Cálculo I: Acréscimos e Diferenciais

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula VIII
IMC-Unifei
1 Introduc¸a˜o
2 Acre´scimos e Diferenciais
Consideremos uma func¸a˜o f : X → R deriva´vel em pontos x ∈ X. Podemos
escrever:
f ′(x) = lim
∆x→0
f (x+ ∆x)− f(x)
∆x
(para cada x onde f for deriva´vel).
Podemos pensar em ∆x como um ACRE´SCIMO DE x, isto e´, ∆x representa
a variac¸a˜o na varia´vel independente x. Sendo assim, fazendo y = f(x) como
varia´vel dependente, temos que
∆y = f(x+ ∆x)− f(x)
representa a variac¸a˜o da func¸a˜o f devida ao acre´scimo ∆x e enta˜o
f ′(x) = lim
∆x→0
∆y
∆x
.
O limite acima significa que, a medida que ∆x se aproxima de 0 (por valores
diferentes de 0),
∆y
∆x
se aproxima de f ′(x). Sendo assim, desde que ∆x seja
suficientemente pro´ximo de 0 temos que:
∆y
∆x
≈ f ′(x),
ou enta˜o, de maneira equivalente,
(∗) f(x+ ∆x)− f(x) = ∆y ≈ f ′(x) ·∆x,
ou ainda,
(∗∗) f(x+ ∆x) ≈ f ′(x)∆x+ f(x) (Perceba que x esta´ fixo!!)
1
A relac¸a˜o (∗) nos diz que podemos obter boas aproximac¸o˜es para a variac¸a˜o
da func¸a˜o, ∆y = f(x + ∆x) − f(x), atrave´s de f ′(x) · ∆x, desde que ∆x seja
suficientemente pro´ximo de zero.
Exemplo 1. Obtenha uma aproximac¸a˜o para 0, 984.
Portando, f ′(x) ·∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) de-
sempenha esse importante papel de ser uma boa aproximac¸a˜o para a a variac¸a˜o
da func¸a˜o f quando ∆x e´ pequeno.
Observac¸a˜o 1.
(i) f ′(x) ·∆x sera´ denotado por dy e chamado de DIFERENCIAL DE y.
(ii) Escrevemos tambe´m dx = ∆x para a chamada diferencial de x.
(iii) Sendo assim, temos que
∆y ≈ dy = f ′(x) ·∆x.
(iv) Geometricamente, temos:
2
Exemplo 2.
(A) Use diferenciais para obter aproximac¸o˜es para
(a) 3 · (2, 001)2 − 5 · (2, 001) + 3
(b) 4
√
82
(B) A medida do lado de um cubo e´ encontrada como sendo 15cm, com uma
possibilidade de erro de 0, 001cm. Usando diferenciais, encontre o erro
ma´ximo no ca´lculo do volume do cubo.
3
(C) A Lei da Gravitac¸a˜o de Newton afirma que a forc¸a F de atrac¸a˜o entre duas
part´ıculas de massas m1 e m2 e´ dada por
F =
G ·m1 ·m2
d2
;
onde G e´ uma constante e d e´ a distaˆncia entre as part´ıculas.
(a) Se d = 20cm, use diferenciais para obter o valor aproximado da
variac¸a˜o de d que aumente F em 10%.
(b) O Campo Gravitacional relativo a uma part´ıcula de massa m e´ definido
como sendo
g(d) =
Gm
d2
.
Assumindo que o raio da Terra e´ 6371km , sua massa e´ Mt = 5, 9 ·
1024kg e G = 6, 77 ·10−11 m3kg·s2 obtenha o valor do campo gravitacional
na superf´ıcie da Terra.
(c) O ponto mais alto da Terra situa-se no Monte Everest a` 8850m do n´ıvel
do mar. Obtenha uma aproximac¸a˜o para o valor do campo gravitacional
no pico deste monte.
