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equipamentos e maquinas

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Curso Técnico de Petróleo 
ET/UFPR 
 
Disciplina: Máquinas e Equipamentos 
Ementa 
Professor: José V. C. Vargas 
 
Capitulo introdutório: REVISÃO DE CONCEITOS 
1. Mecânica dos Fluidos 
a. Massa e volume (unidades) 
b. Massa especifica (unidades) 
c. Pressão e suas escalas (unidades) 
d. Vazão/ velocidade (unidades) 
e. Energia (unidades) 
f. Equação de Bernoulli 
g. Perda de carga 
2. Termodinâmica 
a. Gases Perfeitos 
b. Primeira lei da Termodinâmica – sistema fechado 
c. Transferência de calor por condução, convecção e radiação 
d. Primeira lei da termodinâmica – sistema aberto 
e. Ciclos Termodinâmicos 
3. Máquinas elétricas 
a. Motores elétricos 
b. Geradores elétricos 
4. Máquinas mecânicas geradoras 
a. Bombas hidráulicas 
 i. Tipos, NPSH e cavitação 
 ii.Curvas de funcionamento 
 iii. Curvas de sistema e ponto de funcionamento 
b. Ventiladores 
c. Compressores 
 i.Tipos e princípios de funcionamento 
5. Equipamentos 
a. Filtragem e separação 
 i. Sistemas gases-sólidos 
 1.Ciclones 
 2. Filtros de membranas 
 3. Lavadores de gases 
 4. Separadores eletrostáticos 
 ii. Sistemas líquidos-sólidos 
 1. Tambores 
 iii. Sistemas sólidos-sólidos 
b. Trocadores de calor 
 i. Tipos 
c. Refrigeração 
d. Ar condicionado 
6. Máquinas mecânicas motoras 
 a.Turbinas hidráulicas 
 b. Turbinas a vapor 
 c. Turbinas a gás 
1 
 
 
Equipamentos e Máquinas 
 
Capítulo introdutório: REVISÃO DE CONCEITOS 
 
 Sistemas de Unidades Físicas (SUF) 
 
 Definição: É o conjunto de unidades utilizadas para medir todas as espécies de grandezas físicas. 
• Grandeza Física: tudo que pode ser mensurado (quantificado) 
 
Sistema Coerente: 
Um sistema é coerente quando suas unidades são definidas em função de um pequeno numero de unidades 
arbitrariamente escolhidas como fundamentais. Há algumas condições o cumprir. 
 
a. As unidades fundamentais devem ser independentes entre si; 
b. O valor de uma unidade fundamental deve ser invariável; 
c. As unidades fundamentais passam a ser representadas por padrões; 
d. As unidades fundamentais devem permitir uma fácil medição direta das grandezas de sua espécie. 
 
SUF Congrega unidades 
 
�GeométricasCinemáticasDinâmicas � sistemas de unidades mecânicas 
 
Térmicas 
Eletromagnéticas 
Óticas 
 
Bastam três unidades fundamentais para o sistema de unidade mecânica: 
 
Unidade Grandeza Fundamental 
Geométrica Comprimento L 
Cinética Tempo T 
Dinâmica 
Massa M 
Força F 
 
 
Sistemas de hoje 
Dois tipos gerais: 
 
 1. LMT: comprimento, massa, tempo. 
 2. LFT: comprimento, força, tempo. 
 
 
• SI e Inglês 
O sistema SI é do tipo LMT : 
Comprimento – L 
Massa – M 
2 
 
Tempo – T 
 
Brasil adotou esse sistema pelo Dec. 52423 de 30/08/1963. 
 
km kilometro 1000 m 103 m 
hm hectometro 100 m 102 m 
dam decametro 10 m 101 m 
m metro 1 m 
dm decímetro 0,1 m 10-1 m 
cm centímetro 0,01 m 10-2 m 
mm milimitro 0,001 m 10-3m 
µ micrometro 0,000001 m 10-6 m 
 
Equação ou fórmula de definição de uma grandeza 
Definição: É a formula que estabelece a correlação da grandeza considerada com outras em função das quais a 
primeira foi definida. Por exemplo: a definição da velocidade de um corpo em movimento retilíneo uniforme é: 
 
 
v � ∆�∆� ��� � 
 
 
 
Como se estabelece a equação dimensional de uma grandeza? 
 
Exemplo: determinar a equação dimensional da força no sistema LMT. 
 F � m. a 
 
Precisamos de uma formula de definição da aceleração. 
 
�a � !∆v∆t" � LT
%&
T � LT%' 
a � ∆v∆t ( m s⁄s � ms' 
 m ( M ( kg F � m. a ( MLT%' 
F ( kg ms' ( N 
 
 
 
 
Massa - Unidades 
 
 
 
 Corpo massa 
 
M 
3 
 
Unidades : 
 
kg = kilograma 
lb = libra 
 
 
m = 1.150 kg 
 m = 1.150.000 g 
1kg = 1000 g 
1lb = 454 gramas = 0.454 kg (Fator de conversão) 
 
Força 
 F 
 
Força peso: 
 
 
P � m. g 
Onde: 
P = Força peso 
m = Massa do corpo 
g = aceleração da gravidade 
 
g = 9,81 m/s2 (9,81 por causa da massa do planeta Terra) 
 
Calculando as dimensões: 
 �/ � �0 . �1 �/ � kg.m s' � N⁄ 
 
Segunda Lei de Newton: 
 / � 0. 1 
 
Força = massa × aceleração 
 
 
Sínteses de grandezas comuns 
 
a) Geométricas 
• Superfície 
• Volume 
b) Dinâmicas 
• Massa 
• Trabalho 
• Potência 
• Pressão 
• Massa especifica 
 
4 
 
a) Geométricas 
 
a.1) superfície ou área 
 �2 � 34 ou L × H 
L2 ( Eq. Dimensional) 
 
No sistema SI, tem-se: 
 
[L] = m (unidade de comprimento é o metro) 
[S] = m × m = m2 (unidade de superfície é o m2) 
 
 
 
a.2) volume 
 
[V] = L3 (Eq. Dimensional) 
V = L × W × H 
[V] = m × m × m = m3 
 
b) Dinâmicas 
 
b.1) massa 
Massa de um corpo é a razão entre a força que sobre ele atua e a aceleração que o corpo adquire, portanto: 
 
0 � /1 
 
No sistema SI, tem-se: 
[m] = M (Eq. Dimensional) 
[m] = kg 
 
b.2) Trabalho mecânico 
Trabalho de uma força, τ , é o produto do deslocamento sofrido pelo corpo sobre o qual a força é aplicada, d, e a 
componente da força na direção do deslocamento, F (força × deslocamento). 
 5 � /6 
 
b.3) Potência 
Potência de um sistema é a razão entre o trabalho executado pelo sistema em um certo intervalo de tempo, e o 
intervalo de tempo considerado. 
 
Se em um intervalo de tempo t, o sistema executar um trabalho τ, a sua potência é definida por: 
 
7 � 58 
�7 � �5 �8 � 9
':;%'; �7 � 9':;%< (Eq. dimensional) 
5 
 
�7 ( => ( ? (Watt) 
 
b.4) Pressão 
 
A pressão exercida por uma força sobre uma superfície é a razão entre o componente da força normal à superfície a 
área da superfície e considerada, conforme mostra a Figura abaixo. 
 
 
 
 
onde /@ e /A são as forças normal e tangencial à superfície, respectivamente. 
b.5) massa especifica 
Massa especifica (ou densidade) de uma substância homogênea é a razão entre a massa de um corpo constituído 
dessa substancia e o volume do corpo considerado. 
Se m é a massa do corpo e V é o seu volume, a massa especifica B da substância é definida por: 
B � 0C 
onde: 
�B � �0C� � :9< 
�B � 9%<: (Eq. dimensional) 
� B � DE0< 
 
/A 
/ /@ 
6 
 
1. MECÂNICA DOS FLUIDOS 
- Introdução 
Os líquidos e os gases são comumente denominados fluídos. O nome resulta de uma propriedade comum 
aos dois estados físicos: podem escoar com facilidade, podem fluir facilmente. 
Os fluídos, ao contrário dos sólidos, não possuem forma própria. Adaptam-se à forma do recipiente que os 
contém. 
Os líquidos têm volume limitado por superfícies livres bem definidas. Os gases são expansíveis: ocupam 
sempre todo o volume do recipiente (qualquer que seja a capacidade). 
Os líquidos oferecem grande resistência à compressão. Os gases são facilmente compressíveis. 
Trataremos apenas do estudo de fluidos ideais, denominados fluidos perfeitos. Suas moléculas são capazes 
de se deslocar sem atrito uma sobre as outras. 
Na realidade existe atrito entre as moléculas. Este atrito é traduzido por uma grandeza denominada 
viscosidade. 
A influência da viscosidade faz-se sentir por ocasião do escoamento dos fluidos, mas, não influi sobre os 
fluidos e equilíbrio. 
 
1.1- PESO ESPECÍFICO 
O peso específico ∆ da substância que constitui um corpo homogêneo de peso P e volume V é definido por: 
 
∆ � FG � HIJ� (1.1) 
 
Sua equação dimensional é: �∆ � 9%' :;%' 
 
1.2 - RELAÇÃO ENTRE PESO ESPECÍFICO E MASSA ESPECÍFICA 
Substituindo 7 por seu valor 0E na equação (1.1) teremos: 
 
∆ � 0EC � 0C . E 
Tendo em vista queB � 0 K⁄ , ∆� BE 
Exemplo 
Qual o peso específico da água nos sistemas LMN, NP Q :RƒN? Supor g normal. 
a) No CGS temos μ � 1 E/W0³ e E � 981 W0/[² 
.˙. ∆ � μE � 1 ] 981 � 981 6^_1/W0³ 
b) No MKS: 
 μ � 1000 DE/0³ Q E � 9,81 W0/[² 
.˙. ∆ � 10 ³ a 9,81 � 9,81 a 10³ b/0³. 
c) No SI: 
 μ � &c,d& a 10³ e80/0³ Q E � 9,81 0/[² 
 .˙. ∆� &c,d& a 10³ a 9,81 � 10³DEf/0³ 
 
 
1.3 – DENSIDADE RELATIVA 0g é a massa de um corpo de volume C constituído pela substância h, se 0i é a massa de um corpo de 
referencia, de mesmo volume C, constituído pela substancia j, a densidade da substância h em relação à substância j, é definida por: 
. 
7 
 
 
6g,i � IkIl (1.2) 
 Quando se fala de densidade relativa de uma substância, sem qualquer outra indicação, fica subentendido 
que se trata da densidade da substância considerada em relação à água a 4°C e sob pressão normal: 
 
6 � IImJn (1.3) 
 
A densidade dos gases é comumente referida ao ar nas CNTP ou ao hidrogênio, também nas CNPT. Se não 
houver qualquer indicação sobre a substância de referencia trata-se da água a 4°C e sob pressão normal. 
 NÃO DEVEMOS ESQUECER QUE A DENSIDADE RELATIVA É ADMENSIONAL. 
 Densidade Relativa definida como razão entre massas específicas 
Sabemos que: 
μ � IkG . ˙ . 0g � μg . C 
 
μi � IoG . ˙ . 0i � μi . C 
 0g0p �
μg . Cμp . C 
 
. ˙ . 6g,i � qkqo (1.4) 
 
Usando a água com substância de referência teremos: 
 
6 � qqmJn (1.5) 
 
1.4 – PRESSÃO 
A pressão exercida por uma força F sobre uma superfície de área S é definida por: 
 
r � s . tu> vw (1.6) 
 
Sendo θ o ângulo que o suporte da força forma com a normal à superfície. 
Sua equação dimensional é: �r � 9%&:;%' 
Suas unidades são: xáy^1 zLMN{; b/ 0² zNP{ Q DEf/0² z:RfN{ 
Além dessas são usadas: DEf/W0², 180}[fQy1,00 6Q ~E, etc. 
 
