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cap04_prot_NOVO2009[1]

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ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
83 
 
CAPÍTULO 4- PERDAS DE PROTENSÃO IMEDIATAS 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
No item 6 do capítulo 1 mostrou-se como pode ser calculado o valor do esforço 
de protensão em uma seção a partir de valores limites de tensões normais. Como será 
visto posteriormente este cálculo ou verificação será feito para atender as condições de 
fissuração (durabilidade). Esta não é a única verificação a ser feita será preciso verificar, 
além das condições de utilização (fissuração, deformação excessiva) as condições de 
segurança no estado limite último como por exemplo o estado limite de ruptura à flexão, 
visto no capítulo 6. 
 De qualquer forma, para se verificar estas condições é preciso conhecer os 
esforços de protensão que atuam ao longo do elemento considerado. O problema que será 
discutido em seguida é qual o valor de esforço de protensão que atuará em uma seção 
genérica S quando aplicado um valor F de protensão na extremidade do cabo de 
protensão. 
 Ao se efetuar a protensão da armadura não se consegue um esforço constante ao 
longo da mesma. Vários fatores, entre os quais as técnicas de protensão, influem no 
esforço efetivo de protensão em cada seção. De uma maneira geral serão discutidos os 
casos com pós tração (protensão após a concretagem) particularizando-se depois para o 
caso de pré tração. 
 Há, via de regra, uma diminuição do esforço de protensão ao longo do cabo, 
cabendo ao projetista calculá-las para que em qualquer seção, combinação de 
carregamentos ou época na vida da estrutura tanto as condições de utilização como as de 
estado limite último estejam satisfeitas. 
 As diminuições do esforço de protensão que ocorrem ao longo dos cabos são 
normalmente chamadas de perdas e podem ser classificadas de imediatas e diferidas ou 
ao longo do tempo. As primeiras são devidas principalmente a forma como se procede a 
protensão e das propriedades elásticas do aço e do concreto. As perdas diferidas ou ao 
longo do tempo se devem às propriedades viscoelásticas tanto do concreto como do aço. 
 As três principais perdas imediatas são: a) perda por atrito (normalmente cabo-
bainha), b) perda por deformação da ancoragem e c) perda por deformação imediata do 
concreto. Quantos as perdas diferidas podem ser classificadas como: a) perda por 
retração do concreto, b) perda por efeito de fluência do concreto e c)perda por relaxação 
da armadura de protensão. 
 Por uma questão didática estudam-se neste capítulo as perdas imediatas deixando 
para o capítulo 5 a perdas diferidas. 
Alguns projetistas ou autores preferem considerar que para efeito de projeto as 
perdas podem ser apenas estimadas cabendo apenas nas verificações finais um cálculo 
mais detalhado nas verificações finais. Nesta obra se faz o contrário porem nada impede 
que o leitor inverta o procedimento de cálculo deixando estes dois capítulos para serem 
empregados no projeto na parte deste, ou seja, nas verificações.. 
 
4.2 PERDA POR ATRITO CABO-BAINHA (Protensão posterior). 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
84 
 
 
Na figura 4.1 é mostrado um trecho curvo de cabo de comprimento ds. Como há a 
tendência do cabo se retificar haverá no trecho uma ação deste no concreto, com direção 
radial, conforme pode ser visto no detalhe a) . Estas ações normais provocarão atrito na 
direção normal. Assim. Se o cabo for tensionado na seção S’ de F+dF na seção S o valor 
será apenas de F, por haver atrito. Os esforços radiais podem ser decompostos em ações 
paralelas ao eixo horizontal e vertical como é mostrado na figura B e, supondo 
distribuição no trecho uniforme (já que o trecho ds é tão pequeno como se quer), pode-se 
afirmar que as componentes no sentido horizontal (paralela ao eixo x) se anulam e no 
vertical (paralela ao eixo y) se somam. Com este raciocínio, chega-se às forças 
resultantes mostradas em c): F; F+dF; N (resultante das ações do cabo no concreto) e Fa 
resultante de atrito que tem direção normal a N. 
 
 
 
 
 Figura 4.1 a) ações no cabo e no concreto em um trecho ds; b) soma das 
ações do cabo no concreto; c) ações no cabo e no concreto (considerando as 
resultantes) 
 
Estudando o equilíbrio das forças dadas em 4.1.c tem-se: 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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85 
 
 Segundo o eixo horizontal -------- F . (cos dα/2) - (F+dF) . (cos (dα/2))= Fa 
 Como os raios de curvatura dos cabos são grandes (cos (dα/2))≈ 1 
 portanto dF= Fa 
 
 Segundo o eixo vertical -------- F . (sen dα/2) - (F+dF) . (sen dα/2)= N 
 Como as deflexões nos cabos são pequenas (cos dα/2) ≈ dα/2 (em radianos a 
precisão é maior) 
 portanto F. dα=N 
 Lembrando que Fa = μ . N (com μ coeficiente de atrito) (Lei de Coulomb) pode-
se escrever: 
 dF= μ . N = μ . F. dα 
 
ou ainda dF
F
d= μ α. 
integrando a expressão anterior entre S’ e S chega-se 
 
Fs =Fs’ e-μ.(Δα) 
onde Δα é o desvio angular entre as tangentes ao cabo em S e S’, 
expresso em radianos para melhorar a precisão 
 
