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�PAGE �10� UNIDADE 5 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 5.1 - CONCEITUÇÃO GENÉRICA Com muita frequência verifica-se que existe uma relação entre duas (ou mais) variáveis. Por exemplo: os pesos dos alunos dessa turma dependem, em certo grau, de suas alturas; as circunferências de círculos dependem de seus raios; a pressão de um determinado gás depende de sua temperatura e seu volume. Deseja-se, frequentemente, representar essa relação sob forma matemática por meio do estabelecimento de uma equação que ligue as variáveis. As curvas mais frequentemente utilizadas têm as seguintes equações: Linha Reta Y = a + bX Parábola Y = a0 + a1X + a2X2 Curva do 3o Grau Y = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 Curva do no Grau Y = a0 + a1X + a2X2 + a3X3 + ... + anXn Hipérbole Y = 1 / (a + bX) Curva Exponencial Y = ABX Curva Geométrica Y = Axb Curva Logística Y = 1 / (ABX + G) Dispondo-se de “n” informações consecutivas, tem-se uma série com os n pontos (Xi,Yi)) para i = 1, 2, 3,...,n. Elaborando-se o ajustamento ou a regressão dessa série, a função ajustante define a tendência. Através dessa função ajustante procede-se a formulação de projeções ou previsões. - Métodos de Ajustamento O problema do ajustamento consiste em determinar-se uma função matemática que possa representar a “Curva observada” tão próximo quanto possível. Para tanto são utilizados vários métodos: processo gráfico; método dos pontos escolhidos; método das médias métodos rigorosos método dos mínimos quadrados; método do momento; método dos polinômios ortogonais. Apenas estudaremos o método dos mínimos quadrados. Observação Importante Nos problemas que envolvem ajustamento de séries temporais, para simplificar as equações normais se usa o processo de centragem dos valores seriados de Xi. Essa centragem pode ser feita de duas maneiras: a série temporal tem número ímpar de termos. Exemplo: Valores originais: 1960, 1964, 1968, 1972, 1976, 1980, 1984, 1988, 1992. Número de termos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Valores centrados: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. b) a série temporal tem número par de termos. Exemplo: Valores originais: 1960, 1964, 1968, 1972, 1976, 1980, 1984, 1988. Número de termos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Valores centrados: -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7. A adoção dessas centragem minimiza os cálculos na apuração das incógnitas (constantes) que integram o modelo matemático usado no ajustamento. Para escolher qual a melhor função ajustante dentre as funções proposta devemos encontrar a variância residual ((2). A melhor função ajustante é aquela que apresentar a menor variância residual ((2). Chamamos de variância residual a variância resultante dos desvios entre os dados observados (Yi) e os respectivos dados calculados (Yc) pela função ajustante. Sua expressão é: (2 = ((Yi - Yc)2 n - Método dos mínimos quadrados Esse método consiste em tornar mínima a soma dos quadrados dos desvios entre os dados observados e os respectivos valores determinados pela função ajustante. Por esse critério determina-se o sistema de equações normais e os valores das constantes. - Ajustamento para reta, parábola e exponencial Para melhor entendimento desenvolveremos as equações normais para as três curvas citadas pois elas são suficientes para o entendimento das demais. E estamos supondo que os dados estão centrados