4
(D) A` medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma
pilha coˆnica cuja altura e´ sempre igual ao raio. Sem em dado instante,
o raio e´ de 10cm, use diferenciais para aproximar a variac¸a˜o do raio que
ocasiona um aumento de 2cm3 no volume da pilha.
5
3 Exerc´ıcios
1) Use diferenciais para obter valores aproximados para :
(a) (2, 01)4 − 3(2, 01)3 + 4(2, 01)2 − 5.
(b)
3
√
65.
(c)
√
37.
(d) 3
√
0, 00098.
(e)
√
0, 042.
(f) 5(0, 99)
3
5 − 3(0, 99) 15 + 7.
(g)
1
4
√
15
.
2) Considerando ln(2) ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01).
3) Use diferenciais para obter uma aproximac¸a˜o para cot(46o).
4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da a´rea de uma esfera,
quando o raio varia de 2 a 2, 02 pe´s.
5) Os lados oposto e adjacente a um aˆngulo θ de um triaˆngulo retaˆngulo acusam
medidas de 10 pe´s a 8 pe´s, respectivamente, com erro poss´ıvel de 1, 5 polegada
na medida de 10 pe´s. Obtenha o valor aproximado do poss´ıvel erro do ca´lculo
do valor de θ. (OBS.: 1 pe´ = 12 polegadas).
6) A altura de um cone circular reto e´ duas vezes o raio da base. A medida
encontrada da altura e´ de 12cm, com uma possibilidade de erro de 0, 005cm.
Encontre o erro aproximado no ca´lculo do volume do cone.
7) Se l (em metros) e´ o comprimento de um fio de ferro quando este esta´ a T
graus Celsius de temperatura, enta˜o
l(T ) = 60e0,00001·T .
Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em l quando T cresce
de 0 a 10 graus Celsius.
8) Em um ponto situado a 20 pe´s da base de um mastro, o aˆngulo de elevac¸a˜o do
topo do mastro e´ de 60o, com erro poss´ıvel de 0, 25o. Obtenha, com aux´ılio
de diferenciais, uma aproximac¸a˜o do erro no ca´lculo da altura do mastro.
9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de
64cm3. Os seis lados da caixa va˜o ser feitos de metal com 1/4cm de espessura.
Se o prec¸o do metal que vai ser usado na fabricac¸a˜o da caixa e´ de R$0, 80
por cm3, use diferenciais para encontrar o prec¸o aproximado de todo o metal
necessa´rio.
6
10) A resisteˆncia ele´trica R de um fio e´ proporcional ao seu comprimento l e
inversamente proporcional ao quadrado de seu diaˆmetro d. Suponha que a
resisteˆncia de um fio, de comprimento dado (fixo), seja calculada a partir
do diaˆmetro com uma possibilidade de erro de 2% na medida do diaˆmetro(
∆d
d · 100 = 2
)
. Encontre a poss´ıvel porcentagem de erro no ca´lculo do valor
da resisteˆncia.
4 Respostas
1) (a) 3, 12
(b) 4 + 1/48 = 193/48
(c) 6 + 1/12 = 73/12
(d)
1
10
− 2
3 · 103
(e) 0, 205
(f) 9− 3
125
=
1122
125
= 8, 976
(g)
65
128
2) 0, 6981
3) 1− pi
90
4)
8pi
25
pe´s2
5) ± 1
64
rad
6) ± 9pi50 cm3
7) 0, 6cm
8) ±4pi
3
pols
9) R$ 19, 20
10) Erro de ±2% em d ⇒ Erro no ca´lculo de R ≈ ∓4%
7
5 A derivada como Taxa de Variac¸a˜o
5.1 Variac¸a˜o Me´dia
Sejam f : X → R e y = f(x).
Suponha que a varia´vel y representa uma quantidade de “alguma gran-
deza”(distaˆncia, volume, a´rea, etc...) que depende da varia´vel independente
x, a qual por sua vez representa tambe´m uma quantidade de alguma grandeza.