 A expressão anterior aplicada a um cabo reto levaria a concluir que a 
perda por atrito cabo-bainha seria zero quando na prática verifica-se que mesmo para os 
cabos projetados como retilíneos há uma perda. Isto se deve, normalmente a maneira de 
se executar a colocação da armadura. A trajetória de um cabo é definida em alguns 
pontos (de 2 em 2m, por exemplo) e nestes o cabo é fixados em estribos com diâmetro 
adequado. Assim, entre um ponto e outro de fixação há desvios de trajetória, no caso do 
cabo reto há ondulações, chamadas de parasitárias. Para levar em conta tais desvios a 
fórmula anterior ficará expressa por 
 
 Fs =Fs’ e-μ.(Δα+βx) (4.1) 
 
 onde β é o desvio parasitário do cabo expresso em radianos por metro 
linear (x tomado na projeção horizontal) 
Conforme a NBR 6118:2003 na falta de dados experimentais adota-se 
β = 0,01μ (4.2) 
Os valores do coeficiente de atrito ainda segundo a norma brasileira estão 
indicados na tabela 4.1: 
 
 
Tabela 4.1: Coeficientes de atrito, de acordo com a 
NBR 6118-2003 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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86 
 
Tipos de superficies de atrito μ 
Entre cabo e concreto 0,50 
Entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica 0,30 
Entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica 0,20 
Entre fios lisos ou cordoalhas e bainhas metálica lubrificada 0,10 
Entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada 0,05 
O cabo pode ser protendido através de suas duas extremidades ou apenas de uma 
delas. Na extremidade em que se introduz a protensão, ou seja, onde o macaco aplica 
carga, denomina-se de ancoragem ativa ou “viva” e na extremidade que não se aplica 
esforço denomina-se de ancoragem passiva ou “morta”. Detalhes sobre os dispositivos 
necessários para executar tais ancoragens serão discutidos mais adiante no capítulo 8. 
A tensão aplicada pelo macaco na extremidade ativa do cabo é função da tensão 
de ruptura e de escoamento convencional do aço sendo designada por σpi e com o valor 
dadono capítulo 3. 
EXEMPLO 4.1 Calcular as tensões nos pontos A, B, C, D e E do cabo dado na 
figura 4.2 logo após a efetivação da protensão. Considerar que a tensão inicial de 
protensão no cabo nas extremidades da peça é de σpi=120 kN/cm2. Considerar como 
dados os valores de μ = 0,23; β=0,01rd/m;. Supor que a trajetória do cabo é parabólica 
(parábola do segundo grau, nos trechos AB e EF). 
Figura 4.2 Trajetória do cabo do exemplo 4.1 
Para determinar os valores de tensões nos pontos A até E é preciso determinar o 
angulo formado pelas tangentes ao cabo nos ponto A e B. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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87 
 
Figura 4.3 –Dados geométricos para a determinação do angulo do cabo parabólico 
do exemplo 4.1 
Isto pode ser feito usando a propriedade da parábola do segundo grau na qual o 
valor da tangente extrema é dada pela razão de duas vezes a flecha dividida pelo 
comprimento do cabo (ver figura 4.4) assim: 
tg α =
a
f2 (4.3) 
 tg α =
15
9,02x resultando em α=6,840 ou α=0,11942 rd 
 
Figura 4.4. Propriedade da tangente extrema da parábola do segundo grau. 
 Aplicando a expressão 4.1 pode-se construir a tabela 4.2 dada a seguir 
Tabela 4.2: Valores das tensões após o atrito 
Seção Distância (m) αΔ (O) αΔ (rad) )( xe βαμ +Δ− σs=σs´ )( xe βαμ +Δ− (kN/cm2)
A 0 0 0 1 120,0 
B 15 6,84 0,11942 0,9399 112,8 
C 24 6,84 0,11942 0,9210 110,5 
Por simetria (pois o traçado do cabo é simétrico e são duas ancoragens ativas) as tensões 
no cabo nos pontos D e E serão iguais, respectivamente, às dos pontos B e A. 
EXEMPLO 4.2 Resolver o problema anterior considerando os mesmo dados 
supondo apenas que a trajetória do cabo é circular. 
 Para resolver basta agora determinar o valor do angulo α que pode ser obtido de 
duas projeções (ver figura 4.5) 
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Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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88 
 
 
Figura. 4.5 – Geometria do cabo de arco de circulo 
R- R.cosα= b-c mas b-c=f (ver Figura 4.5) 
R.cosα= R-f 
e com R.senα = a 
elevando-se ao quadrado cada uma das expressões (R.cosα)2 =( R -f)2 e (R.senα)2 = a2 
e somando estas duas expressões chega-se a R2=R2-2Rf+f2+a2 e R= (a2+f2)/(2f) 
Assim, as expressões usadas para cálculo do ângulo e o reio de curvaturo para um trecho 
de cabo com trajetória circular são: 
 R.senα = a (4.4) 
 
 sen =α 222 fa
af
+ (4.5) 
Substituindo os valores sen =α 22 159,0
9,0152
+
⋅⋅ 086,6=α 
Como pode ser visto pelo resultado obtido o valor do ângulo é praticamente igual e 
portanto pode-se considerar as tensões obtidas no exemplo anterior. 
EXEMPLO 4.3 Calcular a força de protensão ao longo de um cabo de cordoalha 
engraxada com φ=12,7 mm (Aço CP190RB) que tem a trajetória dada na figura 4.6. 
Considerar o coeficiente de atrito μ=0,05 e β=0,01rd/m e para o valor da tensão de 
protensão o máximo valor permitido pela NBR6118:2003. 
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Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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89 
 
