Determinantes unesp

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Projeto TEIA DO SABER 2006 UNESP – Campus de Guaratinguetá
Secretaria de Estado da Educação, SP. Departamento de Matemática
Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)
ProfaDra Ana Paula Marins Chiaradia
DETERMINANTES
O determinante de uma matriz quadrada A, de ordem n, onde:
A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
nxn
é denotado por detA ou |A|, e é definido como sendo o número obtido pela soma algébrica dos
n! (n fatorial) produtos possíveis constituídos por um elemento de cada linha e de cada coluna de A
multiplicado por 1 ou por -1, de acordo com a seguinte regra :
“Seja o produto escrito na seguinte forma: a1i ⋅ a2j ⋅ a3k ⋅. . . (n termos).
Se a seqüência dos índices i , j, k é um permutação par em relação a 1,2,3, . . . . ,n, então o
produto deve ser multiplicado por 1; do contrário, o produto deverá ser multiplicado por -1”.
Entenda-se por permutação, o número de trocas necessárias para se ordenar uma seqüência
i, j,k. . .n.
Dessa forma, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2:
A =
a11 a12
a21 a22
2x2
será definido pelo produto:
detA =
a11 a12
a21 a22
= a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
E o determinante de uma matriz quadrada de ordem 3:
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
3x3
será definido pelo produto:
detA =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a23a12 − a13a22a31 + a23a32a11 + a33a21a12
Quando |A|= 0, a matriz A é dita singular.
TEIA DO SABER
Exercício 1: Calcule os determinates:
1.
3 4
−1 3
2.
5 1
0 3
= 3.
3 −1 2
4 5 6
0 1 0
4.
1 0 −1
2 5 0
1 2 2
Propriedades
As seguintes propriedades permitem facilitar o problema do cálculo de determinantes:
1. O determinante é nulo, se todos os elementos de uma linha ou coluna da matriz são nulos;
Exemplo:
2 −6 7
0 0 0
5 4 8
=
4 3 0
5 9 0
−1 10 0
=
2. O determinante não se altera se todas as linhas i são permutadas com todas as colunas i,
isto é,
detA = detAT.
Exemplo: Seja a matriz A =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
com detA =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
=
Trocando a linha 1 pela coluna 1, linha 2 pela coluna 2 e linha 3 pela coluna 3, isto é,
calculando a matriz transposta de A:
AT =
1 −1 4
3 0 3
2 3 2
. Então, o determinante de AT =
1 −1 4
3 0 3
2 3 2
=
3. O determinante muda de sinal se uma linha da matriz é permutada com outra linha, ou se
uma coluna é permutada com outra coluna;
Exemplo: Seja a matriz A =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
. Trocando a linha 2 com a linha 3, temos
2
TEIA DO SABER
B =
1 3 2
4 3 2
−1 0 3
.
Então, o determinante de B =
1 3 2
4 3 2
−1 0 3
= − 27
4.Se os elementos de uma linha ou coluna são multiplicados por um número, o determinante
fica também multiplicado por este número;
Exemplo: Seja a matriz A =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
Multiplicando a linha 2 da matriz A por -2, temos B =
1 3 2
2 0 −6
4 3 2
e
1 3 2
2 0 −6
4 3 2
= −2 ⋅ detA
Multiplicando a coluna 3 da matriz A por 3, temos C =
1 3 6
−1 0 9
4 3 6
e
1 3 6
−1 0 9
4 3 6
= 3 ⋅ detA =
Multiplicando a matriz A por 2, isto é, cada linha ou coluna será multiplicada por 2, temos:
D =
2 6 4
−2 0 6
8 6 4
, então o detD = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ detA =
De uma forma geral, detk ⋅ A = kn ⋅ detA, onde k é uma constante real.
3
TEIA DO SABER
5. O determinante é nulo se os elementos de duas linhas ou duas colunas são iguais ou
proporcionais entre si;
Exemplo:
2 4 2
3 0 3
2 7 2
=
1 2 3
3 2 7
−2 −4 −6
=
Duas colunas iguais Duas linhas proporcionais
6. Se A é uma matriz triangular (triangular superior ou inferior ou diagonal) de ordem n, então
detA é o produto dos elementos da diagonal principal da matriz, ou seja, detA = a11 ⋅ a22 ⋅. . . ⋅ann.
