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Aula 4

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula VI
IMC-Unifei
Nesta aula vamos dar in´ıcio ao estudo da Derivada. A ideia, em resumo, e´
aproximar o gra´fico de uma func¸a˜o em um ponto atrave´s da reta tangente.
1 Motivac¸a˜o
Considere f : R→ R dada por f(x) = x3 − 5x+ 3.
Para cada x ∈ R, a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhanc¸a de
x por uma func¸a˜o cujo gra´fico e´ uma reta e´ atrave´s da reta tangente ao gra´fico
da func¸a˜o no ponto (x, f(x)).
-4 -2 2 4
-15
-10
-5
5
10
15
20
Figura 1: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3
1
-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0
2
3
4
5
6
7
8
Figura 2: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 e da reta tangente y = 7x+ 19
2
-2.4 -2.2 -2.0 -1.8 -1.6
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
Figura 3: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3 e da reta tangente y = 7x+ 19
Observac¸a˜o 1. Relembremos que uma reta fica totalmente caracterizada pelo
seu coeficiente angular e pelo seu coeficiente linear. No caso da reta tangente,
o u´nico coeficiente que vai nos servir e´ o coeficiente angular, ou seja, o grau de
inclinac¸a˜o entre a reta e o eixo das abscissas.
Consequeˆncia: Podemos relacionar uma se´rie de informac¸o˜es sobre o com-
portamento de f com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gra´fico de f
em cada ponto.
3
Exemplo 1.
(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo.
Figura 4: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3
4
(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo.
Figura 5: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3
5
(C) f assumindo ma´ximo ou mı´nimo local no interior
de um intervalo ⇒ mt = 0 no ponto de ma´ximo ou mı´nimo.
Figura 6: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3
6
(D) Concavidade do gra´fico de f voltada para cima em
um intervalo ⇒ mt crescente neste intervalo.
Figura 7: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3
7
(E) Concavidade do gra´fico de f voltada para baixo em
um intervalo ⇒ mt decrescente neste intervalo.
Figura 8: Gra´fico de f(x) = x3 − 5x+ 3
8
1.1 Obtendo mt (coeficiente angular da reta tangente )
Dada f : X → Y (X,Y ⊂ R), seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X . Queremos
obter o coeficiente angular mta da reta ta, tangente ao gra´fico de f no ponto
(a, f(a)). Para fazermos isto, vamos utilizar “APROXIMAC¸O˜ES POR RETAS
SECANTES”:
Para cada x 6= a em I, temos uma reta secante sa(x) (que depende do
ponto x), secante ao gra´fico de f , passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)):
Temos enta˜o uma func¸a˜o msa : I − {a} → R que associa a cada x ∈ I − {a}
o coeficiente angular msa(x) da reta secante que passa pelos pontos (a, f(a)) e
(x, f(x)), ou seja,
msa(x) =
f(x)− f(a)
x− a .
Nos interessa investigar o comportamento de msa(x) quando x se aproxima
de a, por valores distintos de a. O esperado e´ que, quando x → a, msa(x) se
aproxime tanto quanto quisermos de algum nu´mero real mta , isto e´,
lim
x→amsa(x) = limx→a
f(x)− f(a)
x− a = mta
9
Figura 9: Aproximac¸a˜o por Retas Secantes
Neste caso, dizemos que a func¸a˜o f e´ deriva´vel no ponto a, existe a reta
tangente ao gra´fico de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular mta e´
chamado de derivada de f no ponto a.
Observac¸a˜o 2. • A noc¸a˜o de derivada “formaliza ”o ideia intuitiva que
temos de reta tangente. Na noc¸a˜o intuitiva, a reta tangente ao gra´fico e´
aquela que “mais se assemelha”ao gra´fico numa vizinhanc¸a.
• Na definic¸a˜o formal temos que a reta tangente e´ obtida atrave´s do limite
de retas secantes que pode ou na˜o existir.
10
Exemplo 2. Considere f : R→ R dada por f(x) = |x|.
-2 -1 1 2
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 10: Gra´fico da func¸a˜o f(x) = |x|
11
2 A definic¸a˜o da Derivada
Definic¸a˜o 1. Consideremos uma func¸a˜o f : X → R, com X ⊂ X ′.
Dizemos que f e´ deriva´vel em a ∈ X quando existe o limite
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a .
O nu´mero f ′(a) ∈ R e´ chamado de DERIVADA DE f NO PONTO a.
Observac¸a˜o 3.
(i) O conceito de derivada e´ local, isto e´, para verificar se f e´ deriva´vel em
um ponto a de seu domı´nio, nos interessa apenas o comportamento de f
em uma vizinhanc¸a de a.
(ii) Seja A ⊂ X. Dizemos que f e´ deriva´vel em A se for deriva´vel em todos
os pontos de A. Em particular, quando f for deriva´vel em todos os pontos
de X diremos apenas que f e´ deriva´vel.
(iii) Em nossas aplicac¸o˜es, o domı´nio X sera´ sempre um INTERVALO.