Ja´ vimos que ∆y = f(x1+∆x)−f(x1) e´ a variac¸a˜o da func¸a˜o correspondente
a uma variac¸a˜o de x1 a x1 + ∆x1. Sendo assim, temos que
∆y
∆x
=
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
e´ a VARIAC¸A˜O ME´DIA de y por unidade de variac¸a˜o de x, quando x varia de
x1 a x1 + ∆x.
Exemplo 3. Seja S (em cent´ımetros quadrados) a a´rea de um quadrado de
aresta x (cent´ımetros). Encontre a raza˜o de variac¸a˜o me´dia da a´rea por unidade
de variac¸a˜o no comprimento da aresta quando:
(a) x varia de 3 a 3, 2cm.
(b) x varia de 3 a 3, 1cm.
6 Variac¸a˜o Instanaˆnea
Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y
∆x
(
lim
∆x→0
∆y
∆x
)
, o limite (quando
existir) sera´ a TAXA DE VARIAC¸A˜O INSTANTAˆNEA de y por unidade de
variac¸a˜o de x em (no INSTANTE em que) x = x1.
Note que
lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
∆x→0
f(x1 + ∆x)− f(x1)
∆x
= f ′(x1) (se existir o limite).
8
Portanto, a derivada f ′(x1) representa a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de
y = f(x) por unidade de variac¸a˜o de x no instante em que x = x1.
Observac¸a˜o 2. E´ comum nos referirmos a` taxa de variac¸a˜o instantaˆnea apenas
por “taxa de variac¸a˜o”. Em outras palavras, caso na˜o esteja expl´ıcita a palavra
“ me´dia”, assumiremos que a taxa de variac¸a˜o em questa˜o e´ a instantaˆnea.
Exemplo 4. Seja S (em cent´ımetros quadrados) a a´rea de um quadrado de
aresta x (cent´ımetros). Qual a taxa de variac¸a˜o da a´rea do cubo por unidade de
variac¸a˜o de cent´ımetro no comprimento da aresta quando x = 3?
Observac¸a˜o 3. Podemos definira ainda:
i- A taxa de VARIAC¸A˜O RELATIVA de y por unidade de variac¸a˜o de x
em x1 como sendo o quociente
f ′(x1)
f(x1)
, o qual representa a proporc¸a˜o da
variac¸a˜o instantaˆnea em relac¸a˜o a` quantidade f(x1) em x = x1.
ii- A taxa de VARIAC¸A˜O PERCENTUAL como sendo
f ′(x1)
f(x1)
· 100.
9
Exemplo 5. (A) Um cilindro reto de base circular, tem altura constanteigual
a 10cm. Se V (em cm3) e´ o volume desse cilindro e r (em cm) o raio de
sua base, encontre:
(a) A taxa de variac¸a˜o me´dia do volume por unidade de variac¸a˜o do raio,
quando r varia de 5 a 5, 1cm.
(b) A taxa de variac¸a˜o do volume, por unidade de variac¸a˜o do raio, quando
r = 5cm e quando r = 5, 1cm.
(c) As taxas de variac¸a˜o relativas do volume, por unidade de variac¸a˜o do
raio, quando r = 5cm e quando r = 5, 1cm.
10
(B) O lucro de um depo´sito de retalhos e´ de 100y reais quando x reais sa˜o
gastos diariamente em propaganda, sendo que y = 2500 + 36x− 0, 2x2.
Use a derivada para determinar se seria vantajoso que o orc¸amento dia´rio
de propaganda aumentasse nos seguinte casos:
(a) O orc¸amento atual e´ de 60 reais dia´rios;
(b) O orc¸amento atual e´ de 100 reais dia´rios.
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(C) Em um circuito ele´trico, se E e´ a forc¸a eletromotriz, R (em Ohms) e´ a
resisteˆncia e i (em amperes) e´ a corrente ele´trica, a Lei de Ohm afirma
que E = R · i.
