APOSTILA DE TOPOGRAFIA EDUCAR

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APOSTILA DE TOPOGRAFIA 
 
É comum encontrar pessoas que não conhecem as aplicações da Topografia talvez pelas 
necessidades de cada um ou, simplesmente, pela falta de informações precisas sobre esta ciência que 
é indispensável para a grande maioria das obras de engenharia. 
Dentre muitas aplicações da Topografia, poderíamos citar como exemplo: a construção de 
rodovias e ferrovias; construção de barragens; construção de linhas de transmissão; redes de esgoto; 
obras de drenagem urbana e agrícola; na agronomia; na construção de prédios, além de servir de 
apoio para industrias na montagem de máquinas e equipamentos. Estes são apenas alguns exemplos 
de obras que, sem o apoio da Topografia ficariam comprometidas, ou seja, não seriam atendidas as 
exigências mínimas de qualidade, necessárias a qualquer obra de infra estrutura. 
Como podemos observar, as aplicações da Topografia são bastante diversificadas porem, não 
são complicadas. Para que possamos entender e utiliza-las corretamente será necessário, atenção e 
um certo interesse que, aliado ao apoio do professor, farão a diferença entre um profissional que sabe 
fazer, na prática e na teoria, de um que apenas foi a aula para passar o tempo. 
 
Conceito de Topografia: 
 
 O que é? 
O significado etimológico da palavra TOPOGRAFIA, quer dizer: 
TOPOS = Lugar, GRAFIA = Descrição - Topografia é a descrição de um lugar. 
 
Por definição clássica, Topografia é uma ciência baseada na Geometria e Trigonometria, de 
forma a descrever (medidas e relevos) e representar graficamente (desenho) parte da Superfície 
terrestre, restritamente, pois não leva em consideração a curvatura da Terra. 
Descrevendo o formato da área (quantos m
2
, seus confrontantes, sua orientação em relação ao 
Norte, infraestrutura existente, sanga, rios, matos e estradas etc). 
 
 Para que serve e onde usamos? 
A Topografia é uma atividade básica para qualquer serviço de engenharia. Como todas as 
obras de engenharia, agronomia e arquitetura, são executadas sobre parte da superfície terrestre, a 
partir de estudos e projetos previamente elaborados, cabe a topografia dar a base para que estes 
projetos sejam executados com maior precisão e 
locados corretamente na área onde serão 
executados. A topografia auxilia projetos e obras: 
a - Construção Civil, como prédios, pontes, 
rodovias, barragens, ferrovias, etc. 
b - Urbanismo, como plano diretor, sistema viário, 
eletrificação, saneamento, loteamentos, rede 
telefônica, etc. 
c - Agricultura, como projetos de culturas, 
drenagens, irrigações, cadastro de culturas, etc. 
d - Silvicultura, como reflorestamento, reservas 
florestais, etc. 
 
 Qual o resultado final, esperado a ser 
entregue? 
O resultado não passa de uma representação 
gráfica (gerar um desenho), dos dados obtidos no 
campo (terreno medido). A esta, se da o nome de 
Planta ou Desenho Topográfico. E ainda fazer um 
memorial descritivo da área. 
 
 Limite de atuação? 
De uma maneira geral (varia de acordo com diversos autores), considera-se o limite de 50 Km, a 
partir da origem do levantamento. A Norma NBR 13.133/94-Execução de Levantamento 
Topográfico, da ABNT, considera um plano de projeção limitado a 80 Km (item 3.40-d, da Norma). 
Assim, conclui-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. - Para levantamentos de grande precisão, deve-se dividir a área em 
triângulos com área menor que 40 km2 e os seus lados não devem 
exceder 10 km; 
2. – Para serviços de normal precisão, pode-se limitar a área cuja planta 
pode-se levantar, a um círculo de aproximadamente 50 km de raio; 
 
DIVISÕES DA TOPOGRAFIA: 
A TOPOGRAFIA pode se dividir em cinco partes principais : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1- Topometria: É o conjunto de métodos empregados para a coleta de dados, dados estes para o 
cálculo e representação gráfica de parte da superfície terrestre. Divide-se em: 
1.1 - Planimetria - É a representação em projeção horizontal dos detalhes naturais e artificiais, ( 
planta baixa ). 
 