(iv) Outras notac¸o˜es para f ′(a) :
f ′(a) = Dxf(a) =
df
dx
(a) =
df
dx
∣∣∣∣
x=a
ou ainda f ′(a) = y′(a) =
dy
dx
(a) se y = f(x)
(v) Podemos considerar a func¸a˜o f ′ : x 7→ f ′(x) definida em todos os pontos
x ∈ X onde existir f ′(x). Neste caso, a func¸a˜o f ′ e´ chamada de FUNC¸A˜O
DERIVADA DE f .
(vi) Fazendo a mudanc¸a de varia´vel h = x−a na definic¸a˜o de derivada obtemos
o seguinte limite:
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
12
3 Primeiros Exemplos
Exemplo 3.
(A) Fixemos c ∈ R e seja f : R → R dada por f(x) = c, ∀x ∈ R. (Func¸a˜o
Constante)
(B) Seja f : R→ R dada por f(x) = x.
(C) Seja f : R→ R dada por f(x) = xn, onde n ∈ N.
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(D) Seja f : R→ R dada por f(x) = sen(x).
(E) Seja f : R→ R dada por f(x) = cos(x).
(F) Seja f : R→ R dada por f(x) = ax, onde 0 < a 6= 1.
14
4 Derivada e Continuidade
Teorema 1. Seja f : X → R . Se f e´ deriva´vel em a ∈ X enta˜o f e´ cont´ınua
em a.
Demonstrac¸a˜o.
Observac¸a˜o 4.
(i) Se uma determinada func¸a˜o e´ descont´ınua em algum ponto de seu domı´nio,
enta˜o ela na˜o e´ deriva´vel neste ponto.
(ii) CUIDADO! Na˜o podemos garantir a rec´ıproca do teorema anterior, ou
seja, podemos ter uma func¸a˜o que e´ cont´ınua em um ponto a de seu
domı´nio mas que na˜o e´ deriva´vel neste ponto.
Exemplo 4. Considere f : R→ R dada por f(x) = |x|
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5 Regras de Derivac¸a˜o
Teorema 2. Se f, g : X → R sa˜o deriva´veis em a ∈ X, enta˜o:
(a) Para cada constante c ∈ R, (cf) : X → R e´ deriva´vel em a e (cf)′(a) =
c · f ′(a);
(b) (f ± g) sa˜o deriva´veis em a e (f ± g)′(a) = f ′(a)± g′(a);
(c) (f · g) e´ deriva´vel em a e (f · g)′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a);
(d) Se g(a) 6= 0 , enta˜o
(
f
g
)
e´ deriva´vel em a e
(
f
g
)′
(a) =
f ′(a) · g(a)− f(a) · g′(a)
[g(a)]
2 .
Exemplo 5. Para cada func¸a˜o f abaixo, obtenha a func¸a˜o derivada f ′ (Indi-
cando o domı´nio da derivada!)
(A) f : R→ R dada por f(x) = 6x3.
(B) f : R→ R dada por f(x) = 6x3 − 3x2 − x+ 7
(C) f : R→ R dada por f(x) = (2x+ 1) cos(x)
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(D) f : R→ R dada por f(x) = sen(2x)
(E) f : R→ R dada por f(x) = 3x− 2
x2 + 1
(F) f : R− {0} → R dada por f(x) = 1
xn
(G) f : R− Z → R dada por f(x) = tan(x), onde Z = {x ∈ R; cos(x) = 0}
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(H) f : R− Z → R dada por f(x) = sec(x), onde Z = {x ∈ R; cos(x) = 0}
(I) f : R→ R dada por f(x) = a−x
6 Interpretac¸a˜o Geome´trica
Ja´ vimos, como motivac¸a˜o que se f : X → R e´ deriva´vel em a ∈ X, enta˜o f ′(a)
representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gra´fico de f no ponto
(a, f(a)). Vimos tambe´m que o conhecimento de f ′(a) = mta para os pontos
a ∈ X pode nos trazer uma se´rie de informac¸o˜es sobre o comportamento da
func¸a˜o f .
Veremos agora como obter a equac¸a˜o da reta tangente. Sendo assim, vamos
relembrar alguns fatos importantes a respeito das retas no plano:
1. Toda reta do plano possui equac¸a˜o na forma y = mx + n, onde m e´ o
coeficiente angular e n e´ o coeficiente linear.
2. Dois pontos distintos do plano (x1, y1) e (x2, y2) determinam uma u´nica
reta no plano. Neste caso temos que o seu coeficiente angular e´ dado por
m =
y2 − y1
x2 − x1 e , consequentemente, o seu coeficiente linear e´ dado por
n = y2 −mx2 ou n = y1 −mx1.
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6.1 Obtendo a Equac¸a˜o da Reta Tangente a um ponto DO
GRA´FICO
Seja f : X → R uma func¸a˜o deriva´vel no ponto a ∈ X. Queremos obter a
equac¸a˜o da reta ta : y = mx+ n tangente