Reta Y = a + bX (Y = na + b(X (XY = a(X + b (X2 Parábola Y = a + bX + cX2 (Y = na + b(X +c(X2 (XY = a(X + b (X2 + c(X3 (X2Y = a(X2 + b (X3 + c(X4 Exponencial Y = ABX Como essa função traz a variável X no expoente ela tem que ser preparada matematicamente por logaritimação antes de aplicarmos as regras de normalização. Aplicando logaritmo a ambos os termos da igualdade, temos: Log Y = Log (ABX) podemos chamar Log Y = y, como Log (ABX) = log A + X log B, chamando log A =a e log B = b teremos que Log (ABX) = a + bX, logo, a equação a ser normalizada é y = a + bX que é a equação da Reta, assim: (y = na + b(X (Xy = a(X + b (X2 Exemplo: Dada a produção de Aço indicada na tabela, ajuste aos dados apresentados à reta, a parábola e a exponencial. Em seguida determine qual dessas funções é a melhor ajustante e a partir da melhor ajustante faça uma previsão para os próximos cinco anos. Brasil Produção de Aço -1972 Anos Produção (1000 t) 1959 131 1960 146 1961 149 1962 163 1963 174 1964 188 1965 194 1966 198 1967 210 1968 281 1969 315 1970 338 1971 344 ( 2.831 Memória de Cálculos Para a Reta: Anos Produção (1000 t) Xi XiYi X2 Yc (Yi - Yc)2 � 1959 131 -6 -786 36 108 529 1960 146 -5 -730 25 126 400 1961 149 -4 -596 16 144 25 1962 163 -3 -489 9 163 - 1963 174 -2 -348 4 181 49 1964 188 -1 -188 1 199 121 1965 194 0 0 0 218 576 1966 198 1 198 1 236 1444 1967 210 2 420 4 254 1936 1968 281 3 843 9 273 64 1969 315 4 1260 16 291 576 1970 338 5 1690 25 309 844 1971 344 6 2064 36 328 256 ( 2.831 0 3.338 182 - 6.817 Y = a + bX (Y = na + b(X ( 2.831 = 13 a + b.0 ( 2.831 = 13 a ( a = 217,6 (XY = a(X + b (X2 ( 3.338 = a . 0 + 182b ( 3.338 = 182 b ( b = 18,34 Yc = 217,76 + 18,34X Variância residual: (2 = ((Yi - Yc)2 = 6.817 = 524 n 13 Para a Parábola: Anos Produção (1000 t) Xi XiYi X2 Xi2Yi X3 X4 Yc (Yi - Yc)2 � 1959 131 -6 -786 36 4716 -216 1296 140 81 1960 146 -5 -730 25 3650 -125 625 142 16 1961 149 -4 -596 16 2384 -64 256 147 4 1962 163 -3 -489 9 1467 -27 81 155 64 1963 174 -2 -348 4 696 -8 16 167 49 1964 188 -1 -188 1 188 -1 1 181 49 1965 194 0 0 0 0 0 0 197 9 1966 198 1 198 1 198 1 1 217 361 1967 210 2 420 4 840 8 16 240 900 1968 281 3 843 9 2519 27 81 266 225 1969315 4 1260 16 5040 64 256 294 441 1970 338 5 1690 25 8450 125 625 325 169 1971 344 6 2064 36 12384 216 1296 360 256 ( 2.831 0 3.338 182 45.542 0 4.550 - 2.624 Y = a + bX + cX2 (Y = na + b(X + c(X2 ( 2.831 = 13 a +b.0 + 182c ( 13 a + 182 c = 2.831 (1) (XY = a(X + b (X2 + c(X3 ( 3.338 = a . 0 + b.182 + c.0 ( 3.338 = 182b ( b = 18,34 (X2Y = a(X2 + b (X3 + c(X4 ( 42.542 = a .182 +b.0 + c.4.550 ( 182 a + 4.550 c = 42.542 (2) De (1) e (2) vem: utilizando o processo de adição 13 a + 182 c = 2.831 [182] ( -2.366 a - 33.124 c = - 515.242 182 a + 4550 c = 42.542 [13 ] ( 2.366 a +59.150 c = 553.046 0 + 26.026 c = 37.804 ( c = 1,45 De (1) vem: utilizando o processo de substituição 13 a + 182 c = 2.831 13 a + 182(1,45) = 2.831 ( 13 a + 263,9 = 2.831 ( 13 a = 2.567,1 a = 197,47 Yc = 197,47 + 18,34X + 1,45X2 Variância residual: (2 = ((Yi - Yc)2 = 2.624 = 202 n 13 Para a Exponencial: Anos Produção (1000 t) Xi logYi Xi.logYi X2 Yc (Yi - Yc)2 � 1959 131 -6 2,1173 -12,7038 36 126 25 1960 146 -5 2,1644 -10,8220 25 137 81 1961 149 -4 2,1732 -8,6928 16 148 1 1962 163 -3 2,2122 -6,6366 9 161 4 1963 174 -2 2,2405 -4,4810 4 175 1 1964 188 -1 2,2742 -2,2742 1 190 4 1965 194 0 2,2878 0 0 206 144 1966 198 1 2,2967 2,2967 1 225 729 1967 210 2 2,3222 4,6444 4 244 1156 1968 281 3 2,.4487 7,3461 9 265 256 1969 315 4 2,4983 9,9932 16 288 729 1970 338 5 2,5289 12,6445 25 313 625 1971 344 6 2,5366 15,2196 36 340 16 ( 2.831 0 30,1010 6,5341 182 - 3.771 Y = ABX [lembrar que a = log A e b = log B e que o antilogarítmo é 10log ] (y = na + b(X ( 30,1010 = 13. a + b.0 ( a = 2,315462 ( A = 102,315462 ( A = 206,758 (Xy = a(X + b (X2 ( 6,5341 = a . 