Lista de exercícios - Geometria Analítica

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Ca´lculo Diferencial e Geometria Anali´tica - BCT/2014.1
Primeira Lista Unificada
[1] Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que
# «
AB+
# «
AC+
# «
AD+
# «
AE+
# «
AF = 6
# «
AO
[2] Seja ABCD um quadrilátero, e O um ponto qualquer. Seja P o ponto médio do segmento
que une os pontos médios das diagonais AC e BD. Prove que
P = O+
1
4
(
# «
OA+
# «
OB+
# «
OC+
# «
OD)
[3] Considere o triângulo ABC, e sejam
# «
CA = #«u ,
# «
CB = #«v e #«w = #«u − 2 #«v . Calcule α real
para que o ponto X = C+ α #«w pertença à reta AB.
[4] Dados os vetores #«u = (1, 0, a), #«v = (1, 1, a) e #«w = (1, 1, a2). Para quais valores reais
a ∈ R, o conjunto de vetores { #«u, #«v , #«w} é L.I.?
[5] O vetor #«u = (1,−1, 3) pode ser escrito como combinação linear de #«v = (−1, 1, 0) e
#«w = (6, 9, 1)?
[6] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base, e
#«
f 1 :=
#«e 1 +
#«e 2 +
#«e 3,
#«
f 2 :=
#«e 1 +
#«e 2,
#«
f 3 :=
#«e 3
Decida se (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) é base.
Enunciado das duas questões a seguir. Seja OABC um tetraedro, e M o ponto médio
de BC.
[7] Explique por que (
# «
OA,
# «
OB,
# «
OC) é uma base.
[8] Determine as coordenadas de
# «
AM nesta base.
[9] Sejam E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3), F = (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) e G = ( #«g 1, #«g 2, #«g 3) bases, com
#«e 1 =
√
3
2
#«
f 1 −
1
2
#«
f 3,
#«e 2 =
1
2
#«
f 1 +
√
3
2
#«
f 3,
#«e 3 =
#«
f 2
e
#«g 1 =
#«e 1 +
#«e 2 +
#«e 3,
#«g 2 =
#«e 1 +
#«e 2,
#«g 3 =
#«e 1
Encontre todas as matrizes de mudança.
[10] Seja E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) uma base ortonormal e #«u ∈ V3. Mostre que
#«u = ( #«u · #«e 1) #«e 1 + ( #«u · #«e 2) #«e 2 + ( #«u · #«e 3) #«e 3
[11] Se A, B e C são vértices de um triângulo equilátero de lado unitário, calcule
# «
AB · # «BC+ # «BC · # «CA+ # «CA · # «AB
[12] Dados os vetores #«u1 = (1, 1, 0) e #«u2 = (1, 1, 1) pede-se: determinar as coordenadas do
vetor #«v tal que ‖ #«v ‖ = 5 e, ( #«v − #«u1) ⊥ #«u1 e ( #«v − #«u2) ⊥ #«u2.
[13] Calcule o valor de m para o vetor #«u + #«v seja ortogonal a #«w − #«v , onde #«u = (2, 1,m),
#«v = (m+ 2,−5, 2) e #«w = (2m, 8,m).
[14] (Gram-Schmidt) Dada a base (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) encontre uma base base ortonormal ( #«e 1, #«e 2, #«e 3)
tal que #«e 1 ‖ #«f 1 e #«e 2 seja combinação linear de #«f 1 e #«f 2.
[15] Calcule ‖ #«u‖ sabendo-se ‖ #«u ∧ #«v ‖ = 4√2, ‖ #«v ‖ = 2 e o ângulo entre #«u e #«v é 45◦.
[16] Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.
[17] Prove que se um paralelogramo tem as diagonais perpendiculares, ele é um losango.
[18] Demonstre que as diagonais de um losango bissectam os ângulos internos.
[19] Mostre que a mediana relativa à base de um triângulo isósceles é perpendicular à base
e é bissetriz do ângulo do vértice.
[20] Mostre que se um triângulo é isósceles, os ângulos da base são congruentes.
[21] Mostre que se um triângulo tem dois ângulos congruentes, ele é isósceles.
[22] Num espaço euclidiano consideram-se os pontos A, B, C e D. Mostre que:
# «
DA∧
# «
DB+
# «
DB∧
# «
DC+
# «
CB∧
# «
DA =
# «
DA∧
# «
DC
[23] Dados os vetores #«u1 = (1, 1,−1) e #«u2 = (1,−1, 0) pede-se: determinar o vetor #«v
paralelo a #«u1 ∧ #«u2 de módulo igual a
√
6 e tal que a base { #«u1, #«u2, #«v } tenha orientação
positiva.