A - ESTÁTICA DOS LÍQUIDOS (Hidrostática) 
1.5 – INTRODUÇÃO 
Consideremos apenas o caso do líquido ideal: sem viscosidade e incompressível. 
a) Força exercida por um líquido sobre uma superfície. 
Os líquidos em equilíbrio exercem sobre qualquer superfície uma força normal à mesma. 
Suponhamos inicialmente que a força exercida pelo líquido sobre a superfície seja inclinada em relação à 
superfície. Poderíamos decompô-la em duas componentes: uma normal à superfície e outra tangencial. 
8 
 
Pela 3° lei de Newton, a cada componente corresponde uma força de 
reação exercida sobre o liquido, pela superfície. Nestas condições, a força de 
reação tangencial, faria o líquido entrar em movimento. 
Como o líquido está em equilíbrio, não age sobre ele nenhuma força de 
reação tangencial. Logo a força que o liquido exerce sobre a superfície não pode 
ser inclinada. 
Experimentalmente essa conclusão pode ser comprovada, usando o 
recipiente perfurado mostrado na fig. 1.1. 
Todos os jatos saem normalmente às paredes do recipiente. 
 
b) Pressão exercida por um líquido sobre uma pequena superfície: 
A pressão exercida por um líquido sobre qualquer superfície, 
suficientemente pequena, independe da orientação que esta superfície 
possua em torno de seu centro. 
Isto pode ser comprovado experimentalmente por meio de uma 
cápsula manométrica. 
Para se fazer uma cápsula manométrica (Fig. 1.2), basta recobrir a face aberta de uma pequena caixa 
metálica de paredes rígidas por meio de uma membrana de borracha. 
 
A cápsula tem uma saída por meio da qual se une ao tubo que a liga a um manômetro (medidor de pressão) 
Desde que a posição do ponto central da membrana se mantenha a mesma, a pressão fornecida pelo 
manômetro não se modifica mesmo que se mude a orientação da cápsula no interior do líquido. 
 
1.6 - TEOREMA FUNDAMENTAL DA HIDROSTÁTICA OU TEOREMA DE STEVIN; 
“A diferença de pressão entre dois pontos de um líquido em equilíbrio é igual ao produto da diferença de 
nível entre os dois pontos pelo peso especifico de líquido (ou, pela massa específica do 
líquido e pela aceleração da gravidade do lugar)” 
Suponhamos um líquido em equilíbrio. 
Isolemos, dentro do líquido, um cilindro vertical, constituído pelo próprio 
liquido (Fig. 1.3) 
 
Como o cilindro isolado está em equilíbrio, a resultante das forças verticais, que 
agem sobre ele, é nula:, 
 
/&  7 � /' ou /' – /& � 7 (1.7) 
 
Dividindo os dois membros pela área de seção reta do cilindro (suposta suficientemente pequena para que 
as bases (1) e (2) possam ser assimiladas a pontos). Teremos: 
 
 
sJw – sJw � Fw (1.8) 
 
ou: 
 r' – r& � Fw (1.9) 
 
mas, 7 � C � N‚ 
 
ou 7 � N‚ BE 
Figura 1.1 
Figura 1.2 
Figura 1.3 
9 
 
Substituindo P por seu valor na equação, teremos: 
 r' ƒ r& � ‚ r' ƒ r& � ‚BE (1.10) 
 
A demonstração do teorema foi feita para o caso particular dos dois pontos se encontrarem sobre a mesma 
vertical. 
Podemos generalizar o teorema fundamental da hidrostática para dois pontos quaisquer. 
 
1.7 – TEOREMA; 
DOIS PONTOS SITUADOS NO MESMO NÍVEL DE UM LÍQUIDO EM EQUILÍBRIO SUPORTAM PRESSÕES IGUAIS. 
Suponhamos um liquido em equilíbrio. 
Isolemos no líquido um cilindro horizontal de seção reta 
suficientemente pequena para que estas bases h e „ possam ser 
assimiladas a pontos. 
Como o cilindro está em equilíbrio, a resultante das forças 
horizontais deve ser nula. 
Logo: 
 /g � /p (1.11) 
 
Dividindo os dois membros ela área de seção reta do cilindro: 
 
 
skw = 
slw 7g � 7p (1.12) 
 
Portanto a diferença de pressão entre os pontos 2 e 1 de um líquido em equilíbrio 
(Fig 1.5) é também dada pelas equações: 
 
 r' – r& � ‚ }e r' – r& � ‚μE (1.10) 
 
1.8 – PRESSÃO EM UM PONTO DE LÍQUIDO EM EQUILÍBRIO 
Para determinar a pressão em um ponto h, qualquer, de um líquido em equilíbrio 
basta aplicar o teorema fundamental entre o ponto h e um ponto da superfície livre do 
líquido. (Fig. 1.6) 
Chamando de r180 a pressão que a atmosfera exerce sobre a superfície livre do 
líquido e de r a pressão no ponto h, teremos: 
 r ƒ r180 � ‚BE r � r180  ‚BE (1.13) 
 
No caso geral de haver uma pressão externa qualquer, r…, diferente da atmosférica, teremos: 
 r � r…  ‚BE (1.14) 
 
1.9 – PARADOXO HIDROSTÁTICO 
A força que um líquido exerce sobre o fundo de um reservatório independe de sua forma. Depende 
unicamente da altura do líquido. 
Figura 1.4 
Figura 1.5 
Figura 1.6 
10 
 
Na Figura 1.7 os três reservatórios têm bases de mesma área (S). 
 
Se eles contem o mesmo liquido até a mesma altura, a força suportada pelo fundo de cada um deles é a 
mesma. 
De fato, de 
r � /N 
Tiramos / � r . N 
A pressão no fundo dos vasos é a mesma: 
 r � r…  ‚BE 
 
Logo / � zr…  ‚μE{N (1.15) 
 
Como a pressão externa é a mesma, a altura de líquido é a mesma, o líquido é o mesmo e a área do fundo é 
a mesma, concluímos que a força também é a mesma. 
Observar que há igualdade das forças exercidas pelo líquido sobre os fundos. 
Os pesos de líquido contido em cada reservatório são, entretanto, diferentes. 
 
1.10 – SUPERFÍCIE LIVRE DOS LÍQUIDOS EM EQUILÍBRIO; 
A superfície livre de um líquido em equilíbrio é plana e horizontal. 
Suponhamos, inicialmente, que a superfície tenha a forma indicada na fig. 1.8. 
 
A pressão no ponto h é: 
 rg � r… 
No ponto C: r† � r…  ‚BE 
 Mas sendo h e L pontos do mesmo nível de um líquido em equilíbrio as 
pressões rh Q rW são iguais. 
Logo: rh � rL 
 .˙. r0 � r0  ‚BE 
 .˙. ‡ � ‚BE 
 
Como μ e g são diferentes de zero, concluiremos que 
 ‚ � 0 
Logo, os pontos h e „ estão em um mesmo nível. 
Figura 1.7 
Figura 1.811 
 
1° Observação: 
Deixamos ao encargo dos alunos demonstrarem que quando colocamos, em um mesmo recipiente, dois ou 
mais líquidos imiscíveis (que não se misturam), eles se sobrepõem (segundo as densidades decrescentes) de modo 
que todas as superfícies de separação (interfaces) sejam planas e horizontais. 
 
2° Observação: 
Se a superfície livre, ou a interface, for de grande extensão ela será curva, pois acompanha a curvatura da 
terra. 
Se a superfície livre ou a interface é de extensão muito pequena, ela também será curva, em virtude da 
influência da tensão superficial. 
 
1.11 – EQUILÍBRIO DE UM LÍQUIDO EM VASOS COMUNICANTES 
Sejam os dois vasos comunicantes mostrados na figura 1.9. 
 
Suponhamos inicialmente que as alturas de líquido nos dois vasos 
sejam diferentes em relação a um mesmo nível de referencia qualquer. 
Consideramos sobre este nível os dois pontos h Q „. Calculando a 
pressão no ponto h pelo ramo da esquerda teremos: 
 rg � r…  ‚& BE (1.16) 
 
A pressão no ponto „ calculada pelo ramo da direita será: 
 rp � r…  ‚'BE (1.17) 
 
Como h Q „ são pontos situados em um mesmo nível de um líquido em equilíbrio teremos: 
 rg � rp 
. ˙ . r…  ‚&BE r…  ‚'BE 
. ˙ . ‚& � ‚' (1.18) 
 
Se em lugar de dois vasos comunicantes tivéssemos vários, de formas quaisquer, chegaríamos ao mesmo 
resultado. 
Podemos então concluir: 
A altura alcançada por um liquido em equilíbrio em diversos vasos comunicantes é a mesma, qualquer que 
seja a forma ou seção do ramo. 
 
Observação: 
Se um dos vasos não possuir altura suficiente o líquido nele contido subirá, sob a forma de um repuxo, até o 
nível comum aos demais vasos. 
 
1.12 – EQUILÍBRIO DE DOIS LÍQUIDOS IMISCÍVEIS EM DOIS VASOS 
COMUNICANTES 
 Sejam os dois vasos comunicantes mostrados na figura 1.10. 
 
Eles contem dois líquidos imiscíveis em equilíbrio. 
Chamemos de μ& a massa especifica do liquido do ramo da esquerda e 
de μ' a massa do liquido do ramo da direita. 
Figura 1.9 
Figura 1.10 
12 
 
Consideremos como nível de referencia o que passa pela superfície de separação dos dois líquidos. 
Calculando as pressões em h Q „ encontramos: 
 rg � r…  ‚&B&E (1.19) 
 rp � r…  ‚'B'E (1.20) 
 
Como h Q „ são pontos situados no mesmo nível de um liquido em equilíbrio teremos: 
 rg � rp 
. ˙ . r…  ‚&B&E � r…  ‚'B'E 
. ˙ . ‚&B& � ‚'B' ou ˆ‰ˆJ � ŠJŠ‰ 
. ˙ . 
ˆ‰ˆJ � ŠJŠ‰ � ∆J∆‰ � ‹J‹‰ (1.21) 
 
Desde que contemos as alturas a partir do nível que passa pela superfície de separação dos dois líquidos 
podemos concluir: 
Dois líquidos imiscíveis em equilíbrio em dois vasos comunicantes atingem as alturas inversamente 
proporcionais as suas massas especificas (aos seus pesos específicos, ou, as suas densidades). 
 
Exemplo: 
Dois vasos comunicantes contem, em equilíbrio, mercúrio (μ& = 13,6 g/cm3) e um óleo. 
A superfície livre do mercúrio esta 2 cm acima da superfície de separação dos dois líquido; a superfície livre 
do óleo se encontra 34 cm acima do mesmo nível de referência. Qual a massa específica do óleo? 
 Repetindo o raciocínio chegaremos a: ‚&B& � ‚'B' 
 
. ˙ . μ' � μ& . ˆ‰ˆJ 
No caso ‚& = 2 cm e ‚' = 34 cm 
. ˙ . μ' � 13,6 ] '<Ž . ˙ . μ' � 0,8E/W0< 
 
Exemplo 
Um tubo em U contem mercúrio (6& � 13,6 ). Seus dois ramos tem mesma seção reta ([ � 1 cm²). 
Derrama-se em um deles 47,6 W0³ de água a 25,5 W0³ de óleo (6< � 0,8). 
a) Qual o desnível sofrido pelo mercúrio? 
b) Se tivéssemos colocado a água em um dos ramos e o óleo no outro, qual seria o desnível? 
 
a) A figura 1.11 indica a distribuição dos líquidos no equilíbrio. 
 