L2=235100
h=
22
11
11
5.
68
L1=115
2.
78 5.
56
11
.3
6
L3=235 L4=115
S2S0 S1 S3 S4 S5
AV
L2=235 100
11
h=
22
11
L1=115L3=235L4=115
S5 S6 S7 S8 S10
AM
S9
11
.3
6
5.
56
5.
68
2.
78
1.
27
1.
27
Figura 4.6. Traçado do cabo de cordoalha engraxada (cotas em cm). 
Pelo capítulo 3 o valor máximo da força de protensão para o aço CP190 é de : 
σpi = 0,74.fptk = 0,74 x 1900 =1406 MPa 
σpi = 0,82.fpyk = 1680 x 0,82 = 1377 MPa 
como a cordoalha de ½” tem área de 1 cm2 a força inicial será 
Fpi = 137,7 kN 
A partir do traçado adotado na figura 4.6 pode-se obter os valores do desvio 
angular do cabo. 
 
i
i
i l
ftg 2=α 
Tabela 4.3: Excentricidades, comprimento e ângulos dos trechos do cabo 
Seção S1-S2 S2-S3 S3-S4 S4-S5 
f (cm) 2,78 5,68 11,36 5,56 
l (m) 1,15 2,35 2,35 1,15 
α (0) 2,77 2,77 5,52 5,52 
Perda por Atrito: 
 Fs =Fs’ e-μ.(Δα+βx) 
Dados: β= 0,01 rad/m e μ = 0,05 (cordoalha engraxada) e Fs = 134400 kN e com 
os valores das flechas f, dos comprimentos de cada trecho l e o valor Δα pode-se 
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Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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90 
 
determinar as tensões em cada trecho após as perdas devido o atrito e que são mostradas 
na tabela 4.4: 
Tabela 4.4: Valores das Forças após o atrito 
Seção x(m) D x(m) α ( O ) Δα ( O ) 
Δα 
(rad) e-μ.(Δα+βx) Fs’ e-μ.(Δα+βx) MPa 
Sext 0 0 0 0 0,00 1,00 137,7 
S0 1 1 0 0 0,00 1,00 137,6 
S1 1,15 2,15 2,77 2,77 0,05 1,00 137,2 
S2 2,35 4,5 2,77 5,54 0,10 0,99 136,7 
S3 2,35 6,85 5,52 11,06 0,19 0,99 135,9 
S4 1,15 8 5,52 16,58 0,29 0,98 135,2 
S5 1,15 9,15 5,52 22,1 0,39 0,98 134,5 
S6 2,35 11,5 5,52 27,62 0,48 0,97 133,6 
S7 2,35 13,85 2,77 30,39 0,53 0,97 133,2 
S8 1,15 15 2,77 33,16 0,58 0,96 132,8 
S9 1 16 0 33,16 0,58 0,96 132,7 
No Gráfico da figura 4.7 são mostradas as tensões ao longo do cabo: 
Tensão considerando atrito
1320
1330
1340
1350
1360
1370
1380
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x (m)
s
 
(M
P
a)
Tensão
considerando atrito
 
Figura 4.7 Tensões ao longo do cabo do exemplo 4.3. 
O fato de ser cordoalha engraxada faz com que a perda seja pequena porem o fato 
de não haver aderência posterior não exclui o cálculo da perda por atrito. 
 
EXEMPLO 4.4 Calcular a força de protensão na seção do ponto 2 do cabo dado de 12 
φ1/2” (ver figura 4.8) imediatamente após a protensão em que é usada aderência posterior 
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Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
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e cuja força de protensão nas duas extremidades é de 1498 kN. Considerar o coeficiente 
de atrito μ=0,20 e β=0,01rd/m. 
 8 10
10
500 cm 2000 cm 1000 cm 1000 cm 500 cm
A
1
2
3
4
Ancoragem
Ativa
Ancoragem
AtivaB
 
Figura 4.8 – Trajetória esquemática do cabo. 
 Como se trata de cabo assimétrico e com duas ancoragens ativas considera-se, 
para efeito de raciocínio, inicialmente que a protensão seja feita apenas pelo lado 
esquerdo e depois apenas pelo lado direito (tabelas 4.5 e 4.6) apresentando os resultados 
na figura 4.9. 
Tabela 4.5 Protensão à esquerda: 
Seção x(m) D x(m) α ( O ) Δα ( O ) Δα (rad) e-μ.(Δα+βx) Fs’ e-μ.(Δα+βx) kN 
A 0 0 0 0 0,00 1,00 1498 
1 5 5 0 0 0,00 0,99 1483 
2 20 25 8 8 0,14 0,93 1386 
3 10 35 10 18 0,31 0,88 1312 
4 10 45 10 28 0,49 0,83 1242 
B 5 50 0 28 0,49 0,82 1229 
 
Tabela 4.6 Protensão à direita: 
Seção x(m) D x(m) α ( O ) Δα ( O ) Δα (rad) e-μ.(Δα+βx) Fs’ e-μ.(Δα+βx) kN 
B 0 0 0 0 0,00 1,00 1498 
4 5 5 0 0 0,00 0,99 1483 
3 10 15 10 10 0,17 0,94 1404 
2 10 25 10 20 0,35 0,89 1329 
1 20 45 8 28 0,49 0,83 1242 
A 5 50 0 28 0,49 0,82 1229 
 