Exemplo:
2 3 5
0 −2 7
0 0 1
=
3 0 0
−5 2 0
−8 −9 4
=
3 0 0
0 2 0
0 0 4
=
7. O determinante da matriz identidade é 1 seja qual for a sua ordem, isto é, detIn = 1.
Exemplo:
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
=
8. O determinante não se altera se somarmos aos elementos de uma linha ou coluna os
respectivos elementos de outra linha ou coluna multiplicados por um número.
Exemplo: Seja a matriz A =
1 3 2
−1 0 3
4 3 2
.Substituindo a linha 2 pela soma da linha 2 mais o
três vezes a linha 1, isto é, L2 = L2 + 3 ⋅ L1, temos:
1 3 2
2 9 9
4 3 2
. Então,
1 3 2
2 9 9
4 3 2
=
4
TEIA DO SABER
9.detA + B ≠ detA + detB, em geral.
Exemplo: Sejam as matrizes A =
3 −2
4 5
e B =
0 1
3 5
Calcule
detA =
3 −2
4 5
= detB =
0 1
3 5
=
A + B =
3 −2
4 5
+
0 1
3 5
= detA + B =
10. detA ⋅ B = detA ⋅ detB = detBA
Exemplo: Sejam as matrizes A =
3 −2
4 5
e B =
0 1
3 5
, as matrizes do exemplo
anterior.
Calcule
A ⋅ B =
3 −2
4 5
⋅
0 1
3 5
=
detA ⋅ B =
11) detAn = detAn
Exemplo: Seja a matrizes A =
3 −2
4 5
.
Calcule
3 −2
4 5
Calcule A2 =
3 −2
4 5
3 −2
4 5
e detA2 = e detA2 =
5
TEIA DO SABER
Exercício 2: Calcule os determinantes, procurando usar as propriedades. Especifique a
propriedade utilizada.
1.
1 1 1
3 0 −2
2 2 2
2.
3 1 0
0 −2 5
0 0 4
3.
0 0 1
0 5 −2
3 −1 4
4.
2 −3 −4
1 −3 −2
−1 5 2
5.
1 2 3
0 4 1
1 6 4
6.
4 1 3
−2 0 −2
5 4 1
7.
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
8.
0 2 0 0
−3 0 0 0
0 0 0 4
0 0 1 0
9.
1 0 1 0
0 1 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
Menores: O menor de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
determinante da submatriz Mij gerada pela retirada de i-ésima linha e da j-ésima coluna desta
matriz.
Notação: |Mij |.
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A =
4 −1 2
3 0 5
6 1 7
. O menor do elemento a21 é o
determinante da submatriz M21 gerada pela retirada da linha 2 e coluna 1, isto é,
|M21 | =
−1 2
1 7
= − 9.
Uma matriz de ordem n possui nxn menores, cada um associado a um elemento desta matriz.
Cofatores: O cofator de um elemento aij de uma matriz A de ordem n é definido como sendo o
"menor com sinal" de aij e é dado pela seguinte relação:
Cofaij = −1i+j ⋅ |Mij|
Exemplo: Em relação ao exemplo anterior: Cofa21 = −12+1 ⋅ |M21|= −1−9 = 9.
Matriz de Cofatores: é definida como sendo a matriz cujos elementos são os cofatores dos
elementos da matriz original, ou seja:
6
TEIA DO SABER
Se A =
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann
nxn
, então a matriz dos cofatores é dada por:
CofA =
cofa11 cofa12 . . . cofa1n
cofa21 cofa22 . . . cofa2n
. . . . . . . . . . . .
cofan1 cofan2 . . . cofann
nxn
Matriz Adjunta: é definida como sendo a matriz de cofatores transposta, ou seja,
AdjA = CofAT.
