Mecânica Quântica
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L = T \u2212 U = T \u2212 q\u3c6+ q
c
~v. ~A (436)
descreve o movimento de uma part´\u131cula sob a ac¸a\u2dco da forc¸a ~F . Aqui, como
de costume, T representa a energia cine´tica. De fato,
\u2202L
\u2202x
= \u2212q\u2202\u3c6
\u2202x
+
\u2202
\u2202x
(
q
c
~v. ~A)
\u2202L
\u2202x\u2d9
\u2261 \u2202L
\u2202vx
=
\u2202T
\u2202vx
+
q
c
Ax
d
dt
\u2202L
\u2202vx
=
d
dt
(
\u2202T
\u2202vx
) +
q
c
dAx
dt
Logo, a equac¸a\u2dco de Lagrange, \u2202L
\u2202x
\u2212 d
dt
\u2202L
\u2202vx
= 0, da´
\u2212q\u2202\u3c6
\u2202x
+
\u2202
\u2202x
(
q
c
~v. ~A) =
d
dt
(
\u2202T
\u2202vx
) +
q
c
dAx
dt
22No caso improva´vel de isto na\u2dco ser bem sabido por um aluno do CCM, a´\u131 vai:
d ~A
dt
=
\u2202 ~A
\u2202t
+
\u2202 ~A
\u2202x
dx
dt
+ . . .
ou seja,
d ~A
dt
=
\u2202 ~A
\u2202t
+ (~vx
\u2202
\u2202x
+ . . .) ~A
etc.
99
de modo que
d
dt
(
\u2202T
\u2202vx
) = q{\u2212~\u2207(\u3c6\u2212 1
c
~v. ~A)\u2212 1
c
d ~A
dt
}x
Mas
\u2202T
\u2202vx
=
\u2202
\u2202vx
(
1
2
m~v2) = mvx
de maneira que
d
dt
(
\u2202T
\u2202vx
) = (m~\u2d9v)x .
Logo,
m~\u2d9v = q{\u2212~\u2207(\u3c6\u2212 1
c
~v. ~A)\u2212 1
c
d ~A
dt
} (437)
Conclusa\u2dco: L = T\u2212q\u3c6+ q
c
~v. ~A. Passemos agora a` construc¸a\u2dco do hamiltoniano.
pi =
\u2202L
\u2202q\u2d9i
=
\u2202T
\u2202q\u2d9i
+
q
c
\u2202
\u2202q\u2d9i
(~v. ~A)
\u2202
\u2202q\u2d9i
(~v. ~A) = Ai
e, enta\u2dco,
pi =
\u2202T
\u2202q\u2d9i
+
q
c
Ai
Precisamos agora de uma propriedade importante das func¸o\u2dces homoge\u2c6neas,
o teorema de Euler (ver Ape\u2c6ndice):
\u2211
i
q\u2d9i
\u2202T
\u2202q\u2d9i
= 2T
Vamos usa´-lo para calcular o Hamiltoniano H :
H =
\u2211
i
q\u2d9i(
\u2202T
\u2202q\u2d9i
+
q
c
Ai)\u2212 T + q\u3c6\u2212 q
c
~v. ~A
= 2T +
q
c
~v. ~A\u2212 T + q\u3c6\u2212 q
c
~v. ~A (438)
ou seja,
H = T + q\u3c6 (439)
Ora, pi =
\u2202T
\u2202q\u2d9i
+ q
c
~Ai = m~v +
q
c
~A, pois T = m~v
2
2
. Logo,
m~v = ~p\u2212 q
c
~A
100
e, finalmente,
H =
1
2m
(~p\u2212 q
c
~A)2 + q\u3c6 (440)
Em palavras, no Hamiltoniano livre
H =
1
2m
~p2
substituo ~p por ~p\u2212 q
c
~A, e adiciono q\u3c6. Esta e´ a chamada substituic¸a\u2dco m\u131´nima,
ou acoplamento m\u131´nimo. Se o hamiltoniano for mais geral, do tipo
H =
1
2m
~p2 + V (~r)
onde V (~r) e´ a energia potencial, a mesma regra vale. Adicione-se q\u3a6 e
substitua-se ~p por ~p \u2212 q
c
~A. Se houver va´rias part´\u131culas, de momento s ~pi,
fac¸a-se a mesma substituic¸a\u2dco para cada ~pi, adicionando-se termos de energia
potencial qi\u3c6 para cada part´\u131cula. Essas generalizac¸o\u2dces sa\u2dco fa´ceis de demon-
strar, seguindo exatamente o padra\u2dco do caso de uma part´\u131cula livre.
