Geometria Analítica

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Geometria Anal´ıtica e A´lgebra
Linear
Professora: Gyslane Aparecida Romano dos Santos de Lima
Conteu´dos: Vetores no espac¸o. Produto vetorial, escalar e misto. Re-
tas e planos. Distaˆncias e aˆngulos. Sistemas de equac¸o˜es lineares. Matri-
zes: operac¸o˜es com matrizes. Determinantes. Espac¸os vetoriais: subespac¸os,
combinac¸a˜o linear, base e dimensa˜o. Transformac¸a˜o linear.
Primeiro Bimestre: Vetores no espac¸o. Produto vetorial, escalar e
misto. Retas e planos. Distaˆncias e aˆngulos.
1 Vetores
Existem grandezas f´ısicas, chamadas grandezas escalares, que podem ser
representadas por um valor real com por exemplo: comprimento, massa e
temperatura. As grandezas vetoriais que ale´m do valor (mo´dulo ou inten-
sidade), precisam de uma direc¸a˜o e um sentido para que a informac¸a˜o seja
completa. Como exemplo de grandeza vetorial temos: a forc¸a, velocidade e
acelerac¸a˜o. Estas grandezas sa˜o representadas por flechas e sa˜o chamadas de
vetores.
Um vetor e´ um par ordenado de pontos, no plano ou no espac¸o, que
denotamos por
−→
AB . Visualizamos o vetor como uma seta cujo ponto inicial
e´ A e o ponto final e´ B.
Dois vetores de mesmo mo´dulo, direc¸a˜o e sentido sa˜o ditos equipolentes
ou equivalentes e representa a mesma grandeza vetorial. Dois vetores
−→
AB e−−→
CD sa˜o equivalentes se B − A = D − C.
Exemplo: Seja A = (0, 1), B = (2, 2), C = (−1, 1) e D = (1, 2), temos
que B − A = D − C = (2, 1), logo −→AB e −−→CD sa˜o equivalentes.
1
Um vetor tambe´m pode ser representado por uma letra minu´scula com
uma seta sobre ela. O comprimento de um vetor −→v e´ chamando norma e
representado por ‖−→v ‖. Se ‖−→v ‖ = 1, dizemos que o vetor e´ unita´rio.
Dado um vetor −→v = (a, b) no plano e −→u = (a, b, c) no espac¸o, temos que
‖−→v ‖ = √a2 + b2 e ‖−→u ‖ = √a2 + b2 + c2.
Exemplo: Seja −→v = (1, 2) e −→u = (3, 0, 4), temos que ‖−→v ‖ = √5 e
‖−→u ‖ = 5.
O vetor
−→
BA e´ o vetor oposto de
−→
AB, esses vetores tem mesmo compri-
mento e direc¸a˜o, mas sentidos contra´rios. Tambe´m podemos representar
−→
BA
por −−→AB.
Adic¸a˜o de vetores
Se −→v = (a, b) e −→u = (c, d), temos que −→v + −→u = (a + c, b + d), como
mostra a figura abaixo.
Um caso particular e´ a multiplicac¸a˜o de um vetor por uma escalar. Se−→v = (a, b) enta˜o α−→v = α(a, b) = (αa, αb).
2
Estas operac¸o˜es tambe´m sa˜o va´lidas para vetores no espac¸o.
Decomposic¸a˜o de vetor no plano e no espac¸o
Qualquer vetor −→v no plano pode ser decomposto por dois vetores −→v1 e−→v2 na˜o colineares, tal que:
−→v = a1−→v1 + a2−→v2 ,
onde a1 e a2 sa˜o nu´meros reais e sa˜o chamados de coeficientes de
−→v em
relac¸a˜o a base {−→v1 ,−→v2}. O vetor −→v e´ uma combinac¸a˜o linear de −→v1 e −→v2 ,
podemos dizer que −→v e´ gerado pelos vetores −→v1 e −→v2 .
O par de vetores −→v1 e −→v2 , na˜o colineares, e´ chamado base no plano. Qual-
quer conjunto {−→v1 ,−→v2} de vetores na˜o colineares constitui uma base no plano.
As bases mais utilizadas sa˜o as ortonormais. Uma base e´ dita ortonormais
se {−→e1 ,−→e2} sa˜o ortogonais e unita´rios. Um exemplo de base ortonormal e´ a
canoˆnica {(1, 0), (0, 1)} ou {i, j}.
Todo estudo realizado no plano pode ser feito no espac¸o, fazendo as ade-
quac¸o˜es necessa´rias. Qualquer conjunto {−→v1 ,−→v2 ,−→v3} de treˆs vetores na˜o co-
planares no espac¸o forma uma base. Uma base no espac¸o e´ ortonormal se os
treˆs vetores forem unita´rios e dois a dois ortogonais.
3
Exerc´ıcios
1) Considerando os pontos no plano A = (0, 0), B = (1, 1), C = (−2,−2)
e D = (−1,−1). Verifique se −→AB e´ equivalente a −−→CD.
2) Dado o vetor
−→
AB, com A = (2, 3) e B = (5,−1). Encontre um vetor
equivalente a
−→
AB cujo o ponto inicial e´ a origem.
3) Encontre a norma dos vetores abaixo.