 
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Variação da força ao longo do cabo
Protensão
1000
1100
1200
1300
1400
1500
1600
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
x (m)
Fo
rç
a 
(k
N
)
esquerda
direita
 
Figura 4.9 – Força ao longo cabo, considerando protensão apenas à esquerda e 
protensão apenas à direita. 
 Pela análise da figura 4.9 percebe-se que para o ponto 1, considerada apenas a 
protensão a esquerda, o valor da força seria de 1483 kN e 1242 kN de protensão a 
direita, porem é óbvio que o ponto em questão se deslocará para esquerda e portanto será 
afetado pela protensão à esquerda. Por este raciocínio percebe-se que existe um ponto 
que não move nem para esquerda como para direita, ou ainda, as duas protensões (à 
esquerda e à direita) afetam o ponto da mesma forma. Este ponto é chamado de 
indeslocável ao atrito. Para responder então a questão do problema basta usar a expressão 
do atrito pela esquerda e pela direita e usar o maior valor. Assim, o valor da força na 
seção do ponto 2 é dadas por 
 
Fs2, esquerda =1498 e-0,20.(0,14+0,01.25) = 1386 kN 
 
Fs2, esquerda =1498 e-0,20.(0,35+0,01.25) = 1329 kN 
 
Com a resposta Fs2 = 1386 kN 
 
 Notar que a perda por atrito ocorre somente nos casos da pós protensão pois no 
caso da pré-tração pois neste caso quando a armadura é estirada não há contato desta 
armadura com outro material. 
 
 
 
 
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ROBERTO CHUST CARVALHO 
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 4.3 Perda por deformação da ancoragem 
 Quando se efetiva a ancoragem de um cabo há sempre um pequeno retrocesso no 
cabo que estava esticado, provocando uma queda de tensão no mesmo (ver Figura 4.10). 
1
2
3
4
x (m)
L
dx
2
4
1
AV
 
Figura 4.10 – Tensão ao longo cabo antes da ancoragem (1-4-2) e após a 
ancoragem (3-4-2). 
Na figura 4.10 tem-se o desenvolvimento das tensões em um cabo antes de ser 
ancorado (trecho1-2). Após a ancoragem o desenvolvimento da tensão fica sendo o 
trecho de 3-4-2, resultando então uma queda de tensão na região 1-4. A queda de tensão 
no início vale Δσ e vai diminuindo até que no ponto 4 torna-se zero. A queda de tensão 
decresce porque o atrito cabo-bainha impede a livre movimentação do cabo para o 
“interior” da estrutura. Os pontos entre 4 e 2 não se movimentam durante a operação de 
ancoragem e portanto neste trecho não se verifica queda de tensão. 
Analisando um trecho dx do cabo tem-se: 
εσ .E= e ( )
dx
dxΔ=ε 
onde σ é a perda de tensão no cabo devido a acomodação da ancoragem e Δ(dx) é 
o encurtamento do trecho do cabo, devido a acomodação de ancoragem. Assim 
( )
dx
Edx .Δ=σ 
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94 
 
( )∫∫ Δ=⋅
LL
dxdx
E 00
1 σ ; 
P
L
Edx ⋅Δ=⋅∫ l
0
σ (4.6) 
sendo o termo a direita desta última expressão o encurtamento total que o cabo 
sofre durante a ancoragem e vale Δl. O termo a esquerda é área do elemento 1-3-4 (figura 
4.10), dividida por E. Os valores deste encurtamento são fornecidos pelos fabricantes das 
ancoragens ou sistemas de protensão e podem ser obtidos experimentalmente. No sistema 
VSL e Rudloff este encurtamento para cabos de 12φ1/2” vale 6 mm. 
 
EXEMPLO 4.5 Calcular a tensão de protensão ao longo do cabo dado na figura 4.11 
após a ancoragem do mesmo. Considera que é usada aderência posterior e a tensão de 
protensão na extremidade ativa é de 1377 MPa, coeficiente de atrito μ=0,20, β=0,01rd/m, 
ΔL=6mm.e Ep=200000 MPa. 
 88
8
500 cm2000 cm1000 cm1000 cm500 cm
A
1
2
3
4
Ancoragem
Passiva
Ancoragem
Ativa
B
4
Figura 4.11 – Desenho esquemático de cabo do problema 4.5. 
O problema se resolve por tentativas. Para resolver o problema em questão 
considerando a perda por ancoragem é preciso considerar inicialmente a perda por atrito 
(Tabela 4.7). 
TABELA 4.7 – Tensão ao longo do cabo após perda por atrito 
Seção x(m) D x(m) α ( O ) Δα ( O ) Δα (rad) e-μ.(Δα+βx) Fs’ e-μ.(Δα+βx) kN 
A 0 0 0 0 0,00 1,00 1377 
1 5 5 4 4 0,07 0,976 1344 
2 10 15 8 12 0,21 0,930 1281 
3 10 25 8 20 0,35 0,887 1221 
4 20 45 8 28 0,49 0,829 1141 
B 5 50 0 28 0,49 0,830 1129 
A representação da tensão após a perda por atrito pode ser vista na figura 4.12, 
onde é mostrada também como seria o desenvolvimento das tensões considerando o 
ponto indeslocável ancoragem como o ponto 2 (L=15 m). 
 
