Números_Reais
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Se x \u2208 \u2212, então \u2212x \u2208 + e, conseqüentemente, (\u2212x)(\u2212x) = x.x = x2 \u2208 +.

Garantida a existência de +, temos bem de\ufb01nida em a seguinte relação de ordem:

Dizemos que x é menor que y e escrevemos x < y quando x\u2212y \u2208 +, isto é, quando
existe z \u2208 + tal que y = x + z; neste caso, escreveremos também y > x e dizemos que y
é maior que x.

Em particular,x > 0 signi\ufb01ca que existe z \u2208 + tal que x = 0 + z = z \u2208 +,
isto é, se x > 0, então x é positivo, enquanto x < 0 signi\ufb01ca que \u2203z \u2208 + tal que
0 = x + z \u21d2 0 + (\u2212z) = x + z + (\u2212z) \u21d2 \u2212z = x + (z + (\u2212z)) = x + 0 = x, isto é, se
x < 0, então x é negativo.

Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x < y em :

Transitividade: Se x < y e y < z, então x < z.

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real6

Tricotomia: Dados x, y \u2208 , ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: x = y,
x < y ou x > y.

Monotonicidade da adição: Se x < y, então, para todo z \u2208 , tem-se x + z < y + z.

Monotonicidade da multiplicação: Se x < y, então, para todo número real z > 0, tem-se
xz < yz; porém, se z < 0, tem-se xz > yz.

Vamos demonstrar duas dessas propriedades:

Monotonicidade da adição

Demonstração

Se x < y, então, para todo z \u2208 , tem-se x + z < y + z.

Hipótese: x < y \u21d2 \u2203w \u2208 + tal que y = x + w.
Tese: z \u2208 \u21d2 x + z < y + z \u21d4 \u2203z\u2032 \u2208 tal que y + z < x + z + z\u2032.

Por hipótese, temos x < y, ou seja, \u2203w \u2208 + tal que y = x + w. Assim, y + z =
x + w + z \u21d2 y + z = x + z + w \u21d2 x + z < y + z.

Monotonicidade da multiplicação

Demonstração

Se x < y, então, para todo número real z > 0, tem-se xz < yz; porém, se z < 0,
tem-se xz > yz.

Caso 1: z > 0.

Hipóteses: x < y e z > 0.

Tese: xz < yz.

De x < y, existe w \u2208 + tal que y = x + w, e de z > 0, existe p \u2208 + tais
que z = 0 + p. Assim, y \u2212 x \u2208 + e z \u2208 +, que implicam z(y \u2212 x) \u2208 +, isto é,
zy \u2212 zx \u2208 + \u21d2 zy \u2212 zx > 0 \u21d2 zy > zx.

Caso 2: z < 0.

Hipóteses: x < y e z < 0.

Tese: xz > yz.

De x < y e z > 0, temos y \u2212 x \u2208 R+ e \u2212z \u2208 + \u21d2 (y \u2212 x)(\u2212z) \u2208 + \u21d2
\u2212yz + xz \u2208 + \u21d2 xz \u2212 yz \u2208 + \u21d2 xz > yz.

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Aula 03 Análise Real 7

Atividade 4
Mostre que a relação de ordem x < y é transitiva.

Atividade 5
Mostre que vale a tricotomia da relação de ordem x < y.

Exemplo 11
Mostre que se x < x\u2032 e y < y\u2032, então x + y < x\u2032 + y\u2032.

De x < x\u2032 e y < y\u2032, temos x\u2032 \u2212 x \u2208 + e y\u2032 \u2212 y \u2208 +. Assim,

x\u2032 \u2212 x + y\u2032 \u2212 y \u2208 + \u21d2 x\u2032 + y\u2032 \u2212 (x + y) \u2208 + \u21d2 x\u2032 + y\u2032 > x + y.

Exemplo 12
Mostre que se 0 < x < x\u2032 e 0 < y < y\u2032, então xy < x\u2032y\u2032.

Por hipótese, temos as seguintes informações:

De x \u2208 + e y\u2032 \u2212 y \u2208 +, temos x(y\u2032 \u2212 y) \u2208 +, e de y\u2032 \u2208 + e x\u2032 \u2212 x \u2208 +,
temos y\u2032(x\u2032 \u2212 x) \u2208 +. Logo,

x(y\u2032 \u2212 y) + y\u2032(x\u2032 \u2212 x) \u2208 + \u21d2 xy\u2032 \u2212 xy + y\u2032x\u2032 \u2212 y\u2032x \u2208 +
\u21d2 y\u2032x\u2032 \u2212 xy \u2208 + \u21d2 y\u2032x\u2032 > xy.

