Números_Reais
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Números_Reais


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3 na decomposição
de m2 é par. Temos então duas possibilidades para 3: (a) 3 é fator primo de n ou (b) 3 não é
fator primo de n.

Se (a) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de n2 também é par. Logo,
3n2 tem uma quantidade ímpar de 3. Isto é absurdo, pois 3n2 = m2.

Se (b) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de 3n2 é 1, e isto também é
absurdo.

Portanto,
\u221a

3 é irracional.

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Aula 03 Análise Real 23

Resumo
Nesta aula aprendemos que é um corpo ordenado completo e não enumerável. Apli-

camos vários dos axiomas de corpo e a relação de ordem para demonstrar propriedades
interessantes e bem conhecidas dos números reais. Estudando a completeza de aprende-
mos os conceitos de supremo e ín\ufb01mo de conjuntos.

Autoavaliação
Usando o fato de ser um corpo, prove:

1) a unicidade do elemento neutro da adição, ou seja, se x + a = x para todo x \u2208 então
a = 0.

2) a unicidade do elemento neutro da muliplicação, ou seja, se x.u = x para todo x \u2208
então u = 1.

3) a unicidade do elemento inverso aditivo, ou seja, se x + y = 0 então y = \u2212x.

4) a unicidade do elemento inverso multiplicativo, ou seja, se x.y = 1 então y = x\u22121.

Usando o fato de ser um corpo ordenado, prove que:

5) para quaisquer x, y, z \u2208 vale: |x\u2212 z| \u2264 |x\u2212 y|+ |y \u2212 z| .

6) para quaisquer x, y \u2208 vale: ||x| \u2212 |y|| \u2264 |x\u2212 y|.

Usando o fato de ser um corpo ordenado completo, prove que:

7) se A e B são subconjuntos limitados de , satisfazendo A \u2282 B então supA \u2264 supB e
infA \u2265 infB. Construa um exemplo que ilustre essas a\ufb01rmações

8) Dados A e B subconjuntos limitados de e c \u2208 . Mostre que:

a) o conjunto A + B = {x + y;x \u2208 Aey \u2208 B} é limitado.

b) sup(A + B) = sup(A) + sup(B)

VERSÃO DO PROFESSOR

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Aula 03 Análise Real24

c) inf(A + B) = inf(A) + inf(B)

d) sup(cA) = c.sup(A) se c \u2265 0

e) inf(cA) = c.inf(A) se c \u2265 0

f) sup(cA) = c.inf(A) se c \u2264 0

g) inf(cA) = c.sup(A) se c \u2264 0

10) Mostre que
\u221a

2 não é um número racional.

Referências
FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996.

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1. São Paulo:
Atual, 1993.

LIMA, Elon Lages. Análise Real, Volume 1.Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, Coleção Matemática Universitária, 1989.

MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Um convite à Matemática. Campina Grande: EDUFCG,
2007.

VERSÃO DO PROFESSOR

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2º
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EMENTA

> André Gustavo Campos Pereira

> Viviane Simiolli de Medeiros Campos

Conjuntos \ufb01 nitos, enumeráveis e não-enumeráveis. Números reais. Cortes de Dedekind. Sequências e séries
de números reais. Topologia da reta. Limites de funções. Funções contínuas. Sequências e séries de funções.
Panorama histórico.

Análise Real \u2013 MATEMÁTICA

AUTORES

AULAS

01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções

02 Conjuntos \ufb01 nitos e enumeráveis

03 Números reais

04 Sequências de números reais

05 Desigualdades, operações com sequências e limites in\ufb01 nitos

06 Séries numéricas

07 Limite de funções

08 Funções contínuas

09 Funções deriváveis

10 Máximos e mínimos

12