Aula 9 - Séries de Taylor, Maclaurin e Fourier - Teoria

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Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 9: Séries de Taylor, Maclaurin e Fourier - Teoria 
 
Série de Taylor 
Seja f uma função com derivadas de todas as 
ordens em algum intervalo contendo a como um 
ponto interior. Então, a série de Taylor gerada por f 
em x = a é 
 
...)(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()()(
!
)( )(2
0
)(



n
n
k
k
k
ax
n
af
ax
af
axafafax
k
af
 
Série de Maclaurin 
A série de Maclaurin gerada por f é 
 




0
)(
2
)(
...,
!
)0(
...
!2
)0´´(
)0´()0(
!
)0(
k
n
n
k
k
x
n
f
x
f
xffx
k
f
 
a série de Taylor gerada por f em a = 0. 
 
Polinômio de Taylor de Ordem n 
Seja f uma função com derivadas de ordem k 
para k = 1, 2, ..., N em algum intervalo contendo a 
como um ponto interior. Então, para algum inteiro n 
de 0 a N, o polinômio de Taylor de ordem n gerado 
por f em x = a é o polinômio 
.)(
!
)(
...)(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()()(
)()(
2 n
n
k
k
n ax
n
af
ax
k
af
ax
af
axafafxP 
 
Resto de um Polinômio de Taylor 
Precisamos de uma medida da precisão na 
aproximação do valor de uma função f(x) por seu 
polinômio de Taylor Pn(x). Podemos usar a idéia de 
um resto Rn(x) definido por 
)()()( xRxPxf nn 
 
O valor absoluto 
)()()( xPxfxR nn 
 é 
chamado de erro associado à aproximação. 
 
Teorema de Taylor 
Se f for derivável até a ordem n + 1 em um 
intervalo aberto I contendo a, então para cada x em I 
existe um número c entre x e a tal que 
 
),()(
!
)(
...)(
!2
)´´(
))(´()()( )(
)(
2 xRax
n
af
ax
af
axafafxf n
n
n

onde 
.)(
)1(
)(
)( 1
)1(




 n
n
n ax
n
cf
xR
 
 
 
Teorema da Estimativa do Resto 
Se existirem constantes positivas M e r tais que 
1)1( )(   nn Mrtf
 para todo t entre a e x, inclusive, 
então o resto Rn(x) no Teorema de Taylor satisfará a 
desigualdade 
.
)!1(
)(
11




n
axr
MxR
nn
n
 
 
Se essas condições forem válidas para todo n e 
todas as outras condições do Teorema de Taylor 
forem satisfeitas por f, então a série convergirá para 
f(x). 
 
Combinando Séries de Taylor 
Na interseção dos seus intervalos de 
convergência, as séries de Taylor podem ser somadas, 
subtraídas e multiplicadas por constantes e potências 
de x, e os resultados são novamente séries de Taylor. 
A série de Taylor para f(x) + g(x) é a soma da série de 
Taylor para f(x) e a série de Taylor para g(x) porque a 
enésima derivada de f + g é f
(n)
 + g
(n)
 e assim por 
diante. 
Podemos obter a série de Maclaurin para (1 + 
cos 2x) / 2 substituindo 2x na série de Maclaurin para 
cos x, adicionando 1 e dividindo o resultado por 2. A 
série de Maclaurin para sen x + cos x é a soma termo 
a termo da série para sen x e cos x. Obtemos a série 
de Maclaurin para x sen x pela multiplicação de todos 
os termos da série de Maclaurin de sen x por x. 
 
Séries de Fourier 
A série de Fourier de uma função f(x) definida 
no intervalo –p < x < p é 
 
0
1
( ) cos sen .
2
n n
n
a n x n x
f x a b
p p
 

 
   
 

 
 
0
1
( ) .
p
p
a f x dx
p 
 
 
1
( )cos .
p
n
p
n x
a f x dx
p p


 
 
1
( )sen .
p
n
p
n x
b f x dx
p p


 