0 + b.182 b = 0,0359 ( B = 100,0359 ( B = 1,086 Yc = (206,758)(1,086)x Variância residual: (2 = ((Yi - Yc)2 = 3.771 = 290 n 13 Como a Parábola apresentou menor variância residual ela é a melhor função ajustante. Desta forma, a projeção para os próximos cinco anos ficará assim determinada: Yc = 197,47 + 18,34X + 1,45X2 Y1972 = 197,47 +18,34(7) +1,45(7)2 = 197,47 + 128,38 + 71,05 = 396,90 = 397 Y1973 = 197,47 +18,34(8) +1,45(8)2 = 197,47 + 146,72 + 92,80 = 436,99 = 437 Y1974 = 197,47 +18,34(9) +1,45(9)2 = 197,47 + 165,06 + 117,45 = 479,98 = 480 Y1975 = 197,47 +18,34(10) +1,45(10)2 = 197,47 + 183,40 + 145 = 525,87 = 526 Y1976 = 197,47 +18,34(11) +1,45(11)2 = 197,47 + 201,74 + 175,45 = 574,66 = 575 - CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 5.4.1 Regressão Linear Regressão é a estimação de uma variável (dependente) em função de uma ou mais variáveis (independentes). Exemplo: peso e altura. Se X e Y representam as duas variáveis consideradas, um diagrama de dispersão mostra a localização dos pontos (X,Y) em um sistema de coordenadas retangulares. Se todos os pontos desse diagrama parecem cair nas proximidades de uma reta, a correlação é denominada linear. Nos gráficos abaixo podemos verificar: - Se Y tende a aumentar quando X cresce, como na parte (a), a correlação é denominada positiva ou direta. - Se Y tende a diminuir quando X aumenta, como na parte (b), a correlação é negativa ou inversa. - Se todos os pontos parecem estar próximos de alguma curva, a correlação é denominada não linear e uma equação não linear é apropriada para a regressão ou a estimação. Pode-se determinar, de modo qualitativo, quão bem certa reta ou curva representa a relação entre as variáveis, mediante a observação direta do próprio diagrama de dispersão. Nessa situação os dados são apresentados em “tabelas de dupla entrada”. Essa é uma tabela especial que consegue mostrar as frequências para todas as combinações possíveis de valores das duas variáveis. Exemplo: Na tabela de dupla entrada Sexo(X) x Situação no Mercado(Y), abaixo Sexo Empregado Desempregado Total Masculino 1.000 200 1.200 Feminino 2.000 500 2.500 Total 3.000 700 3.700 Essa tabela nos fornece as frequências observadas para cada possível combinação de valores das duas variáveis: Masculino(X) empregado(Y) = 1.000 ; feminino(X) empregado(Y)= 2.000 Masculino(X) desempregado(Y) = 200 ; feminino(X) desempregado(Y) = 500 Para os dados quantitativos a ferramenta mais utilizada é o diagrama de dispersão. Exemplo: Suponhamos o seguinte conjunto de dados, correspondente às notas de quatro alunos em duas provas – uma de Estatística e a outra de Cálculo. Aluno Nota de Estatística Nota de Cálculo (X) (Y) 1 5 6 2 8 9 3 3 5 4 9 10 Temos o gráfico de quatro pontinhos. Cada pontinho representa um aluno. Pelas coordenadas do ponto, temos como descobrir os valores das duas variáveis, ou seja, as notas de Estatística e Cálculo que o aluno tirou. Quando as duas variáveis em estudo são de tipos diferentes (uma é quantitativa e a outra é qualitativa) é usual que a análise seja conduzida de forma a avaliar o comportamento da variável quantitativa para cada categoria da variável qualitativa. Exemplo: Considere que as vendas diárias de dois setores da uma empresa (Setor A e Setor B) são monitoradas. O setor da empresa tem duas categorias, A e B, logo estas são as variáveis qualitativas. As vendas diárias são as variáveis quantitativas. O resultado obtido para um período analisado consta da tabela abaixo: Média Variância Setor A 1.000 10.000 Setor B 2.000 40.000 Outros Setores 1.800 190.000 Podemos observar que para cada categoria da variável qualitativa identificamos o comportamento da variável quantitativa. 