1.2 - Altimetria - É a determinação das distâncias verticais de um certo número de pontos sobre 
a superfície a ser levantada, tendo como referência o nível médio dos mares ou o próprio plano 
topográfico. 
 
2 - Topologia: Tem por objetivo o estudo das formas exteriores da superfície terrestre e das leis a 
que rege o seu modelado. Sua aplicação principal é na representação da altimetria pelas curvas de 
nível, que são as intersecções obtidas por planos eqüidistantes paralelos ao plano de representação. 
 
3 - Taqueometria: Tem por finalidade a determinação das distâncias horizontais e verticais, de 
maneira indireta, através da resolução de triângulos retângulos situados no plano vertical. Sua 
principal utilização é em terrenos acidentados onde a determinação direta torna-se inviável. 
 
4 - Fotogrametria: São levantamentos fototopográficos, efetuados em áreas extensas, utilizando-se 
de equipamentos chamados de fototeodolitos ou fotogrâmetros. Divide-se em: 
4.1 - Aerofotogrametria. 
4.2 - Fotogrametria terrestre. 
 
5 - Goniometria: É a parte da topografia que trata da medição do ângulo azimutal (horizontal) e do 
ângulo vertical (perpendicular ao plano topográfico). Atualmente os fabricantes de teodolitos estão 
produzindo somente teodolitos com ângulos verticais zenitais, isto é, a origem do ângulo vertical é 
no zênite. 
Escala: 
Antes de começarmos o estudo desta ferramenta, poderosa e indispensável na execução de 
qualquer desenho, seja ele arquitetônico, técnico, topográfico, mecânico etc., seria bom entendermos 
sua importância. 
Imagine como seria representar um campo de futebol em folha de oficio ou como seria se 
quiséssemos representar uma engrenagem de relógio de pulso que tem 1mm de diâmetro nesta 
mesma folha. Percebe-se que, em cada um dos casos, serão utilizados procedimentos diferentes para 
alcançar o objetivo. No entanto em ambo os casos estaremos usando a escala como meio 
representação gráfica de cada um dos objetos. 
Na elaboração da Planta Topografica, as dimensões do papel devem ser suficientes para 
conter o selo, legenda, e proprio desenho. De acordo as recomendações da ABNT (NB-8/1969). 
Cálculo da escala: 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1.Uma linha de 250 metros de comprimento na escala 1/500 que tamanho ela terá em mm? 
 
2. Uma linha de 250 metros de comprimento na escala 1/1000 que tamanho ela terá em 
mm? 
 
3. Uma linha 1000 metros de comprimento na escala 1/2000 que tamanho ela terá em mm? 
 
4. Uma linha 2000 metros de comprimento na escala 1/2500 que tamanho ela terá em mm? 
 
5. A distância entre 2 pontos na planta é de 80 cm, para uma escala de 1/250, qual o seu 
valor no terreno ? 
 
6. A distância entre 2 pontos na planta é de 820 mm; sabendo-se que no terreno esses 
pontos estão distantes de 615 m, qual será a escala da planta ? 
 
 
Estudo das Medidas de Superfície 
 
Generalidades: A unidade que mais representa um espaço a ser ocupado, é sem dúvida as medidas 
de área (duas dimensões). De acordo com a ABNT, a medida padrão utilizada em topografia, é o 
metro quadrado (m
2
). 
 