101
20.3.1 Ape\u2c6ndice: O teorema de Euler
Uma func¸a\u2dco f(x1, x2, ..., xn) e´ dita homoge\u2c6nea de grau k se
f(\u3bbx1, \u3bbx2, ..., \u3bbxn) = \u3bb
kf(x1, x2, ..., xn) (441)
Por exemplo, f(x, y) = xy e´ homoge\u2c6nea de grau 2;f(x, y, z) = x2y + 3z2x+
5xyz e´ homoge\u2c6nea de grau 3.
O teorema de Euler diz que, se f e´ uma func¸a\u2dco homoge\u2c6nea de grau k,
enta\u2dco \u2211
i
xi
\u2202f
\u2202xi
= kf (442)
A demonstrac¸a\u2dco e´ muito simples. Derive a Eq. 441 em relac¸a\u2dco a \u3bb, e depois
tome \u3bb = 1.
20.4 Acoplamento do spin com o campo magne´tico
Seja
H\u2c6 =
~p2
2m
+ V (~r) (443)
o hamiltoniano de uma part´\u131cula de spin 1/2 e carga e. Note-se que
(~\u3c3.~p)(~\u3c3.~p) = ~p.~p+ i~\u3c3.(~p× ~p) = ~p.~p (444)
de maneira que o hamiltoniano acima pode tambe´m ser escrito
H\u2c6 =
(~\u3c3.~p)(~\u3c3.~p)
2m
+ V (~r) (445)
O acoplamento m\u131´nimo, estudado no para´grafo anterior, consiste na substi-
tuic¸a\u2dco de ~p por ~p\u2212 e
c
~A, onde ~A e´ o potencial vetor do campo eletromagne´tico
que age sobre a pert´\u131cula. Ora, se se realiza essa substituic¸a\u2dco em (443) ou
em (445), obte\u2c6m-se resultados diferentes. Verifica-se que os resultados corre-
tos sa\u2dco obtidos usando-se o hamiltoniano em (445). Fica claro neste ponto,
enta\u2dco, que o acoplamento do spin com o campo eletromagne´tico que vamos
introduzir tem um cara´ter emp´\u131rico. E´ so´ quando se utiliza a equac¸a\u2dco de
Dirac para descrever o spin do ele´tron que se obte´m, diretamente da teoria
e sem a necessidade de fazer escolhas, um acoplamento definido (que corre-
sponde a`quele que, aqui, foi escolhido por razo\u2dces emp´\u131ricas).
Devemos, enta\u2dco, descrever as interac¸o\u2dces eletromagne´ticas da part´\u131cula
usando o hamiltoniano
H\u2c6em =
1
2m
{[
~\u3c3.
(
~p\u2212 e
c
~A
)] [
~\u3c3.
(
~p\u2212 e
c
~A
)]}
+ V (~r) + e\u3c6 (446)
102
Como estamos interessados no campo magne´tico, vamos ignorar o u´ltimo
termo. Consideremos o termo
[
~\u3c3.
(
~p\u2212 e
c
~A
)]
.
[
~\u3c3.
(
~p\u2212 e
c
~A
)]
. Temos
[
~\u3c3.
(
~p\u2212 e
c
~A
)]
.
[
~\u3c3.
(
~p\u2212 e
c
~A
)]
=
= (~\u3c3.~p)(~\u3c3.~p)\u2212 e
c
(~\u3c3.~p)(~\u3c3. ~A)\u2212 e
c
(~\u3c3. ~A)(~\u3c3.~p) +
+
e2
c2
(~\u3c3. ~A)(~\u3c3. ~A) =
= ~p2 \u2212 e
c
(
~p. ~A + i~\u3c3.(~p× ~A)
)
\u2212 e
c
(
( ~A.~p) + i~\u3c3.( ~A× ~p)
)
+
+
e2
c2
~A. ~A (447)
Mas, [
(~p. ~A) + ( ~A.~p)
]
\u3c8 = \u2212ih¯~\u2207.( ~A\u3c8)\u2212 ih¯ ~A.~\u2207\u3c8
= \u2212ih¯(~\u2207. ~A)\u3c8 \u2212 ih¯ ~A.~\u2207\u3c8 \u2212 ih¯ ~A.~\u2207\u3c8 (448)
Escolhendo o gauge em que ~\u2207. ~A = 0, temos[
(~p. ~A) + ( ~A.~p)
]
\u3c8 = \u22122ih¯ ~A.~\u2207\u3c8 (449)
ou, [
(~p. ~A) + ( ~A.~p)
]
= 2 ~A.~p (450)
Temos ainda
~\u3c3.
[
~p× ~A+ ~A× ~p
]
\u3c8 =
= ~\u3c3.
[
\u2212ih¯~\u2207× ( ~A\u3c8) + ~A× (\u2212ih¯~\u2207\u3c8)
]
= ~\u3c3.