(a) −→v = (4,−3) (b) −→u = (2, 5)
(c) −→u = (−6, 0) (d) −→u = (4, 0)
(e) −→u = (2, 2, 0) (f) −→u = (√5,−2, 4)
4) Sejam −→v = (2,−2, 3), −→u = (1,−3, 4) e −→w = (3, 6,−4). Calcule as
expresso˜es abaixo.
(a) ‖−→v +−→u ‖ (b) ‖−→v ‖+ ‖−→u ‖
(c) ‖3−→v − 5−→u +−→w ‖ (d) −→v‖−→v ‖
(e)
−→u
‖−→u ‖ (f)
−→w
‖−→w ‖
5) Prove que as diagonais de um paralelogramo teˆm o mesmo ponto
me´dio.
6) Dado o triaˆngulo ABC, e sejam M e N os pontos me´dios de AC e
BC, respectivamente. Prove que
−−→
MN = AB
2
.
4
7) O paralelogramo ABCD e´ determinado pelos vetores
−→
AB e
−−→
AD. Sendo
M e N os pontos me´dios dos lados DC e AB, respectivamente. Determine
(a)
−−→
AD +
−→
AB
(b)
−→
BA+
−−→
DA
(c)
−→
AC −−−→BC
(d)
−−→
AN +
−−→
BC
(e)
−−→
MD +
−−→
MB
(f)
−−→
BM − 1
2
−−→
DC
2 Produto escalar, vetorial e misto
Produto escalar
Todo vetor pode ser pensado com o ponto inicial na origem. Consequ¨en-
temente, todos os pontos podem ser identificados com vetores.
5
Chama-se produto escalar ou produto interno de dois vetores−→u = (u1, u2, u3)
e −→v = (v1, v2, v3) o nu´mero real
−→u · −→v = u1v1 + u2v2 + u3v3.
O produto escalar de −→u por −→v tambe´m pode ser indicado por < −→u ,−→v >.
Exemplo: Se −→u = (1, 3, 2) e −→v = (−2, 1, 4), temos −→u · −→v = 1× (−2) +
3× 1 + 2× 4 = 9.
Podemos relacionar a norma de um vetor com o produto escalar da se-
guinte forma
‖−→v ‖2 = v21 + v22 + v23 = −→v · −→v .
Outra forma de determinar o produto escalar entre dois vetores e´ o se-
guinte
−→u · −→v = ‖−→u ‖‖−→v ‖cosθ,
onde θ e´ o aˆngulo entre −→u e −→v .
Considere o triaˆngulo POQ. Aplicando a lei dos cossenos, temos
‖−→QP‖2 = ‖−→u ‖2 + ‖−→v ‖2 − 2‖−→u ‖‖−→v ‖cosθ.
Por outro lado,
‖−→QP‖2 = ‖−→OP −−→OQ‖2 = ‖−→u −−→v ‖2 = ‖(x1 − x2, y1 − y2, z1 − z2)‖2
= (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2
= x21 + y
2
1 + z
2
1 + x
2
2 + y
2
2 + z
2
2 − 2(x1x2 + y1y2 + z1z2).
Segue que ‖−→u ‖‖−→v ‖cosθ = x1x2+y1y2+z1z2 = −→u ·−→v . Obtemos a seguinte
relac¸a˜o:
cosθ =
−→u · −→v
‖−→u ‖‖−→v ‖ .
6
Exemplo: Calcule o aˆngulo entre dos vetores −→u = (1, 0, 1) e −→v =
(1, 0, 0).
cosθ =
1√
2
=
√
2
2
θ = arccos(
√
2
2
) = 45◦
Projec¸a˜o de um vetor
O vetor −→w representa a projec¸a˜o do vetor −→u sobre −→v .
Do triaˆngulo retaˆngulo temos:
‖−→w ‖ = ‖−→u ‖cosθ = |−→u ·−→v |‖−→v ‖ .
Como −→v e −→w tem a mesma direc¸a˜o temos:−→w = k−→v , onde k ∈ R.
‖−→w ‖ =| k | ‖−→v ‖
| k |= ‖−→w ‖‖−→v ‖
Da´ı,
Proj−→v
−→u = (−→u · −→v‖−→v ‖)
−→v
‖−→v ‖ ou Proj−→v
−→u = (−→u ·−→v−→v ·−→v )−→v .
Produto vetorial
Dados dois vetores −→u = (u1, u2, u3) e −→v = (v1, v2, v3), nesta ordem, o
produto vetorial de −→u ×−→v e´ o vetor definido por
−→u ×−→v =
∣∣∣∣ y1 z1y2 z2
∣∣∣∣−→i − ∣∣∣∣ x1 z1x2 z2
∣∣∣∣−→j + ∣∣∣∣ x1 y1x2 y2
∣∣∣∣−→k .
−→u ×−→v = (y1z2 − z1y2)−→i − (x1z2 − z1x2)−→j + (x1y2 − y1x2)−→k .
7
Uma maneira fa´cil de memorizar essa fo´rmula e´:
−→u ×−→v =
∣∣∣∣∣∣
−→
i
−→
j
−→
k
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ ,
Uma outra forma de representar o produto vetorial e´ −→u ∧ −→v .
