Aula 6 - Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes - Teoria

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 6: Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes - Teoria 
 
Equações Homogêneas 
Uma equação diferencial de n-ésima ordem da 
forma 
1
1 1 01
( ) ( ) ... ( ) ( ) 0
n n
n nn n
d y d y dy
a x a x a x a x y
dx dx dx

 
    
 
 
É chamada homogênea, enquanto 
1
1 1 01
( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )
n n
n nn n
d y d y dy
a x a x a x a x y g x
dx dx dx

 
    
Com 
( ) 0g x 
, é chamada não-homogênea. 
 
A palavra homogênea neste contexto não se 
refere aos coeficientes como sendo funções 
homogêneas. 
 
Solução Geral das Equações Homogêneas 
Sejam 
1 2, ,..., ny y y
 n soluções linearmente 
independentes para a equação diferencial linear 
homogênea de n-ésima ordem em um intervalo I. A 
solução geral para a equação no intervalo é definida 
por 
1 1 2 2( ) ( ) ... ( )n ny c y x c y x c y x   
 
 
Em que os 
ic
, 
1,2,...i n
 são constantes 
arbitrárias. 
 
Equações Diferenciais Lineares, Homogêneas, 2ª 
Ordem, com Coeficientes Constantes 
Seja a equação homogênea 
 
'' ' 0y by cy  
 (b e c reais dados) 
 
e sejam 
1
 e 
2
 as raízes da equação característica 
 
2 0b c    
 
 
Se 
1 2 
, 
1
 e 
2
 reais, a solução geral será 
 
1 2
1 2
x xy c e c e  
 (c1 e c2 reais) 
 
 
Se 
1 2 
, a solução geral será 
 
1 2
x xy c e c xe  
 (c1 e c2 reais) 
Se as raízes forem complexas, 
i   
, a 
solução geral será 
 
 1 2cos sen
xy e c x c x   
 (c1 e c2 reais) 
 
 
Equações de Ordem Superior 
No caso geral, para resolver uma equação 
diferencial de n-ésima ordem 
 
1
1 1 0... ' ( ) 0
n n
n na y a y a y a x y

    
 
 
em que 
ia
, 
0,1,...,i n
 são constantes reais, devemos 
resolver uma equação polinomial de grau n 
 
1
1 1 0... 0
n n
n na m a m a m a

    
 
 
Se todas as raízes são reis e distintas, então a 
solução geral é 
 
1 2
1 2 ...
nm xm x m x
ny c e c e c e   
 
 
Quando 
1m
 é uma raiz de multiplicidade k de 
uma equação auxiliar de grau n, pode ser mostrado 
que as soluções linearmente independentes são 
 
1 1 1 12 1, , ,...,m x m m x m xke xe x e x e
 
 
e a solução geral tem de conter a combinação linear 
 
1 1 1 12 1
1 2 3 ,...,
m x m m x m xk
kc e c xe c x e c x e
 