matriz

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Matrizes
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o. Uma matriz m× n e´ uma tabela de mn nu´meros dispostos em m linhas e n colunas
A =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 ... amn
 .
Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos, desde que seus elementos sejam todos do
mesmo tipo, neste curso em n´ıvel introduto´rio lidaremos apenas com matrizes cujos elementos sa˜o nu´meros
reais; por esse motivo, tais matrizes sa˜o chamadas de matrizes reais. A definic¸a˜o matematicamente precisa
para uma matriz real A, m × n, e´ a seguinte: A e´ uma func¸a˜o A : [1,m] × [1, n] → R; ao inve´s da notac¸a˜o
usual para func¸o˜es aplicadas em elementos A(i, j), para matrizes usa-se a notac¸a˜o indexada Aij . Quando se
fala de matrizes, esta definic¸a˜o e´ implicitamente entendida, mas ningue´m se refere a matrizes como func¸o˜es
de modo expl´ıcito. Ficamos satisfeitos com a compreensa˜o intuitiva e a fa´cil visualizac¸a˜o proporcionada pela
definic¸a˜o pouco rigorosa anterior.
Exemplo 1.
A =

4 3 pi
7 −1 3
5 0 −27
−2 √2 106
 e´ uma matriz 4× 3.
A i-e´sima linha de A e´ [
ai1 ai2 ... ain
]
onde i = 1, ...,m, isto e´, i pode ser qualquer nu´mero entre 1 e m.
A j-e´sima coluna de A e´ 
a1j
a2j
...
amj
 .
onde j = 1, ..., n, isto e´, j pode ser qualquer nu´mero entre 1 e n.
Exemplo 2. A 2a linha da matriz A do Exemplo 1 e´[
7 −1 3 ] .
1
A 3a coluna de A e´ 
pi
3
−27
106
 .
Matrizes em geral sa˜o denotadas na forma
A = (aij)m×n,
ou simplesmente
A = (aij),
quando na˜o ha´ necessidade de enfatizar a dimensa˜o m× n da matriz.
Existem duas notac¸o˜es padra˜o para um elemento individual de uma matriz:
aij ou [A]ij
representam o elemento da matriz A que ocupa a posic¸a˜o ij, ou seja, esta´ na linha i e na coluna j.
Duas matrizes A = (aij)m×n e B = (blk)l×k sa˜o iguais se e somente se elas teˆm o mesmo tamanho, isto
e´, m = l e n = k, e se os elementos que ocupam posic¸o˜es iguais sa˜o iguais, isto e´, aij = bij .
Exemplo 3. (Matriz como um modelo para a apresentac¸a˜o de dados)
Va´rios tipos de pesticidas sa˜o absorvidos de maneira diferente por plantas diversas. Uma matriz
pode ser usada para apresentar os dados obtidos em observac¸o˜es sobre a quantidade de treˆs pesticidas
diferentes absorvidos por quatro plantas determinadas: seja
aij = quantidade do pesticida i absorvido pela planta j (em mg) em um meˆs chuvoso;
enta˜o A = (aij)3×4 e´ a tabela
A =
Planta 1 23
4
Planta 2
3
2
1
Planta 3
4
2
6
Planta 4
3
5
4
 Pesticida 1Pesticida 2
Pesticida 3
Operac¸o˜es com Matrizes
Soma de Matrizes
A adic¸a˜o de matrizes e´ definida somente para matrizes de mesmo tamanho. Se A e B sa˜o duas matrizes de
mesmo tamanho m× n, a soma destas duas matrizes, denotada A+ B, e´ tambe´m uma matriz m× n, cujo
elemento na posic¸a˜o ij e´ definido como sendo a soma dos elemento de A e B que ocupam a posic¸a˜o ij. Ou
seja, se
A = (aij)m×n e B = (bij)m×n,
enta˜o C = A+B e´ a matriz (cij)m×n definida por
cij = aij + bij .
Exemplo 4. Sejam
A =
 2 √2pi −3
0 7
 e B =
 4 13 3
106 4
 .
Enta˜o
A+B =
 2 √2pi −3
1 7
+
 4 13 3
106 0
 =
 6 √2 + 1pi + 3 0
1 + 106 7
 .
2
Multiplicac¸a˜o de uma Matriz por um Escalar
Um escalar e´ qualquer nu´mero real.