 
Calculemos a pressão nos pontos h Q „: 
 r g � r…  ‚'B'E ‚<B<E 
 rp r…  ‚&B&E 
 
Como r g � rp teremos: 
13 
 
 r…  ‚'B'E ‚<B<E r…  ‚&B&E 
 
. ˙ . ‚'B' ‚<B< � ‚&B& 
 
Precisamos da massa especifica e temos as densidades. 
No caso, é mais simples dividir os dois membros pela massa especifica da 
água zμ'{. Assim: 
 
‚' qJqJ + ‚< q“qJ ‚& q‰qJ 
 
As razões 
qJqJ ; 
q“qJ ; 
q‰qJ são, respectivamente, as densidades da água (6' = 1), do óleo (6< = 0,8) e do mercúrio 
(6& = 13,6). 
Logo: ‚'. 6'  ‚<. 6< � ‚&. 6& 
 
Queremos calcular ‚&. Para isto precisamos de ‚' Q ‚<, que não foram dados. 
Conhecemos porem, o volume de água colocada no tubo e a área da seção do tubo. Portanto: 
 
C' � ‚'. [ . ˙ . ‚' � GJ> 
 
Analogamente, para o óleo: 
K< � ‚<. [ . ˙ . ‚< = G“> 
 
. ˙ . 
GJ> . 6'  G“> . 6< � ‚&6& 
 Ž”,•
& . 1 + 
'–,–
& . 0,8 ‚& . 13,6 
 
. ˙ . ‚& 5 cm 
 
b) Analogamente teremos (fig. 1.12): rg’ � r…  ‚'µ'E 
 rp’ � r…  ‚&’µ&E  ‚<µ<E 
 
Como rg’ � rp’ r…  ‚'µ'E � r…  ‚&’µ&E  ‚<µ<E 
 
. ˙ . ‚'µ' � ‚&’µ&  ‚<µ< 
 
Dividindo por µ': 
 ‚'6' � ‚&’6& � ‚<6< 
ou 
Figura 1.11 
Figura 1.12 Figura 1.12 
14 
 
C'N 6' � ‚&’6&  C<N 6< 47,61 . 1 � ‚& ] 13,6  25,51 . 0,8 ‚&’ � 2 W0 
 
 
1.13 – TEOREMA DE PASCAL 
Os líquidos transmitem integralmente as pressões que suportam. 
O teorema fundamental da hidrostática ensina que a diferença de pressão entre os pontos (1) e (2) de um 
liquido em equilíbrio é dada pela equação: (Fig. 1.13). 
 
r' – r& � ‚μE (1.22) 
 
 
Para um processo qualquer aumentamos a pressão no ponto (1) de r& 
para r&’ � r&  ∆r&. Imaginemos, inicialmente, que no ponto (2) o 
acréscimo de pressão correspondente seja ∆r2 diferente de ∆p1. A pressão, 
final do ponto (2) será, portanto, 
 r2’ = r2 + ∆r2 (1.23) 
 
Apliquemos o teorema fundamental a este estado final: 
 r'’ – r&’ � ‚μE 
 
Como estamos considerando apenas liquido incompressível a massa específica do líquido não varia com o aumento 
de pressão. 
Podemos então concluir que: 
r2’ – r1’ r2 – r1 
 
Substituindo r'’ por seu valor r'  ∆r' e r1’ por r1 + ∆r1 teremos: 
 zr'  ∆r'{ – zr&  ∆r&{ � r' – r& r'  ∆r' ƒ r& ƒ ∆r& � r' – r& 
. ˙ . ∆r2 = ∆r1 (1.24) 
 
1.14 – PRENSA HIDRÁULICA. FREIO HIDRÁULICO 
 
São aplicações do teorema de Pascal. 
A figura 1.14 representa um esquema simplificado de uma prensa hidráulica. 
Exerçamos no ramo de menor seção uma força /g. A pressão exercida pelo embolo h sobre o líquido será: 
 
r � skwk 
 
O líquido exercera sobre o êmbolo a mesma pressão. 
Como o embolo „ tem seção maior que o embolo h a força exercida 
pelo liquido sobre o embolo „ tem que ser maior do que /g para a pressão 
poder ser a mesma. 
Figura 1.13 
Figura 1.14 
15 
 
Assim: 
 skwk = 
slwl (1.26) 
 
Você é capaz de explicar o funcionamento do freio hidráulico? 
 
Observação: 
Se o embolo h desce de uma distancia A ele expulsa do ramo de menor seção um volume ANA de liquido. 
Como o liquido considerado é incompressível, o volume expulso do ramo de pequeno diâmetro passa ao de 
diâmetro maior e faz o embolo „ subir de uma altura B. 
É claro que: 
 ‚gNg � ‚pNp (1.27) 
 
Multiplicando os dois membros pela pressão r transmitida teremos: 
 ‚g . rNg � ‚p . rNp 
 
Mas: rNg � /g e rNp � /p 
 . ˙ . /g . ‚g � /p . ‚p (1.28) 
 
Verifica-se, portanto, o principio da conservação do trabalho. 
 
Exemplo: 
Os ramos de uma prensa hidráulica têm diâmetro ™A = 5 cm e ™B = 1 m. 
Exercendo sobre o embolo menor uma força /g � 50 DEf que força /B o liquido exercerá sobre o embolo 
maior? 
Se o embolo menor se desloca verticalmente de uma distancia A = 40 cm de que distancia vertical B se 
deslocará o outro embolo? 
Sabemos que: /gNg �
/pNp 
 
. ˙ . /p � /g wlwk 
 
SB = šjB² = π›œl' ² = žœl²Ž 
 
SA = 
žœk²Ž 
 
/B = /A Ÿ l²¡Ÿ k²¡ = /A ›
œlœk² 
 
/B = 50 ›&……– ² 
 
16 
 
/B = 20 000 DEf 
Usando a conservação do trabalho: 
A . /A = B . /B 
‚p � ‚g /g/p � 40 
5020 000 
B = 0,1 cm 
 
1.15 – TEOREMA DE ARQUIMEDES 
Isolemos uma porção qualquer de um líquido em equilíbrio.Cada ponto da superfície externa da porção isolada está submetido a ação de uma força, exercida pelo 
restante do líquido (na fig. 1.15 mostramos algumas). 
Pelo teorema fundamental sabemos que estas forças só dependem da altura de 
líquido acima do ponto considerado, da massa específica do líquido e da aceleração da 
gravidade. 
A resultante destas forças exercidas pelo restante do líquido sobre a parte isolada 
recebeu o nome de empuxo. 
Como há equilíbrio o empuxo deve ser diretamente oposto ao peso 7 da parte 
isolada. 
Substituindo a parte isolada do liquido por um corpo, de mesma forma, o empuxo 
não sofre modificação, pois, ele independe da parte isolada. 
Podemos então enunciar o teorema de Arquimedes: 
 
“Todo corpo mergulhado em um liquido fica submetido à ação de uma força vertical, orientada de baixo 
para cima, de módulo igual ao peso do líquido deslocado, cujo suporte passa pelo ponto onde se encontrava o 
centro de gravidade do líquido deslocado” 
 
Outra demonstração: 
Suponhamos um corpo imerso em líquido conforme indica a figura 1.16. 
 
O corpo tem a forma de um cilindro circular reto, com as bases paralelas à 
superfície livre do líquido. 
A diferença de pressão da base inferior e superior é: 
 r' ƒ r& � ‚. B¢ . E (1.29) 
 
Onde B¢ é a massa especifica do líquido. 
 
Multipliquemos os dois membros pela área N da seção reta do cilindro: 
 Nr' ƒ Nr& � N‚μ¢E 
 N£' é a força /' exercida pelo líquido sobre a base inferior do cilindro. Anàlogamente N£& é a força /&. N‚ é o volume do cilindro e, portanto, o volume de liquido que ele desloca (representado por C). 
Logo: 
 /' ƒ /& � C. B¢ . E 
 
Mas, /' ƒ /& é o empuxo ¤ ¤ � C. B¢ . E (1.30) 
Figura 1.15 
Figura 1.16 
17 
 
 
Como C é o volume de líquido deslocado e μ¢ é a massa específica do líquido o produto C. μ¢ dará a massa de 
líquido deslocado. O produto C. μ¢ ¥ E representa então o peso de liquido deslocado pelo corpo. 
 
Observação: 
Esta demonstração não tem a generalidade da anterior. 
 
1.16 – EXPRESSÃO ANALÍTICA DO EMPUXO 
 Nem sempre todo volume do corpo esta submerso. Por exemplo, em um corpo flutuante apenas parte do 
seu volume se encontra submerso. 
Para evitar duvidas iremos calcular o empuxo por meio da seguinte fórmula: 
 ¤ � C> . μ¢ . E (1.31) 
 
Onde ¤ � empuxo C[ � volume do corpo que se encontra submerso μ¢ � massa especifica do líquido E � aceleração da gravidade do lugar 
 
1.17 – CORPOS IMERSOS 
Todo corpo mergulhado em um líquido sofre a ação de duas forças: o seu peso e o empuxo exercido pelo 
líquido. 
O peso do corpo se aplica em seu centro de gravidade. 
O suporte do empuxo passa sempre pelo ponto onde se encontra o centro de gravidade do líquido que foi 
deslocado pelo corpo. Doravante chamaremos este ponto de centro de empuxo. 
A força resultante que age sobre o corpo será a resultante do peso (7) e o empuxo (¤). 
Temos então três casos a considerar. 
 
a) O peso é maior que o empuxo 
 
Neste caso, a força resultante que age sobre o corpo, está orientada para baixo, tendo por módulo. 
 
/ � 7 – ¤ (1.32) 
 
Como o peso e o empuxo são constantes, teremos F = constante. Logo, o corpo cairá no líquido com 
movimento uniformemente acelerado (caso ideal do líquido não possuir viscosidade). 
A aceleração do movimento pode ser facilmente calculada usando a Segunda Lei de Newton: 
 
0¦ 7 – ¤ 
1 � 70 ƒ ¤0 
1 � E ƒ C[ μ¢ . E.CŠ 
sendo a massa especifica do corpo. 
 
Estando o corpo totalmente mergulhado o volume do corpo (C) será igual ao volume submerso e: 
18 
 
 1 � E ƒ Š§Š E 1 � Ez1 ƒ Š§Š { (1.33) 
 
Deixamos ao encargo dos alunos concluírem que o peso só será maior que o empuxo se a massa especifica 
do corpo for maior que a do liquido. 
 
b) O peso é menor que o empuxo 
 
Neste caso, a resultante das forças que agem sobre o corpo será dirigida para cima, tendo por módulo: 
 
/ � ¤ – 7 (1.34) 
 
Agindo analogamente ao caso anterior podemos calcular a aceleração com que o corpo sobe no interior 
do líquido. 
 
1 � E z Š§Š ƒ 1{ (1.35) 
 
Naturalmente, esta formula só poderá ser aplicada enquanto o corpo estiver totalmente submerso. 
No instante em que a parte superior do corpo atinge a superfície livre do liquido o corpo começa a emergir. Com 
isto diminui o volume submerso do corpo e, consequentemente, o empuxo. 
Como o peso permanece constante, podemos concluir que há uma certa posição do corpo para a qual o peso e o 
empuxo são iguais. 
Nesta ocasião o corpo terá uma parte submersa e outra emersa. Isto é, o corpo estará flutuando. 
Portanto, o peso só será menor que o empuxo, estando o corpo totalmente submerso, se a massa especifica do 
corpo for menor que a do líquido. 
 
c) O peso é igual ao empuxo 
Neste caso o corpo ficará em equilíbrio no interior do líquido, qualquer que seja a posição em que se 
encontre. 
Este caso só ocorrerá se as massas especificas do corpo e do líquido forem iguais. 
 