(a) Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma taxa
que e´ proporcional ao inverso do quadrado de i.
(b) Se E = 100volts, qual a taxa de variac¸a˜o de i por unidade de variac¸a˜o
de R quando R = 10Ohms?
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(D) A temperatura T (em graus Celsius) de uma soluc¸a˜o no instante t (minutos)
e´ dada por
T (t) = 10 + 4t− 3
t+ 1
, com1 ≤ t ≤ 10.
(a) Qual a taxa de variac¸a˜o de T por unidade de variac¸a˜o de t quando
t = 2min, t = 5min e t = 9min?
(b) Utilizando os valores obtidos no item anterior conclua se a temperatura
esta´ aumentando ou diminuindo nos instantes t = 2min, t = 5min e
t = 9min.
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(E) A Lei de Boyle para os gases afirma que P · V = κ, onde P (em u.p.) e´
a pressa˜o, V e´ o volume (em cm3) e κ e´ uma constante que depende do
nu´mero de moles do ga´s em questa˜o e de sua temperatura.
Suponhamos que no instante t (em minutos), a pressa˜o seja dada por
P (t) = 20 + 2t, com 0 ≤ t ≤ 10. Se em t = 0 o volume e´ de 60cm3,
determine a taxa de variac¸a˜o do volume por unidade de variac¸a˜o do tempo
quando t = 5
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7 Um caso particular: Aplicac¸a˜o a` Cinema´tica
Suponhamos agora que s = s(t) represente a posic¸a˜o de um objeto ao longo de
uma linha reta, como func¸a˜o do tempo t:
Se em t1 o objeto estava em s(t1) e em t1 + ∆t, a variac¸a˜o total da posic¸a˜o
do objeto entre os instantes t1 e t1 + ∆t1 e´:
∆s = s(t1 + ∆t)− s(t1).
A taxa de variac¸a˜o me´dia de s por unidade de variac¸a˜o de tempo, entre o t1
e t1 + ∆t e´ :
∆s
∆t
=
s(t1 + ∆t)− s(t1)
∆t
,
a qual chamaremos de VELOCIDADE ME´DIA com que o objeto se movimentou
de s(t1) ate´ s(t1 + ∆t) entre os instantes t1 e t1 + ∆t.
Analogamente, a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da posic¸a˜o s do objeto por
unidade de variac¸a˜o do tempo, no instante t1 e´ dada por
s′(t1) = lim
∆t→0
s(t1 + ∆t)− s(t1)
∆t
,
a qual chamaremos de VELOCIDADE INSTANTAˆNEA do objeto no instante
t = t1.
Observac¸a˜o 4.
• Se s′(t1) > 0 enta˜o a taxa de variac¸a˜o em t1 e´ positiva, ou seja, s esta´ au-
mentando em t1, isto e´, o objeto esta´ se movimentando no sentido adotado
como positivo.
• Analogamente, se s′(t1) < 0, enta˜o o movimento do objeto no instante t1
e´ contra´rio ao sentido adotado como positivo.
• Se s′(t1) = 0, enta˜o o objeto esta´ parado no instante t1.
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Exemplo 6.
(A) Um foguete e´ lanc¸ado verticalmente para cima e esta´ a s metros do solo t
segundos apo´s ter sido lanc¸ado (t ≥ 0), sendo s(t) = 160t−5t2. Determine:
(a) A velocidade me´dia entre os instantes t = 0s e t = 4s.
(b) A velocidade instantaˆnea nos instantes t = 0s e t = 2s.
(c) Em t = 20s, o foguete esta´ subindo ou caindo?
(d) Quanto tempo leva o foguete para alcanc¸ar a sua altura ma´xima?
(e) Qual a altura ma´xima atingida pelo foguete?
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(B) Uma pedra e´ solta de um edif´ıcio de 80m de altura e a equac¸a˜o do mo-
vimento e´ dada por s(t) = −5t2, onde t ≥ 0 corresponde ao intervalo de
tempo transcorrido apo´s o a pedra ser solta.
