1-Sistemas de numeração e conversão

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SISTEMAS DE NUMERAÇÃO E CONVERSÃO
Material elaborado por Leandro Costa Coelho ( leandrocosta2@gmail.com ) para a disciplina de Tópicos Avançados ( TAV )
INTRODUÇÃO
IN
TR
O
D
U
Ç
Ã
O
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
Atualmente, o sistema de numeração decimal é o sistema mais importante e mais
utilizado por nós, seres humanos, para a representação de quantidades em geral,
sendo este reconhecido universalmente.
No mundo da computação, os sistemas digitais operam com mais de um sistema de
numeração ao mesmo tempo, onde o mais utilizado é o sistema binário.
Tendo em vista esta interoperabilidade de sistemas, esta aula visa apresentar os
sistemas de numeração utilizados no mundo computacional e demonstrar, através
de cálculos matemáticos, como efetuar a conversão de uma determinada base para
outra, tendo sempre como base intermediária, a base decimal.
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
S
ISTEM
A
S
D
E
N
U
M
ER
A
Ç
Ã
O
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
Dentro do mundo computacional, os sistemas de numeração utilizados atualmente
são esses: decimal, binário, octal e o hexadecimal. Então, vamos conhecer cada um
deles...
Decimal – Base 10
Sistema no qual possui 10 algarismos para representá-lo, que
são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
Binário – Base 2
Sistema no qual possui 2 algarismos para representá-lo, que
são estes: 0 e 1.
Octal – Base 8 
Sistema no qual possui 8 algarismos para representá-lo, que
são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Hexadecimal – Base 16
Sistema no qual possui 16 algarismos para representá-lo, que
são estes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F.
Equivalências: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 e F = 15.
Observações Gerais
Reparem que o maior algarismo de um sistema de numeração
sempre será ( base – 1 ).
Tabela de Valores
Decimal Binário Octal Hexadecimal
0 0 0 0
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 3 3
4 100 4 4
5 101 5 5
6 110 6 6
7 111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F
CONVERSÃO ENTRE BASES
C
O
N
V
ER
SÃ
O
E
N
TR
E
B
A
SES
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
Agora que já conhecemos cada uma das bases e suas respectivas particularidades,
passemos a parte que aborda sobre os cálculos matemáticos utilizados para
converter uma base numérica em outra.
Cabe lembrar que será utilizado o sistema de numeração decimal ( base 10 ) como
base intermediária entre as converções numéricas, mas que existem métodos de
conversão direta como, por exemplo, de octal para binário etc., que não serão
abordados aqui, mas que seria interessante se você, aluno, se aprofundasse neles.
Então, vamos ao que interessa...
CONVERSÃO BINÁRIO >>> DECIMAL
C
O
N
V
ER
SÃ
O
E
N
TR
E
B
A
SES
( B
IN
Á
R
IO
>>> D
EC
IM
A
L
)
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
A conversão binário >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do número
binário pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando
que a base do número binário é 2.
Ex: 101102 => ______ 10
24 23 22 21 20
1 0 1 1 0
Em seguida, efetuamos o cálculo:
1 * 24 + 0 * 23 + 1 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 = 22
101102 => 2210
CONVERSÃO DECIMAL >>> BINÁRIO
C
O
N
V
ER
SÃ
O
E
N
TR
E
B
A
SES
( D
EC
IM
A
L
>>> B
IN
Á
R
IO
)
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
A conversão decimal >>> binário consiste em dividir o número decimal pela base 2, obtendo um resultado
e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos um
resultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo o
primeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.
Ex: 2210 => ______ 2
22 2
02 11 2
0 1 5 2
1 2 2
0 1 Resultado da última divisão
Sequência dos números
Sentido: ascendente
Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o
resultado: 10110
2210 => 101102
CONVERSÃO OCTAL >>> DECIMAL
C
O
N
V
ER
SÃ
O
E
N
TR
E
B
A
SES
( O
C
TA
L
>>> D
EC
IM
A
L
)
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
A conversão octal >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do número octal
pela base elevada ao expoente de sua colocação no número, lembrando que a
base do número octal é 8.
