Aula_VII

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Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
Aula VII: Estudo das retas e Planos 
 
 
Ângulo entre Retas 
 
Dadas às retas R e S não ortogonais, queremos encontrar a medida θ do ângulo agudo entre 
elas. Para isto tomemos ⃗ , vetores paralelos a R e S respectivamente. Sendo a 
medida do ângulo entre ⃗ e , temos: 
 
 ( ) 
 ⃗ 
‖ ⃗ ‖‖ ‖
 
 
Analisaremos o sinal de ⃗ 
 
 Se ⃗ , então ( ) , e θ= , logo: 
 
 ( ) 
 ⃗ 
‖ ⃗ ‖‖ ‖
 
| ⃗ |
‖ ⃗ ‖‖ ‖
 
 
 Se ⃗ , então ( ) , e θ+ = , logo: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 ⃗ 
‖ ⃗ ‖‖ ‖
 
| ⃗ |
‖ ⃗ ‖‖ ‖
 
 
Em qualquer caso, 
 
 ( ) 
| ⃗ |
‖ ⃗ ‖‖ ‖
 
 
 
 
 
Apostila: Professor Raphael Paulo Braga Poubel 
 
Exercícios: 
 
1- Ache o cosseno do ângulo entre as retas: 
 
2- Ache a medida em radianos do ângulo entre as retas: 
 
 R: X=(1,1,9)+ (0,1,-1) e 
 
S: {
 
 
 
 
3- Obtenha os vértices B e C do triângulo equilátero ABC, sendo A=(1,1,0) e sabendo 
que o lado BC está contido na reta r de equação vetorial X=(0,0,0)+ (0,1,-1).