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MAT 001 - Ca´lculo I Aula VI IMC-Unifei Nesta aula vamos dar in´ıcio ao estudo da Derivada. A ideia, em resumo, e´ aproximar o gra´fico de uma func¸a˜o em um ponto atrave´s da reta tangente. 1 Motivac¸a˜o Considere f : R→ R dada por f(x) = x3 − 5x+ 3. Para cada x ∈ R, a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanc¸a de x por uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma reta e´ atrave´s da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto (x, f(x)). -4 -2 2 4 -15 -10 -5 5 10 15 20 Figura 1: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 1 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 2 3 4 5 6 7 8 Figura 2: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 e da reta tangente y = 7x+ 19 2 -2.4 -2.2 -2.0 -1.8 -1.6 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 Figura 3: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 e da reta tangente y = 7x+ 19 Observac¸a˜o 1. Relembremos que uma reta fica totalmente caracterizada pelo seu coeficiente angular e pelo seu coeficiente linear. No caso da reta tangente, o u´nico coeficiente que vai nos servir e´ o coeficiente angular, ou seja, o grau de inclinac¸a˜o entre a reta e o eixo das abscissas. Consequeˆncia: Podemos relacionar uma se´rie de informac¸o˜es sobre o com- portamento de f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gra´fico de f em cada ponto. 3 Exemplo 1. (A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo. Figura 4: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 4 (B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo. Figura 5: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 5 (C) f assumindo ma´ximo ou mı´nimo local no interior de um intervalo ⇒ mt = 0 no ponto de ma´ximo ou mı´nimo. Figura 6: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 6 (D) Concavidade do gra´fico de f voltada para cima em um intervalo ⇒ mt crescente neste intervalo. Figura 7: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 7 (E) Concavidade do gra´fico de f voltada para baixo em um intervalo ⇒ mt decrescente neste intervalo. Figura 8: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 8 1.1 Obtendo mt (coeficiente angular da reta tangente ) Dada f : X → Y (X,Y ⊂ R), seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X . Queremos obter o coeficiente angular mta da reta ta, tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)). Para fazermos isto, vamos utilizar “APROXIMAC¸O˜ES POR RETAS SECANTES”: Para cada x 6= a em I, temos uma reta secante sa(x) (que depende do ponto x), secante ao gra´fico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)): Temos enta˜o uma func¸a˜o msa : I − {a} → R que associa a cada x ∈ I − {a} o coeficiente angular msa(x) da reta secante que passa pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)), ou seja, msa(x) = f(x)− f(a) x− a . Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) quando x se aproxima de a, por valores distintos de a. O esperado e´ que, quando x → a, msa(x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum nu´mero real mta , isto e´, lim x→amsa(x) = limx→a f(x)− f(a) x− a = mta 9 Figura 9: Aproximac¸a˜o por Retas Secantes Neste caso, dizemos que a func¸a˜o f e´ deriva´vel no ponto a, existe a reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e´ chamado de derivada de f no ponto a. Observac¸a˜o 2. • A noc¸a˜o de derivada “formaliza ”o ideia intuitiva que temos de reta tangente. Na noc¸a˜o intuitiva, a reta tangente ao gra´fico e´ aquela que “mais se assemelha”ao gra´fico numa vizinhanc¸a. • Na definic¸a˜o formal temos que a reta tangente e´ obtida atrave´s do limite de retas secantes que pode ou na˜o existir. 