Unidades de Superfície: Ainda hoje se utilizam alguns tipos de áreas para facilitar a leitura e 
dimensão. Qualquer unidade linear elevada ao quadrado, pode virar também unidade de área. Uma 
outra unidade que se utiliza é o hectare (ha), que é igual a 10.000m
2
. Para a conversão de outras 
unidades, poderemos utilizar a tabela a seguir: 
 
SISTEMA ANTIGO SISTEMA MÉTRICO 
1 palmo quadrado = 0,0484m² 
1 vara quadrada = 1,21m² 
1 braça quadrada = 4,84m² 
1 corda quadrada = 1089m² 
1 quadraquadrada = 17.424m² 
1 saco quadrado = 48.400m² 
1 quarta quadrada = 6.050m² 
1 jeira = 1.936m² 
1 alqueire menor ou paulista = 24.200m² 
1 alqueire geométrico ou mineiro = 48.400m² 
1 alqueirão do NE mineiro = 193.600m² 
1 alqueire de planta = 30.250m² 
1 data de campo = 2.722.500m² 
1 data de mato = 5.445.000m² 
1 sesmaria de mato = 10.890m² 
1 sesmaria de campo = 130.680m² 
1 quadra de sesmaria = 871.200m² 
1 légua de sesmaria = 435.60m² 
1 légua geográfica = 30.864.000m² 
1 milha quadrada = 3.429.350m² 
 
 É muito comum encontrar alguém confundindo unidade linear com unidade de superfície. A 
unidade de superfície é elevado ao expoente de 2, ou seja, é a representação da multiplicação de duas 
unidades lineares. Portanto quando informamos que uma área possui 1000m
2
 , isto não quer dizer 
que esta área é igual a 1km
2
, pois uma área de 1km
2
 eqüivale a um quadrado de 1km por 1km e 
portanto possui 1000000m
2
 (1000mX1000m). 
 
Materiais Topográficos 
 
Piquetes: São estacas de madeira com secção transversal 
quadrada de 4cm X 4cm, com comprimento de 20cm a 25cm , 
apontados em uma das extremidades. Tem por finalidade a 
materialização de um ponto topográfico, sendo cravado no solo, 
ficando apenas 1cm ou 2cm para fora, sem possíveis 
movimentos laterais. 
 
 
Estaca Testemunha: São estacas de madeira com secção transversal de 4cm X 4cm e com 50cm de 
comprimento, com um chanfro na parte superior, onde é colocado o nome ou número do piquete a 
que esta estaca se refere. Tem por finalidade, possibilitar a identificação e localização do piquete, 
ficando a mesma cravada a uma distância de 50cm do 
referido piquete, com o chanfro voltado para o 
mesmo. 
 
Teodolito e Estação Total: 
 
Balizas: São hastes metálicas ou de madeira de secção transversal circular ou oitavada, 
respectivamente, com 2m de comprimento, pintadas de branco e vermelho alternadamente em faixas 
de 50cm. Servem para materializar a vertical nos pontos topográficos (piquetes). 
 
 
Bússolas: Dentro de uma grande variedade de tipos, são 
constituídas basicamente de uma agulha magnética e um círculo 
graduado em limbo fixo ou móvel. Divide-se em tipo americano 
(Rumos), e tipo francês (Azimutes). Tem por finalidade a 
orientação do alinhamento em relação ao Norte Magnético. 
 
 
Trenas: São instrumentos utilizados para medição direta de distâncias. São 
graduadas em múltiplos e submúltiplos do metro, com comprimento variando 
de 20m a 50m. São fabricadas em fibra de vidro ou aço, com carretéis 
fechados ou abertos. 
 
 
 
Níveis: São aparelhos óticos destinados a determinação de desníveis entre pontos os topográficos, de 
amarrações, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nível Digital Nível Ótico 
 
Mira Falante: São construídas em forma de paralelepípedos em alumínio ou madeira, 
com 4m de comprimento, graduadas em metros e centímetros, nos tipos de encaixar e 
telescópica. Servem para as leituras estadimétricas na determinação dos desníveis e distâncias 
indiretas. 
 
Curiosidade sobre o Norte 
Norte magnético ( Nm ): Direção ao Polo Norte 
Magnético, polo este que concentra um enorme campo 
magnético que atrai as agulhas das bússolas indicando sua 
direção. 
Obs.: Devido à significativa variação da ordem de 
minutos de arco anualmente deste polo ao longo dos anos, 
torna-se necessária a correção do valor constantes da 
carta/mapa para a data do posicionamento desejado. 
 
