MatrizesInversas

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Projeto TEIA DO SABER 2006 UNESP – Campus de Guaratinguetá
Secretaria de Estado da Educação, SP. Departamento de Matemática
Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e
suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial)
Profa Dra Ana Paula Marins Chiaradia
MATRIZ INVERSA
Matriz Inversa: Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se detA ≠ 0, então existe uma
matriz B, tal que a seguinte relação seja satisfeita :
A ⋅ B = B ⋅ A = I (I é a matriz identidade)
A matriz B é chamada de matriz inversa de A e representada por B = A−1.
Logo, temos:
A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
Observe que a operação de multiplicação com a matriz inversa é comutativa.
Se detA = 0, dizemos que a matriz A é não-inversível ou singular.
Cálculo da Matriz Inversa
A matriz inversa é calculada pela seguinte relação:
A−1 = 1detA AdjA.
Exemplo: Calculando a matriz inversa de A =
2 3 5
6 7 5
1 10 11
Calculando-se o determinante da matriz A:
2 3 5
6 7 5
1 10 11
= 136
A matriz de cofatores é calculada como sendo: CofA =
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
.
A matriz adjunta é ,a matriz dos cofatores A transposta:
TEIA DO SABER
AdjA = CofAT =
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
Com isso temos:
A−1 = 1detA AdjA =
1
136
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
=
27
136
1
8 −
5
34
−
61
136
1
8
5
34
53
136 −
1
8 −
1
34
.
Obs: Uma matriz triangular é inversível, se e somente se seus elementos na diagonal principal
são todos não-nulos.
Exercício 1: Calcule a matriz inversa de A, se possível:
a) A =
3 −1
1 1
b)
6 3
2 1
Propriedades
1) A inversa de uma matriz triangular inferior é uma matriz triangular inferior.
2) A inversa de uma matriz triangular superior é uma matriz triangular superior.
3) Se A ⋅ B é inversível, então A ⋅ B−1 = B−1 ⋅ A−1.
4) A é inversível, então A−1−1 = A.
5) A−n = A−1n =
n fatores
A−1 ⋅ A−1 ⋅… ⋅A−1.
5) An é inversível e An−1 = A−1n para n = 0,1,2, . . .
6) Para qualquer k constante real, a matriz k.A é inversível e k ⋅ A−1 = 1k A
−1.
7) Se A é uma matriz inversível, então AT também é inversível e AT−1 = A−1T.
8) Se A é uma matriz simétrica inversível, então A−1 é simétrica.
9) Se A é uma matriz inversível, então A ⋅ AT e AT ⋅ A são também inversível.
10) detA−1 = 1detA , se detA ≠ 0.
2
TEIA DO SABER
Exercício 2: Seja A =
4 7
1 2
. Calcule:
a) A3 b) A−3 c) A2 − 2 ⋅ A + I, onde I é a matriz identidade
Exercício de Fixação
1. Encontre a matriz inversa de cada matriz dada, se possível:
a) A =
3
4
3
5
5
6
2
3
Resp:é singular
b)
2
2 − 2
2 2 2
Resp:
1
5 2
1
5 2
−
2
5 2
1
10 2
c)
cosθ −senθ
senθ cosθ
Resp:
cosθ senθ
−senθ cosθ
2. Mostre que a matriz
1 0 0
0 cosθ −senθ
0 senθ cosθ
é inversível para todos os valores de θ. Em
seguida, encontre a sua inversa. Resp:
1 0 0
0 cosθ senθ
0 −senθ cosθ
.
3. Dada A =
2 1
1 1
. Calcule:a) A2 b) A−2 c) A2 − 3 ⋅ A + I
Resp: a)
5 3
3 2
b)
2 −3
−3 5
c) matriz nula
4. Dadas as matrizes A =
−2 −3
1 1
e B =
2 0
4 1
. Calcule:
a) A ⋅ B−1 b) A ⋅ BT c) A ⋅ A−1 − I d) 2 ⋅ B−1
Resp: a)
1
2
3
2
−3 −8
b)
−16 6
−3 1
c) 0 d)
1
4 0
−1 12
3