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Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
95 
 
Tensão ao longo do cabo
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
x (m)
Te
ns
ão
 M
Pa
 
Figura 4.12 – Tensão ao longo do cabo considerando a perda por atrito e o 
efeito da ancoragem até L=15 m. 
TENTATIVA 1 
Considerando que a perda de tensão devida a ancoragem influencie até o ponto 2, 
ou seja l=15m. A área a ser calculada do gráfico será chamada de Ω1 cujo valor será dado 
por: 
Ω1 = =⋅⋅−+⋅⋅−+− 100022
)12811344(5002
2
)12811344()12811377( 142500 
ΔL. Ep =0,6 x 200000 =120000 < Ω1=142.500 
Isto significa que o ponto “indeslocavel” à ancoragem está à esquerda do ponto 2 
(L=15 m) . 
TENTATIVA 2 
Considerando o ponto indeslocável o ponto 1 tem-se 
Ω2 = =⋅⋅− 50022
)13441377( 16500 
ΔL. Ep =0,6 x 200.000 =120.000 >. Ω2=16500 
Desta forma o ponto indeslocável está entre o ponto 1 e 2. 
FINAL 
 Ω3 =16500 + Δσ . 500 + Δσ . L0/2 =ΔL.Ep =120.000 
Geometricamente (ver figura 4.13) pode-se escrever: 
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Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
96 
 
1000
L
1281)-(13442
σ 0=⋅
Δ . L0= 7,936.Δσ 
3,963 Δσ2 +Δσ . 500 –103500 = 0 que resulta em 
Δσ = 110 MPa e L0 = 873 cm 
1
4
2
x (m)
L
1 2
 
L 0
3
 
Figura 4.13 – Tensões ao longo do cabo e relações geométricas entre tensões e 
comprimentos. 
e assim σA = 1377-((1377-1344)x2+110)) = 1201 MPa. 
σB = 1355-110 = 1234 MPa. 
Finalmente na tabela 4.8 estão indicados os valores das tensões ao do cabo após 
as perdas por atrito e deformação da ancoragem e o diagrama de tensão ao longo do cabo 
da e na figura 4.14 mostrando estes valores. 
TABELA 4.8 – Tensão ao longo do cabo após perda por atrito 
PONTO Tensão com perda por atrito 
(MPa) 
Tensão com perda por ancoragem 
(MPa) 
A 1377 1201 
1 1344 1234 
2 1281 1281 
3 1221 1221 
4 1141 1141 
B 1129 1129 
 
 
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Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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97 
 
Tensão ao longo do cabo
700
800
900
1000
1100
1200
1300
1400
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
x (m)
Te
ns
ão
 M
Pa
 
Figura 4.14 – Tensão ao longo do cabo considerando a perda por atrito e o efeito da 
ancoragem situação final. 
EXEMPLO 4.6 Calcular a força de protensão ao longo de um cabo de cordoalha 
engraxada com φ=12,7 mm (Aço CP190RB) que tem a trajetória dada na figura 4.6 (ver 
exemplo 4.4) após a ancoragem. Considerar o coeficiente de atrito μ=0,05, β=0,01rd/m,Δl = 6 mm, Ep=2,0x105 MPa e para o valor da tensão de protensão σpi = 1377 MPa. 
A partir do exemplo 4.4 tem-se os valores de tensão no cabo, cuja área é 1 cm2 e o 
traçado adotado na figura 4.6 pode-se obter os valores do desvio angular do cabo. Os 
valores da tensão após a perda por atrito já foram obtidos no exemplo 4.3 e os valores 
indicados são os mesmos da tabela anterior 4.4 representados novamente aqui na tabela 
4.9. 
Tabela 4.9: Valores das Tensões após a perda por atrito 
Seção x(m) D x(m) α ( O ) Δα ( O ) 
Δα 
(rad) e-μ.(Δα+βx) Fs’ e-μ.(Δα+βx) MPa 
Sext 0 0 0 0 0,00 1,00 1377 
S0 1 1 0 0 0,00 1,00 1376 
S1 1,15 2,15 2,77 2,77 0,05 1,00 1372 
S2 2,35 4,5 2,77 5,54 0,10 0,99 1367 
S3 2,35 6,85 5,52 11,06 0,19 0,99 1359 
S4 1,15 8 5,52 16,58 0,29 0,98 1352 
S5 1,15 9,15 5,52 22,1 0,39 0,98 1345 
S6 2,35 11,5 5,52 27,62 0,48 0,97 1336 
S7 2,35 13,85 2,77 30,39 0,53 0,97 1332 
S8 1,15 15 2,77 33,16 0,58 0,96 1328 
S9 1 16 0 33,16 0,58 0,96 1327 
 