Enunciado das duas questões a seguir. Dados os pontos A = (2
√
3, 0, 0), B = (p, 3, 0)
e C = (q
√
3
2
, q
2
, r) tomados em relação a um sistema de coordenadas cartesianas
ortogonais de origem O = (0, 0, 0), pede-se:
[24] Determinar p, q e r para que no tetraedro OABC, os pares de arestas opostas AB, OC e
BC, OA sejam ortogonais.
[25] Determinar p, q e r para que o tetraedro OABC seja regular e calcule seu volume.
[26] Dado um triângulo de vértices A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1) e C = (2, 1, 2), determinar os
comprimentos da altura e da bissetriz relativa ao vértice B.
[27] Mostre que
‖ #«u+ #«v+ #«w‖2+‖ #«u+ #«v− #«w‖2+‖− #«u+ #«v+ #«w‖2+‖ #«u− #«v+ #«w‖2 = 4(〈 #«u, #«u〉+〈 #«v , #«v 〉+〈 #«w, #«w〉)
e interprete geometricamente.
2
Enunciado das três questões a seguir. São dados uma base B = { #«u, #«v , #«w} e um vetor
#«a = (1, 2, 3). Pede-se:
[28] Prove que B ′ = {2 #«u, #«v − #«u, #«v + #«w} também é uma base de V3 = R3.
[29] Determine as coordenadas de #«a em relação a base B ′.
[30] Encontre as coordenadas de #«v − #«u em relação a base B ′.
Enunciado das duas questões a seguir. Dados os vetores #«v = (3, 2, 5) e o plano
pi : x− y+ z− 3 = 0, pede-se:
[31] Decompor o vetor #«u em forma de soma #«u + #«w, em que #«u é paralelo a pi e #«w é ortogonal
a pi.
[32] Determinar o comprimento da projeção ortogonal de #«v sobre a reta r que passa por
P = (1, 2,−5) e é perpendicular a pi.
[33] Mostre que se E = ( #«e 1, #«e 2, #«e 3) e F = (
#«
f 1,
#«
f 2,
#«
f 3) são bases ortonormais, então a matriz
M de mudança de base de E para F satisfaz M ·Mt = Mt ·M = I, onde I é a matriz
identidade.
[34] Mostre que uma matriz ortogonal 2× 2 deve ser de uma das formas[
cosα − sinα
sinα cosα
]
ou
[
cosα sinα
sinα − cosα
]
Enunciado das duas questões a seguir. O plano pi é determinado pelo ponto
O = (0, 0, 0) e pelos vetores #«u1 = (1, 1, 1) e #«u2 = (1,−1, 0). Pede-se
[35] Uma base ortornomal positiva { #«a,
#«
b, #«c } tal que #«a e
#«
b tenham respectivamente, as
direções dos vetores #«u1 e #«u2.
[36] As coordenadas da projeção ortogonal do ponto P = (4, 8, 3) sobre o plano pi.
[37] Se #«u e #«v são vetores unitários, determinar o ângulo θ entre #«u e #«v para que o vetor soma
#«u + #«v seja também unitário.
[38] Determinar k para que #«u = (1, 2, k), #«v = (0, 1, k− 1) e −→w = (3, 4, 3) sejam coplanares.
[39] Mostrar que se a
# «
OP+ b
# «
OQ+ c
# «
OR+ d
# «
OS = #«o , com abcd , 0 e a+ b+ c+ d = 0, então
os vetores
# «
OP,
−−→
OQ,
−→
OR e
−→
OS são coplanares.
[40] Dados os vetores #«u = (1, 1, 0) e #«v = (x, 0, 1) pede-se: determinar o número real x tal
que sin θ =
√
2
3
onde θ é o ângulo entre #«u e #«v .
[41] Dados dois vetores arbitrários #«u e #«v , mostre que ‖ #«u‖· #«v e ‖ #«v ‖· #«u são vetores de mesmo
comprimento.
3
[42] Mostre que se os vetores #«u e #«v tem o mesmo comprimento então #«u + #«v e #«u − #«v são
ortogonais.
[43] Sejam #«u =
# «
OP, #«v =
# «
OQ vetores não nulos tais que ‖ #«u‖ #«v + ‖ #«v ‖ #«u = # «OR também
seja diferente do vetor nulo. Mostre que
# «
OR é a bissetriz do ângulo PÔQ. Obtenha a
inclinação dessa bissetriz em função das coordenadas dos pontos P eQ num sistema de
eixos ortogonais arbitrário OXY.
[44] Dado o parelelogramoABCD, ponha
# «
AB = #«u e
# «
AC = #«v , logo
# «
AD = #«u+ #«v e
# «
BC = #«v− #«u .