5.4.1.1 – Retas de Regressão Sendo X uma variável independente e Y a variável dependente, podemos determinar uma relação funcional entre as mesmas Y = f(X) a partir de uma amostra de valores de X e Y. A Regressão Linear busca determinar uma equação de reta que descreva uma correlação entre os valores das variáveis X e Y. É um modelo do tipo Y = a + bX ou X = a + bY sendo esta reta chamada de “reta de regressão” ou “reta de ajustamento”. O método de regressão linear simples pode ser aplicado a outros casos, além do da relação linear entre duas variáveis, isto porque mediante uma adequada transformação de variáveis, as funções podem ser linearizadas. A Reta de Regressão de mínimos quadrados de Y para X é : Y = a + bX ( 1) (Y = Na + b(X (XY = a(X + b (X2 Os valores de a e b são obtidos através das fórmulas: a = (ΣY) (ΣX2) – (ΣX) (ΣXY) NΣX2 – (ΣX)2 b = NΣXY – (ΣX) (ΣY) NΣX2 – (ΣX)2 A Reta de Regressão de mínimos quadrados de X para Y é : X = a + bY (2) (X = Na + b(Y (XY = a(Y + b (Y2 Os valores de a e b são obtidos através das fórmulas: a = (ΣX) (ΣY2) – (ΣY) (ΣXY)NΣY2 – (ΣY)2 b = NΣXY – (ΣX) (ΣY) NΣY2 – (ΣY)2 Se desejarmos adotar o modelo centrado, aproveitamos os valores totais obtidos da tabela e usamos as seguintes expressões de recorrência: Σyi2 = ΣY2 – (ΣY)2 ; Σxi2 = ΣX2 – (ΣX)2 ; Σxiyi = ΣXY - (ΣX) (ΣY) N N N Os valores de a e b da Reta de Regressão serão obtidos através da relação: b = Σxiyi e a = Y - bX Σx2 Com tudo o que foi exposto devemos ter em mente as seguintes observações: Para Y = a + bX a reta de regressão passa por (X,Y); “b” que é o coeficiente de regressão, dá a variação de Y quando X aumenta 1; quando b = 0, Y não depende de X; o cálculo de “a” e “b” é simplificado se centramos X, mas, para obtermos a equação com X e Y originais devemos considerar que xi = Xi - X , onde xi é a variável centrada e X é o centro. As equações (1) e (2) podem ser escritas, respectivamente, sob as formas: y = ( Σxy ) x e x = (Σxy ) y , em que x = X – X e y = Y – Ῡ Σx2 Σy2 Exemplo: Estime os parâmetros a e b da regressão de Y sobre X para os dados da tabela abaixo usando (a) o modelo não centrado, (b) o modelo centrado e estime o valor de Y quando X =15. Dado dado dado calculado Países X Y XY X2 Y2 A 8 6 48 64 36 B 13 8 104 169 64 C 11 8 88 121 64 D 10 7 70 100 49 E 12 7 84 144 49 F 16 12 192 256 144 G 10 9 90 100 81 H 10 8 80 100 64 Σ 90 65 756 1.054 551 n = 8 Y =a + bX (Y = Na + b(X (XY = a(X + b (X2 65 = 8a + 90b 756 = 90a +1.054b Dados não centrados: Y = a + bX a = (ΣY) (ΣX2) – (ΣX) (ΣXY) = (65)(1.054) – (90)(756) = 470 = 1,4157 =1,4 NΣX2 – (ΣX)2 8(1.054) – (90)2 332 b = NΣXY – (ΣX) (ΣY) = 8(756)- (90)(65) = 198 = 0,5964 NΣX2 – (ΣX)2 8(1.054) – (90)2 332 Reta de Regressão Y = 1,4 + 0,5964X Dados centrados: Y = a + bX Aproveitando os dados da tabela posso usar as fórmulas de transformação X = ΣX = 90 = 11,25 ; Y = ΣY = 65 =8,125 N 8 N 8 Σxi2 = ΣX2 – (ΣX)2 = 1.054 – (90)2 = 1.054 – 1012,5 = 41,5 N 8 Σxiyi = ΣXY - (ΣX) (ΣY) = 756 – (90) (65) = 756 – 731,25 = 24,75 N 8 b = Σxiyi = 24,75 = 0,5964 Σxi2 41,5 a = Y – bX = 8,125 – 0,5964(11,25) = 8,125 – 6,7093 = 1,4157 = 1,4 Reta de Regressão Y = 1,4 + 0,5964X Estimativa quando X = 15 Y = 1,4 + 0,5964X = 1,4 + 0,5964(15) = 10,345 5.4.1.2 - COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON (r) Um coeficiente de correlação r de Pearson mede a aderência linear entre duas variáveis X e Y conhecidas aos pares. Dá a medida da dispersão dos pontos X, Y em relação à reta ajustada pelo método dos mínimos quadrados. “r” é a razão entre a covariância e o produto dos desvios padrões das variáveis X e Y, logo podemos escrever para obtermos o cálculo de r a expressão: r = Cov(X, Y) ou r = ( xy (X.(Y (( x2.(y2 OBS: este valor de r terá fórmula mais complexa quando se tratar de séries com frequências ( e ainda mais se for uma distribuição de frequências por classes). O r de Pearson apresenta vantagens sobre a covariância na medida de correlação entre duas variáveis. A maior delas reside no fato de que o r de Pearson é sempre um valor compreendido no intervalo fechado de -1 a +1. -1 ( r ( 1 A magnitude de r nos diz sobre a qualidade da correlação linear: r = -1, existe perfeita correlação inversa entre as variáveis. r >-0,9, existe correlação indireta e forte entre as variáveis. r ( - 0,7, existem correlação indireta e moderada entre as variáveis. r < -0,5, existem correlação indireta e fraca entre as variáveis. r < 0, existe correlação indireta (inversa) inversa entre as variáveis. r = 0, não existe correlação entre as variáveis. r > 0, existe correlação direta entre as variáveis. r < 0,5, existe correlação direta e fraca entre as variáveis. r ( 0,7, existe correlação direta e moderada entre as variáveis. r > 0,9, existe correlação direta e forte entre as variáveis. r = +1, existe correlação perfeita e direta entre Y e X, isto é se a variável X aumenta a variável Y aumenta em consequência. Exemplo: Determinar o coeficiente de correlação linear para os dados: Anos 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 Volumes 8.826 9.277 10.145 10.798 11.801 12.634 13.477 Anos Yi Xi xi = Xi - X yi = Yi - Y xi . yi x2 y2 1951 8.826 1 -3 -2.168 6.504 9 4.700.224 1952 9.277 2 -2 -1.717 3.434 4 2.948.089 1953 10.145 3 -1 -849 849 1 720.801 1954 10.798 4 0 -196 0 0 38.416 1955 11.801 5 1 807 807 1 651.249 1956 12.634 6 2 1.640 3.280 4 2.689.600 1957 13.477 7 3 2.483 7.449 9 6.165.259 ( 76.958 28 - - 22.323 28 17.913.668 Média aritmética: X = (X = 28 = 4 ; Y = (Y = 76.958 = 10.994 n 7 n 7 desvio padrão: (x = ( (x2/n = ( 28/7 = ( 4 = 2 (y = ( (y2/n = (17.913.668/7 = ( 2.559.095,4 = 1.599,7 covariância: Cov(X,Y) = (xy = 22.323 = 3.189 n 7 coeficiente de correlação: r = Cov(X,Y) = 3.189 = 3.189 = 0,9967 (X.(Y (2).(1.599,7) 3.199,4 r = 0,9967 ( 1, logo correlação direta e perfeita. Exercícios: Calcular o coeficiente de Correlação linear de Pearson para os dados da tabela abaixo: Aluno Nota de Estatística Nota de Cálculo (X) (Y) 1 5 6 2 8 9 3 3 5 4 9 10 Aluno X Y x =X - X y =Y - Y x.y x2 y2 1 5 6 -1,25 -1,5 1,875 1,5625 2,25 2 8 9 1,75 1,5 2,625 3,0625 2,25 3 3 5 -3,25 -2,5 8,125 10,5625 6,25 4 9 10 2,75 2,5 6,875 7,5625 6,25 ( 25 30 0 0 19,500 22,7520 17,00 Média aritmética: X = (X = 25 = 6,25 ; Y = (Y = 30 = 7,5 n 4 n 4 coeficiente de correlação: r = Σ xiyi = 19,5 = 19,5 = 19,5 = 0,9915 existe correlação perfeita (xi2yi2 ((22,752)(17) (386,784 19,6668 Exemplo: Dada a Tabela: Peso X dos pais (kg) 65 63 67 64 68 62 70 66 6867 69 71 Peso