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98 
 
TENTATIVA 1 
Como os valores de perda por atrito são pequenos considera-se inicialmente que o 
ponto indeslocável à ancoragem seja o ponto 9 (último ponto). A área a ser calculada do 
gráfico será chamada de Ω1 cujo valor será dado por: 
Ω1 = +⋅⋅−+−+⋅⋅−+− 11522
)13271372()13271376(1002
2
)13271376()13271377( 
+⋅⋅−+−+⋅⋅−+− 2352
2
)12371359()13271367(2352
2
)13271367()13271372( 
+⋅⋅−+−+⋅⋅−+− 1152
2
)13271345()13271352(1152
2
)13271352()13271359( 
+⋅⋅−+−+⋅⋅−+− 2352
2
)13271332()13271336(2352
2
)13271336()13271345( 
795301002
2
)13271327()13271328(1152
2
)13271328()13271332( =⋅⋅−+−+⋅⋅−+− 
ΔL. Ep =0,6 x 200000 =120000 > . Ω1=79530 
FINAL 
 Ω2 = Δσ . 1600 +79530 =120000 
 Δσ = 25,30 MPa 
Assim a tensão em um ponto s será dada por 
σp,s = σ p,s – (2.(σ p,s-1327)+ Δσ) 
Os valores finais da protensão após a perda de ancoragem são mostrados na tabela 
4.10 e o gráfico da figura 4.15 mostra o desenvolvimento das tensões. 
Tabela 4.10: Tensões finais 
Seção Tensão atrito Tensão 
 (MPa) Final (MPa) 
Sextr 1377 1251 
S0 1376 1253 
S1 1372 1257 
S2 1367 1262 
S3 1359 1270 
S4 1352 1279 
S5 1345 1284 
S6 1336 1293 
S7 1332 1297 
S8 1328 1301 
S9 1327 1302 
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99 
 
Tensão no cabo antes e após a ancoragem
1220
1240
1260
1280
1300
1320
1340
1360
0 2 4 6 8 10 12 14 16
x (m)
s
 
(M
Pa
) Tensãoconsiderando
atrito
Tensão após a
ancoragem
 
Figura 4.15 – Tensão ao longo do cabo considerando a perda por atrito e o efeito da 
ancoragem. 
 Verificar a grande perda que houve devido a deformação da ancoragem. Este é o 
motivo pelo qual, em geral, os cabos com cordoalha engraxada são usados com 
extremidades de ancoragem viva e morta e não viva e viva. 
EXEMPLO 4.7 Calcular a perda da força de protensão em uma pista de 50 m de 
protensão com aderência inicial em que se utilizará cordoalhas de protensão e o 
dispositivo de ancoragem tem um alongamento quando da sua fixação de Δl = 6 mm. 
SOLUÇÃO 
 Quando se emprega a protensão com aderência inicial o que se faz é aplicar a 
protensão na armadura antes da concretagem.Estando uma das extremidades dela presa, 
por exemplo na direita (ver figura 4.16 a primeira ilustração a cima) coloca-se o macaco 
na outra extremidade e efetua-se a protensão distendendo-se a armadura de λ (segundo 
esquema da figura 4.16), promovendo-se em seguida a ancoragem dos cabos (ver terceiro 
esquema e detalhe 1). Neste instante há a tendência da armadura voltar a condição 
anterior e o cone macho introduzido reagindo contra o cone fêmea terá a função de evitar 
o retorno da armadura. Porem existe uma acomodação que fará com que ocorra um 
retorno de ∆L que fará com em toda extensão o cabo tenha uma perda de protensão. 
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100 
 
Colocação 
da armadura
da armadura
Protenssão
Ancoragem
da armadura
da peça
Concretagem
Transferencia
do esforço
Det. 1
Det. 1
Perspectiva
Vista frontal
Corte Lateral
Cordo
Cone Macho
Cone Fêmea
L
 1 1 
Figura 4.16 – Esquema das etapas da execução da pré-tração em uma pista de 
protensão. 
 Assim sendo uma pista de 50m e a acomodação da ancoragem de ∆L=0,6 cm o 
valor do alongamento correspondente é de: 
 ==Δ=
5000
6,0
L
Lε 0,012% 
Usando a Lei de Hooke e com Ep=2,0x105 MPa tem-se a perda de: 
∆σ=200.000 x 0,00012= 24 MPa. 
 
4.4 Perda por deformação imediata do concreto durante a protensão 
Há dois casos a considerar o da protensão com aderência posterior e com 
aderência inicial. 
Quando se executa a protensão de uma peça com aderência posterior é comum 
faze-lo por etapas, ou seja, em uma peça com nove cabos é comum protender e ancorar o 
cabo 1 depois o 2 e assim por diante até chegar no último cabo (neste caso o cabo 9). 
Sabendo que quando um cabo é submetido a uma força de protensão provoca uma 
deformação elástica no concreto (via de regra um encurtamento) que provocará uma 
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101 
 