Exemplo: Dados os vetores −→u = (1, 2,−2) e −→v = (3, 0, 1), temos−→u ×−→v = (2,−7,−6).
Teorema 1 Se −→u , −→v e −→w sa˜o vetores no espac¸o tridimensional, enta˜o:
(a) −→u · (−→u ×−→v ) = 0
(b) −→v · (−→u ×−→v ) = 0
(c) ‖−→u ×−→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2 − (−→u · −→v )2 (Identidade de Lagrange).
Interpretac¸a˜o geome´trica da norma do produto vetorial
Se −→u e −→v sa˜o vetores no espac¸o tridimensional, enta˜o ‖−→u ×−→v ‖ e´ igual
a a´rea do paralelogramo formado por −→u e −→v .
‖−→u ×−→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2 − (−→u · −→v )2
‖−→u ×−→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2 − ‖−→u ‖2‖−→v ‖2cos2θ
‖−→u ×−→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2(1− cos2θ)
‖−→u ×−→v ‖2 = ‖−→u ‖2‖−→v ‖2sen2θ
Como 0 ≤ θ ≤ pi, temos que senθ ≥ 0, logo
‖−→u ×−→v ‖ = ‖−→u ‖‖−→v ‖senθ.
Produto misto
Se −→u , −→v e −→w sa˜o vetores no espac¸o tridimensional, enta˜o
−→u · (−→v ×−→w )
8
e´ chamado produto misto de −→u , −→v e −→w .
O produto misto de −→u , −→ve −→w pode ser calculado da seguinte forma:
−→u · (−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣∣
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
∣∣∣∣∣∣
Exemplo: Calcule o produto misto de −→u = (3,−2, 5), −→v = (1, 4,−4) e−→w = (0, 3, 2).
−→u ·(−→v ×−→w ) =
∣∣∣∣∣∣
3 −2 5
1 4 −4
0 3 2
∣∣∣∣∣∣ = 3
∣∣∣∣ 4 −43 2
∣∣∣∣−(−2) ∣∣∣∣ 1 −40 2
∣∣∣∣+5 ∣∣∣∣ 1 40 3
∣∣∣∣ = 49
Interpretac¸a˜o geome´trica do mo´dulo do produto misto
Geometriamente o mo´dulo do produto misto e´ igual ao volume do
paralelep´ıpedo de arestas determinadas pelos vetores −→u , −→v e −→w .
V =(a´rea da base)× altura.
V =| −→u · (−→v ×−→w ) | .
Se os vetores −→u , −→v e −→w sa˜o coplanares, enta˜o:
−→u · (−→v ×−→w ) = 0.
9
Exerc´ıcios
1) Calcule o produto escalar e o aˆngulo entre os seguintes vetores.
(a) −→u = (3, 3, 0) e −→v = (2, 1,−2) (b) −→u = (1, 0, 1) e −→v = (−2, 10, 2)
(c)−→u = (−1, 1, 1) e−→v = (1, 1, 1) (d)−→u = (
√
3
2
, 1
2
, 0) e−→v = (
√
3
2
, 1
2
,
√
3)
(e) −→u = (2,−1, 1) e −→v = (1, 1, 2) (f) −→u = (1,−2, 3) e −→v = (1, 3, 1)
2) Ache x de modo que −→u ⊥ −→v nos casos.
(a) −→u = (x, 0, 3) e −→v = (1, x, 3)
(b) −→u = (x, x, 4) e −→v = (4, x, 1)
(c) −→u = (x+ 1, 1, 2) e −→v = (x− 1,−1,−2)
(d) −→u = (x,−1, 4) e −→v = (x,−3, 1)
3) Calcule ‖2−→u + 4−→v ‖ sabendo que ‖−→u ‖ = 1, ‖−→v ‖ = 2 e a medida em
radianos dos aˆngulo entre −→u e −→v e´ 2pi
3
.
4) Se A, B e C sa˜o ve´rtice de um triaˆngulo equila´tero de lado unita´rio,
calcule −→
AB · −−→BC +−−→BC · −→CA+−→CA · −→AB
5) Sabendo que o vetor −→v = (2, 1,−1) forma um aˆngulo de 60◦ com o vetor−→
AB determinado pelos pontos A = (3, 1,−2) e B = (4, 0,m), calcule m.
6) Determine os aˆngulos internos do triaˆngulo ABC, sendo A = (3,−3, 3),
B = (2,−1, 2) e C = (1, 0, 2).
7) Provar que o triaˆngulo de ve´rtices A = (2, 3, 1), B = (2, 1,−1) e C =
(2, 2,−2) e´ um triaˆngulo retaˆngulo.
8) Calcule −→u ×−→v , −→v ×−→u e determine um vetor unita´rio ortogonal a −→u e−→v em cada caso.
