Aula 9 - Séries de Taylor, Maclaurin e Fourier - Exercícios

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 9: Séries de Taylor, Maclaurin e Fourier - Exercícios 
 
1) Faça a expansão em série de Taylor solicitada: 
 
a) 
( ) xf x e
 até terceira ordem com 
0a 
. 
b) 
 
2
( ) 2f x x

 
 até terceira ordem com 
0a 
. 
c) 
3( )f x x
 até segunda ordem com 
8a 
. 
d) 
( )f x senx
 até quinta ordem com 
0a 
. 
e) 
 
1
2( ) 1f x x

 
 até terceira ordem com 
0a 
. 
 
2) Mostre que a equação 
 
 
2 2 2
( ) 1
2
Q Z
E r
R Z R 
 
  
 
 
 
 
para o campo de um disco carregado, em pontos sobre 
seu eixo, reduz-se ao campo de uma carga pontual 
2
( )
4
Q
E r
Z

 para 
Z R
. 
Sugestão: use a expansão 
1
2 2
2
1
R
Z

 
 
 
 até a primeira 
ordem. 
 
 
 
3) Calcule a série de Fourier de f (x) no intervalo 
dado: 
 
a) 0, 0
( )
1,0
x
f x
x


  
 
 
 
 
b) 1, 1 0
( )
,0 1
x
f x
x x
  
 
 
 
 
c)
( )f x x  
, 
x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (Onda Quadrada) Escreva a série de Fourier que 
descreve a onda quadrada abaixo com 
x   
 até 
n = 7. 
 
1,
2 2
( )
0,
2
se x
f x
se x
 


  
 
 

 
 
Gabarito 
1) 
a) 2 3
( ) 1
2 6
x x
f x x   
 b) 2 31 3
( )
4 4 16 8
x x x
f x    
 
c)    28 8
( ) 2
12 288
x x
f x
 
  
d) 3 5
( )
6 120
x x
f x x  
 
e) 2 33 5
( ) 1
2 8 16
x x x
f x    
 
 
2) Demonstração 
 
3) 
a)  
1
1 11 1
( ) n
2
n
n
f x sen x
n


 
  
 
b)  
2 2
1
1 13 1
( ) cos n
4
n
n
f x n x sen x
n n
  


   
   
  

 
c)   1
1
1
( ) 2 n
n
n
f x sen x
n





  
 
4)
1 2 2 2 2
( ) cos cos3 cos5 cos7
2 3 5 7
f x x x x x       