perda de protensão nos demais cabos já protendidos. Desta forma no exemplo dos 9 
cabos o primeiro sofreria perda devido a protensão dos 8 cabos protendidos 
subseqüentemente, o cabo 2 dos 7 cabos protendidos após ele e assim sucessivamente até 
que o último cabo não sofreria perda alguma por deformação imediata do concreto. No 
caso de haver apenas um cabo na peça, ou mais que um, mas todos protendidos ao 
mesmo tempo, não se tem perda alguma de protensão por deformação imediata do 
concreto (no caso de pós tração), 
Um problema para a determinação da perda por deformação elástica é que quando 
se protende os cabos em seqüência não se costuma injetar a nata de cimento 
imediatamente. Normalmente espera-se efetuar a protensão de todos os cabos, verificar a 
eficiência da protensão comparando os alongamentos medidos na obra com os previstos 
no cálculo (ver capítulo ) para depois injetar a nata de cimento. Desta forma não pode 
com certeza assegurar em uma seção intermediária qual é o esforço transmitido por um 
cabo. A favor da segurança o cálculo pode ser feito considerando como se houvesse 
aderência entre cabo e o concreto. 
Quando os cabos de protensão estão concentrados próximos um ao outro e têm 
trajetórias semelhantes pode-se trabalhar com um cabo resultante que estaria situado no 
centro de forças dos demais cabos e teria como força a soma das forças dos demais cabos. 
Este procedimento (uso do cabo representante) facilita os cálculos principalmente aqueles 
relativos a pré-dimensionamento. Nesta situação invés de calcular perda de cabo por cabo 
é preferível estabelecer uma perda média e aplica-la ao cabo representante. Esta perda 
seria igual à soma de todas as perdas divididas pelo número de cabos. Para a 
determinação da expressão da perda média analisa-se inicialmente uma situação 
específica e simples que pode depois ser extendida para outras mais complexas e gerais. 
Imaginando quen cabos de uma, dispostos no mesmo nível (mesta distância ao cg da 
peça) são protendidos seqüencialmente como mesmo esforço e provoquem cada um deles 
portanto um encurtamento (que é proporcional a perda que os cabos protendidos 
anteriormente sofrerão) εc no concreto. A tabela 4.11 mostra a perda (ou o encurtamento 
que cada cabo sofre após a protensão de um cabo genérico i. Basicamente ao se protender 
o cabo genérico i todos os cabos de 1 até i-1 sofrerão perda devido a esta protensão 
enquanto o próprio cabo i e os protendidos posteriormente nada sofrerão. Os cabos de 
i:+1 até n não estão solidarizados ao concreto e o próprio cabo não sofre perda devido a 
sua própria protensão mesmo que o concreto encurte de εc nesta etapa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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102 
 
 TABELA 4.11 PERDA DE PROTENSÃO POR DEFORMAÇÃO 
IMEDIATA DO CONCRETO SOFRIDA EM CADA CABO QUANDO HÁ 
PROTENSÃO SEQUENCIADA 
Perda sofrida no cabo (proporcional ao encurtamento no concreto 
provocado pelo cabo protendido) 
Cabo 
protendido 
↓ 
 
1 
 
2 
 
3 
 
i 
 
n-1 
 
n 
1 -- -- -- -- -- -- 
2 εc -- -- -- -- -- 
3 εc εc -- -- -- -- 
 
i εc εc εc -- -- -- 
 
n-1 εc εc εc εc -- -- 
n εc εc εc εc εc -- 
Soma de 
perdas 
(n-1) εc (n-2) εc (n-3)εc (i-1) εc εc 0 
 
Como pode ser visto os cabos sofrem perda de tensão deiretamente e linearmente 
proporcional a (n-1) εc para o primeiro cabo e zero para o último (verificar a última linha 
da tabela 4.n) e os valores da perda formam uma progressão aritmética. Assim somando 
as perdas dos n cabos e divididindo-se pelo numero de cabos n chega-se a: 
Δσp, total = k ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
n
n c
2
)1(0 ε n 
onde Δσp, total - é a perda média sofrida pelo cabo representante 
 k – constante que transforma o encurtamento em tensão 
 n – número de etapas de protensão, neste caso igual ao número de cabos 
Chamando agora *cε como sendo o encurtamento provocado por todos os cabos 
tem-se 
Δσp, total = k A
N p 
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-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
103 
 
*
cε = ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
cE
1 x ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + e
I
eN
A
N pp 
Com Np – força total de protensão (soma de todos os cabos) 
A- Área da seção transversal analisada 
e- excentricidade do cabo representante (distância ao cg da peça da força 
resultante de protensão). 
I- Momento de inércia da seção considerada 
Ainda se quiser pode ser considerado o momento de peso próprio mobilizada M a 
expressão final fica, considerando que a deformação específica do concreto é a mesma 
que a do aço e que α= Ep/Ec poder ser 
Δσp, médio = α ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
I
Me
I
eN
A
N pp
2
n
n
2
)1( − 
 
 Segundo o Projeto de Revisão da NBR 6118-2003, a perda de tensão média de 
protensão, devida à relaxação do aço de protensão, pode ser obtida pela seguinte 
expressão: 
Δσp = n
ncgcpp
2
)1)(( −+ σσα
 
Sendo, σcp – tensão inicial no concreto no nível do baricentro da armadura de 
protensão, devida à protensão simultânea dos n cabos; 
σcg – tensão no concreto no nível do baricentro da armadura de protensão, devida 
à carga permanente modificada pela protensão ou simultaneamente aplicada com a 
protensão; 
αp – relação entre os módulos de elasticidade de armadura ativa e do concreto, na 
data do ato da protensão. 
De modo geral as perdas devido à deformação imediata do concreto são pequenas, 
podendo até mesmo ser desprezadas. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 4.7 
 Calcular a perda de protensão por deformação imediata do cabo representante dos 
16 cabos que atuam na seção de extremidade da peça (seção onde se dá a ancoragem 
ativa dos mesmos) cuja seção transversal está indicada na figura 4.14. Considerar que a 
tangente a trajetória dos cabos (todos) na seção é horizontal e que a força nos mesmos 
após a ancoragem é de 1400 kN. Considerar ainda como dados os valores das 
características de seção A=6,15 m2, I=1,683 m4, yi=0,8595m e h=1,30 m. Considerar 
ainda que a relação entre os módulos de elasticidade aço de protensão e concreto seja 
igual a αp=7. 
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ROBERTO CHUST CARVALHO 
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104 
 