 
Norte verdadeiro ( Nv ): Meridiana verdadeira ou 
geográfica, ou linha norte-sul verdadeira, aponta para o 
Polo Norte Físico da Terra, sendo a projeção do meridiano 
local sobre o plano do horizonte do observador; é determinada diretamente por processos 
astronômicos, através da observação dos astros. O azimute verdadeiro é utilizado em Topografia 
para cálculos das coordenadas locais (X, Y). O Norte verdadeiro será igual ao Norte geodésico 
quando o Datum for geocêntrico. 
 
Norte arbitrário ( Na ): Se no levantamento não foi determinada nenhuma orientação adota-se um 
valor arbitrário para efeito de cálculo. Em campo esta orientação pode ser um ponto fixo bem 
definido. Deve-se anotar que a orientação é arbitrária. 
 
Declinação magnética ( δ ): O ângulo formado pelas projeções dos meridianos verdadeiro e 
magnético no plano do horizonte, dá-se o nome de declinação magnética. A declinação magnética é 
contada a partir do extremo norte da direção Nv (norte verdadeiro), por leste ( + δ ou δ E ) ou por 
oeste ( - δ ou δ W ). A declinação magnética varia de acordo com o tempo e o local. 
 
Cálculo de atualização da declinação magnética. 
δ = δo + VA.( n°a ) 
Sendo: 
δ = declinação atualizada; 
δo = declinação inicial; 
VA = variação anual; 
n°a = número de anos. 
 
 
 
 
Exemplo: 
Para um levantamento topográfico que foi executado em 1977, a declinação magnética foi de -
10º20’14” com variação anual de -0º06’12”. Calcule a declinação magnética para o ano de 2003. 
 
δ = δo + VA . ( n°a ) 
δ = ? 
δo = -10º20’14” 
VA = -0º06’12” 
n°a = 2003 – 1977 = 26 anos 
δ = -10º20’14” + -0º06’12” . ( 26 ) 
δ = -13º01’26” 
 
Para o cálculo da declinação magnética de um determinado lugar podem se usar os softwares 
disponíveis gratuitamente na internet, exemplo, ELEMAG e DMAG. 
 
POLIGONAL: É um conjunto de alinhamentos consecutivos constituído de ângulos e distâncias. 
São classificadas em: 
 
 
POLIGONAL ABERTA: Segundo 
(NETO, OZÓRIO F. DE C.), uma 
poligonal aberta é aquela em que o 
ponto de partida não coincide com o 
de chegada. Pode estar apoiada ou não 
na partida ou na chegada. Neste tipo de 
poligonal não há condições de se 
verificar a precisão (rigor) das medidas 
lineares e angulares, isto é, saber 
quanto foi o erro angular ou linear. Nos serviços, podemos aplicar essa poligonal é usada para o 
levantamento de canais, estradas, adutoras, redes elétricas, dentre outros sem muita importância 
global. 
 
POLIGONAL FECHADA: É aquela em que o ponto de partida coincide com o de chegada. Pode 
estar apoiada ou não (partida). Nessa poligonal há condições de se verificar o rigor/precisão das 
medidas angulares e lineares, ou seja, podem-se determinar os erros cometidos e compará-los com 
erros admissíveis (tolerância). Nos trabalhos de campo, utiliza-se para projetos de loteamentos, 
Conjuntos habitacionais, levantamentos de áreas, usucapião, perímetros irrigáveis. Para 
Caminhamento no Sentido Horário, tem-se as medições dos ângulos externos (à direita), portanto: 
 
 
 
Para Caminhamento no Sentido Anti-Horário, tem-se as medições dos ângulos internos (à direita), 
portanto: 
 
 
 
POLIGONAL SECUNDÁRIA, ENQUADRADA OU AMARRADA: É aquela em que o ponto de 
partida não coincide com o de chegada, porém são conhecidos elementos numéricos de 
posicionamento (coordenadas e orientação em relação à direção norte) na partida e na chegada. 
Portanto ela é uma 
poligonal bi-apoiada. 
Neste tipo de poligonal 
há condições de se 
verificar o 
rigor/precisão nas 
medidas de distâncias e 
de orientação 
(azimute/rumo). 
 