(a) −→u = (6,−2,−4) e −→v = (−1,−2, 1)
(b) −→u = (7, 0,−5) e −→v = (1, 2,−1)
(c) −→u = (1,−3, 1) e −→v = (1, 1, 4)
(d) −→u = (2, 1, 2) e −→v = (4, 2, 4)
10
9) Determine a a´rea do paralelogramo determinado por −→u e −→v
(a) −→u = (1,−1, 2) e −→v = (0, 3, 1)
(b) −→u = (2, 3, 0) e −→v = (−1, 2,−2)
(c) −→u = (3,−1, 4) e −→v = (6,−2, 8)
10) Encontre a a´rea do triaˆngulo determinado pelos ve´rtices:
(a) P1(2, 2, 0), P2(−1, 0, 2) e P3(0, 4, 3)
(b) P1(2, 6,−1), P2(1, 1, 1) e P3(4, 6, 2)
(c) P1(1,−1, 2), P2(0, 3, 4) e P3(6, 1, 8)
11) Encontre o produto misto −→u · (−→v ×−→w )
(a) −→u = (−1, 2, 4), −→v = (3, 4,−2) e −→w = (−1, 2, 5)
(b) −→u = (3,−1, 6), −→v = (2, 4, 3) e −→w = (5,−1, 2)
(c) −→u = (2, 3, 5), −→v = (−1, 3, 3) e −→w = (4,−3, 2)
(d) −→u = (3,−1, 4), −→v = (1, 0,−1) e −→w = (2,−1, 0)
12) Obtenha o volume do paralelep´ıpedo de lados −→u , −→v e −→w
(a) −→u = (2,−6, 2), −→v = (0, 4,−2) e −→w = (2, 2,−4)
(b) −→u = (3, 1, 2), −→v = (4, 5, 1) e −→w = (1, 2, 4)
(c) −→u = (1, 0, 0), −→v = (0, 1, 0) e −→w = (0, 0, 1)
(d) −→u = (1, 0, 2), −→v = (0, 3, 1) e −→w = (1, 2, 0)
13) Verifique se sa˜o coplanares os vetores.
(a) −→u = (3,−1, 2), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (−2, 3, 4)
(b) −→u = (2,−1, 0), −→v = (3, 1, 2) e −→w = (7,−1, 2)
14) Verifique se sa˜o coplanares os pontos.
(a) A = (1, 1, 1), B = (−2,−1,−3), C = (0, 2,−2) e D = (−1, 0, 2)
(b) A = (1, 0, 2), B = (−1, 0, 3), C = (2, 4, 1) e D = (−1,−2, 2)
(c) A = (2, 1, 3), B = (3, 2, 4), C = (−1,−1,−1) e D = (0, 1,−1)
15) Determine o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplana-
res.
(a) −→u = (2,−1, k), −→v = (1, 0, 2) e −→w = (k, 3, k)
11
(b) −→u = (2, 1, 0), −→v = (1, 1,−3) e −→w = (k, 1,−k)
(c) −→u = (2, k, 1), −→v = (1, 2, k) e −→w = (3, 0,−3)
3 Retas
Equac¸a˜o vetorial da reta
Seja r uma reta que passa pelo ponto A = (x1, y1, z1) e tem a direc¸a˜o de
um vetor na˜o nulo −→v . Para que um ponto P = (x, y, z) pertenc¸a a` reta r
e´ necessa´rio e suficiente que os vetores
−→
AP e −→v = (a, b, c) sejam colineares,
isto e´: −→
AP = t−→v ,
ou
P − A = t−→v .
Da´ı P = A+ t−→v , segue
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c),
e´ denominada equac¸a˜o vetorial da reta r, o vetor −→v e´ chamado de vetor
diretor e t paraˆmetro.
Exemplo: Determine a equac¸a˜o vetorial da reta que passa pelo ponto
A = (3, 0,−5) e tem a direc¸a˜o do vetor −→v = (2, 2,−1). Ache um ponto
pertencente a essa reta.
12
Temos, (x, y, z) = (3, 0,−5) + t(2, 2,−1).
Considere t = 1, temos P = (5, 2,−6), logo o ponto P e´ um ponto da
reta.
Equac¸o˜es parame´tricas da reta
Considerando a equac¸a˜o vetorial (x, y, z) = (x1, y1, z1) + t(a, b, c), temos
x = x1 + ta
y = y1 + tb
z = z1 + tc
sa˜o denominadas equac¸o˜es parame´tricas da reta.
Exemplo: Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelo
ponto A = (3,−1, 2) e paralela ao vetor −→v = (−3,−2, 1).
x = 3− 3t
y = −1− 2t
z = 2 + t.
Exemplo: Determine as equac¸o˜es parame´tricas da reta que passa pelos
pontos A = (1,−2,−3) e B = (3, 1,−4).
Primeiro determinamos o vetor diretor da seguinte forma:
−→v = −→AB = (2, 3,−1), da´ı
x = 1 + 2t
y = −2 + 3t
z = −3 +−t.
Equac¸o˜es sime´tricas da reta
Isolando o paraˆmetro t das equac¸o˜es parame´tricas da reta e considerando
a, b e c 6= 0, temos:
t = x−x1
a
t = y−y1
b
t = z−z1
c
Da´ı temos
13
x− x1
a
=
y − y1
b
=
z − z1
c
,
essas equac¸o˜es sa˜o denominadas equac¸o˜es sime´tricas de uma reta que passa
por um ponto (x1, y1, z1) e tem a direc¸a˜o do vetor (a, b, c).