Exemplo: 
 
 Um cilindro reto de madeira z6& � 0,7{ tem como lastro um cilindro, de mesma base, de uma liga z62 � 9{. O conjunto flutua em água de modo que 5 cm do cilindro de madeira fique emerso. 
 O cilindro de madeira tem 30 cm de altura. 
 a) Qual a altura do lastro? 
 b) Qual deveria ser a altura do lastro para que a base superior do cilindro coincidisse com a superfície 
livre do líquido? 
 
a) Como o corpo está flutuando o peso é igual ao empuxo (Fig. 
1.17). 
O peso do sistema é igual a soma dos pesos da madeira z7&{ e da liga z7'{. Logo: 
 7&  7' � C> ¥ μ¨J© ¥ E 0&  0' � C ¥ μ¨J© 
Figura 1.17 
19 
 
C& ¥ μ&  C' . μ' � C> ¥ μ¨J© 
 
Dividindo os dois membros pela massa específica da água obteremos a densidades: 
 C&6&  C'6' � C> N z30{ z0,7{  N z]{ z9{ � N z25  ]{ 21  9 ] � 25  ] 
.˙. ] � 0,5 W0. 
 
b) O segundo item é resolvido analogamente: 
 7&  7' � CN ¥ μ~2‡ ¥ E 
No caso, Cw � C&  C' � N z30  ]{ 
 N ¥ 30 ¥ μ& ¥ E  N ¥ ] ¥ μ' ¥ E � N z30  ]{ ¥ μ¨J© ¥ E 30 ¥ B&  ]μ' � z30  ]{ ¥ μ¨J© 30 6&  ]6' � 30  ] z30{ z0,7{  9 ] � 30  ] 8] � 9 
.˙. ] � 1,125 W0. 
 
1.18 – CORPOS FLUTUANTES 
 Um corpo flutuante sofre a ação de duas forças: o seu peso e o empuxo. Como o corpo está em equilíbrio o 
peso e o empuxo são iguais: 
 
 7 � ¤ (1.36) 
 
Esta equação serve de partida para a resolução de problemas sobre flutuação. 
 
Exemplo 
 Uma proveta contém água até uma altura de 49 cm. Deixa-se cair, a partir da superfície livre do líquido, sem 
velocidade inicial, um corpo instituído e um material de densidade 1,25. 
 Qual o tempo gasto pelo corpo para atingir o fundo? Despreza-se a viscosidade. Considere E � 1000 W0/[². 
 Agem sobre o corpo seu peso e o empuxo. Como a densidade do corpo é maior que da água o peso é maior 
que o empuxo. A força resultante está orientada para baixo. Seu módulo é: 
 / � 7 – ¤ 
.˙. 0¦ � 0ª ƒ C> ¥ μ¨J© ¥ E 
 C ¥ μ ¥ 1 � C ¥ μ ¥ E – Cw ¥ μ¨J© ¥ E 
 
Dividindo pela massa específica da água, teremos, tendo em vista que, no caso, C � C[: 
 1 ¥ 6 � E ¥ 6 – E ¥ 6¨'© 
.˙. 1 � E ›1 ƒ ‹mJn‹ . 
1 � 1000 «1 ƒ 11,25¬ 
20 
 
1 � 200 W0/[² 
] � «12¬ ¥ 1 8' 49 � ½ ¥ 200 ¥ 8² 
.˙. 8 � 0,7 [. 
 
Exemplo 
 Um corpo é constituído por material de densidade 9. O corpo pesa 90gf. Mergulhado em água pesa 70gf. 
 O corpo é oco ou maciço? 
 Determinemos o volume do corpo. 
 Seu peso é 90 gf, duo seja 90 ¥ 9816®_. 
 Sua massa específica pode ser determinada pela fórmula 
 
 B � 6 ¥ μ¨J© � 9 ¥ 1 � 9 E/W0³ 
 
De 7 � 0E tiramos 
0 � 7E � 90 a 981981 � 90E 
De µ = 
I
G tiramos C � IŠ � c…c � 10 W0³ 
Calculemos agora o volume de líquido deslocado pelo corpo. Se for igual a 10 
cm³ concluiremos que o corpo é maciço. Se for maior o corpo será oco. 
Quando determinamos o peso do corpomergulhado em água três forças agem 
sobre o corpo: o seu peso, o empuxo e a força / que o dinamômetro exerce sobre ele 
(FIG.1.18). Esta força / é igual à força que o corpo exerce sobre o dinamômetro, sendo 
portanto igual ao peso aparente do corpo (dado do problema: 70gf). 
Como o corpo está em equilíbrio teremos: /  ¤ � 7 ¤ � 7 ƒ / � 90 ƒ 70 ¤ � 20Ef � 20 a 9816 ¤ � C> . μ¨J© .ª 20 ¯ 981 � C> . 1 .981 C> � 20 W0³ 
Como o corpo desloca um volume de líquido maior que o seu próprio, concluímos que o corpo é oco. 
 
 
 ° – ±2²Á²´µ¶ ·¸2 ¹¶2±2 
 
1.19 – PRESSÃO ATMOSFÉRICA. EXPERIÊNCIA DE TORRICELLI 
É fato conhecido que a Terra está envolta por uma camada gasosa a que denominamos atmosfera. 
A atmosfera exerce sobre qualquer ponto da superfície terrestre uma pressão conhecida pelo nome de pressão 
atmosférica. 
Diversas experiências podem ser realizadas para demonstrar a existência da pressão atmosférica. Estas 
experiências são suficientemente debatidas no curso de Ciências (1° Ciclo). Não insistiremos no assunto. 
Interessa- nos agora determinar o valor desta pressão. 
O primeiro a medi-la foi Torricelli. 
Figura 1.18 
21 
 
Pra isto usou um tubo de vidro, com cerca de 1 m de comprimento, fechado em um dos 
extremos. 
Encheu o tubo de mercúrio, tampou com o dedo, inverteu o tubo e mergulhou – o e um 
vaso contendo mercúrio. 
Só então retirou o dedo. 
Verificou então que o mercúrio desceu no tubo até atingir uma altura de 76 cm acima do 
nível de mercúrio contido no vaso aberto (Fig. 1.19). 
Consideremos os pontos h Q „. Como estes dois pontos se encontram em um mesmo 
nível de um líquido em equilíbrio, eles suportam pressões iguais. 
A pressão no ponto h é a pressão atmosférica. A no ponto „ é a exercida pela coluna de 
mercúrio. 
Vemos assim que a pressão atmosférica equilibra uma coluna de mercúrio de 76 cm de altura. Logo, a pressão 
exercida pela atmosfera equivale à pressão exercida por uma coluna de Hg de 76 cm de altura (qualquer que seja a 
área da base). 
É preciso esclarecer, porém, que a pressão atmosférica não é constante. Isto é, não é sempre que ela equilibra 
uma coluna de mercúrio de 76 cm. 
Só será assim quando a pressão atmosférica for medida ao nível do mar (normal). 
 
1.20 – ATMOSFERA 
É a pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 76 cm de altura, a 0°C, em um lugar onde a aceleração da 
gravidade é normal. 
Pelo teorema fundamental da hidrostática a pressão, da coluna de mercúrio pode ser facilmente calculada: 
 r � ‚μE 
 r � 76 W0 .13,6 g/cm³ . 981 cm/ s² r � 1,013 a 10•x 
 
 
Como r está representando a pressão de atmosfera teremos: 
 1 180 � 1,013. 10•x 
 
1.21.– EXPERIÊNCIA DE PASCAL 
Pascal repetiu a experiência de Torricelli usando água em lugar de mercúrio. 
Calculemos a altura d’água que a pressão de 1 atmosfera pode equilibrar. 
Usando a coluna de mercúrio chegamos a: 
 r � 76. 13,6 E/W0< . 981 W0 / [' 
 
Usando água teremos: 
 r � ‚ a 1E/W0< a 981W0/[' 
.˙. 76 a 13,6 a 981 � ‚ a 1 a 981 
.˙. ‚ � 76 a 13,6 ‚ � 1033W0 � 10,330 
1.22 – MEDIDORES DE PRESSÃO 
Denominamos barômetro a qualquer instrumento destinado a medir a pressão atmosférica. 
Os barômetros podem ser reunidos em dois grupos gerais: 
Figura 1.19 
22 
 
 
a) Os de mercúrios 
b) Os metálicos 
 
Os barômetros de mercúrio têm a sua construção baseada na experiência de Torricelli. 
Os barômetros metálicos (chamados aneróides) têm a sua construção baseada nas deformações elásticas que 
variações na pressão atmosférica produzem em lâminas metálicas. São graduados por comparação com barômetros 
de mercúrio. 
Denominamos manômetro a qualquer instrumento destinado a medir pressões. Como se vê os barômetros não 
passam de casos particulares dos manômetros. 
Os manômetros podem também ser reunidos em dois grupos: 
 
a) Manômetros de líquido 
b) Manômetros metálicos 
 
Os manômetros de líquido podem ser de tubo aberto ou de tubo fechado. 
 
1.23 – MANÔMETRO DE TUBO ABERTO (AR LIVRE) 
O manômetro de tubo aberto, também chamado de ar livre, não passa de um tubo 
em U contendo um líquido. Uma das extremidades do tubo é ligada ao recipiente cuja 
pressão zr{ se deseja medir; a outra extremidade está em contato com a atmosfera 
(Fig. 1.20) 
O desnível apresentado pelo líquido nos 2 ramos permite medir a pressão, do 
recipiente, usando o teorema fundamental de hidrostática: 
r – r… � ‚μE 
r � r…  ‚μE (1.37) 
Não devemos esquecer que para determinar a pressão absoluta no interior de um recipiente temos que somar, à 
pressão exercida pela coluna de líquido, a pressão atmosférica. 
Em um grande número de casos não interessa a pressão absoluta existente no interior do recipiente. Interessa 
apenas a diferença de pressão entre o interior do recipiente e a atmosférica. Esta diferença de pressão é comumente 
denominada pressão manométrica e é medida pela pressão exercida pela coluna líquida de manômetro. 
rI¦@ � r¦º> ƒ r… � ‚μE (1.38) 
 
Podemos ter uma pressão manométrica negativa; basta que a pressão absoluta existente no interior do 
recipiente seja menor do que a atmosférica (observar que a pressão absoluta não pode ser 
menor que zero; uma pressão nula representa o vácuo). 
Na Figura 1.21 mostramos um recipiente com pressão manométrica negativa. 
 
De fato: 
r… � r  ‚μE 
Figura 1.20 
Figura 1.21 
23 
 
 r ƒ r… � ƒ ‚μE 
rI¦@ � ƒ ‚μE (1.39) 
Observação 
Na resolução de problemas precisamos tomar muito cuidado para ver se as pressões dadas são manométricas ou 
absolutas. 
A pressão manométrica é também chamada de pressão efetiva. 
1.24 – MANÔMETRO DE TUBO FECHADO (AR COMPRIMIDO) 
É constituído por um tubo de » contendo um líquido. 
Uma das extremidades do tubo é fechada e contém uma certa quantidade de ar. A outra 
extremidade é aberta, ligada ao recipiente cuja pressão queremos determinar. 
Para determinar a pressão absoluta do recipiente temos que somar, à pressão exercida pela 
coluna líquida, a pressão exercida pelo ar comprimido no tubo fechado. Para calcular a pressão 
exercida pelo ar comprimido precisamos conhecer a lei de Boyle-Mariotte. 
É, entretanto, mais cômodo graduar o manômetro de tubo fechado, comparando-o com outro de tubo aberto. 
1.25 – TEOREMA DE ARQUIMEDES 
Deduzimos o teorema de Arquimedes para o caso dos líquidos. Se você reler o § 1.15 perceberá que a dedução 
feita para os líquidos pode ser repetida para os gases. 
O teorema Arquimedes aplica-se a QUALQUER FLUIDO. 
1.26 – FORÇA ASCENSIONAL DOS BALÕES 
Um balão sobe na atmosfera da mesma forma que um pedaço de cortiça sobe na água: o empuxo é maior que o 
peso. 
Se 7 é o peso do balão e ¤ o empuxo exercido pelo ar, a força ascensional /¦>t é definida pela diferença 
/¦>t � ¤ ƒ 7 (1.40) 
Para calcular o empuxo usaremos a fórmula 
¤ � C . μ¦¼. E (1.41) 
A massa especifica do ar é igual a 1,293 g/l, ou, 0,001293 g/cm³. 
 