10 Exemplo 2. Considere f : R→ R dada por f(x) = |x|. -2 -1 1 2 0.5 1.0 1.5 2.0 Figura 10: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = |x| 11 2 A definic¸a˜o da Derivada Definic¸a˜o 1. Consideremos uma func¸a˜o f : X → R, com X ⊂ X ′. Dizemos que f e´ deriva´vel em a ∈ X quando existe o limite f ′(a) = lim x→a f(x)− f(a) x− a . O nu´mero f ′(a) ∈ R e´ chamado de DERIVADA DE f NO PONTO a. Observac¸a˜o 3. (i) O conceito de derivada e´ local, isto e´, para verificar se f e´ deriva´vel em um ponto a de seu domı´nio, nos interessa apenas o comportamento de f em uma vizinhanc¸a de a. (ii) Seja A ⊂ X. Dizemos que f e´ deriva´vel em A se for deriva´vel em todos os pontos de A. Em particular, quando f for deriva´vel em todos os pontos de X diremos apenas que f e´ deriva´vel. (iii) Em nossas aplicac¸o˜es, o domı´nio X sera´ sempre um INTERVALO. (iv) Outras notac¸o˜es para f ′(a) : f ′(a) = Dxf(a) = df dx (a) = df dx ∣∣∣∣ x=a ou ainda f ′(a) = y′(a) = dy dx (a) se y = f(x) (v) Podemos considerar a func¸a˜o f ′ : x 7→ f ′(x) definida em todos os pontos x ∈ X onde existir f ′(x). Neste caso, a func¸a˜o f ′ e´ chamada de FUNC¸A˜O DERIVADA DE f . (vi) Fazendo a mudanc¸a de varia´vel h = x−a na definic¸a˜o de derivada obtemos o seguinte limite: f ′(a) = lim h→0 f(a+ h)− f(a) h . 12 3 Primeiros Exemplos Exemplo 3. (A) Fixemos c ∈ R e seja f : R → R dada por f(x) = c, ∀x ∈ R. (Func¸a˜o Constante) (B) Seja f : R→ R dada por f(x) = x. (C) Seja f : R→ R dada por f(x) = xn, onde n ∈ N. 13 (D) Seja f : R→ R dada por f(x) = sen(x). (E) Seja f : R→ R dada por f(x) = cos(x). (F) Seja f : R→ R dada por f(x) = ax, onde 0 < a 6= 1. 14 4 Derivada e Continuidade Teorema 1. Seja f : X → R . Se f e´ deriva´vel em a ∈ X enta˜o f e´ cont´ınua em a. Demonstrac¸a˜o. Observac¸a˜o 4. (i) Se uma determinada func¸a˜o e´ descont´ınua em algum ponto de seu domı´nio, enta˜o ela na˜o e´ deriva´vel neste ponto. (ii) CUIDADO! Na˜o podemos garantir a rec´ıproca do teorema anterior, ou seja, podemos ter uma func¸a˜o que e´ cont´ınua em um ponto a de seu domı´nio mas que na˜o e´ deriva´vel neste ponto. Exemplo 4. Considere f : R→ R dada por f(x) = |x| 15 5 Regras de Derivac¸a˜o Teorema 2. Se f, g : X → R sa˜o deriva´veis em a ∈ X, enta˜o: (a) Para cada constante c ∈ R, (cf) : X → R e´ deriva´vel em a e (cf)′(a) = c · f ′(a); (b) (f ± g) sa˜o deriva´veis em a e (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a); (c) (f · g) e´ deriva´vel em a e (f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a); (d) Se g(a) 6= 0 , enta˜o ( f g ) e´ deriva´vel em a e ( f g )′ (a) = f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a) [g(a)] 2 . Exemplo 5. Para cada func¸a˜o f abaixo, obtenha a func¸a˜o derivada f ′ (Indi- cando o domı´nio da derivada!) (A) f : R→ R dada por f(x) = 6x3. (B) f : R→ R dada por f(x) = 6x3 − 3x2 − x+ 7 (C) f : R→ R dada por f(x) = (2x+ 1) cos(x) 16 (D) f : R→ R dada por f(x) = sen(2x) (E) f : R→ R dada por f(x) = 3x− 2 x2 + 1 (F) f : R− {0} → R dada por f(x) = 1 xn (G) f : R− Z → R dada por f(x) = tan(x), onde Z = {x ∈ R; cos(x) = 0} 17 (H) f : R− Z → R dada por f(x) = sec(x), onde Z = {x ∈ R; cos(x) = 0} (I) f : R→ R dada por f(x) = a−x 6 Interpretac¸a˜o Geome´trica Ja´ vimos, como motivac¸a˜o que se f : X → R e´ deriva´vel em a ∈ X, enta˜o f ′(a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)). Vimos tambe´m que o conhecimento de f ′(a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos trazer uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento da func¸a˜o f . Veremos agora como obter a equac¸a˜o da reta tangente. Sendo assim, vamos relembrar alguns fatos importantes a respeito das retas no plano: 1. Toda reta do plano possui equac¸a˜o na forma y = mx + n, onde m e´ o coeficiente angular e n e´ o coeficiente linear. 