Exemplo: As equac¸o˜es sime´tricas da reta que passa pelo ponto (3, 0,−5)
e tem a direc¸a˜o do vetor (2, 2, 3) e´
x− 3
2
=
y
2
=
z + 5
3
.
Equac¸o˜es reduzidas da reta
As equac¸o˜es sime´tricas da reta podem ser dada de outra forma, isolando
as varia´veis y e z e expressando-as em func¸a˜o de x e obtemos.
y = mx+ n,
onde m = b
a
e n = − b
a
x1 + y1 e
z = px+ q,
onde p = c
a
e q = − c
a
x1 + z1.
Estas equac¸o˜es sa˜o as equac¸o˜es reduzidas da reta.
Aˆngulo entre duas retas
Sejam r1, que passa pelo ponto A1 e tem a direc¸a˜o de um vetor
−→v 1 e r2,
que passa pelo ponto A2 e tem a direc¸a˜o de um vetor
−→v 2. Chama-se o aˆngulo
aˆngulo de duas retas r1 e r2 o menor aˆngulo de um vetor diretor de r1 e de
um vetor diretor de r2. Logo
cosθ =
| −→v 1 · −→v 2 |
‖v1‖‖v2‖ ,
onde 0 ≤ θ ≤ pi
2
.
Condic¸a˜o de paralelismo de duas retas
Duas retas r1 e r2 sa˜o paralelas se
−→v 1 = m−→v 2 ou a1a2 = b1b2 = c1c2 .
Condic¸a˜o de ortogonalidade de duas retas
Duas retas r1 e r2 sa˜o ortogonais se,
−→v 1 ·−→v 2 = 0 ou a1a2 +b1b2 +c1c2 = 0.
14
Condic¸a˜o de coplanaridade de duas retas
As retas r1, que passa pelo ponto A1 = (x1, y1, z1) e tem direc¸a˜o
−→v 1 =
(a1, b1, c1) e r2, que passa pelo ponto A2 = (x2, y2, z2) e tem direc¸a˜o
−→v 2 =
(a2, b2, c2), sa˜o coplanares se o produto misto (
−→v 1,−→v 2,−→AB) = 0.
Posic¸o˜es relativas de duas retas
Duas reta r1 e r2 no espac¸o podem ser:
(a) Coplanares (situada no mesmo plano).
Podem ser :
(I) Concorrentes: r1 ∩ r2 = I
(II) Paralelas: r1 ∩ r2 = ∅
(b) Reversas (na˜o situada no mesmo plano).
15
Exerc´ıcios
1)Ache as equac¸o˜es vetorial, parame´tricas e sime´tricas da reta que passa pe-
los pontos
(a) A = (1, 0, 1) e B = (0, 1, 0)
(b) A = (5,−2, 4) e B = (7, 2,−4)
(c) A = (0, 0, 0) e B = (2,−1,−3)
(d) A = (1, 0, 9) e B = (4, 8, 9)
(e) A = (2, 1,−3) e B = (4, 0,−2)
2)Encontre as equac¸o˜es vetorial, parame´tricas e sime´tricas para a reta pas-
sando por P e paralela a −→v .
(a) P = (3,−1, 2); −→v = (2, 1, 3)
(b) P = (2, 2, 6); −→v = (0, 1, 0)
(c) P = (−2, 3, 3); −→v = (6,−6,−2)
(d) P = (0, 0, 0); −→v = (1,−2, 3)
(e) P = (−2, 3,−2); −→v = 3−→i + 2−→k
(f) P = (0, 3,−2); −→v = 2−→i
3)Determine as equac¸o˜es reduzidas da reta que passa pelo ponto P e ve-
tor diretor −→v .(a) P = (1, 3, 2); −→v = (2, 3, 3)
(b) P = (2, 1,−3);−→v = (2,−1, 1)
4)Verifique se os pontos P1 = (5,−5, 6) e P2 = (4,−1, 12) pertenc¸a a` reta:
r :
−x+ 3
1
=
y + 1
2
=
−z + 2
2
16
5)Calcular os aˆngulos entre as retas
r1 : x = 3 + t, y = t, z = −1− 2t
r2 :
−x− 2
2
= y − 3 = z
6)Verifique se as retas sa˜o coplanares
r1 :
x− 2
2
=
y
3
=
z − 5
4
r2 : −x− 5 = y + 3 = z − 6
3
7)Determinar o valor de m para que as retas
r1 : y = mx+ 2, z = 3x− 1
r2 : x = t, y = 1 + 2t, z = −2t,
sejam coplanares.
8)Calcule o valor de m para que as retas
r1 : y = mx− 3, z = −2x
r2 : x = −1 + 2t, y = 3− t, z = 5t,
sejam ortogonais.
9)Estude as posic¸o˜es relativas das retas
(a) r1 : y = 2x− 3, z = −x e r2 : x = 1− 3t, y = 4− 6t, z = 3t.
(b) r1 :
x
2
= −y + 1 = z e r2 : x = 1− 3t, y = 4− 6t, z = 3t
(c) r1 :
x−2
2
= y
3
= z−5
4
e r2 : x = 5 + t, y = 2− t, z = 7− 2t.