 
 
Figura 4.17- Seção transversal de extremidade em que serão protendidos e 
ancorados seqüencialmente 16 cabos (cotas em cm) 
 
SOLUÇÃO 
 
 Como se trata de seção de extremidade da peça, onde se dá a ancoragem dos 
cabos, não há momento fletor atuante a não ser o causado pela protensão (momento 
isostático de protensão). O cabo representante estará situado no centro de forças de 
protensão a uma distância do bordo superior yp dado pela expressão: 
 
yp= mN
yN
i
ii 65,0
14008
00,11400280,01400250,01400220,014002 =∗
∗∗+∗∗+∗∗+∗∗=∑
∑ 
como ys=h-yi=1,30-0,8565=0,4405m o valor da excentricidade do cabo 
representante fica dado por: 
e= 0,65-0,4405=0,2095m e finalmente a perda média 
Δσp, médio =α ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
I
Me
I
eN
A
N pp
2
n
n
2
)1( −
=7 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ∗∗+∗
683,1
2095,0140016
15,6
140016 2
162
)116(
∗
−
 
Δσp, médio =21100 kN/m2=21,1 MPa 
 Neste caso não há duvida em se empregar a expressão pois realmente há 
aderência entre as ancoragens dos cabos e o concreto vizinho a ela e portanto a hipótese 
εp = εc 
 . 
EXEMPLO NUMÉRICO 4.8 
 Calcular a perda de protensão por deformação imediata do cabo representante dos 
16 cabos que atuam na seção intermediária de uma peça cuja seção transversal está 
indicada na figura 4.13. Considerar que as tangentes as trajetórias dos cabos (todos) na 
seção são horizontais e que a força nos mesmos após a ancoragem é de 1200 kN. 
Considerar ainda como dados os valores das características de seção A=4,845 m2, I=1,15 
m4, yi=0,76m, h=1,30 m, momento de peso próprio Mg1=8090 kN.m. Considerar ainda 
que a relação entre os módulos de elasticidade aço de protensão e concreto seja igual a 
αp=7. 
 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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105 
 
 
Figura 4.18- Seção transversal intermediária de uma peça em que serão 
protendidos seqüencialmente 16 cabos (cotas em cm) 
 
SOLUÇÃO 
 Como se trata de seção de seção intermediária há a possibilidade de se mobilizar 
o peso próprio através da protensão, se o momento isostático de protensão for maior queo 
de peso próprio há necessidade de considerar a atuação de ambos. 
O cabo representante estará situado no centro de forças de protensão a uma 
distância do bordo inferior yp dado pela expressão: 
 
yp=
m
N
yN
i
ii 2625,0
12408
525,012401385,012402245,012402105,012403 =∗
∗∗+∗∗+∗∗+∗∗=∑
∑
 
conduzindo a uma excentricidade de: 
e= yi-yp= 0,76-0,2625=0,4975m 
e um momento isostático de Mi,p= 16x1240x0,4975=9870,4 kN.m que é maior 
que o momento de peso próprio mostrando que este (momento de peso próprio) será 
mobilizado devendo ser portanto considerado. 
Finalmente a perda média 
Δσp, médio =α ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
I
MeeN
A
N pp2
n
n
2
)1( −
= 
Δσp, médio =7 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ∗−∗∗+∗
15,1
4975,080904975,0124016
845,4
124016 2
162
)116(
∗
−
 
Δσp, médio =15960 kN/m2=15,96 MPa 
 Neste caso há duvida em se empregar a expressão, pois realmente não há 
aderência entre os cabos e o concreto, a não ser por atrito e portanto a hipótese εp = εc é 
só aproximada. 
No caso da pré tração é fácil entender, olhando o esquema da figura 4.13, que 
após a liberação da protensão e portanto a após a atuação da força Np de protensão haverá 
um encurtamento Δl que provocará um aperda na armadura igual a : 
ESTRUTURAS EM CONCRETO PROTENDIDO: CÁLCULO E DATALHAMENTO 
Cap. 4 Perdas de protensão imediatas 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
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106 
 
Δσp = α ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
I
Me
I
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com os mesmos significados que no caso da pós tração e considerando que o 
momento de peso próprio M mobilizado pode se desprezado. 
 
EXEMPLO NUMÉRICO 4.8 
 Calcular a perda de protensão por deformação imediata dos cabos de uma viga 
submetida a pré tração com a seção transversal é dada na figura 4.14 em que se usou 3 
cordoalhas de Ø1/2” de aço CP190 RB. Considerar ainda que a relação entre os módulos 
de elasticidade aço de protensão e concreto seja igual a αp=7. 
 
20
60 d=
55
 
Figura 4.19- Seção transversal para o exemplo 4.8. 
 
SOLUÇÃO 
 
A tensão inicial de protensão é dado por σpi = 0,82x0.9 fptk ≈ 1383 MPa 
 
Assim Np = 3 x 1 x 138,3= 514,9 kN e com e=0,55-0,30=0,25 m 
 
Δσp = 7 =
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅+⋅
12
6,02,0
25,09,514
6,02,0
9,514
3
2
92.618 kN/m2=92,6 MPa 
Na verdade o valor da força de protensão a ser aplicado na peça deveria ser 
descontada da relaxação da armadura no período de endurecimento do concreto cujo 
cálculo será visto no próximo capítulo.

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