 
INTRODUÇÃO À TEORIA DOS ERROS 
 
Noções Elementares: Quando tratamos de qualquer tipo de medida, não existe forma de medi-la 
perfeitamente. Mesmo com o mais avançado equipamento de medição, ele jamais chegará ao 
perfeito. A exemplo do peso,das distâncias, dos ângulos, das áreas e de muitas outras medidas, os 
instrumentos que irão medi-las, são construídos com o objetivo de se obter a precisão ideal para o 
tipo de trabalho a ser executado. Quando medimos a distância de um ponto à outro, temos que ter a 
consciência de que existe um erro, e este erro depende do equipamento que estamos utilizando, das 
condiçõs, podendo ser na casa do milímetro, centímetro e até no decímetro. 
 
Classificação dos Erros 
Erros Grosseiros: São erros cometidos por falta de cuidado ou mesmo imperícia do operador. 
Podem portanto, ser evitados ou contornados pela repetição cuidadosa das medições realizadas. 
Exemplo: anotação de dados errada, interpretação errônea dos dados, falta de conhecimento dos 
equipamentos, etc. 
 
Erros Sistemáticos: São erros cometidos que alteram as medidas sempre num mesmo sentido. A 
única forma de anulá-lo, é estudando-o de forma que após a coleta da medição, poderemos minimizá-
lo ou mesmo anulá-lo já na técnica da medição. Normalmente é decorrente das condições do próprio 
equipamento. Exemplo: graduação de trena errada, graduação errada do limbo do equipamento, 
catenária da trena em função de seu peso, etc. 
 
Erros Acidentais: Os erros acidentais decorrem de causas imprevistas ou desconhecidas. São 
aqueles que decorrem de causas naturais como adversidade do meio (vento, chuvas, sol), do sentido 
humano (visão, força) e da natureza de construção dos equipamentos (trena com graduação de 1cm, 
teodolito com graduação de 1’). Nestes casos geralmente teremos erros desprezíveis, visto que os 
mesmos afetam sinais positivos e negativos, muitas vezes anulados. 
 
Planimetria: 
 
Já vimos que planimetria se preocupa apenas com o plano desprezando os contornos do 
relevo, mas como se procede os levantamentos planimétricos? 
 Reconhecimento do Terreno 
 Levantamento dos detalhes (estrada, casa, mato, rio etc) 
 Cálculos: Azimute Coordenadas e área 
 Desenho da planta 
No campo precisamos coletar, Ângulo e Distancia, para posteriormente realizar os cálculos. 
Qual os procedimentos para iniar o levantamento da área? 
 Reconhecimento do Terreno: para se determinar mais ou menos os pontos que servirão como 
estação topografica, bem como, quais os detalhes que deverão ser levantados. 
 Determinar a orientação do Norte 
 Ter em mãos a tabela de campo para a coleta dos dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pronto o Levantameto em Campo, Basta Iniciar os Calculos da Tabela, Começando pelo Azimute . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mas o que é Azimute? 
 
Azimute ( Az ): É o ângulo de abertura 
formado apartir Norte (arbitrário, 
magnetico ou verdadeiro) até o ponto ou 
vertice que você ira ler . O Az, tem sempre a 
sua origem no Norte, variando de 0° à 360° no 
sentido horário, lembre-se NÃO EXITES AZ 
MAIOR QUE 360°. 
 