(d) r1 : y = 3, z = 2x e r2 : x = y = z
4 Planos
Seja A = (x1, y1, z1) um ponto pertencente a um plano pi e
−→n = (a, b, c),−→n 6= (0, 0, 0) um vetor normal(ortogonal) ao plano. O plano pi pode ser
definido como sendo o conjunto de todos os pontos P = (x, y, z) do espac¸o
17
tais que o vetor
−→
AP e´ ortogonal a −→n .
O ponto P pertence a pi se, e somente se:
−→n · −→AP = 0.
Sabendo que−→n = (a, b, c) e−→AP = (x−x1, y−y1, z−z1), fazendo o produto
escalar entre esses dois vetores chegamos na equac¸a˜o geral ou cartesiana do
plano pi, dada da seguinte forma:
ax+ by + cz + d = 0,
onde d = −ax1 − by1 − cz1.
Todos os infinitos planos paralelos a pi tem a equac¸a˜o da forma acima, no
qual d diferencia um plano do outro.
Exemplo: Determinar a equac¸a˜o geral do plano pi que passa pelo ponto
A = (2,−1, 3) sendo −→n = (3, 2,−4) um vetor normal a pi.
Fazendo as contas para d, temos d = 8. Logo pi : 3x+ 2y − 4z + 8 = 0.
Determinac¸a˜o de um plano
Um plano e´ determinado por um de seus pontos e um vetor normal a ele.
Existem outras formas da determinac¸a˜o de um plano, algumas delas sera˜o
apresentadas a seguir.
Existe apenas um plano que passa por:
(1) Passa por um ponto A e e´ paralelo a dois vetores −→v1 e −→v2 na˜o colineares.
Neste caso −→n = −→v1 ×−→v2 .
18
(2) Passa por dois pontos A e B e e´ paralelo ao um vetor −→v . Neste caso:
−→n = −→v ×−→AB
(3) Passa por treˆs pontos A, B e C na˜o colineares. Neste caso −→n =−→
AB ×−→AC.
(4) Conte´m duas retas r1 e r2 concorrentes. Nestes caso
−→n = −→v1 × −→v2 ,
sendo −→v1 e −→v2 vetores diretores de r1 e r2.
19
(5) Conte´m duas retas r1 e r2 paralelas. Nesse caso
−→n = −→v1 ×−−−→A1A2, sedo−→v vetor diretor de r1 (ou r2) e A1 ∈ r1 e A2 ∈ r2.
(6) Conte´m uma reta r e um ponto B /∈ r. Neste caso −→n = −→v × −→AB,
sendo −→n = −→v ×−→AB, sendo −→v um vetor diretor de r e A ∈ r.
Observac¸a˜o: Nos casos apresentados o vetor normal −→n sempre e´ obtido
pelo produto vetorial de dois vetores pertencentes ao plano. Esses dois vetores
sa˜o chamados vetores base do plano.
20
Planos paralelos aos eixos e aos planos coordenados
A equac¸a˜o ax + by + cz + d = 0 na qual a, b e c na˜o sa˜o todos nulos, e´ a
equac¸a˜o do plano pi, onde −→n = (a, b, c), um vetor normal a pi. Quando uma
ou duas das componentes de −→n sa˜o nulas ou quando d = 0, temos alguns
casos particulares.
(a) Plano que passa pela origem
Se o plano passa pela origem, temos a0 + b0 + c0 + d = 0, logo d = 0.
Assim a equac¸a˜o ax+ by+ cz = 0 repesenta um plano que passa pela origem.
Planos paralelos aos eixos coordenados
Se apenas uma das componentes do vetor −→n = (a, b, c) e´ nula, o vetor e´
ortogonal a um dos eixo coordenados e o plano e´ parelelo ao mesmo eixo.
(I) Se a = 0, −→n ⊥ Ox e pi \ \Ox.
E a equac¸a˜o geral dos planos paralelos a Ox e´ da forma:
by + cz + d = 0.
(II) A equac¸a˜o dos planos paralelos a Oy e´ da forma:
ax+ cz + d = 0.
(III) A equac¸a˜o dos planos paralelos a Oz e´ da forma:
ax+ by + d = 0.
Observac¸a˜o: A equac¸a˜o ax+ by+ d = 0 no espac¸o representa um plano
paralelo a Oz, mas no plano representa uma reta.
Planos paralelos aos planos coordenados
Se duas das componentes do vetor −→n = (a, b, c) forem nulas, −→n sera´ coli-
near a um dos vetores
−→
i ,
−→
j ou
−→
k .
(I) Se a = b = 0, −→n = (0, 0, c) = c−→k e pi \ \xOy.
A equac¸a˜o fica cz + d = 0.
21
(II) Se a = c = 0, −→n = (0, b, 0) = b−→j e pi \ \xOz.
A equac¸a˜o fica by + d = 0.
(III) Se b = c = 0, −→n = (a, 0, 0) = a−→i e pi \ \yOz.
A equac¸a˜o fica ax+ d = 0.
Equac¸o˜es parame´tricas do plano
Seja A(x0, y0, z0) um ponto do plano pi e
−→u = (a1, b1, c1) e −→v = (a2, b2, c2)
dois vetores na˜o colineares. Um ponto P = (x, y, z) pertence a pi (que passa
por A e e´ paralelo aos vetores −→u e −→v ), se e somente se existem nu´meros reais
h e t, tais que
−→
AP = h−→u + t−→v .