µ – ·´½Â¿´µ¶ ·¸2 3ÍÁ´·¸2 zô·Ä¸·´½Â¿´µ¶{ 
1.27 – INTRODUÇÃO 
A dinâmica dos líquidos estuda os líquidos em movimento, isto é, o escoamento dos líquidos. 
1.28 – TEOREMA DE TORRICELLI 
Figura 1.22 
24 
 
Para demonstrar o Teorema de Torricelli com um certo rigor precisamos fazer considerações que fogem ao nível 
desta apostila.. 
Por esta razão limitamo-nos a dar a equação que o traduz sem 
demonstração. 
Imaginemos um líquido em equilíbrio em um reservatório. (Fig. 1.23) 
Se praticarmos um orifício no reservatório e se este orifício se encontrar a 
uma profundidade abaixo da superfície livre do líquido, a velocidade de 
escoamento do líquido será dada por: 
K � Å2 E ‚ (1.42) 
Como vemos, a velocidade independe da natureza do líquido. 
1.29 – VAZÃO 
Vazão de um fluido é a razão entre o volume de fluido escoado em um certo tempo e o intervalo de tempo 
considerado. 
Se C é o volume de fluido escoado no tempo 8, a vazão Æ será: 
Æ � GA (1.43)Sua equação dimensional é: 
�Æ � 9< ;%& 
Suas unidades são: cm³/s (no CGS) e m³/s (no :RN e :RfN). É ainda muito usada a unidade litro por segundo. 
É fácil mostrar que a vazão de um líquido através de encanamento pode ser calculada multiplicando a velocidade zK{ do líquido em uma determinada seção pela área z[{ da seção considerada; isto 
é: 
Æ � [K (1.44) 
De fato, suponhamos um encanamento de seção constante (fig. 1.24) pelo qual 
escoa um liquido qualquer. 
Após um tempo 8 as moléculas que se encontravam na seção h vão ocupar a seção „, sendo a distancia h„ 
dada por h„ÇÇÇÇ � K8, onde K é a velocidade de escoamento. 
 O volume escoado através da seção h (de área [) será: 
C � [K8 
 
Daí tiramos: 
C8 � [K 
 
Figura 1.24 
25 
 
ou 
Æ � [K 
Por meio desta equação e da equação a seguir podemos calcular o volume de liquido escoado na unidade de 
tampo através de um orifício existente em um reservatório: 
Æ � [ Å2E‚ (1.45) 
Observação 
 No caso de um orifício circular de arestas vivas, ao usar a equação 16.35 N não é a área do orifício e sim 65% 
da mesma. 
 Isto porque o jato que abandona o orifício se afunila até apresentar uma seção reta cuja área é cerca de 65% da área do orifício. 
Esta seção de área mínima que o jato apresenta é denominada veia “contracta” ou veia contraída. 
1.30 – CONSERVAÇÃO DE MASSA E QUANTIDADE DE MOVIMENTO (EQ. BERNOULLI) 
A segunda lei de Newton enuncia o principio da conservação da quantidade de movimento. No caso 
particular em que os efeitos de atrito entre o fluido e o tubo no qual escoa são desprezíveis, tal principio é 
enunciado matematicamente pela eq. de Bernoulli. Se o escoamento for incompressível, a equação pode ser escrita 
como: 
£
É  EÊ  GJ' � W}_[8 (1.46) 
 
Traduzindo em palavras, essa equação estipula que a soma do que se chama frequentemente de “energia de 
pressão” (trabalho de escoamento) por unidade de massa, a energia potencial de posição por unidade de massa e, 
finalmente, a energia cinética por unidade de massa, é conservada ao longo de uma linha de corrente. 
Teoricamente, essa soma, chamada de energia mecânica total, pode ser diferente para cada linha de corrente. 
Entretanto, em muitos problemas, todas as linhas de corrente tem a mesma energia mecânica total, como será 
ilustrado posteriormente nos exemplos, e isso significa que as quantidades da equação de Bernoulli, na forma acima, 
podem ser usualmente igualadas entre duas posições quaisquer, independente da identificação da linha de corrente. 
Entre dois pontos 1 e 2 em tais escoamentos, podemos dizer que: 
F‰É  EÊ&  G‰J' � FJÉ  EÊ'  GJJ' (1.47) 
Multiplicando a Eq. (1.46) por 1/g e substituindo EË por Ì obtemos 
F
Í  Ê  GJ'ª � W}_[8 (1.48) 
 Os termos dessa equação têm unidades de comprimento e são designados, usualmente, por cargas de pressão, 
de elevação e de velocidade, respectivamente. A equação análoga à Eq. (1.47) entre dois pontos do escoamento 
pode ser dada, pelas várias cargas, por 
F‰Í  Ê&  G‰J'ª � FJÍ  Ê'  GJJ'ª (1.49) 
26 
 
EXEMPLO: A Fig 1.25 mostra um grande tanque com uma abertura 
circular pequena na parede lateral. Qual é a velocidade do jato de água 
que sai do tanque? 
Esse não é um escoamento estritamente permanente porque a 
elevação da superfície da água é decrescente. Entretanto, como varia 
lentamente, não se incorre em sério erro ao se admitir que, no instante t 
a altura h é constante no cálculo da velocidade do jato. O escoamento 
pode ser considerado quase permanente. Pode se admitir, ainda, que a 
densidade é constante e o atrito pode ser desprezado. Entretanto podem ser feitas correções posteriores para levar 
em conta o último. Nessas circunstâncias e à luz do fato de que todas as linhas de corrente têm a mesma energia 
total na superfície livre, podemos usar a equação de Bernoulli em todas as posições de escoamento. 
Igualando as energias mecânicas entre os pontos 1, na superfície livre, e 2, no jato livre, as quantidades 
conhecidas são relacionadas com a velocidade desejada. A posição de referência é estabelecida no nível do jato. 
Dessa forma, desprezando a energia cinética na superfície livre. 
‚  7¦AIÌ � C
'
2E  7¦AIÌ 
C � Å2E‚ 
Para resultados mais precisos, pode-se considerar o atrito, utilizando um coeficiente experimentalmente 
determinado chamado de coeficiente de velocidade WÎ. Esse coeficiente depende do tamanho e 
da forma da abertura, assim como da elevação h da superfície livre. O valor de WÎ não é 
usualmente menor que 0,98 para aberturas arredondadas. 
Para aberturas não-arredondadas, haverá uma contração da corrente do jato na saída do 
reservatório. A menor seção do jato é chamada de vena contracta (Fig 1.26) e a área nessa seção 
é determinada experimentalmente. O coeficiente de contração Wt é usado para tal fim e é 
definido pela expressão ht � Lth. Esse coeficiente depende da forma e do tamanho da 
abertura, assim como da elevação da superfície livre acima do jato. Os coeficientes de contração 
variam de 0,6 para um orifício de aresta viva, a 1, para um orifício bem arredondado. 
Dessa forma, para determinar a descarga de fluido, Ï, temos 
Ï � WÎÅ2E‚ Wth � W‹Å2E‚ h (1.50) 
Onde W‹ � WÎWt é chamado de coeficiente de descarga. Os manuais de hidráulica contêm tabelas e gráficos dos 
coeficientes acima mencionados. 
O princípio de conservação de massa reconhece que “na natureza nada se perde, nada se cria, tudo se 
transforma”, enunciado originalmente por Lavoisier. No caso particular de um escoamento de um fluído, que 
apresenta densidade constante (incompressível) e sem a ocorrência de reações, o princípio de conservação de massa 
é expresso pela equação a seguir: 
0Ð � Ë K h � W}_[81_8Q (1.51) 
Onde Ë – densidade do fluído; K – a velocidade média na seção do escoamento e h – área da seção de 
escoamento. O produto dessas 3 (três) grandezas é denominado de vazão mássica, 0Ð , quantificado em kg/s. Veja 
que: 
Figura 1.25 
Figura 1.26 
27 
 
[Ë �K �h � ѪI³ ] I> ] 0² � Ѫ> 
A vazão mássica traz a importante informação da quantidade de massa de fluido que está sendo fornecida para 
consumo ao longo do tempo. É um parâmetro fundamental para dimensionamento de sistemas fluidos em geral. 
1.31 – PERDA DE CARGA 
Um fluido necessita vencer a resistência provocada pelo atrito com as paredes de um tubo a fim de escoar 
através do mesmo. Essa resistência causa uma perda de pressão (carga) que determina a energia a ser gasta por uma 
bomba, por exemplo, para vencê-la. Entre o fluido em movimento e a parede estática surge uma tensão chamada de 
tensão de cisalhamento (corte), que tem a mesma unidade da pressão (5 Ò � /W^[/hW}_818}{. A pressão que o 
fluido deve estar para poder superar a resistência da parede é calculada a partir do equilíbrio de forças na direção do 
escoamento (3ª lei de Newton), isto é, ΣF = 0. A fim de tratar a tensão de cisalhamento de forma geral, define-se 
uma grandeza chamada fator de atrito: 
f � ÓԉJÉ ÕJ (1.52) 
onde U – velocidade média na seção do escoamento. 
Tanto f como 5Ò podem ser utilizados para calcular a diferença total de pressão, r, que precisa ser mantida 
no tubo, de comprimento L, para promover um escoamento com velocidade média ». Considere o escoamento num 
duto reto que apresenta seção transversal como a mostrada no canto superior esquerdo da Fig. 1.28. Note que a 
geometria da seção transversal do duto pode ser caracterizada pela área da seção transversal, A, e pelo seu 
perímetro molhado, p. 
Quando o comprimento do duto, L, é muito maior que o comprimento de entrada estimado (Fig. 1.27), a 
distribuição da tensão de cisalhamento na parede do duto não varia com a posição longitudinal. Nos casos de 
escoamentos em tubos e entre placas paralelas, 5Ò é uniforme na superfície interna do duto. Num duto com seção 
transversal regular (por exemplo, triangular), 5Ò varia ao longo do perímetro da seção transversale os menores 
valores de τw ocorrem nos cantos da seção transversal. Por esta razão, no balanço de forças sugerido no desenho 
superior esquerdo da Fig. 1.28, o termo 5Ò representa a tensão de cisalhamento média na parede (calculado no 
perímetro com comprimento p). Assim, o produto 5Ò r9 representa a força total de atrito na parede. O balanço de 
forças num volume de controle (com volume AL) requer que 
rh � 5Ò r9 (1.53) 
A perda de pressão pode ser reescrita em função do fator de atrito. Assim, 
r � f ¢g /£ &'Ë»' (1.54) 
Figura 1.27 - Escoamento laminar na região de entrada de um canal formado por duas placas paralelas. A 
distância entre as placas é igual a 20 mm e U = 0, 032 m/s. 
28 
 
As Eqs. (1.53) e (1.54) são válidas tanto para escoamentos laminares quanto para turbulentos desde que o 
duto, com comprimento L, contenha apenas a região de escoamento plenamente desenvolvido. Note, ainda, que o 
denominador h / r apresenta dimensão de comprimento, por 
 
Figura 1.28 – Balanço de forças num volume de controle (canto superior esquerdo) e cinco dutos com seções 
transversais, e diâmetros hidráulicos, diferentes. As seções transversais foram desenhadas de tal modo que todas 
elas apresentam o mesmo diâmetro hidráulico. 
Por exemplo, o valor de h / r para uma seção transversal circular com diâmetro ™ é igual a ™ / 4. Faz sentido, 
então, definir 4 h / r como diâmetro hidráulico da seção transversal, ™ˆ. Note que a seção transversal do duto não 
recisa ser necessariamente circular. Assim: 
™ˆ � Ž g£ (1.55) 
Nós utilizaremos ™ˆ como escala de comprimento transversal nos escoamentos em dutos com qualquer 
seção transversal. Deste modo, a equação para a perda de pressão Eq. (1.54), se transforma em: 
∆r � f Ž¢œÖ &' Ë»' (1.56) 
A Fig 1.28 mostra algumas seções transversais e seus respectivos diâmetros hidráulicos, calculados a partir da Eq. 
(1.55). 
Estas seções transversais foram desenhadas em escala e de modo que todas elas apresentem o mesmo 
diâmetro hidráulico. Por exemplo, no caso de seção transversal circular com diâmetro D o diâmetro hidráulico é 
igual o diâmetro real do tubo, ™‚ � 4 zš™2 /4{ / zš™{ � ™. Por outro lado, no canal formado por duas placas 
paralelas, espaçadas por S e com largura W (i. e., com seção transversal igual a S x W . ), o diâmetro hidráulico é duas 
vezes maior que o espaçamento, ou ™ˆ � 4 zN ?{/ z2?{ � 2N. 
1.32 – AVALIAÇÃO DO FATOR DE ATRITO 
Muita pesquisa científica foi realizada na primeira metade do século XX a fim de avaliar o fator de atrito causado 
por superfícies de diferentes rugosidades. Esses dados foram utilizados para produzir o gráfico da Fig. 1.29, 
conhecido como Diagrama de Moody. Posteriormente, surgiram correlações analíticas que apresentam boa 
concordância com os dados experimentais. 
f~0,079 jQœ%&/Ž 2 a 10³ Ø jQœ Ø 2 a 10Ž (1.57) 
Se compararmos o comportamento desta equação com a curva relativa aos tubos lisos da Fig. 1.29, nós 
descobriremos que a equação fornece resultados razoavelmente precisos na faixa 2 a 10³ Ø jQœ Ø 2 a 10Ž 
29 
 
(onde jQœ � » ™ / ν e ν – viscosidade cinemática do fluido em m/s²). Uma relação empírica válida pra números de 
Reynolds mais altos é 
f ~0,046jQœ%&/– 2 a 10Ž Ø jQœ Ø 1 a 10• (1.58) 
 
Figura 1.29 - Fator de atrito para escoamentos laminar e turbulento planamente desenvolvidos em tubos 
(diagrama de Moody). 
 
