pi
37) @
38) 0
39) 1
40) −1/3
41) 0
42) 1/2
43) 7
44)
1
2
√
5
45) 9/4
46) 2/3
47) 0
48) 0
B) 1) lim
x→1−
f(x) = 4, lim
x→1+
f(x) = 2 ⇒ @ lim
x→1
f(x)
2) lim
x→1−
g(x) = 1, lim
x→1+
g(x) = 2 ⇒ @ lim
x→1
g(x)
3) lim
x→1−
f(x)g(x) = 4, lim
x→1+
f(x)g(x) = 4 ⇒ lim
x→1
f(x)g(x) = 4
22