(a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo apo´s ser lanc¸ada?
(b) Quanto tempo leva a pedra para alcanc¸ar o solo?
(c) Qual a velocidade da pedra ao atingir o solo?
(d) Qual a velocidade me´dia entre os instantes t = 0s e o choque com o
solo?
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Observac¸a˜o 5. Assim como definimos a velocidade como taxa de variac¸a˜o
da posic¸a˜o por unidade de variac¸a˜o do tempo, definimos a ACELERAC¸A˜O
como sendo a taxa de variac¸a˜o da velocidade por unidade de variac¸a˜o de
tempo.
(C) A posic¸a˜o s de um objeto em movimento retil´ıneo e´ dada por
s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t− 10,
com t medido em segundos e s(t) em metros.
(a) Determine a acelerac¸a˜o quando a velocidade e´ de 12m/s.
(b) Determine a velocidade quando a acelerac¸a˜o e´ de 10m/s2.
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(D) Um bombardeiro esta´ voando paralelo ao cha˜o a uma altitude de 2km e a
uma velocidade constante de 4, 5km/min. A que taxa varia a distaˆncia
entre o bombardeiro e o alvo exatamente 20s apo´s o bombardeiro passar
sobre o alvo?
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8 Exerc´ıcios
1) O volume de um bala˜o esfe´rico (em pe´s cu´bicos) t horas apo´s 13 : 00 e´ dado
pela equac¸a˜o
V (t) =
4
3
pi(9− 2t)3; 0 ≤ t ≤ 4.
(a) Qual a variac¸a˜o me´dia do volume por unidade de variac¸a˜o de tempo
entre t = 0h e t = 4h.
(b) Qual a taxa de variac¸a˜o do volume por unidade de variac¸a˜o de tempo a`s
16 : 00h?
2) Suponha que ts apo´s ter comec¸ado a correr, o pulso de um indiv´ıduo tenha
sua a sua taxa de batimentos card´ıacos dada por
P (t) = 56 + 2t2 − t com 0 ≤ t ≤ 7.
(a) Determine a variac¸a˜o me´dia de P por unidade de variac¸a˜o de t quando
t varia de 2 a 4 segundos.
(b) Obtenha a taxa de variac¸a˜o de P por unidade de variac¸a˜o de t em t = 2,
t = 3 e t = 4.
3) O iluminamento I (em unidades de iluminamento - u.i. ) de uma fonte de
luz e´ diretamente proporcional a` intensidade S da fonte e inversamente pro-
porcional ao quadrado da distaˆncia d da fonte. Se , para uma certa fonte,
I = 120u.i. a uma distaˆncia de 2 pe´s, determine a taxa de variac¸a˜o de I por
unidade de variac¸a˜o de d, quando d = 20 pe´s.
4) A relac¸a˜o entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C,
na escala Celsius, e´ dada por
C
5
=
F − 32
9
.
Qual a taxa de variac¸a˜o de F em relac¸a˜o a C?
5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina
de 40cm de largura e 60cm de comprimento, cortando-se um quadrado de
s cm de lado em cada canto e dobrando-se a cartolina.
(a) Expresse o volume V da caixa em func¸a˜o de s e determine a taxa de
variac¸a˜o de V em relac¸a˜o a s.
(b) Se queremos obter uma caixa com o maior volume poss´ıvel, responda se
e´ conveniente ou na˜o aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm.