1.33 - TRABALHO MECÂNICO 
Trabalho de uma força é o produto do descolamento sofrido pela força pela componente da força na direção do 
deslocamento. 
Se uma força F sofre um deslocamento x, formando com a 
direção do deslocamento um ângulo θ, e, se este ângulo se 
mantem constante durante o deslocamento, o trabalho realizado 
pela força será (Fig. 1.30) definido pela fórmula: 5 � /. W}[ Ù. ] 
Qual a unidade de medição do trabalho? 
 �/ �W}[ Ù �] � b. 1.0 � b.0 � Ú 
 
O produto de Newton por metro é dominado Joule. 
 
F F 
Figura 1.30 
30 
 
 
1.34 – POTÊNCIA 
Potência de um sistema é a razão entre o trabalho executado pelo sistema em um certo intervalo de tempo e o 
intervalo de tempo considerado. 
Se em um intervalo de tempo 8 o sistema executar um trabalho 5, a sua potência é definida por: 
 7 � ÓA (1.60) 
 
Qual a unidade de potência? 
�Ó �A � => � ? (1.61) 
que recebe denominação de Watt. 
 
 
1.35 – RELAÇÃO ENTRE POTÊNCIA E VELOCIDADE 
Imaginemos que uma força F, constante, desloque um corpo, em sua própria direção e sentido. Se no intervalo 
de tempo 8 o corpo sofre um deslocamento ] a potência média é dada por: 
 
7 � Ó∆A � s.∆Û∆A � /. ∆Û∆A (1.62) 
 
Como 
∆Û
∆A é a velocidade média KÜ do corpo durante o intervalo de tempo considerado teremos: 
 7 � /. KÜ (1.63) 
 
Esta equação explica porque um motor diminui a sua velocidade quando tem que fazer mais força e vice-versa. 
 
1.36 TRABALHO DE BOMBEAMENTO DE UM FLUIDO 
Um fluido para ser deslocado ao longo de uma tubulação requer uma certa quantidade de trabalho mecânico. A 
figura 1.31 mostra esquematicamente esta situação: 
 
 
O trabalho realizado pela força F ao sofrer o deslocamento ∆] é dado por: 
 5 � /. ∆] (1.64) 
 
No entanto, F= ∆r. h, onde ∆r é a perda de carga (ou pressão) provocada pelo atrito do fluido com as 
paredes do tubo. Substituindo na equação acima: 
 5 � r. h. ] (1.65) 
 
1.37- POTÊNCIA DE BOMBEAMENTO DE UM FLUIDO 
Figura 1.31 
31 
 
Para obter a potência de bombeamento, basta dividir o trabalho de bombeamento pelo intervalo de tempo 
que o fluido levou para ser deslocado: 
 
7 � ?Ð � r. h ÝÛÝA � r ÝÞ∆A � ∆r. ÞÐ (1.66) 
 
Onde ∆Þ é o volume de fluido deslocado. 
 
Pela Eq. (1.66), verifica-se que: 
 
h∆]∆8 � ∆Þ∆8 
ou ainda: 
 
hK � ∆Þ∆8 � ÞÐ 
 
que representa a vazão volumétrica de fluido, isto é, o volume de fluido que circula no tubo ao longo do tempo. 
Sabe-se que a vazão mássica de um fluido é dada por: 
 0Ð � ËhK (1.67) 
 
Portanto, pode-se escrever: 
 
ÞÐ � IÐÉ (1.68) 
Combinando as equações, resulta a expressão final para o calculo da potência de bombeamento de um fluido em 
uma tubulação horizontal: 
 
?Ð � IÐ ∆£É (1.69) 
 
32 
 
 
2. TERMODINÂMICA 
2.0 - ESCALAS DE TEMPERATURA 
 
 
 
 
 
 
 
FIG. 1.4 
 
 O intervalo de temperatura Ù ƒ Ùß pode ser medido por ( C – 0 ) , ( F – 32 )°F, 
( Re – 0 )°Re, ( K – 273 )°K ou ( R – 492 ) °R. Desta maneira, escreve-se: 
 
( C – 0 )°C = ( F – 32 )°F = ( Re – 0 )°Re = ( K – 273)°K = ( R – 492 )°R (2.1) 
 
 Analogamente, para o intervalo de temperatura ÙÎ ƒ Ùß , teremos: 
 
(100 – 0)°C = (212 – 32)°F = (80 – 0)°Re = (373 – 273)°K = (672 – 492)°R (2.2) 
 
 Dividindo a eq. (2.1) pela eq. (2.2), obtém-se: 
 †
&…… � s%<'&d… � iàd… � á%'”<&…… � i%Žc'&d… (2.3) 
 
Simplificando: 
 †
– � s%<'c � iàŽ � á%'”<– � i%Žc'c (2.4) 
 
Escolhendo as igualdades convenientes podemos facilmente converter leituras de uma escala para outra. 
Dada a sua importância veremos, particularmente, a igualdade que permite converter uma leitura da escala 
Celsius para a Kelvin, ou vice-versa. 
Basta usar: L5 � R ƒ 2735 . .Ð L � R ƒ 273 . .Ð R � L  273 
 
Vemos assim que basta somar 273 à leitura da escala Celsius para obter a leitura correspondente da escala 
Kelvin. 
Deixamos como exercício para os alunos provar que: 
 j � /  460 
Exemplo: 
 
Exprimir, em graus Fahrenheit, a temperatura de – 10°C. 
Resolução 
No caso L � ƒ 10 e queremos determinar /. 
θã 
θä 
θ 
100 
 C 
 0 
212 
 F 
 32 
 80 
 Re 
 0 
672 
 R 
 492 
Celsius ( å ) 
_(°°° 
Fahrenheit ( ) Réamur ( °Re) Rankin (°R ) 
 
Kelvin (k ) 
373 
 K 
273 
 
Figura 2.1 
33 
 
Sabemos que: †
– = 
s% <'
c . .Ð %&…– = s%<'c . .Ð / � 14 
 
Logo a temperatura dada corresponde a 14°F. 
 
Exemplo: 
 
A que temperaturaa leitura fornecida pela escala Fahrenheit é o dobro da fornecida pela escala Celsius? 
Resolução 
No caso / � 2L. 
 
†
– = 
s% <'
c 
ou 
 
†
– = 
' †% <'
c 
 . .Ð L � 160 
 Logo, a temperatura pedida é 160°C (ou 320°F). 
 
Exemplo: 
 
 A que temperatura as escalas Fahrenheit e Réaumur fornecem leituras iguais? 
Resolução 
No caso / � jQ � ]. 
 
s% <'
c = 
iß
Ž 
 
Û%<'
c = 
Û
Ž . .Ð ] � ƒ25,6 
A temperatura pedida é – 25,6°F (ou -25,6°Re ). 
 
DILATAÇÃO TÉRMICA 
2.1 – INTRODUÇÃO 
 Você já deve ter observado que entre dois trilhos sempre existe um pequeno intervalo. Também já deve ter 
verificado este intervalo entre os blocos de uma estrada pavimentada de concreto. Se já visitou uma fábrica deve ter 
visto que, num certo ponto, a canalização de vapor faz uma curva, aparentemente inútil, do tipo mostrado na fig. 
2.2. 
 Todos estes cuidados são tomados para evitar acidentes causados 
pela dilatação térmica. 
Você mesmo já deve ter utilizado. Lembra quando a sua bola de 
borracha ficava murcha e você a colocava ao sol pra que ficasse novamente 
tensa? 
O aquecimento resultante do atrito dos pneus contra o solo também 
faz com que eles fiquem mais tensos, podendo mesmo fazê-los estourar. 
Você já deve ter observado que os motoristas costumam deixar escapar um 
pouco do ar dos pneus depois de verificar a pressão ( por meio de um 
manômetro ou batendo com uma barra de ferro). 
 
2.2 - DILATAÇÃO LINEAR, DILATAÇÃO SUPERFICIAL E DILATAÇÃO VOLUMÉTRICA 
 Denomina-se dilatação térmica, ou simplesmente dilatação, ao fenômeno pelo 
 qual um corpo varia as suas dimensões geométricas quando a sua temperatura se modifica. 
 
. 
Figura 2.2 
34 
 
 
2.3 – COEFICIENTE DE DILATAÇÃO 
 Define-se o coeficiente de dilatação linear de uma substância pela equação: 
 
æ � &¢ . ∆¢∆v (2.5) 
 
onde 9 é o comprimento de uma barra ( construída da substância considerada) à temperatura inicial Ù; ∆9 é a 
variação de comprimento L’ – L que a barra experimenta quando a sua temperatura varia de Ù para Ù’, sendo 
Ù’ – Ù � ∆Ù. 
 Anàlogamente definimos o coeficiente de dilatação superficial (β) e o coeficiente de dilatação volumétrica 
(Ì): 
 
 β � &w . ∆w∆v (2.6) 
 
 Ì = &G . ∆G∆v (2.7) 
 
Da equação chegamos sucessivamente a: 
 ∆9 � 9 . æ . ∆Ù 
 9’ – 9 � 9 . æ . ∆Ù 
 9’ � 9  9 . æ . ∆Ù 
 . .Ð 9’ � 9 z 1  æ . ∆Ù { 
 
sendo ∆Ù � Ù’ – Ù 
 Analogamente: 
 
 N’ � N z 1  ç . ∆Ù { (2.9) 
 
 C’ � C z 1  Ì . ∆Ù { (2.10) 
 
 Os termos 1  æ . ∆Ù, 1  ç . ∆Ù Q 1  Ì . ∆Ù costumam ser chamados respectivamente, de binômios de 
dilatação linear, superficial e volumétrica. 
1ª Observação: 
 Se a temperatura inicial do corpo fosse 0° e se, a esta temperatura, o corpo tivesse comprimento 9…, 
superfície N… e volumeC…, os coeficientes de dilatação seriam definidos por: 
 
 
æ � &¢è . ∆¢v (2.11) 
 
ç � &wè . ∆wv (2.12) 
 
Ì � &Gè . ∆Gv (2.13) 
 
 
pois, no caso, ∆Ù � Ù – 0 � Ù. 
 
 
35 
 
 Destas equações chegaríamos a: 
 9 � 9… z 1  æ . Ù { (2.14) N � N… z 1  ç . Ù { (2.15) C � C… z 1  Ì . Ù { (2.16) 
 
onde 9, N Q C representam o comprimento, a superfície e o volume à temperatura Ù. 
 