(x− x0, y − y0, z − z0) = h(a1, b1, c1) + t(a2, b2, c2)
Da´ı obtemos as equac¸o˜es parame´tricas do plano.
x = x0 + a1h+ a2t
y = y0 + b1h+ b2t
z = z0 + c1h+ c2t
22
Aˆngulo entre dois planos
Sejam os planos:
pi1 : a1x+ b1y + c1z + d1 = 0 e pi2 : a2x+ b2y + c2z + d2 = 0, temos que
−→n1 =
(a1, b1, c1) e
−→n2 = (a2, b2, c2), sa˜o vetores normais a pi1 e pi2, respectivamente.
Chama-se aˆngulo de dois planos o menor aˆngulo que o vetor normal de
pi1 forma com o vetor normal de pi2. Sendo θ esse aˆngulo temos:
cosθ =
| −→n1 · −→n2 |
‖−→n1‖‖−→n2‖ ,
com 0 ≤ θ ≤ pi
2
.
Ou em coordenadas:
cosθ =
| a1a2 + b1b2 + c1c2 |√
a21 + b
2
1 + c
2
1
√
a22 + b
2
2 + c
2
2
Condic¸a˜o de paralelismo e perpendicularismo de dois
planos
(I) Se pi1 \ \pi2, temos que −→n1 \ \−→n2, enta˜o a1a2 = b1b2 = c1c2 .
(II) Se pi1 ⊥ pi2, temos que −→n1 ⊥ −→n2, enta˜o a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0.
23
Aˆngulo de uma reta com um plano
Seja uma reta r com a direc¸a˜o do vetor −→v e um plano pi, sendo −→n um
vetor normal a pi.
O aˆngulo φ da reta r e´ o complemento do aˆngulo θ que a reta forma com
o vetor normal ao plano. Da´ı cosθ = senφ, segue que
senφ =
| −→v · −→n |
‖−→v ‖‖−→n ‖ ,
onde 0 ≤ φ ≤ pi
2
.
Condic¸a˜o de paralelismo e perpendicularismo entre reta
e plano
(I) Se r \ \pi enta˜o −→v ⊥ −→n .
(II) Se r ⊥ pi enta˜o −→v \ \−→n
24
Condic¸a˜o para que uma reta esteja contida em um plano
Uma reta r esta´ contida em um plano pi se:
(I) O vetor diretor −→v de r e´ ortogonal ao vetor −→n , normal ao plano pi;
(II) Um ponto A pertencente a r pertence tambe´m ao plano.
Uma reta esta´ contida em um plano se dois pontos da reta pertencem a
esse plano.
Exerc´ıcios
1) Determinar a equac¸a˜o geral do plano pi que passa pelo ponto A = (2,−1, 3)
sendo −→n = (3, 2,−4).
2) Encontre a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto (3,−1, 7) e e´ per-
pendicular ao vetor −→n = (4, 2,−5)
3)Determinar a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto P e e´ nor-
mal a:
(a) P = (−1, 3, 2) e −→n = (−2, 1,−1)
(b) P = (1, 1, 4) e −→n = (1, 9, 8)
(c) P = (2, 0, 0) e −→n = (0, 0, 2)
(d) P = (0, 0, 0) e −→n = (1, 2, 3)
4) Escreva a equac¸a˜o do plano que passa pelo ponto (3, 1,−4) e e´ para-
lelo ao plano 2x− 3y + z − 6 = 0.
5)Determine se os planos sa˜o paralelos:
(a) 4x− y + 2z = 5 e 7x− 3y + 4z = 8
(b) x− 4y − 3z − 2 = 0 e 3x− 12y − 9z − 7 = 0
25
(c) 2y = 8x− 4z + 5 e x = 1
2
z + 1
4
y
(d) 2x− 3y + 6z = 0 e 4x− 6y + 12z + 1 = 0
6)Determine a equac¸a˜o geral do plano que passa pelo ponto (1,−3, 4) e e´
paralelo aos vetores −→v1 = (3, 1,−2) e −→v2 = (1,−1, 1).
7)Determine a equac¸a˜o do plano que passa pelos pontos:
(a) P1 = (−4,−1,−1), P2 = (−2, 0, 1) e P3 = (−1,−2,−3)
(b) P1 = (5, 4, 3), P2 = (4, 3, 1) e P3 = (1, 5, 4)
(c) P1 = (2, 1,−1), P2 = (0,−1, 1) e P3 = (1, 2, 1)
8)Encontre as equac¸o˜es parame´tricas do plano que passa pelo ponto (2, 1, 3)
e e´ paralelo aos vetores −→u = (−3,−3,1) e −→v = (2, 1,−2).
9)Escreva as equac¸o˜es parame´tricas do plano que passa pelos pontos A =
(5, 7,−2), B = (8, 2,−3) e C = (1, 2, 4).
