Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Equações Diferenciais e Séries Professor Hans Aula 7: Equações Lineares Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes - Teoria Equações Lineares Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes Uma equação do tipo 1 1 1 0... ' ( ) n n n na y a y a y a y g x em que ia , 0,1,...,i n são constantes reais com ( ) 0g x , é chamada de Equações Lineares Não-Homogêneas com Coeficientes Constantes. Solução Geral das Equações Não- Homogêneas A solução geral da equação é uma soma da solução geral da equação homogênea associada com uma solução particular da equação dada. h py y y onde py é uma solução particular da equação dada e hy , a solução geral da homogênea associada. Determinação da Solução Particular por Tentativas Caso I Nenhuma função da suposta solução particular é uma solução para a equação diferencial homogênea associada. Tentativas para Soluções Particulares ( )g x py Qualquer constante A 5 7x Ax B 23 2x 2Ax Bx C 3 1x x 3 2Ax Bx Cx D 4sen x cos4 4A x Bsen x cos4x cos4 4A x Bsen x 5xe 5xAe 5(9 2) xx e 5( ) xAx B e 2 5xx e 2 5( ) xAx Bx C e 3 4xe sen x 3 3cos4 4x xAe x Be sen x 25 4x sen x 2 2( )cos4 ( ) 4Ax Bx C x Dx Ex F sen x 3 cos4xxe x 3 3( ) cos4 ( ) 4x xAx B e x Cx B e sen x Caso II Uma função na solução particular escolhida é também uma solução para a equação diferencial homogênea associada. Suponha que ( )g x consista de m termos do tipo dado na tabela e suponha ainda que a suposição usual para uma solução particular seja 1 2 ...p p p pmy y y y em que os piy , 1,2,...,i m , são as formas de soluções particulares tentadas correspondentes a esses termos. Sob essa circunstância descrita, temos: Se piy contém termos que duplicam termos em Cy , então, esta piy tem de ser multiplicada por nx , em que n é o menor inteiro positivo que elimina essa duplicação. 2 Determinação da Solução Particular por Anuladores A equação diferencial ( ) ( )L y g x tem coeficientes constantes e a função consiste em somas e produtos finitos de constantes, funções polinomiais, funções exponenciais, senos e cossenos. 1) Encontre a solução hy da equação homogênea ( ) 0L y . 2) Opere em ambos os lados da equação não-homogênea ( ) ( )L y g x com um operador diferencial 1L , que anula a função ( )g x . 3) Encontre a solução geral da equação homogênea de maior ordem 1 ( ) 0L L y . 4) Desconsidere todos os termos da solução encontrada no item anterior que estão duplicados na solução hy . Forme uma combinação linear py dos termos restantes. Essa é a forma de uma solução particular para ( ) ( )L y g x . 5) Substitua a py encontrada na equação ( ) ( )L y g x . Agrupe os coeficientes das funções em cada lado da igualdade e resolva o sistema resultante de equações para os coeficientes indeterminados em py . 6) Com a solução particular encontrada, forme a solução geral h py y y . Método de Variação dos Parâmetros Para resolver uma equação do tipo '' ' 2 1 0 ( )a y a y a y g x , primeiro encontre a função complementar 1 1 2 2cy c y c y e então calcule o Wronskiano 1 2 1 2' ' y y W y y Dividindo por 2a , colocamos a equação na forma '' ' ( )y Py Qy f x para determinar ( )f x . Encontramos 1u e 2u integrando 1 1 ' W u W e 2 2 ' W u W Em que 1W e 2W estão definidos como 2 1 2 0 ( ) ' y W f x y e 1 2 1 0 ' ( ) y W y f x com uma solução particular 1 1 2 2py u y u y , a solução geral será c py y y .
Compartilhar