Y dos filhos (kg) 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70 Determinar: a) a linha de regressão dos mínimos quadrados de Y para X; b) o valor do peso de um filho quando o pai pesa 75; c) o coeficiente de correlação;. Memória de cálculo Xi Yi Xi Yi Xi2 Y2 65 68 4.420 4.225 4.624 63 66 4.158 3.969 4.356 67 68 4.556 4.489 4.624 64 65 4.160 4.096 4.225 68 69 4.692 4.624 4.761 62 66 4.092 3.844 4.356 70 68 4.760 4.900 4.624 66 65 4.290 4.356 4.225 68 71 4.828 4.624 5.041 67 67 4.489 4.489 4.489 69 68 4.692 4.761 4.624 71 70 4.970 5.041 4.900 800 811 54.107 53.418 54.849 linha de regressão de mínimos quadrados de Y para X ( valores não centrados). Y = a + bX (Y = na + b(X (XY = a (X + b(X2 811 = 12a + 800b 54.107 = 800ª + 53.418b a = (ΣY) (ΣX2) – (ΣX) (ΣXY) = (811)(53.418) – (800)(54.107) = 43.321.998 – 43.285.600 = 36.398 NΣX2 – (ΣX)2 12(53.418) - (800)2 641.016 - 640.000 1,016 a = 35,82 b = NΣXY – (ΣX) (ΣY) = 12(54.107) – (800)(811) = 649.284 – 648.800 = 484 = 0,476 NΣX2 – (ΣX)2 12(53.418) - 8002 641.016 – 640.000 1.016 Reta de Regressão Y = 35,82 + 0,476X Peso do filho para um pai com 75 kg. X = 75kg Y = 35,82 + 0,476X = 35,82 + 0,476(75) = 35,82 + 35,7 = 71,52 kg Coeficiente de correlação. Σxiyi = ΣXY - (ΣX) (ΣY) = 54.107 – 800) (811) = 54.107 – 648.800 = 54.107 – 54.066,667 = 40,333 N 12 12 Σxi2 = ΣX2 – (ΣX)2 = 53.418 – (800)2 = 53.418 – 53.333,333 = 84,667 N 12 Σyi2 = ΣY2 – (ΣY)2 = 54.849 – (811)2 = 54.849 – 54.810,083 = 38,917 N 12 r = Σxiyi = 40,333 = 40,333 = 0,72 (xi2.yi2 ((84,667)(38,917) 57,402 r = 0,72 existe correlação direta e moderada entre as variáveis. Exercícios: A tabela seguinte apresenta o número de agricultores nos Estados Unidos (em milhões), durante os anos 1949 e 1957. Anos 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 Nº de agricultores (milhões) 9,96 9,93 9,55 9,15 8,86 8,64 8,36 7,82 7,58 Fonte: Department of Agriculture Sabendo-se que a reta dos mínimos quadrados que se ajusta a essa série é Y = 8,872 – 0,312X, em que Y é o número de agricultores(em milhões) e que X é expresso em função dos anos, com origem em 1º de julho de 1953. a) Prediga o número de agricultores em 1º de julho de 1958. b) Avalie o número de agricultores no ano de 1948 ( em 1º de julho). 2) O tempo total necessário para que se faça um automóvel parar, depois de perceber-se um perigo, é composto do tempo de reação (decorrido entre o reconhecimento do perigo e a aplicação dos freios) e o tempo de freagem (necessário para a parada, depois da aplicação dos freios). A seguinte tabela dá as distâncias de para D ( em pés) de um automóvel que desenvolve as velocidades V (em mph). Velocidade V 20 30 40 50 60 70 Distância para parada D 54 90 138 206 292 396 Sabendo- se que a parábola dos mínimos quadrados que se ajusta a esses dados é D = 41,77 – 1,096V + 0,08786V2 , em que D é distância em pés e V é a velocidade em mph. a) Prediga a distância de parada para V = 45 mph. b) Prediga a distância para parada para V = 80mph. (3) O número de bactérias, por unidade de volume existente em uma cultura depois de X horas, é apresentado na tabela seguinte: Nº de horas 0 1 2 3 4 5 6 Nº de bactérias Por volume unitário 32 47 65 92 132 190 275 Sabendo-se que a exponencial dos mínimos quadrados que se ajusta a esses dados é Y = 32,14(1,427)X , onde Y é o número de bactérias por volume unitário e X é o número de horas, encontre o número de bactérias para o período de 7 horas. _1176563825.xls
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