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6) Para cada uma das situac¸o˜es abaixo, define-se a posic¸a˜o s de um objeto
em movimento retil´ıneo como func¸a˜o do tempo t. Determine a velocidade
e a acelerac¸a˜o em cada instante t e descreva o movimento ( posic¸a˜o inicial,
velocidade inicia, direc¸o˜es do movimento, quando a velocidade aumenta e
quando a velocidade diminui) durante os intervalos de tempo indicados:
(a) s(t) = 3t2 − 12t+ 1 , t ∈ [0, 5]
(b) s(t) = t+
4
t
, t ∈ [1, 4]
(c) s(t) = 24 + 6t− t3 , t ∈ [−2, 3]
(d) s(t) =
1− e−3t
3
, t ∈ [0, 2]
(e) s(t) = 3 · cos(pit) , t ∈ [0, 2]
(f) s(t) = t2 − 4 · ln(t+ 1) , t ∈ [0, 4]
7) Lanc¸a-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s pe´s
apo´s t segundos dada por
s(t) = 144t− 16t2,
(a) Obtenha a velocidade e a acelerac¸a˜o iniciais e no instante t = 3s e
descreva o movimento neste instante.
(b) Qual a altura ma´xima atingida?
(c) Quando o objeto atinge o solo?
8) A Lei de Boyle para os gases afirma que P · V = κ, onde P (em u.p.) e´ a
pressa˜o, V e´ o volume (em cm3) e κ e´ uma constante que depende do nu´mero
de moles do ga´s em questa˜o e de sua temperatura.
Suponhamosque no instante t (em minutos), a pressa˜o seja dada por P (t) =
20 + 2t, com 0 ≤ t ≤ 10. Se em t = 0 o volume e´ de 60cm3, determine a taxa
de variac¸a˜o do volume por unidade de variac¸a˜o do tempo quando t = 5
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9 Respostas
1) (a) −728pi/3 pe´s3/hora.
(b) −72pi pe´s3/hora.
2) (a) 11bpm/s.
(b) 7bpm/s, 11bpm/s e 15bpm/s respectivamente.
3) −0, 12 u.i./pe´.
4)
9
5
oF
oC
5) (a) V (s) = 4s3 − 200s2 + 2400s, V ′(s) = 12s2 − 400s+ 2400.
(b) V ′(5) = 700 cm3/cm e V ′(10) = −400 cm3/cm. E´ conveniente aumentar
s quando s = 5cm mas na˜o e´ conveniente aumentar s quando s = 10cm.
6) (a) s(0) = 1, v(t) = s′(t)6t− 12⇒ v(0) = −12; a(t) = v′(t) = 6; v(t) = 0⇒
t = 2⇒ s(2) = −11; v(5) = 18, s(5) = 16.
(b) s(1) = s(4) = 5; v(t) = 1 − 4
t2
; v(1) = −3; v(4) = 3
4
; a(t) =
8
t3
; v(t) =
0⇒ t = 2⇒ s(2) = 4.
(c) s(−2) = 20; s(3) = 15; v(t) = 6 − 3t2; v(−2) = −6; v(3) = −21; a(t) =
−6t; v(t) = 0⇒ t = ±
√
2⇒ s(−
√
2) ≈ 18, 3, s(
√
2) ≈ 29, 7.
(d) s(0) = 0; s(2) ≈ 0, 33; v(t) = e−3t > 0; v(0) = 1; v(2) ≈ 0, 0025; a(t) =
−3e−3t.
(e) s(0) = s(2) = 3; v(t) = −3pisen(pit); v(0) = v(2) = 0; a(t) = −3pi2 cos(pit); v(1) =
0; s(1) = −3.
(f) s(0) = −; s(4) ≈ 9, 5; v(t) = 2t − 4
t+ 1
; v(0) = −4; v(4) = 7, 2; a(t) =
2 +
4
(t+ 1)2
; v(t) = 0⇒ t = 1⇒ s(1) = 1− 4 ln(2).
7) (a) v(0) = 144 pe´s/s; a(0) = −32 (pe´s/s)/s; v(3) = 48 pe´s/s; a(3) =
−32 (pe´s/s)/s; Em t = 3s, o objeto esta´ a 288 pe´s de altura , subindo
e desacelerando.
(b) 324 pe´s.
(c) t = 9s.
22