 
 
 
 
 
Formula do Az 
 
COORDENADAS CARTESIANAS E 
POLARES 
 
Se tivermos um ponto “A” num plano topográfico 
(horizontal), a sua situação neste plano pode ser 
determinada pelos valores “Xa” e “Ya” ou pelo ângulo “α“ e 
a distância “d”, constituindo as primeiros as coordenadas 
retangulares (cartesianas) e as segundas as polares. O eixo 
horizontal indica as medidas positivas a partir de um ponto zero para Leste (E); é chamado de Eixo 
“E”, “x” ou Eixos das Abscissas. O eixo vertical indica as medidas positivas a partir de um ponto 
zero para Norte (N); é chamado de Eixo “N”, “y” ou Eixos das Ordenadas. 
 
 
COORDENADAS RETANGULARES: 
Se tivermos um sistema cartesiano (eixos 
perpendiculares num plano), qualquer ponto 
“A” do mesmo é determinado pelas suas 
projeções “Xa” e “Ya” sobre os eixos, sendo 
“Xa” a abscissa e “Ya” a ordenada. A origem 
“O” divide ambos os eixos em dois segmentos; 
e os eixos dividem o plano em 4 quadrantes. Do 
triângulo O A Ya deduz-se as fórmulas que nos 
servem para calcular as coordenadas 
retangulares ou cartesianas de um ponto do 
plano, em função das polares correspondentes: 
Para o cálculo das projeções nos eixos x e y da 
linha O-A utilizamos as fórmulas 
 
 
 
 
COORDENADAS POLARES: Se tivermos um ponto 
“O” no plano e uma direção de referência “OY” 
(coincidente ou não com os eixos cartesianos) que 
passa por ele, qualquer outro ponto “A” do plano é 
determinado pelo ângulo que a direção “OA” forma 
com a referência e a distância “d” existente entre “O” e 
“A”; estes dois valores, ângulo “α“ e a distância “d”, 
constituem as coordenadas polares do ponto “A” e 
medem-se diretamente no terreno. 
Ao ponto “O”, chama-se polo, e também centro 
de irradiação, e à direção de referência “eixo polar”. 
 
 
COORDENADAS RELATIVAS E ABSOLUTAS: 
 
Normalmente, num levantamento topográfico não 
se pode fazer o levantamento de todos os pontos a partir de 
uma só estação, mas o levantamento de um ponto com o 
“C” tem de ser feito a partir de um ponto “B” cujas 
coordenadas tenham sido previamente calculadas. Calcula-
se primeiramente as coordenadas do ponto “B” aplicadas a 
esses eixos. Mas para achar as de “C” temos de agir do 
seguinte modo: Supõe-se traçado por “B” um sistema de 
eixos paralelos ao geral que passa por “A”. Calculam-se as 
coordenadas denominadas parciais ou relativas de “C”, em 
relação a “B”. As coordenadas de “C” em relação a “A”, 
denominada absolutas, obtêm-se somando algebricamente às absolutas de “B” às relativas de “C” em 
relação a “B”. As coordenadas absolutas de “C” representam-se por “Xc” e “Yc”. 
 
 
COORDENADA ABSOLUTA: São as coordenadas baseadas no ponto de origem [0; 0;] , (X;Y) 
 
 
COORDENADAS RELATIVAS: São as 
coordenadas baseadas em um ponto arbitrário, que 
as originam. Para obter a coordenada absoluta, 
basta somar a coordenada relativa e a coordenada 
do ponto arbitrário. 
Veja que o ponto F é uma coordenada 
absoluta cujo sua origem é no plano cartesiano 
coordenada (0,0), já o ponto G esta no plano 
cartesiano mas com coordenadas relativas 
referentes a sua origem, que foi no ponto F. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Croqui da área 
Cálculo do azimute 
Cálculo coordenada relativa 
Calculo coordenada absoluta 
Cálculo da Área 
 
 
DESENHO TOPOGRÁFICO POR COORDENADAS 
Então, de posse dos cálculos das coordenadas (X,Y), devem-se seguir alguns 
procedimentos para a realização do desenho: 
 
• De acordo com o tamanho 
do levantamento (extensão, 
área) é escolhida a escala, 
para definir-se o tamanho do 
papel (A-4, A-3, A-2, A-1 e 
A-0); 
 