Exemplo 13
Mostre que se x > 0, então

1
x

> 0.

Sabemos que x > 0 \u21d2 x \ufffd= 0 \u21d2 x2 \u2208 +. Assim,

x\u22121 = 1.x\u22121 = xx\u22121x\u22121 = x(x\u22121)2 \u2208 + \u21d2 x
x2
\u2208 + \u21d2 1

x
\u2208 + \u21d2 1

x
> 0.

Atividade 6
Mostre que se x < 0, então

1
x

< 0.

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real8

Exemplo 14
Mostre que se 0 < x < y, então 0 <

1
y

<
1
x

.

De x > 0, temos x\u22121 > 0, ou seja, x\u22121 \u2208 +. Analogamente, de y > 0, temos
y\u22121 \u2208 +. Assim, x\u22121y\u22121 \u2208 +.

Como x < y, por hipótese, temos:

x(x\u22121y\u22121) < y(x\u22121y\u22121) \u21d2 (xx\u22121)y\u22121 < (yy\u22121)x\u22121 \u21d2 y\u22121 < x\u22121.

Vamos mostrar que o conjunto dos números reais contém outros conjuntos numéri-
cos conhecidos.

O exemplo 10 a\ufb01rma que o quadrado de qualquer número real diferente de zero é posi-
tivo portanto 1 = 12 \u2208 +, ou seja, 1 é positivo. Note que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < · · · ,
ou seja, 1 + 1 \u2208 +, 1 + 1 + 1 \u2208 +,... , e podemos concluir que \u2282 +. Mas + \u2282 ,
portanto \u2282 .

Sabemos que 0 \u2208 e acabamos de ver que todo número natural é um número real, ou
seja, n \u2208 implica em n \u2208 . Como é um corpo, temos que n possui um inverso aditivo
\u2212n \u2208 e podemos concluir que \u2282 .

Também podemos a\ufb01rmar que =
{m

n
|m \u2208 , n \u2208 \u2212 {0}

}
\u2282 . Acabamos de

ver que todo número inteiro também é um número real, portanto, m \u2208 . Como n \u2208 \u2212{0},
então n \u2208 \u2212 {0}; assim, \u2203n\u22121 \u2208 e mn\u22121 \u2208 o que implica em m

n
\u2208 . Logo, para

todo q =
m

n
\u2208 , temos q \u2208 , isto é, \u2282 .

Com isso, concluímos que \ufffd \ufffd \u2282 . Mais adiante veremos que \ufffd .

Exemplo 15
Desigualdade de Bernoulli

Para todo número real x \u2265 \u22121 e todo n \u2208 , tem-se (1 + x)n \u2265 1 + nx.
Seja x um número real qualquer tal que x \u2265 \u22121, ou seja, x = \u22121 ou x > \u22121.

Inicialmente, mostremos por indução que, para x = \u22121, a desigualdade é verdadeira,

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Aula 03 Análise Real 9

isto é, para todo n \u2208 , tem-se:

(1 + (\u22121))n \u2265 1 + n(\u22121) \u21d2 0 \u2265 1\u2212 n.

Para n = 1, temos 1 \u2212 1 = 0 \u2264 0, isto é, a desigualdade é verdadeira. Suponhamos
que para n = k a desigualdade é verdadeira, ou seja, 0 \u2265 1\u2212 k. Para n = k + 1, temos:

1\u2212 (k + 1) = 1\u2212 k \u2212 1 < 1\u2212 k \u2264 0 \u21d2 1\u2212 (k + 1) \u2264 0.

Logo, a desigualdade também vale para n = k + 1 e, portanto, 0 \u2265 1\u2212 n, \u2200n \u2208 .

Agora, mostremos a desigualdade para x > \u22121, também por indução.

Para n = 1, temos (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x, ou seja, a desigualdade é válida.
Suponhamos que a desigualdade é válida para n = k, isto é, (1 + x)k \u2265 1 + kx. Para
n = k + 1, temos:

(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x) \u2265 (1 + kx)(1 + x)
= 1 + x + kx + kx2 = 1 + (k + 1)x + kx2

> 1 + (k + 1)x.