Ex: 6278 => ______ 10
82 81 80
6 2 7
Em seguida, efetuamos o cálculo:
6 * 82 + 2 * 81 + 7 * 80 = 407
6278 => 40710
CONVERSÃO DECIMAL >>> OCTAL
C
O
N
V
ER
SÃ
O
E
N
TR
E
B
A
SES
( D
EC
IM
A
L
>>> O
C
TA
L
)
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
A conversão decimal >>> octal consiste em dividir o número decimal pela base 8, obtendo um resultado e
um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos um resultado
que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo o primeiro
dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.
Ex: 40710 => ______ 8
407 8
7 50 8
2 6 Resultado da última divisão
Sequência dos números
Sentido: ascendente
Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o
resultado: 627
40710 => 6278
CONVERSÃO HEXADECIMAL >>> DECIMAL
C
O
N
V
ER
SÃ
O
E
N
TR
E
B
A
SES
( H
EX
A
D
EC
IM
A
L
>>> D
EC
IM
A
L
)
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
A conversão hexadecimal >>> decimal consiste em multiplicar o algarismo do
número hexadecimal pela base elevada ao expoente de sua colocação no número,
lembrando que a base do número hexadecimal é 16.
Ex: CF8016 => ______ 10
163 162 161 160
12 15 8 0
Em seguida, efetuamos o cálculo:
12 * 163 + 15 * 162 + 8 * 161 + 0 * 160 = 53120
CF8016 => 5312010
OBS: Não esqueça de 
transformar as letras em 
números!
A = 10 | B = 11 | C = 12
D = 13 | E = 14 | F = 15
CONVERSÃO DECIMAL >>> HEXADECIMAL
C
O
N
V
ER
SÃ
O
E
N
TR
E
B
A
SES
( D
EC
IM
A
L
>>> H
EX
A
D
EC
IM
A
L
)
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
A conversão decimal >>> hexadecimal consiste em dividir o número decimal pela base 16, obtendo um
resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ser divido pela base, repete-se a operação até termos
um resultado que não possa mais ser dividido pela base. Feito isso, teremos o número em questão, sendo
o primeiro dígito igual ao último resultado, seguido dos restos das divisões, no sentido ascendente.
Ex: 5312010 => ______ 16
53120 16
51 3320 16
32 120 207 16
00 8 47 12
0 15
Resultado da última divisão
Sequência dos números
Sentido: ascendente
Em seguida, juntamos os números na ordem indicada pela seta e obtemos o
resultado: CF80
5312010 => CF8016
OBS: Não esqueça de 
transformar os números em 
letras!
A = 10 | B = 11 | C = 12
D = 13 | E = 14 | F = 15
CONCLUSÃO
C
O
N
C
LU
SÃ
O
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
Agora que você já conheceu cada uma das bases numéricas, suas
respectivas particularidades e aprendeu como é o processo de conversão
entre elas, você está pronto para seguir para os próximos slides e fazer
alguns exercícios, que abordam o conteúdo aprendido nesta aula e que lhe
ajudarão a fixar bem o mesmo.
Então, vamos ao que interessa...
EXERCÍCIOS
E
X
ER
C
ÍC
IO
S
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
Converta as Bases Numéricas
5010 => ______ 2 7510 => ______ 2
1100112 => ______ 10 10012 => ______ 10
29610 => ______ 8 100010 => ______ 8
1428 => ______ 10 77658 => ______ 10
22310 => ______ 16 1688910 => ______ 16
7A216 => ______ 10 FADA16 => ______ 10
BIBLIOGRAFIA
B
IB
LIO
G
R
A
FIA
Sistemas de Numeração e Conversão – IST-RIO
Livros
Internet
1. André Garcia, Professor – Apostila de Técnicas Digitais -
http://www.tecmos.com.br/APOSTILA%20%20%20DE%20T%C9CNICAS%20DIGITAIS.doc
2. Wikipedia – Conversão entre Sistemas Numéricos -
http://pt.wikipedia.org/wiki/Convers%C3%A3o_entre_sistemas_num%C3%A9ricos
Outros Materiais
1. Márcio Gonçalves, Professor – Notas de Aula – Matéria Arquitetura de ComputadoresI – IST-RIO / 2004