• Devem-se observar as 
maiores e menores 
coordenadas, em X e em Y, 
de forma que os pontos não 
caiam fora do papel; 
 
• Criar as margens na folha respeitando as Normas da ABNT; 
 
• Criar o selo; 
 
• A orientação do Norte; 
 
 
DETERMINAÇÃO DAS DISTÂNCIAS 
 
 
 
 
 
Determinar distancia entre um ponto e outro pelas coordenadas absolutas com a 
formula: 
 
D_→ _= √(∆𝑥)2 + (∆𝑦)2 sendo ∆𝑥 a diferença entre X2 de um do ponto e X1 do 
outro ponto; o mesmo ocorre para o ∆𝑦. 
 
Entre 1ºv e 2ºv 
∆𝑥 =X1-X2 → (-90,378) - (55,875) → ∆𝑥 =-146,253 
∆𝑦 =Y1-Y2 → (17,198) - (-43,805) → ∆𝑦 =61,003 
 
D1→ 2= √(−146,253)2 + (61,003)2 → D1→ 2= √21389,940 + 3721,366 → 
D1→ 2= √25111,306 → D1→ 2= 158,465m 
 
Entre 2ºv e 3ºv 
∆𝑥 =X1-X2 → (55,826) - (-90,378) → ∆𝑥 =146,204 
∆𝑦 =Y1-Y2 → (117,691) - (17,198) → ∆𝑦 =100,493 
 
D1→ 2= √(146,204)2 + (100,493)2 → D1→ 2= √21375,609 + 10098,843 → 
D1→ 2= √31474,452 → D1→ 2= 177,410m 
 
Entre 3ºv e 4ºv 
∆𝑥 =X1-X2 → (193,805) - (55,826) → ∆𝑥=137,979 
∆𝑦 =Y1-Y2 → (54,905) - (117,691) → ∆𝑦 =-62,786 
 
D1→ 2= √(137,979)2 + (−62,786)2 → D1→ 2= √19038,204 + 3942,082 → 
D1→ 2= √22980,286 → D1→ 2= 151,592m 
 
Entre 4ºv e 1ºv 
∆𝑥 =X1-X2 → (55,875) - (193,805) → ∆𝑥 =-137,930 
∆𝑦 =Y1-Y2 → (-43,805) - (54,905) → ∆𝑦 =-98,710 
 
D1→ 2= √(−137,930)2 + (−98,710)2 → D1→ 2= √19024,685 + 9743,641 → 
D1→ 2= √28768,326 → D1→ 2= 169,612m 
 
DETERMINAÇÕES DOS RUMOE E AZIMUTES 
• Rumos e Azimutes: 
𝛼 = tan−1
∆𝑥
∆𝑦
 
 
Para determinação do Rumo ou Azimute de cada linha utilizar o procedimento 
resumido na tabela. 
 
 
Rumo ou Azimute 1-2 
∆𝑥 =-146,253 
∆𝑦=61,003 
 
𝛼 = tan−1
−146,253
61,003 
→ 𝛼 = tan−1 −2,39747 → 𝛼 = -67,35869° 
 
Como ∆X < 0 e ∆Y> 0 → R=I𝛼I NO → R=67°21’31” NO 
 
Az = 360°- I𝛼I → 360°00’00” – 67°21’31”= 292°38’29” 
 
Rumo ou Azimute 4-1 
∆𝑥 =-137,930 
∆𝑦=-98,710 
 
𝛼 = tan−1
−137,930
−98,710 
→ 𝛼 = tan−1 1,397325 → 𝛼 = 54,410487° 
 
Como ∆X < 0 e ∆Y< 0 → R=𝛼 SO → R=54°24’38” SO 
 
Az = 180°+ 𝛼 → 180°00’00” + 54°24’38”= 234°24’38” 
 
Rumo ( R ). Chama-se rumo de uma direção, o ângulo que esta forma com a direção Norte ou Sul 
(magnético, verdadeiro, quadrícula ou arbitrário) contado no sentido horário ou anti-horário variando 
de 0° à 90°. Na notação do rumo é obrigatório a indicação do quadrante ( NE, SE, SO,NO ). 
 