Logo, (1 + x)k+1 \u2265 1 + (k + 1)x, ou seja, a desigualdade também é válida para
n = k + 1. Assim, para x > \u22121, tem-se (1 + x)n \u2265 1 + nx,\u2200n \u2208 .

Portanto, concluímos que

(1 + x)n \u2265 1 + nx,\u2200n \u2208 , x \u2265 \u22121.

Agora que sabemos o que signi\ufb01cam x > 0 e x < 0, podemos de\ufb01nir o valor absoluto
(ou módulo) de um número real:

|x| =

\u23a7\u23aa\u23a8
\u23aa\u23a9

x, se x > 0;
0, se x = 0;
\u2212x, se x < 0.

Note que |x| = max{x,\u2212x}, pois:

a. se x > 0, então \u2212x < 0 e max{x,\u2212x} = x = |x|;

b. se x < 0, então \u2212x > 0 e max{x,\u2212x} = \u2212x = |x|;

c. se x = 0, então \u2212x = 0 e max{x,\u2212x} = 0 = |0|.

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real10

Proposição 1

Para x \u2208 , tem-se \u2212|x| \u2264 x \u2264 |x|.

Demonstração

De |x| = max{x,\u2212x}, temos:

|x| \u2265 x e |x| \u2265 \u2212x\u21d2 |x| \u2265 x e \u2212 |x| \u2264 x\u21d2 \u2212|x| \u2264 x \u2264 |x|.

Exemplo 16
|x| é o único número maior que ou igual a zero tal que |x|2 = x2.
Que |x| \u2265 0 segue da de\ufb01nição. Para mostrar que |x|2 = x2, basta observar que

|x|2 = |x||x| =
{

xx, se x \u2265 0;
\u2212x(\u2212x), se x < 0.

De qualquer maneira, temos |x|2 = x2,\u2200x \u2208 .

Agora, suponha que exista y \u2265 0, tal que y2 = x2. Logo,

y2 = x2 \u21d2 y2 = x2 = |x|2 \u21d2 y2 = |x|2 \u21d2 y = |x| ou y = \u2212|x|.

Não pode ocorrer y = \u2212|x| \u2264 0 (para y \ufffd= 0) pois y \u2265 0. Portanto, y = |x|, ou seja,
|x| é o único número maior que ou igual a zero tal que |x|2 = x2´.

Atividade 7
Mostre que se x, y \u2265 0 e x2 = y2, então x = y.

Teorema 1

Se x, y \u2208 , então |x + y| \u2264 |x|+ |y| e |xy| = |x||y|.

Demonstração

Sejam x, y \u2208 . Sabemos que |x| = max{x,\u2212x} \u21d2 |x| \u2265 x e que |y| = max{y,\u2212y}
|y| \u2265 y. Assim, |x|+ |y| \u2265 x+y. De modo análogo, temos |x| \u2265 \u2212x e |y| \u2265 \u2212y, e também
|x|+ |y| \u2265 \u2212x\u2212 y = \u2212(x + y). Logo,

|x|+ |y| \u2265 x+ y e |x|+ |y| \u2265 \u2212(x+ y) \u21d2 |x|+ |y| \u2265 max{x+ y,\u2212(x+ y)} = |x+ y|.

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Aula 03 Análise Real 11

Agora, vamos mostrar que |xy| = |x||y|. Note que |x| \u2265 0 e |y| \u2265 0 \u21d2 |x||y| \u2265 0 e
que |xy| \u2265 0. Sabemos também que:

|xy|2 = (xy)2 = (xy)(xy) = x2y2 = |x|2|y|2 = (|x||y|)2 \u21d2 |xy| = |x||y|.

Teorema 2

Sejam a, x \u2208 e \u3b4 \u2208 +. Tem-se:

|x\u2212 a| < \u3b4 \u21d4 a\u2212 \u3b4 < x < a + \u3b4.

Demonstração

Parte 1. |x\u2212 a| < \u3b4 \u21d2 a\u2212 \u3b4 < x < a + \u3b4.

Hipóteses: a, x \u2208 , \u3b4 \u2208 + e |x\u2212 a| < \u3b4.
Tese: a\u2212 \u3b4 < x < a + \u3b4.

Da hipótese,