Se A e´ uma matriz m× n e α e´ um escalar, enta˜o o produto da matriz A pelo escalar α, denotado αA, e´
tambe´m uma matriz m× n, cujo elemento na posic¸a˜o ij e´ definido como sendo o produto do elemento de A
que ocupa a posic¸a˜o ij pelo escalar α. Ou seja, se
A = (aij)m×n
enta˜o C = αA e´ a matriz (cij)m×n definida por
cij = αaij .
Exemplo 5. Experimentalmente, verifica-se que durante um meˆs seco, a quantidade de pesticida absorvido
por uma planta aumenta em 1.5. Portanto, em um meˆs chuvoso, a quantidade de pesticida i absorvido
pela planta j (em mg) e´ representado pela matriz 1.5A, isto e´,
1.5
 2 3 4 33 2 2 5
4 1 6 4
 =
 3 4. 5 6 4. 54. 5 3 3 7. 5
6 1. 5 9 6
 .
Supondo que tivemos treˆs meses de chuva e quatro de seca nesta estac¸a˜o, a quantidade total de pesticida
i absorvido pela planta j pode ser obtida diretamente consultando-se a matriz soma
3
 2 3 4 33 2 2 5
4 1 6 4
+ 4
 3 4. 5 6 4. 54. 5 3 3 7. 5
6 1. 5 9 6
 =
 18 27 36 2727 18 18 45
36 9 54 36
 .
Por exemplo, a planta 2 absorveu 9 mg do pesticida 3; de todas as plantas foi a que absorveu a menor
quantidade de pesticidas. Ja´ as plantas 3 e 4 foram as que absorveram a maior quantidade de pesticidas,
a planta 3 tendo chegado a absorver 54 mg do pesticida 3.
Produto de Matrizes
O produto de duas matrizes esta´ definido quando o nu´mero de colunas da primeira matriz e´ igual ao nu´mero
de linhas da segunda. Se
A = (aij)m×p e B = (bij)p×n,
enta˜o C = AB e´ a matriz (cij)m×n definida por
cij =
p∑
k=1
aikbkj .
A notac¸a˜o de somato´rio e´ utilizada para evitar escrever expresso˜es grandes, resumindo-as em um s´ımbolo
curto. A expressa˜o acima significa que os ı´ndices i, j sa˜o mantidos fixos, enquanto que o ı´ndice k varia desde
k = 1 ate´ k = p; em outras palavras,
cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ...+ aipbpj ;
para encontrarmos o elemento ij da matriz produto AB, multiplicamos cada um dos elementos da i-e´sima
linha de A pelo correspondente elemento da j-e´sima coluna de B (como as linhas de A teˆm o mesmo nu´mero
de elementos que as colunas de B, na˜o sobram nem faltam elementos) e somamos os p produtos obtidos.
3
A notac¸a˜o de somato´rio e´ extremamente conveniente. Assim, por exemplo, para calcular o elemento c52 da
matriz C, produto das matrizes A7×20 e B20×4, ao inve´s de escrevermos
c52 = a51b12 + a52b22 + a53b32 + a54b42 + a55b52 + a56b62 + a57b72 + a58b82 + a59b92 + a5,10b10,2
+ a5,11b11,2 + a5,12b12,2 + a5,13b13,2 + a5,14b14,2 + a5,15b15,2 + a5,16b16,2 + a5,17b17,2 + a5,18b18,2
+ a5,19b19,2 + a5,20b20,2,
usando a notac¸a˜o de somato´rio podemos escrever simplesmente
c52 =
20∑
k=1
a5kbk2.
Na˜o se assuste com a notac¸a˜o de somato´rio. Compreenda-a bem, porque o seu intuito e´ simplificar a notac¸a˜o
e economizar espac¸o; ale´m disso, voceˆ vai-se deparar com ela em va´rias disciplinas do seu curso (inclusive,
voceˆ vai aprender a lidar com somato´rio infinitos). Resolva os diversos exerc´ıcios do livro que empregam
esta notac¸a˜o para se familiarizar bem com ela e sentir-se conforta´vel em usa´-la.
Exemplo 6. Sejam
A =
[
1 0 −1
3 2 5
]
2×3
e B =
 1 0 −1 10 0 0 2
2 1 0 3

3×4
.
Enta˜o
AB =
[
1 0 −1
3 2 5
] 1 0 −1 10 0 0 2
2 1 0 3
 = [ −1 −1 −1 −213 5 −3 22
]
,
mas note que BA na˜o esta´ definida.