Mostre que ‖ #«u− #«v ‖2+‖ #«u+ #«v ‖2 = 2‖ #«u‖2+2‖ #«v ‖2 e conclua que em todo paralelogramo
a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos quatro lados.
[45] Indicando genericamente por #«v∗ o vetor obtido de #«v por rotação positiva de pi
2
rad,
prove que (α #«u + β #«v )∗ = α # «u∗ + β #«v∗ e 〈 #«u, #«v∗〉 + 〈 # «u∗, #«v 〉 = 0 para quaisquer #«u , #«v do
plano e α e β em R.
Enunciado das três questões a seguir. Fixada uma reta r, indiquemos com #«v ′ a
projeção ortogonal de um vetor arbitrário #«v sobre r. Mostre as seguintes propriedades:
[46] ( #«u + #«v ) ′ = #«u ′ + #«v ′ [47] ( #«v ′) ′ = #«v ′ [48] 〈 #«v , #«w ′〉 = 〈 #«v ′, #«w〉
[49] Sabendo-se que a área do paralelogramo gerado pelos vetores #«u = (1, 1, a) e #«v =
(−1, 1, 0) é igual a
√
22, encontre o valor de a.
[50] Prove que ‖ #«u ∧ #«v ‖2 + ( #«u · #«v)2 = ‖ #«u‖2‖ #«v ‖2.
[51] Mostre que, se #«u + #«v + #«w = #«o então #«u ∧ #«v = #«v ∧ #«w = #«w ∧ #«u .
[52] Prove que, se #«u + #«v + #«w = #«o então #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w + #«w ∧ #«u = 3( #«u ∧ #«v ).
[53] Demonstre que a altura do ∆ABC relativa ao lado AB mede h =
‖ # «AB∧ # «AC‖
‖ # «AB‖ .
[54] Seja ABC um triângulo de altura AH. Prove que
# «
AH é paralelo a (
# «
AB ∧
# «
AC) ∧
# «
BC.
[Sugestão: Calcule [(
# «
AB∧
# «
AC)∧
# «
BC]∧
# «
AH]
[55] Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores #«u = (2,−2, 0), #«v = (0, 1, 0)
e #«w = (−2,−1,−1).
[56] Calcule o volume do tetraedro ABCD dados
# «
AB = (1, 1, 0),
# «
AC = (0, 1, 1) e
# «
AD =
(−4, 0, 0).
[57] Calcule [ #«u, #«v , #«w] sabendo que ‖ #«u‖ = 1, ‖ #«v ‖ = 2 e ‖ #«w‖ = 3, e que ( #«u, #«v , #«w) é uma base
negativa, sendo #«u, #«v , #«w dois a dois ortogonais.
[58] Prove que se #«u ∧ #«v + #«v ∧ #«w + #«w ∧ #«u então #«u, #«v e #«w são linearmente dependentes.
[59] Prove que a altura do tetraedro ABCD relativa à base ABC é h =
|[
# «
AB,
# «
AC,
# «
AD]|
‖ # «AB∧ # «AC‖ .
[Sugestão: Volume =
1
3
(área ∆ABC)h]
4
[60] Dados os pontos A = (1, 2, 5) e B = (0, 1, 0), determine P sobre a reta que passa por A e
B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA.
[61] Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0,−3) e é
paralela à reta s :
1− x
5
=
3y
4
=
z+ 3
6
.
[62] Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0,−3) e é
paralela à reta que passa pelos pontos B = (1, 0, 4) e C = (2, 1, 3).
[63] Escreva equações paramétricas para a reta r, que passa pelo ponto A = (2, 0,−3) e é
paralela à reta t :

x = 1− 2λ
y = 4+ λ
z = −1− λ
(λ ∈ R)
[64] Dados A = (0, 2, 1), r : X = (0, 2,−2) + λ(1,−1, 2), ache os pontos de r que distam
√
3
de A. Em seguida, diga se a distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual a
√
3,
e por quê.
[65] Dois pontos efetuam movimentos descritos pelas equações
X = (0, 0, 0) + λ(1, 2, 4) (λ ∈ R)
e
X = (1, 0,−2) + λ(−1,−1,−1) (λ ∈ R)
Pergunta-se se as trajetórias são concorrentes e se haverá colisão.
[66] Decomponha o vetor #«v = (1, 2, 4) em duas parcelas, sendo uma delas paralela ao plano
X = (1, 1, 0)+λ(1, 0, 1)+µ(0, 1,−1) e outra parcela paralela à retaX = (0, 0, 0)+ν(2, 1, 0).