5 Distaˆncias
Distaˆncia entre dois pontos
A distaˆncia d entre os pontos P1 = (x1, y1, z1) e P2 = (x2, y2, z2) e´ a norma
do vetor
−−→
P1P2, isto e´,
d(P1, P2) = ‖−−→P1P2‖
Distaˆncia de um ponto a uma reta
Seja a reta r definida pelo ponto P1 e pelo vetor direto
−→v = (a, b, c) e
seja P0 um ponto qualquer do espac¸o. Os vetores
−→v e −−→P1P0 determinam um
paralelogramo de altura d, que corresponde a distaˆncia de P0 a reta r.
26
Temos que a a´rea de uma paralelogramo e´ dado por A = ‖−→v ‖d e A =
‖−→v ×−−→P1P0‖, logo d = d(P0, r) = ‖
−→v ×−−−→P1P0‖
‖−→v ‖
Distaˆncia entre duas reta
A distaˆncia de duas retas concorrentes e´ nula por definic¸a˜o.
A distaˆncia entre duas retas paralelas e´ a distaˆncia entre um ponto de
um delas a outra reta.
27
Para retas reversas temos que o volume do paralelep´ıpedo e´ dado por
V = ‖−→u ×−→v ‖d e V =| (−→u ,−→v ,−−→P1P2) |, logo d = |(
−→u ,−→v ,−−−→P1P2)|
‖−→u×−→v ‖ .
Distaˆncia de um ponto a um plano
Sejam P0 = (x0, y0, z0), pi : ax+ by+ cz+ d = 0, A o pe´ da perpendicular
conduzida pelo ponto P0 sobre o plano pi e P = (x, y, z) um ponto qualquer
do plano.
O vetor −→n = (a, b, c) e´ normal ao plano e o vetor −−→AP0 tem a mesma
direc¸a˜o de −→n . Da´ı d(P0, pi) = −−→AP0.
O vetor
−−→
AP0 e´ a projec¸a˜o do vetor
−−→
PP0, na direc¸a˜o
−→n . Da´ı
d(P0, pi) = ‖−−→AP0‖ =| −−→PP0 ·
−→n
‖−→n ‖ | .
Da´ı temos d(P0, pi) =
|ax0+by0+cz0+d|√
a2+b2+c2
.
28
Distaˆncia entre dois planos
A distaˆncia de dois planos e´ somente definida para planos paralelos e e´
dada pela distaˆncia de um ponto qualquer de um plano ao outro.
d(pi1, pi2) = d(P0, pi2), P0 ∈ pi1.
ou
d(pi1, pi2) = d(P0, pi1), P0 ∈ pi2.
Distaˆncia de uma reta e um planos
A distaˆncia de uma reta ao plano e´ definida quando a reta e´ paralela ao
plano.
d(r, pi) = d(P0, pi), onde P0 ∈ r.
Exerc´ıcios
1)Calcule as distaˆncia entre os pontos.
(a) (7, 3, 4) e (1, 0, 6)
(b) (1, 2, 1) e (4, 1, 1)
(c) (5,−1, 3) e (−2, 0, 1)
2)Calcule a distaˆncia do ponto (2, 0, 7) a reta x
2
= y−2
2
= z + 3
3)Calcule a distaˆncia entre as retas
r : y = −2x+ 3, z = 2x.
s : x = −1− 2t, y = 1 + 4t, z = −3− 4t
4)Obtenha a distancia entre o ponto e o plano.
(a) (3, 1,−2); x+ 2y − 2z = 4
(b) (−1, 2, 1); 2x+ 3y − 4z = 1
(c) (0, 3,−2); x− y − z = 3
(d) (−4, 2, 5); 2x+ y + 2z + 8 = 0
5)Calcule a distaˆncia entre os planos.
(a) 3x− 4y + z = 1 e 6x− 8y + 2z = 3
29
(b) −4x+ y − 3z = 0 e 8x− 2y + 6z = 0
(c) 2x− y + z = 1 e 2x− y + z = −1
(d) 2x− 2y + z − 5 = 0 e 4x− 4y + 2z + 14 = 0.
30
Refereˆncias ba´sicas
BOLDRINI, Jose´ L. et all. A´lgebra Linear. 3. ed. Sa˜o Paulo, Harper e
Row do Brasil, 1980.
BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria anal´ıtica: Um Tratamento Vetorial.
3.ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, 2005.
CAROLI, A.; CALLIOLI, C. A.; FEITOSA, M. O. Matrizes, vetores e geo-
metria anal´ıtica: teoria e exerc´ıcios. Sa˜o Paulo: Nobel, 1984.
SANTOS, N. M. Vetores e matrizes: Uma Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear. 4.
Ed. Sa˜o Paulo: Thomson, 2007.
Refereˆncias complementares
ANTON, Howard.BUSBY, Robert. A´lgebra Linear Contemporaˆnea. Porto
Alegre, Bookman. 2008.
ANTON, H., RORRES, C. – A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. Porto Alegre.
Bookman. 2006.
STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. A´lgebra Linear. 2 edic¸a˜o Sa˜o
Paulo, McGraw-Hill, 1987.
MACHADO, A. S. A´lgebra linear e geometria anal´ıtica. 2 ed. Sa˜o Paulo:
Atual, 1982.
LEITHOLD, L. O ca´lculo com geometria anal´ıtica. Rio de Janeiro: Har-
bra,1994.
31
	Vetores
	Produto escalar, vetorial e misto
	Retas
	Planos
	Distâncias