Exemplo: A matriz dos cofatores de A =
4 −1 2
3 0 5
6 1 7
. é
Exemplo: E a matriz adjunta de A =
4 −1 2
3 0 5
6 1 7
é:
Calculando Determinantes ao longo de linhas ou colunas
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n pode ser expandido em função de
cofatores, mediante uma das seguintes expressões:
|A| =
k=1
n
∑ aikcofaik,desenvolvendo através da linha i,ou
|A| =
k=1
n
∑ akjcofakj,desenvolvendo através da coluna j.
Exemplo: Seja A uma matriz de ordem 3: A =
2 3 5
6 7 5
1 10 11
.
O determinante calculado ao longo da primeira coluna é dado por:
detA = 2 ⋅ −11+1 ⋅
7 5
10 11
+ 6 ⋅ −12+1 ⋅
3 5
10 11
+ 1 ⋅ −13+1 ⋅
3 5
7 5
=
O determinante calculado ao longo da segunda linha é dado por:
7
TEIA DO SABER
detA = 6 ⋅ −12+1 ⋅
3 5
10 11
+ 7 ⋅ −12+2 ⋅
2 5
1 11+ 5 ⋅ −12+3 ⋅
2 3
1 10
=
Seja qual for a linha ou coluna utilizada para calcular o determinante, o resultado será o
mesmo:
det
2 3 5
6 7 5
1 10 11
= 136
DICA: Calcular o determinante ao longo da linha ou coluna que tenha o maior número de
zeros.
Exercício 3: Usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça
conveniente.
1.
5 2 2
−1 1 2
3 0 0
2.
1 1 −1
2 0 1
3 −2 1
3.
−4 1 3
2 −2 4
1 −1 0
4.
cosθ senθ tgθ
0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ
(lembrando que cos2θ + sen2θ = 1)
5.
1 −1 0 3
2 5 2 6
0 1 0 0
1 4 2 1
6.
2 0 3 −1
1 0 2 2
0 −1 1 4
2 0 1 −3
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TEIA DO SABER
Exercícios de Fixação
1. Calcule os determinantes:
a)
a b 0
0 a b
a 0 b
b)
0 a 0
b c d
0 e 0
c)
0 0 0 a
0 0 b c
0 d e f
g h i j
d)
1 0 0
0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ
2. Resolva a equação
x 5 7
0 x + 1 6
0 0 2x − 1
= 0. .
3. Encontre os determinantes, assumindo que
a b c
d e f
g h i
= 4.
a)
2a 2b 2c
d e f
g h i
b)
3a −b 2c
3d −e 2f
3g −h 2i
c)
d e f
a b c
g h i
d)
a + g b + h c + i
d e f
g h i
e)
2c b a
2f e d
2i h g
Exercícios de aplicação
1. Calcule a área do paralelogramo determinado pelos pontos:
a) (-2,-2), (0,3), (4,-1) e (6,4)
b) (0,0), (5,2), (6,4), (11,6)
c) (0,0), (-1,3), (4,-5), (3,-2)
2. Calcule a área do triângulo de vértices:
a) (0,0), (3,4), (-2,3)
b) (2,-1), (3,3), (-2,5)
c) (-3,-1), (1,4), (3,-2)
3. Determine o volume do paralelepípedo que tem os seguintes vértices:
a) (0,0,0), (1,0,-2), (1,2,4) e (7,1,0)
b) (0,0,0), (1,4,0), (-2,-5,2) e (-1,2, -1)
Resp: a) 22 b) 15
4) Determine a equação da reta que passa pelos pontos dados:
a) (2,0) e (0,3)
b) (2,3) e (-1,0)
c) (1,2) e (4,3)
d) (-2,1) e (4,3)
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TEIA DO SABER
Respostas dos exercícios
Ex. 3
1) 6 2) 7 3) -12 4) cosθ 5) 4 6) 8
Exercícios de fixação
1) 1) ab2 + a2b b 0 c) abdg d 1
2) x = 0 ou x = −1 ou x = ½
3) a) 8 b) -24 c) -4 d) 4 e) -8
Exercícios de aplicação
1) a) 28 b) 8 c) 7
2) a) 17/2 b) 11 c) 17
3) a) 22 b) 15
4) a) y = 3-3x/2 b) y =1+x c) y=x/3+5/3 d) y=-5/3-4x/3
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