Por que a multiplicac¸a˜o de matrizes e´ definida de forma ta˜o complicada? Em Matema´tica nada e´ definido
de forma arbitra´ria como e´ o caso de um jogo de xadrez, por exemplo. As definic¸o˜es so´ existem a` medida em
que elas sa˜o u´teis. O exemplo a seguir mostra um dos motivos por que o produto de matrizes e´ definido da
forma como e´. Existem inu´meros outros motivos, todos eles conectados ao uso das matrizes como modelos
de certos processos matema´ticos usados no estudo dos fenoˆmenos f´ısicos (um deles veremos na pro´xima aula:
o uso de matrizes para simplificar a notac¸a˜o de sistemas lineares e para resolver os mesmos).
Exemplo 7. Suponhamos que a matriz B = (bij) representa a quantidade da planta i que o herb´ıvoro j
consome por meˆs:
B =
Animal 1
20
28
30
40
Animal 2
12
15
12
16
Animal 3
8
15
10
20

Planta 1
Planta 2
Planta 3
Planta 4
Enta˜o a matriz produto AB da´ a quantidade de pesticida i que o herb´ıvoro j absorveu em um meˆs
chuvoso devido ao seu consumo das plantas (assumindo que todo o pesticida contido nas plantas e´
absorvido pelo animal). Porexemplo, a quantidade de pesticida 2 que o herb´ıvoro 3 absorveu e´ dada
por
[
3 2 2 5
] 
8
15
10
20
 = 174 mg.
AB =
 2 3 4 33 2 2 5
4 1 6 4


20 12 8
28 15 15
30 12 10
40 16 20
 =
Animal 1 364376
448
Animal 2
165
170
199
Animal 3
161
174
187
 Pesticida 1Pesticida 2
Pesticida 3
.
4
A Transposta de uma Matriz
A transposta de uma matriz e´ obtida transformando linhas em colunas. O efeito disso e´ que o elemento que
ocupava a posic¸a˜o ij passa a ocupar a posic¸a˜o ji. Ou seja, se
A = (aij)m×n,
enta˜o
At = (aji)n×m.
Exemplo 8. Se
A =
[
2 −10 5
−1 3 4
]
,
enta˜o
At =
 2 −1−10 3
5 4
 .
Propriedades das Operac¸o˜es com Matrizes
Propriedades da Soma
1) Comutatividade
A+B = B +A.
Porque
[A+B]ij = aij + bij = bij + aij = [B +A]ij .
2) Associatividade
A+ (B + C) = (A+B) + C.
Porque
[A+ (B + C)]ij = aij + (bij + cij) = (aij + bij) + cij = [(A+B) + C]ij .
3) Existeˆncia de Elemento Neutro
Definindo a matriz nula 0m×n como sendo a matriz
0 =
 0 · · · 0... . . . ...
0 · · · 0
 ,
temos
A+ 0 = 0 +A = A.
4) Existeˆncia de Elemento Sime´trico
Definindo a matriz −A como sendo
−A = (−1)A,
temos
A+ (−A) = 0.
A existeˆncia do sime´trico para qualquer matriz permite definir a operac¸a˜o de subtrac¸a˜o de matrizes:
A−B = A+ (−B).
5
Propriedades da Multiplicac¸a˜o por Escalar
Na˜o faz sentido falar em comutatividade para esta operac¸a˜o, ja´ que ela envolve operandos de naturezas
completamente diferentes: um e´ um nu´mero, enquanto que o outro e´ uma matriz.
1) Associatividade
α(βA) = (αβ)A.
2) Distributividade
(α+ β)A = αA+ βA,
α(A+B) = αA+ αB.
3) Existeˆncia de Elemento Neutro
1A = A.
Propriedades do Produto
Como o produto de matrizes e´ definido de forma complicada, as propriedades satisfeitas pela multiplicac¸a˜o
de nu´meros reais em geral na˜o valem para a multiplicac¸a˜o de matrizes. Por exemplo, o produto de matrizes
em geral na˜o e´ comutativo, mesmo quando ambos os produtos AB e BA esta˜o definidos.
Exemplo 9. Sejam
A =
[
1 2
3 4
]
e B =
[
1 1
−1 −1
]
.
Enta˜o
AB =
[
1 2
3 4
] [
1 1
−1 −1
]
=
[ −1 −1
−1 −1
]
;
BA =
[
1 1
−1 −1
] [
1 2
3 4
]
=
[
4 6
−4 −6
]
.
