Aula_5_Cálculo_2_derivadas_direcionais_gradiente_divergente_e_rotacional

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AULA 5
DERIVADAS DIRECIONAIS, GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2
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PROBLEMATIZAÇÃO 
 
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A Figura 1 mostra um mapa de contorno da função temperatura, 
T(x, y), para a China, às 15 h em 28 de dezembro de 2004. 
As curvas de nível, ou isotérmicas, representam as localidades que têm da mesma temperatura.
PROBLEMATIZAÇÃO
 
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A derivada parcial Tx em um local com Chogqing é a taxa de variação da temperatura com relação à distância se nos movermos para o leste e partir de Chogqing; Ty é a taxa de variação da temperatura com relação à distância se nos movermos para o norte. Mas, e se quisermos saber a taxa de variação da temperatura quando viajamos para sudoeste ou em alguma outra direção? 
DERIVADAS DIRECIONAIS 
 
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Nesta seção, introduziremos um tipo de derivada, chamada “Derivada Direcional”, que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção. 
DERIVADAS DIRECIONAIS
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Vamos usar o mapa para estimar o valor da taxa de variação da função temperatura em Xunquim, na direção sudoeste.
 
Solução:
Traçando uma reta que passa por Xunquim na direção sudoeste, aproximamos a derivada direcional DuT pela taxa média da variação da temperatura entre os pontos onde essa linha intercepta as isotérmicas T = 5 ° C e T = 10 ° C. 
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DERIVADAS DIRECIONAIS
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DEFINIÇÃO 1
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TEOREMA 1
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MAXIMIZANDO A DERIVADA DIRECIONAL
Suponha que tenhamos uma função f de duas ou três variáveis e consideremos todas as derivadas direcionais possíveis de f em um ponto determinado. Isso nos dará a taxa de variação de f em todas as direções possíveis. Podemos então perguntar: em qual dessas direções f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de variação? A resposta é dada pelo seguinte teorema. 
 
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Ou seja:
 
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Exemplo 6
 
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Rot F = 
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Exemplo 7
Teorema 
Se F = Pi + Qj + Rk for um campo vetorial definido sobre todo R 3 cujas funções componentes P, Q e R tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas e 
rot F = 0, então F será um campo vetorial conservativo.
 
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Exemplo 8
Teorema 
Se F = Pi + Qj + Rk for um campo vetorial definido sobre todo R 3 cujas funções componentes P, Q e R tenham derivadas parciais de segunda ordem contínuas e 
rot F = 0, então F será um campo vetorial conservativo.
 
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Exemplo 9 (atividade em sala)
Mostre que o campo vetorial 
F(x, y, z) = y 2 z 3 i + 2xyz3 j + 3xy2 z 2k, 
é conservativo. 
 
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