Cálculo rumo-azimute 
 
Para o 1° quadrante ou NE 
 Rumo = Azimute R=___°__’__” (NE) 
 Azimute = Rumo 
 
Exemplo 
 1 ) Transforme o azimute 38°15’23” em rumo: 
Rumo = Azimute 
Rumo = 38°15’23” NE 
 
 2 ) Transforme o rumo 58°19’23” NE em azimute: 
Azimute = Rumo 
Azimute = 58°19’23” 
 
Para o 2° quadrante ou SE 
 R = 180° - Az R=___°__’__” (SE) 
 Az = 180° - R 
 
Exemplo 
 1 ) Transforme o azimute 168°15’29” em rumo: 
R = 180° - Az 
R = 180° - 168°15’29” 
R = 11°44’31”SE 
 
2 ) Transforme o rumo 75°58’12” SE em azimute: 
Az = 180° - R 
Az = 180° - 75°58’12” 
Az = 104°01’48” 
 Para o 3° quadrante ou SO 
 R = Az - 180° R=___°__’__” (SO) 
 Az = 180° + R 
 
Exemplo 
 1 ) Transforme o azimute 258°01’09” em rumo: 
R = Az - 180° 
R = 258°01’09” - 180° 
R = 78º01’09”SO 
 
 2 ) Transforme o rumo 58°19’23” SO em azimute: 
Az = 180° + R 
Az = 180° + 58°19’23” SO 
Az = 238º19’23” 
 
 
Para o 4° quadrante ou NO 
 R = 360° - Az R=___°__’__” (NO) 
 Az = 360° - R 
 
Exemplo 
 1 ) Transforme o azimute 354°58’59” em rumo: 
R = 360° - Az 
R = 360° - 354°58’59” 
R = 5º01’01”NO 
 
 2 ) Transforme o rumo 58°19’23” NO em azimute: 
Az = 360° - R 
Az = 360° - 58°19’23” 
Az = 301º40’37” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONVERSÃO DE COORDENADAS CARTESIANAS A POLARES 
Freqüentemente surge na topografia o problema de, dados 
dois pontos pelas suas coordenadas cartesianas, calcular a 
orientação da reta que os une e a distância reduzida que os 
separa. 
 
ORIENTAÇÃO ENTRE DOIS PONTOS DADOS POR 
COORDENADAS 
Como norma geral, para evitar confusões, deve-se utilizar 
sempre o rumo da Linha. 
 
 
O valor numérico do rumo é obtido, em valor absoluto, pela fórmula 6.7, 
observando-se: 
 
O valor obtido nos fornece apenas o valor numérico do rumo. Para se obter o quadrante, deve-se 
verificar na Tabela que apresenta também a conversão de rumo para azimute: 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS DADOS POR COORDENADAS 
 
 
 
DIVISÕES DE ÁREAS – GENERALIDADES. 
 
Segundo (CORREA, I.C.S.), a divisão de uma propriedade ocorre em situações diversas como por 
venda de parte do terreno, por espólio e divisão entre os herdeiros ou por loteamento da área. 
Acontecem partilhas também quando o proprietário deseja vender parte de sua propriedade. 
Para efetuar uma divisão de terras confiável, será necessário: 
 
1) Proceder a um levantamento exato do que vai ser o objeto de divisão, destacando-se os diversos 
tipos de cultura; 
 
2) Quando a divisão é feita através de uma linha já existente, a tarefa da topografia é a de medir esta 
linha divisória e determinar a área de cada uma das partes. 
 
3) Avaliar financeiramente os valores de cada gleba; 
 
4) Sempre observar que as propriedades deverão ter água. Se a propriedade a ser dividida seja 
atravessada por um córrego e que ele seja escolhido como linha divisória; 
 
Aqui trataremos apenas de alguns casos de divisão de terras, pois o problema abrange estudos sobre 
legislação de terras sempre que houver menores na partilha a ação deve ser judicial.