Algumas das outras propriedades sa˜o satisfeitas:
1) Associatividade
A(BC) = (AB)C.
De fato, se A = (aij)m×p, B = (bij)p×q e C = (cij)q×n, enta˜o os produtos esta˜o todos definidos e no´s
temos
[A(BC)]ij =
p∑
r=1
air[BC]rj =
p∑
r=1
air
(
q∑
s=1
brscsj
)
=
p∑
r=1
q∑
s=1
air (brscsj) =
p∑
r=1
q∑
s=1
(airbrs) csj
=
q∑
s=1
p∑
r=1
(airbrs) csj =
q∑
s=1
(
p∑
r=1
airbrs
)
csj =
q∑
s=1
[AB]iscsj = [(AB)C]ij .
2) Distributividade
A(B + C) = AB +AC,
(A+B)C = AC +BC.
6
3)
α(AB) = (αA)B = A(αB)
E´ um bom exerc´ıcio de treinamento da notac¸a˜o de somato´rio provar as propriedades 2) e 3) acima.
4) Existeˆncia de Elemento Neutro
Defina a matriz identidade In como sendo a matriz
I =

1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 1
 ,
ou seja, a matriz quadrada n × n cujos elementos sa˜o 1, ocupando todas as posic¸o˜es na diagonal
principal, e 0, ocupando as demais posic¸o˜es. Se A e´ qualquer matriz m× n, temos
AIn = ImA = A.
Assim, para o produto de matrizes quadradas n × n, existe um elemento neutro: a matriz identidade
In.
Como para a multiplicac¸a˜o de matrizes quadradas existe um elemento neutro, podemos perguntar se
toda matriz quadrada possui um elemento inverso para a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o, isto e´, dada uma matriz
quadrada A, n× n, sera´ que sempre existe uma matriz quadrada X, n× n, tal que
AX = XA = I ?
A resposta a esta pergunta e´ na˜o. Embora todos os nu´meros reais possuem inversos multiplicativos com
excec¸a˜o do nu´mero 0, existe uma infinidade de matrizes diferentes da matriz nula 0 que na˜o possuem inversos
multiplicativos. Por este motivo, na˜o se define a operac¸a˜o de divisa˜o de matrizes.
Exemplo 10. Se
A =
[
1 1
1 1
]
,
enta˜o na˜o existe matriz B tal que AB = I.
De fato, se
B =
[
x y
z w
]
enta˜o
AB =
[
1 1
1 1
] [
x y
z w
]
=
[
x+ z y + w
x+ z y + w
]
e na˜o existem nu´meros x, z tais que ao mesmo tempo x+ z = 1 e x+ z = 0.
O fato de o produto de matrizes na˜o ser comutativo, juntamente com o fato de existirem infinitas ma-
trizes ale´m da matriz nula que na˜o possuem inversos multiplicativos, fazem com que muitas propriedades
trivialmente satisfeitas pelos nu´meros reais deixam de ser satisfeitas pelas matrizes.
7
Propriedades da Transposta
1) (At)t = A.
2) (A+B)t = At +Bt.
3) (AB)t = BtAt.
Esta e´ a u´nica propriedade que na˜o e´ o´bvia. Por outro lado, note que se o produto AB esta´ definido,
enta˜o o produto AtBt em geral na˜o estara´. Vamos verificar esta propriedade:
[(AB)t]ij = [AB]ji =
p∑
k=1
ajkbki =
p∑
k=1
[At]kj [Bt]ik =
p∑
k=1
[Bt]ik[At]kj = [BtAt]ij .
4) (αA)t = αAt.
Polinoˆmios de Matrizes
Assim como podemos definir polinoˆmios de nu´meros reais xn, podemos tambe´m definir polinoˆmios de ma-
trizes (sempre que uma operac¸a˜o for associativa, e´ poss´ıvel fazer isso). Definimos
An = A . . . A︸ ︷︷ ︸
n vezes
.
Polinoˆmios de matrizes sa˜o extremamente importantes, por exemplo no estudo de sistemas de equac¸o˜es
diferenciais ordina´rias.
Teste
1. Calcule A3 se
A =
[
1 2
3 4
]
.
2. Para quaisquer nu´meros reais a, b no´s temos
(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2,
(a+ b)(a− b) = a2 − b2.
Sera´ que
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2,
(A+B)(A−B) = A2 −B2
para quaisquer matrizes quadradas A,B de mesmo tamanho?
8