Aula 8 - Transformada de Laplace - Teoria

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 8: Transformada de Laplace - Teoria 
 
Transformada de Laplace 
Seja f uma função definida por 
0t 
. Então a 
integral 
 
0
( ) ( )stL f t e f t dt

 
 
É chamada de transformada de Laplace de f, desde 
que a integral convirja. 
 
Transformada Inversa de Laplace 
Dada uma função 
( )F s
 e seja 
( )f t
 cuja transformada 
de Laplace seja 
( )F s
, dizemos então que 
( )f t
 é a 
transformada de Laplace inversa de 
( )F s
 e 
escrevemos 
 1( ) ( )f t L F s
 
 
essa transformada é linear, isto é, para constantes 

 e 

: 
     1 1 1( ) ( ) ( ) ( )L F s G s L F s L G s        
em que F e G são as transformadas das funções f e g. 
 
Primeiro Teorema da Translação 
Se a é um número real, então 
 
 ( ) ( )atL e f t F s a 
 
 
em que 
 ( ) ( )F s L f t
 
 
Função Degrau Unitário 
A função 
( )U t a
 é definida por 
 
0, 0
( )
1,
t a
U t a
t a
  
  

 
 
Segundo Teorema da Translação 
Se a é uma constante positiva, então 
 ( ) ( ) ( )asL f t a U t a e F s  
 
em que 
 ( ) ( )F s L f t
 
 
e na forma inversa temos 
 1( ) ( ) ( )asf t a U t a L e F s   
 
 
Derivadas de Transformadas 
Para 
1,2,3,...n 
 
 ( ) ( 1) ( )
n
n n
n
d
L t f t F s
ds
 
 
em que 
 ( ) ( )F s L f t
. 
 
Transformada de uma Derivada 
Se 
( )f t
,
'( )f t
,...,
( 1) ( )nf t
 forem contínuas em 
[0, )
, de ordem exponencial, e se 
( )nf t
 for contínua 
por partes em 
[0, )
, então 
 
  1 2 ( 1)( ) ( ) (0) '(0) ... (0)n n n n nL f t s F s s f s f f      
em que 
 ( ) ( )F s L f t
. 
 
Teorema da Convolução 
Sejam 
( )f t
 e 
( )g t
 funções contínuas por partes 
em 
[0, )
 e de ordem exponencial, então 
 
     * ( ) ( ) ( ) ( )L f g L f t L g t F s G s 
 
 
Na forma inversa, temos 
 
 1 ( ) ( ) *L F s G s f g 
 
 
Transformada de uma Função Periódica 
Seja 
( )f t
 contínua por partes em 
[0, )
 e de 
ordem exponencial. Se 
( )f t
 for periódica de período 
T, então 
 
0
1
( ) ( )
1
T
st
sT
L f t e f t dt
e



 
 
Resolução de Equações Diferenciais com 
Coeficientes Constantes 
Seja a equação diferencial 
 
1
1 1 01
... ( )
n n
n nn n
d y d y dy
a a a a y g t
dt dt dt

 
    
 
 
Aplicando o teorema da linearidade, temos: 
 
1 1 2 2
0 0 1 0 0... ] [ ... ... ( )
n n n n
n na s y y a s y y G s
   

       