Enunciado das duas questões a seguir. Seja pi1 o plano que passa pelos pontos
A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) e C = (0, 0, 1). Seja pi2 o plano que passa porQ = (−1,−1, 0) e
é paralelo aos vetores #«v = (0, 1,−1) e #«w = (1, 0, 1). Seja pi3 o plano de equação vetorial
X = (1, 1, 1) + λ(−2, 1, 0) + µ(1, 0, 1).
[67] Escreva equações gerais de pi1, pi2 e pi3.
[68] Mostre a interseção pi1 ∩ pi2 ∩ pi3 se reduz a um único ponto; determine-o.
Enunciado das três questões a seguir. Verifique se a reta r está contida no plano pi nos
seguintes casos.
[69] r : X = (1, 0, 0) + λ(2,−1, 0), pi : x+ 2y+ 3z = 1
[70] pi : X = (1, 4, 1) + λ(1,−1, 1) + µ(−1, 2,−1) e r passa pelos pontos A = (2, 3, 2) e
B = (0, 0, 1).
[71] r : x− 1 = 2y = 4− z e pi : x+ 2y− 2z+ 1 = 0.
5
[72] Decomponha o vetor #«v = −3
#«
i + 4
#«
j − 5
#«
k paralela e ortogonalmente ao plano
pi :

x = 1− λ− µ
y = λ+ µ
z = λ
(λ, µ ∈ R)
[73] Mostre que o lugar geométrico dos pontos deE3 que equidistam dos pontosA = (2, 1, 1),
B = (−1, 0, 1) e C = (0, 2, 1) é uma reta, perpendicular ao plano que passa por A,B e C.
Dê equações paramétricas dessa reta.
[74] Ache uma equação geral do plano pi, que contém r : X = (1, 1, 0) + λ(2, 1, 1) e é perpen-
dicular a s : X = (1, 0, 0) + λ(1, 1, 0).
Enunciado das cinco questões a seguir. São dadas r :
{
x = my− 1
z = y− 1
, s : x =
y
m
= z e
t : −x+ z = y = −z− 1. Calculem para que:
[75] r e s sejam paralelas.
[76] r, s e t sejam paralelas a um mesmo plano.
[77] r e t sejam concorrentes.
[78] s e t sejam coplanares.
[79] r e s sejam reversas.
[80] Determinem para que as retas r : X = (1, 0, 2)+λ(2, 1, 3) e s : X = (0, 1,−1)+λ(1,m, 2m)
sejam coplanares, e nesse caso estude sua posição relativa.
[81] Calculem para que a reta X : (1, 1, 1) + λ(2,m, 1) seja paralela ao plano
pi : X = (0, 0, 0) + α(1, 2, 0) + β(1, 0, 1)
[82] Calcule m,n ∈ R para que a reta r : X = (n, 2, 0) + λ(2,m,m) esteja contida no plano
pi : x− 3y+ z = 1.
[83] Calculem para que a reta r :
x− 1
m
=
y
2
=
z
m
seja transversal ao plano pi : x+my+z = 0.
[84] Mostre que os planos
pi1 : X = (0, 0, 0) + λ(−1,m, 1) + µ(2, 0, 1)
e
pi2 : X = (1, 2, 3) + α(m, 1, 0) + β(1, 0,m)
são transversais, para todom ∈ R.
[85] Obtenha uma equação geral do plano que passa pelo ponto P = (1, 3, 4) e é paralelo ao
plano pi : x+ y+ z+ 1 = 0.
6
[86] Existe alguma reta paralela à reta r : X = (0, 1, 1) + λ(1,−1,−1), contida no plano
pi : x− 2y+ 3z− 1 = 0 ? Por quê? E paralela ao eixo das abscissas?
[87] Calcule o volume do tetraedro determinado pelas retas r, s e t e pelo plano pi. São dados
pi : x+ y+ z− 5 = 0, r : x = z = 0, s : x = y = 0 e t : x− 2y = z = 0.
[88] Um paralelogramo de vértices A, B, C e D tem lados AB e CD paralelos à reta de
equação r : X = (0, 0, 0) + λ(3, 4, 5) e os outros dois paralelos ao plano pi : x+y+ 3z = 0.
Conhecendo os vértices A e D, determine os vértices B e C. Dados: A = (0, 0, 0) e
D = (1, 1, 1).
[89] Projete o ponto P = (1, 4, 0) sobre o plano pi : x + y − 2z + 1 = 0, paralelamente à reta
r : X = (0, 0, 0) + λ(1, 4, 1).
[90] Dada a reta r : x− y = x+ z− 1 = 0, seja pi um plano que contém r e determina com os
três planos coordenados um tetraedro de volume V = 1/12. Determine os vértices do
tetraedro e uma equação geral de pi.
7