2. Dois pontos distintos do plano (x1, y1) e (x2, y2) determinam uma u´nica reta no plano. Neste caso temos que o seu coeficiente angular e´ dado por m = y2 − y1 x2 − x1 e , consequentemente, o seu coeficiente linear e´ dado por n = y2 −mx2 ou n = y1 −mx1. 18 6.1 Obtendo a Equac¸a˜o da Reta Tangente a um ponto DO GRA´FICO Seja f : X → R uma func¸a˜o deriva´vel no ponto a ∈ X. Queremos obter a equac¸a˜o da reta ta : y = mx+ n tangenteao gra´fico de f no ponto (a, f(a)). Temos que : • Como f e´ deriva´vel no ponto a, o coeficiente angular da reta tangente ta e´ m = f ′(a). • Como a reta tangente ta passa pelo ponto (a, f(a)) temos que f(a) = ma+ n = f ′(a) · a+ n, ou seja , n = f(a)− f ′(a) · a. Exemplo 6. Seja f : R → R dada por f(x) = x3 − 5x + 3. Obtenha a reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto a = −2 19 6.2 Obtendo a Equac¸a˜o da Reta Tangente ao Gra´fico que PASSA POR UM PONTO Seja f : X → R uma func¸a˜o deriva´vel (ou seja, deriva´vel em todo o conjunto X) e um ponto P (xp, yp) do plano cartesiano. Queremos obter, se existir, a equac¸a˜o da reta tangente t : y = mx + n ao gra´fico de f e que passe pelo ponto P . Para isto, devemos obter as coordenadas do ponto de tangeˆncia T = (xt, yt) entre a reta e o gra´fico da func¸a˜o: Figura 11: Temos que : (i) Como a reta t e´ tangente ao gra´fico no ponto de tangeˆncia T (xt, yt), seu coeficiente angular deve ser m = f ′(xt). (ii) Como o ponto de tangeˆncia T (xt, yt) pertence a` reta t, temos que yt = mxt + n = f ′(xt)xt + n. (iii) Como a reta t passa pelo ponto P (xp, yp), temos que yp = f ′(xt)xp + n, ou seja, n = yp − f ′(xt)xp . (iv) Como o ponto T (xt, yt) pertence ao gra´fico da func¸a˜o devemos ter que yt = f(xt) . 20 (v) Conclu´ımos dos itens (i), (ii), (iii) e (iv) que f(xt) = yt = f ′(xt)xt + (yp − f ′(xt)xp), que e´ uma equac¸a˜o cuja u´nica varia´vel e´ xt! (vi) Resolvendo a equac¸a˜o anterior obtemos xt e , a partir deste, os valores de m e n, isto e´, obtemos a equac¸a˜o da reta tangente t. Exemplo 7. Seja g : R→ R dada por g(x) = 4− x2. (A) Obtenha as equac¸o˜es das retas tA, tB e tC tangentes ao gra´fico de g e que passam pelos pontos A(1, 3), B(1, 7) e C(1, 2). 21 (B) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de g que e´ paralela a` reta y = 2x. (C) Obtenha a equac¸a˜o da reta normal ao gra´fico de g no ponto A(1, 3). (D) Em que ponto a reta tangente ao gra´fico e´ horizontal? 22 (E) Onde o coeficiente angular da reta tangente e´ positivo? (F) Onde o coeficiente angular da reta tangente e´ negativo? 23 7 Exerc´ıcios 1. Para cada uma das func¸o˜es abaixo, obtenha a func¸a˜o derivada( onde exis- tir): (a) f(x) = 10x2 + 9x− 4, ∀x ∈ R; (b) h(x) = (2x2 − 4x+ 1)(6x− 5), ∀x ∈ R; (c) f(w) = 2w w3 − 7 , ∀w 6= 3 √ 7; (d) f(x) = 1 1 + x+ x2 + x3 , ∀x 6= −1; (e) h(z) = 9z3 + 2z 6z + 1 ; (f) f(u) = ue−u, ∀u ∈ R; (g) f(w) = 3w − w3, ∀w ∈ R; (h) h(s) = s2e2s, ∀s ∈ R; (i) g(w) = cot(w), ∀w 6= kpi, k ∈ Z; (j) s(v) = csc(v), ∀v 6= kpi, k ∈ Z; (k) f(t) = senh(t) = et − e−t 2 , ∀t ∈ R (Seno Hiperbo´lico) (l) f(s) = cosh(s) = et + e−t 2 , ∀s ∈ R (Cosseno Hiperbo´lico) (m) g(t) = tanh(t) = senh(t) cosh(t) ,∀t ∈ R (Tangente Hiperbo´lica) (n) h(s) = sech(s) = 1 cosh(s) ,∀s ∈ R (Secante Hiperbo´lica) 2. Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 2x3 + 4x2 − 5x− 3 no ponto P (−1, 4). 3. Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 3x2 + 4x − 6 tal que (a) Essa tangente seja paralela a` reta 5x− 2y − 1 = 0; (b) Seja tangente ao gra´fico no ponto P (1, 1). 4. Obtenha a equac¸a˜o da reta que passa por P (3, 1) e e´ tangente ao gra´fico de y = 4 x . 5. Considere f : R→ R dada por f(x) = e−x. (a) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 1)? (b) Qual a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f e que tem coeficiente angular −1/2? 24
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