CALORIMETRIA 
 
2.4 – EQUAÇÃO DIMENSIONAL E UNIDADES DE QUANTIDADE DE CALOR 
 Sendo o calor uma forma de energia, a equação dimensional da quantidade de calor é a mesma da energia e, 
portanto, a mesma do trabalho. 
 
 [Æ � 9' : T -2 
 
 Consequentemente a unidade de quantidade de calor do sistema SI é Joule, J. 
Entretanto, também é muito utilizado a caloria (cal). 
� W1éDW1éêé a quantidade de calor necessária para elevar de 14,5°C a 15,5°C a temperatura de 
ë1 E 6Q áEe1, [}x ryQ[[ã} _}y01é z1 180{.1 DE � 1 DW1é � 10³ W1é 
 
Duas outras unidades são também usadas: a termia (th) e a British thermal unit (B.T.U). Esta última é muito 
usada nos países de língua inglesa. 
 
� Aˆp.í.Õ.î é a quantidade de calor necessária para elevar de ï14,5°L 1 15,5°L63°/ 1 64°/ �a temperatura de ï18}_Qé161 1 é^xy1 �de 
água, sob pressão normal. 
 1 8‚ � 10³ DW1é � 10•W1é 1 „;» � 252 W1é 
 
1ª Observação: 
 A quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um corpo de 0°C a 1°C é diferente da que se 
precisa para elevar a temperatura do mesmo corpo de 20°C a 21°C, ou de 88°C a 89°C. É por esta razão que 
precisamos especificar o intervalo de temperatura ao definirmos, cal, kcal, etc. 
 
2ª Observação: 
 Antigamente chamava-se a caloria de pequena caloria e a quilocaloria de grande caloria. Devemos evitá-lo. 
 Alguns livros já chamam a termia de megacaloria z:W1é{. 
 
3ª Observação: 
A relação entre a caloria e o joule foi determinada experimentalmente. Voltaremos ao assunto quando 
estudarmos a Termodinâmica. Por hora adiantemos que: 
 1 W1é � 4,19 Ú 
 1 Ú � 0,239 W1é 
 
36 
 
2.5 – CAPACIDADE CALORÍFICA OU CAPACIDADE TÉRMICA 
 Capacidade calorífica de um corpo é a razão entre a quantidade de calor a ele cedida e a elevação de 
temperatura correspondente. 
 Se a temperatura de um corpo se elevar de ∆Ù ao receber uma quantidade de calor Q, sua capacidade 
calorífica será: 
 
 C = 
ñ
∆v (2.17) 
 
Daí chegamos à seguinte equação dimensional: 
 
 �L � 9':;%'Ù%& 
 
A unidade usual é a cal/°C. Podemos, porém, usar outras: kcal/°C, BTU/°F, J/°C, etc. 
 Neste texto, consideraremos a capacidade calorífica de um corpo como independente da temperatura. 
2.6 – CALOR ESPECÍFICO (CAPACIDADE CALORÍFICA ESPECÍFICA) 
 Calor específico de uma substância é a razão entre a capacidade calorífica de um corpo dela constituído e a 
massa do corpo considerado. 
 Se um corpo de massa 0 tiver uma capacidade calorífica C, o seu calor específico será: 
 
 W � †I (2.18) 
 
tendo em vista a Eq. (2.17) podemos escrever: 
 
c = 
ñ
I . ∆v 
 . ·. Æ � 0 . W . ∆Ù (2.19) 
 
2.7 – CALOR ESPECÍFICO DA ÁGUA 
Se você reler a definição de caloria, verá que a massa 0 � 1 g de água necessita de uma quantidade de 
calor Æ � 1 W1é para sofrer uma elevação de temperatura ∆Ù � 1°L. De acordo com a equação (2.19), teremos: 
 
W¨J© � Æ0 . ∆Ù � 1W1é1E . 1°L 
 . .Ð W¨J© � 1W1é/E°L 
 
Analogamente chegaríamos aos valores: 1 kcal/kg°C, 1th/t°C, 1 BTU/lb°F. 
 
2.8 – PRINCÍPIOS DA CALORIMETRIA 
Denomina-se Calorimetria à parte da Termologia que trata da medição de quantidade de calor. 
Faremos o estudo da Calorimetria partindo de três princípios: 
O princípio das trocas de calor, o segundo princípio da termodinâmica e o princípio das transformações 
inversas. 
Princípio das trocas de calor 
Se dois ou mais corpos, que trocam entre si apenas calor, constituem um sistema isolado, a soma das 
quantidades de calor cedidas por uns é igual à soma das quantidades de calor recebidas pelos outros. 
Lembremos que sistema isolado é aquele que não troca energia de qualquer espécie com o ambiente. 
37 
 
O princípio das trocas de calor é uma consequência do princípio da conservação de energia (que, em última 
análise, vem a ser o primeiro princípio da Termodinâmica). 
O princípio das trocas de calor permite escrever uma equação que é fundamental para resolver problemas 
de Calorimetria: 
 Qôäõöõ÷ � Qøäôäùöõ÷ (2.20) 
 
b) Segundo princípio da Termodinâmica 
O calor só pode passar de um corpo de temperatura mais alta para outro de temperatura mais baixa. 
Os autores clássicos não citam este princípio em Calorimetria. 
Achamos conveniente fazê-lo, pois é ele que permite verificar os corpos que cedem calor e quais os que 
recebem. 
Principio das transformações inversas 
A quantidade de calor recebida por um sistema durante determinadatransformação é igual à quantidade 
de calor que o sistema cede ao realizar a transformação inversa. 
 
Exemplo: 
Colocamos no interior de um vaso, de paredes adiabáticas 500g de água a 20°C e 100g de chumbo a 200°C. A 
temperatura final de equilíbrio térmico é 21,1°C. Qual o calor específico do chumbo? 
 Resolução: 
Dizemos que um sistema tem paredes adiabáticas quando não há troca de calor entre o sistema e o ambiente. No 
caso, estamos admitindo que só haja troca de calor entre a água e o chumbo. 
 
 Chumbo água 
 0& � 100g 0' � 500E 
 Ù& � 200°L Ù � 21,1°L W' � 1cal/g°C 
 W& �? Ù � 20°L 
 Ù � 21,1°L 
Observando as temperaturas iniciais do chumbo e da água, concluímos que o chumbo cede calor e a água o absorve, 
pois a temperatura do chumbo é maior. Ætߋû‹u � Ƽßtߺû‹u 0&. W& zÙ&– Ù{ � 0'. W' z Ù – Ù'{ 100 a W&z200 – 21,1{ � 500 a 1 z21,1 – 20{ 178,9 W& � 5,5 
.·. W& � 0,031 W1é/g°C 
Observação 
Para tornar a resolução mais rápida é aconselhável montar o seguinte quadro: 
 
 
 0 W Ù& Ù' ∆Ù áEe1 500 1 20 21,1 1,1 W‚e0x} 100 W 200 21,1 178,9 
 
Este quadro é particularmente útil quando em lugar de dois corpos trabalhamos com vários. Ele evita que se 
use uma série de símbolos ou de índices diferentes. Basta olhar para o quadro e escrever diretamente: 500 a 1 a 1,1 � 100 a W a 178,9 5,5 � 178,9W 
38 
 
.·. W � 0,031 W1é/g°C 
Exemplo: 
Num vaso adiabático colocamos 1 000 g de água a 20°C, 200g de chumbo a 82°C e uma certa massa m de 
uma substância h a 62°C. A temperatura final de equilíbrio térmico é 22°C. Determinar 0. 
Dados: WtˆüIºu � 0, 030 W1é/g°C 
 Wg � 0,10 W1é/g°C 
Resolução: 
 0 W Ù& Ù' ∆Ù áEe1 1 000 1 20 22 2 W‚e0x} 200 0,03 82 22 60 h 0 0,10 62 22 40 
 
Agora para verificar quais os corpos que receberam e quais os que forneceram calor, não basta olhar as 
temperaturas iniciais. Temos que olhar, também, para a temperatura final de equilíbrio térmico. É fácil concluir que 
a água recebeu calor. O chumbo e a substância h cederam calor. 
 Ƽßtߺû‹u � Ætߋû‹u 1 000 1 a 2 � 200 0,03 60  0 0,10 40 
2 000 � 360  40 . · . 0 � 410 g 
 
2.9 – CONSEQUÊNCIA DO ELEVADO CALOR ESPECÍFICO DA ÁGUA 
A água possui um calor específico excepcionalmente elevado. Pouquíssimas substâncias possuem calor 
específico maior (o hidrogênio e o hélio são exemplos). 
Como consequência necessitamos de uma grande quantidade de calor para produzir, numa determinada 
massa de água, uma elevação de temperatura relativamente pequena. Por exemplo, se cedermos 1 500 cal a 1 kg de 
água o acréscimo de temperatura será de 1,5°C. Cedendo a mesma quantidade de calor a 1 kg de chumbo a elevação 
de temperatura será da ordem de 50°C. 
Recìprocamente, 1 kg de chumbo precisa se resfriar de 50°C para ceder 1 500 cal. Um quilograma de água 
fornece as mesmas 1 500 cal ao se resfriar de 1,5°C apenas. 
Isto explica porque o clima de regiões próximas a grandes massas de água (do mar, por exemplo) é mais 
regular que o de regiões afastadas. A água se aquece lentamente durante o verão e se resfria também lentamente 
durante o inverno. 
 
MUDANÇA DE ESTADO 
 
2.10 – CALOR SENSÍVEL E CALOR LATENTE 
Uma quantidade de calor, recebida ou cedida por um corpo, é denominada sensível quando, durante sua a 
sua troca, o corpo experimenta uma variação de temperatura. 
Calculamos uma quantidade de calor sensível pela equação Æ � 0 . W ∆Ù 
Uma quantidade de calor, recebida ou cedida por um corpo é denominada latente, quando, durante a sua 
troca, o corpo não experimenta nenhuma variação de temperatura. Em lugar disto ele muda de estado. 
Calculamos uma quantidade de calor latente pela equação Æ � 0 . 9, conforme veremos mais adiante. 
 
2.11.– MUDANÇA DE ESTADO 
Os alunos já conhecem, de Ciências, os fenômenos de fusão, solidificação, vaporização, condensação e 
sublimação. Relembremos. 
Fusão é a passagem de uma substância de estado sólido para o líquido. 
39 
 
Solidificação é a passagem de uma substância do estado líquido para o sólido. 
Vaporização é a passagem de uma substância do estado líquido para o de vapor. 
Condensação é a passagem de uma substância do estado de vapor para o líquido. É também chamada de 
liquefação. 
Sublimação é a passagem direta de uma substância do estado sólido para o vapor, ou vice-versa. 
 
 
Observação 
 
Alguns autores chamam de volatilização à passagem direta de uma substância do estado sólido para o de 
vapor e de condensação à passagem inversa. 
 
2.12. – CALOR LATENTE DE MUDANÇA DE ESTADO 
De um modo geral: 
 
Calor latente de mudança de estado de uma substância é a razão entre a quantidade de calor que uma 
determinada massa da substância cede ou absorve durante a mudança de estado (sem variar a sua temperatura) e a 
massa considerada. 
Se Q é a quantidade de calor posta em jogo pela massa m de uma substância ao mudar de estado, sem a 
variação da temperatura, seu calor latente de mudança de estado será: 
 
9 � Æ0 . .Ð Æ � 09 (2.21) 
 
2.13 – DESTILAÇÃO 
Destilação é a operação pela qual produzimos a vaporização de um líquido e, em seguida, a sua 
condensação. 
Para fins práticos devemos manter a temperatura do balão h a maior possível (Fig. 2.3). 
Por esta razão, provocamos a ebulição do líquido nele contido. O vaso „ é substituído por um condensador. 
O sistema é mantido aberto pra que se possa recolher o líquido que se condensa (comumente chamado de 
destilado). 
A Fig. 2.4 mostra um aparelho de destilação comumente usado em laboratório. 
Figura 2.3 
40 
 
Se uma mistura é constituída por líquidos de pontos de ebulição diferentes podemos separá-los por 
destilação. Neste caso a operação recebe o nome de destilação fracionada. 
 
Exemplo: 
Qual a quantidade de calor necessária para elevar de -10° C a 120°C a temperatura de 1 kg de gelo, sob 
pressão normal? 
Dados: Wªßýu � 0,5 cal/g°C; 9þ= 80 cal/g WΦ£u¼� 0, 5 cal/g°C; 9ª = 540 cal/g 
Resolução 0 � 1 DE � 1000E Wªßýu � 0,5 W1é/E°L Ù& � ƒ10°L 9þ = 80 cal/g Ù' � 120 ° L WΦ£u¼ � 0,5cal/g °C Ùþ � 0°L 9Î � 540 W1é/E Ùߺ � 100°L 
 
Quando o gelo atinge a temperatura de 0° C, ele começa a fundir. Quando a água resultante da fusão do gelo 
atinge a 100°C ela começa a entrar em ebulição. 
Podemos esquematizar o problema do seguinte modo: 
 
gelo a -10°C gelo a 0°C água a 0°C água a 100°C 
 
 vapor d’água a 100°C vapor d’água a 120°C. 
 
As quantidades de calor Æ&, Æ< e Ɩ são sensíveis, ao passo que Æ' e Ǝ são latentes. Æ& � 0Wªßýu �Ùþ ƒ Ù&� � 1000 a 0,5 �0 ƒ zƒ10{ � 1 000 a 0,5 a 10 � 5 000 W1é Æ' � 09þ � 1000 a 80 � 80 000 W1é Æ< � 0W¦ªü¦ �Ùߺ ƒ Ùþ� � 1 000 a 1 a z100 ƒ 0{ � 1000 a 1 a 100 � 100 000 W1é Ǝ � 09Î � 1 000 a 540 � 540 000 W1é Ɩ � 0WΦ£u¼zÙ' ƒ Ùߺ{ � 1 000 a 0,5z120 ƒ 100{ � 1 000 a 0,5 a 20 � 10 000 W1é Æ � Æ&  Æ'  Æ< Ǝ  Ɩ Æ � 5 000  80 000  100 000  540 000  10 000 . .Ð Æ � 735 000 W1é 
Exercício Proposto: 
Æ& Æ' Æ< 
Ɩ Ǝ 
Ǝ 
A 
B 
Figura 2.4 
41 
 
Num vaso adiabático, colocamos 1200g de água a 40°C e uma certa massa de gelo a -20°C. A temperatura 
final de equilíbrio térmico foi de 30°C. Qual a massa de gelo? 
Dados: Wªßýu � 0,5 W1é/g°C; 9þ � 80W1é/g; a pressão mantida é normal. 
 
 
2.14 – FRIO PRODUZIDO PELA EVAPORAÇÃO 
 
O fenômeno de vaporização sempre se processa com absorção de calor (lembre-se do calor latente de 
vaporização). Em geral os alunos não têm dúvidaquanto a isto na ebulição, mas reagem um pouco na evaporação. 
Se você é um dos que reagem, procure lembrar-se de quando vai à praia. Já observou que você sente menos 
frio mantendo o corpo mergulhado que ao sair, com o corpo molhado? Sabe por quê? Porque ao sair, a água que 
umedece seu corpo começa a se evaporar. Como precisa de calor para isto, ela o retira do seu corpo. Quanto mais 
rapidamente ela se evapora mais frio você sente, pois, mais rapidamente ela retira calor do seu corpo. Por isso você 
sente mais frio ao sair da água em dias de vento. 
Em dias quentes o corpo humano vale-se da evaporação do suor para manter constante a sua temperatura. 
O “calor” que sentimos não depende apenas da temperatura. Depende também da quantidade de vapor 
d’água presente no ar. 
Se o ar estiver muito úmido a velocidade de evaporação do suor será muito pequena. 
Se o ar estiver mais seco, a velocidade de evaporação aumenta. 
Por essa razão podemos sentir mais calor num ambiente muito úmido à temperatura de 30°C que num 
ambiente muito seco a 40°C. 
Em geral o público pensa que o único papel dos aparelhos de ar condicionado é refrigerar o ar. Ele tem um 
outro papel importante: reduz a umidade do ar. A sensação de bem-estar que sentimos ao entrar em um ambiente 
de ar condicionado é mais devida à menor umidade do ar que a uma temperatura muito baixa. Muitas vezes a 
diferença de temperatura entre o exterior e uma sala com ar condicionado não atinge a 4°C. 
 
2.15 – FUNCIONAMENTO DE UMA GELADEIRA 
 
Você pode entender facilmente o funcionamento de uma geladeira. Basta saber que: 
a) um líquido absorve calor ao se vaporizar; 
b) um vapor fornece calor ao se condensar; 
c) um líquido ferve quando sua pressão de vapor é igual ( ou maior) à pressão que ele suporta; 
d) um vapor saturante se condensa quando é comprimido. 
Na Figura 2.5 temos uma geladeira esquematicamente representada. 
Do compressor (K) parte uma serpentina, que penetra na câmara de refrigeração, 
envolve o congelador e volta ao compressor. O compressor e a serpentina formam um 
sistema fechado, no interior do qual existe uma substância de baixo ponto de ebulição 
(freon, NH3, SO2, etc.). O papel do outro M é acionar o êmbolo do compressor (motor 
elétrico), componente. 
Um sistema de válvulas A, B e C permite que a pressão de certo trecho da 
serpentina seja elevada, apesar de ser baixa no restante da mesma. 
Tem pressão elevada o trecho compreendido entre a válvula A da saída do 
compressor e a válvula B. passando pelo condensador. 
Quando o êmbolo desce, parte do vapor existente na região de baixa pressão é 
aspirado para interior do compressor. 
Quando o êmbolo sobe o vapor existente no compressor é comprimido e penetra 
na região de alta pressão. No condensador ele passa ao estado líquido. 
Quando uma parte do líquido ultrapassa a válvula B ele penetra na zona de baixa pressão e se vaporiza. 
M 
Figura 2.5 
42 
 
Durante a vaporização o líquido precisa receber o calor latente de vaporização. Ele retira este calor do 
interior da geladeira. 
Durante a condensação o vapor cede seu calor latente de condensação ao exterior. 
 
CALORÍMETROS 
2.16. – EQUIVALENTE EM ÁGUA DE UM CORPO 
Equivalente em água de um corpo é a massa de água que recebendo a mesma quantidade de calor fornecida 
ao corpo sofre a mesma elevação de temperatura que ele. 
Em outras palavras: 
 Equivalente em água de um corpo é a massa de água que possui a mesma capacidade calorífica do corpo. 
Se m é a massa de um corpo, e W o seu calor específico a capacidade calorífica do corpo é: 
 
L � 0 . W (2.22) 
 
Se A é o equivalente em água do corpo, a capacidade calorífica desta massa de água é também igual a C, isto 
é: 
L � h . W¨J© (2.23) 
Daí tiramos: 
h . W¨J© � 0 . W (2.24) 
2.17 – CALORÍMETRO 
 Denomina-se calorímetro qualquer dispositivo capaz de medir quantidades de calor. 
 Como consequência os calorímetros podem ser usados para a determinação experimental de calores 
específicos. 
 Diversos métodos podem ser utilizados nesta determinação. Citaremos dois: o método das misturas e o 
método da fusão do gelo. 
 Dentro de cada método, diversos calorímetros podem ser imaginados. Veremos dois: o calorímetro de 
Berthelot (método das misturas) e o calorímetro de Bunsen (método da fusão do gelo). 
2.18. – CALORÍMETRO DE BERTHTLOT 
 A Figura 2.6 mostra um esquema deste calorímetro. 
O vaso A é o vaso calorimétrico propriamente dito. É metálico, tem a 
sua parede externa polida e contém água em seu interior. 
O vaso A está encerrado no interior do vaso B, metálico e de paredes 
polidas. Cones de cortiça separam os dois vasos. 
Figura 2.6 
43 
 
O vaso B é também separado do vaso , que o envolve, por cones de cortiças. O vaso C tem paredes duplas e 
contém água. Externamente ele é revestido por um isolamento térmico (feltro, p. ex.). 
 As tampas dos vasos A e B são metálicas e polidas. A tampa do vaso C é de material isolante térmico. As 
tampas possuem orifícios que permitem a passagem do termômetro e do agitador. 
 Os cuidados tomados diminuem muito as trocas de calor entre o calorímetro e o ambiente. Sempre há, 
porém, vazamento de calor, pois não existem materiais isolantes perfeitos. Nas medições de grande precisão elas 
precisam ser levadas em consideração. 
 Imaginemos dados: a massa (0¨J©) de água contida no vaso calorimétrico; a massa (0&) e o calor 
específico zW&{ do vaso calorimétrico; a massa (0'{ e o calor específico (W') do termômetro; a massa (0<{ e o calor 
específico (W<{ do misturador. O sistema se encontra inicialmente à temperatura Ùû. 
Coloquemos no interior do calorímetro um corpo de massa m e calor específico desconhecido(c). Seja θ a 
temperatura do corpo e Ùþ a temperatura final de equilíbrio térmico. 
No caso, só o corpo cede calor (estamos supondo θ > Ùû). Assim: 
Ætߋû‹u � 0 . Wz� ƒ �þ{ (2.25) 
 
A água, o vaso calorimétrico, o termômetro e o misturador recebem calor. Logo: 
 
Ƽßtߺû‹u � 0¨J© . W¨J©��þ ƒ �û� 0&W&��þ ƒ �û�0'W'��þ ƒ �û� 0<W<��þ ƒ �û� (2.26) 
 
Tendo em vista que 
 
Ætߋû‹u � Ƽßtߺû‹u (2.20) 
 
Teremos: 
�0ˆJ… . WˆJ…  0&W&  0'W'  0<W<��Ùþ ƒ Ùû� � 0W�Ù ƒ Ùþ� 
.·. W � �IÖJè . tÖJè� I‰t‰� IJtJ� I“t“��v�% v��I�v% v�� (2.27) 
1¦. Observação 
 Chamamos L&, L', L< as capacidades caloríficas dos vasos calorimétricos, do termômetro e do 
misturador, teremos, tendo em vista que L& � 0&W&; L' � 0'W' e L< � 0<W<: 
W � �IÖJè . tÖJè� †‰� †J� †“��v�% v��I�v% v�� (2.28) 
Representando a soma L&L'  L< por L, teremos: 
44 
 
W � �IÖJè . tÖJè�†��v�% v��I�v% v�� (2.29) 
Onde L pode ser considerado como a capacidade calorífica do calorímetro. 
Notar que o valor L pode ser determinado quando o calorímetro é construído, portanto, só é calculado uma 
única vez. 
2¦. Observação 
 Se h&, h' Q h< são equivalentes em água do vaso calorimétrico, do termômetro e do misturador, 
teremos: 
0& . W& � h& . WˆJu 
0' . W' � h' . WˆJu 
0< . W< � h< . WˆJu 
Levando estes valores na equação, teremos: 
W � �IÖJè .�g‰�gJ� g“� tÖJè�v�% v��I�v% v�� (2.30) 
Representando a soma h&  h'  h< por h, teremos: 
W � �IÖJè .�g� tÖJè�v�% v��I�v% v�� (2.31) 
Onde h pode ser considerado como equivalente em água do calorímetro. 
3¦. Observação 
 Em alguns problemas dá-se o equivalente em água do calorímetro sem dar a massa de água nele 
contida. Neste caso considera-se a massa de água como contida no equivalente em água dado. Isto é: 
W � g tÖJè�v�% v��I�v% v�� (2.32) 
2.19 – CALORIMETRO DE BUNSEN 
A figura 2.7 mostra um esquema de calorímetro de Bunsen. 
A camada de gelo que envolve a proveta h é obtida colocando em h um líquido convenientemente resfriado. 
Uma vez obtida esta camada de gelo o calorímetro esta pronto 
para ser usado. 
Coloca-se na proveta uma certa massa 0 do liquido à temperatura Ù. Deseja-se determinar o seu calor especifico W. 
O líquido cede calor ao gelo. Parte do gelo se

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