[
\u2212ih¯
(
(rot ~A)\u3c8 \u2212 ~A× ~\u2207\u3c8
)
\u2212 ih¯ ~A× ~\u2207\u3c8
]
= \u2212ih¯~\u3c3.
[
~B\u3c8
]
= \u2212ih¯~\u3c3. ~B\u3c8 (451)
Reunindo tudo, temos
[
~\u3c3.
(
~p\u2212 e
c
~A
)] [
~\u3c3.
(
~p\u2212 e
c
~A
)]
= ~p2 \u2212 2e
c
~A.~p\u2212 eh¯
c
~\u3c3. ~B +
e2
c2
~A2 (452)
O hamiltoniano H\u2c6em e´ obtido dividindo isso por 2m:
H\u2c6em =
~p2
2m
\u2212 e
mc
~A.~p\u2212 h¯e
2mc
~\u3c3. ~B (453)
103
Para o caso de um campo uniforme, temos
~A =
1
2
( ~B × ~r) (454)
como o leitor verificara´ facilmente. Resulta enta\u2dco que
H\u2c6em =
~p2
2m
\u2212 e
2mc
~B.(~r × ~p)\u2212 h¯e
2mc
~\u3c3. ~B (455)
Finalmente, usando ~L = ~r × ~p e ~s = h¯~\u3c3
2
, temos
H\u2c6em =
~p2
2m
\u2212 e
2mc
~L. ~B \u2212 e
mc
~s. ~B (456)
Ha´ ainda, e´ claro, o termo e
2
c2
~A2, que omitimos porque, no tratamento per-
turbativo, representa uma correc¸a\u2dco de ordem superior a`s que usualmente se
calcula.
21 As desigualdades de Heisenberg
Nesta sec¸a\u2dco vamos apresentar um tratamento formal do princ´\u131pio da in-
certeza, e deduzir as famosas desigualdades de Heisenberg. A mais famosa
delas e´:
\u2206pi\u2206qj \u2265 h¯\u3b4ij (457)
Em todo espac¸o dotado de um produto escalar, vale a desigualdade de
Cauchy-Schwartz, que diz que
|(\u3c8, \u3c6)|2 \u2264 |\u3c8|2|\u3c6|2 (458)
ou, mais explicitamente,
(\u222b
dq\u3c8\u2217(q)\u3c6(q)
)2
\u2264
\u222b
dq\u3c8\u2217(q)\u3c8(q)
\u222b
dq\u2032\u3c6\u2217(q\u2032)\u3c6(q\u2032) (459)
Seja O\u2c6 um operador hermiteano, e \u3c8 um estado do sistema. Considere o
operador
O\u2c6 \u2212 \u3008O\u2c6\u30091\u2c6
onde
\u3008O\u2c6\u3009 = (\u3c8, O\u2c6\u3c8) =
\u222b
dq\u3c8\u2217(q)O\u2c6\u3c8(q)
Chama-se desvio padra\u2dco de O\u2c6 no estado \u3c8 o nu´mero
(\u2206O)2 = \u3008(O\u2c6 \u2212 \u3008O\u2c6\u3009)2\u3009 (460)
104
Entre os f´\u131sicos, \u2206O e´ denominada incerteza de O\u2c6 no estado \u3c8. Sejam A\u2c6 e
B\u2c6 operadores hermiteanos, e
\u3c8A = (A\u2c6\u2212 \u3008A\u2c6\u3009)\u3c8 (461)
\u3c8B = (B\u2c6 \u2212 \u3008B\u2c6\u3009)\u3c8 (462)
dois estados.
E´ imediato verificar que
(\u2206A)2 = (\u3c8A, \u3c8A) (463)
(\u2206B)2 = (\u3c8B, \u3c8B) (464)
Pela desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos
\u2016\u3c8A\u20162\u2016\u3c8B\u20162 \u2265 |(\u3c8A, \u3c8B)|2 (465)
Por outro lado, para qualquer complexo z, temos
|z|2 = (\u2111(z))2 + (\u211c(z))2 \u2265 (\u2111(z))2 =
(
1
2i
(z \u2212 z\u2217)
)2
Logo,
|(\u3c8A, \u3c8B)|2 \u2265
(
1
2i
[(\u3c8A, \u3c8B)\u2212 (\u3c8B, \u3c8A)]
)2
Ora,
(\u3c8A, \u3c8B) =
(
(A\u2c6\u2212 \u3008A\u2c6\u3009)\u3c8, (B\u2c6 \u2212 \u3008B\u2c6\u3009)\u3c8
)
= (\u3c8, A\u2c6B\u2c6\u3c8)\u2212 \u3008B\u2c6\u3009(\u3c8, A\u2c6\u3c8)\u2212 A\u2c6(\u3c8, B\u2c6\u3c8) + \u3008A\u2c6\u3009\u3008B\u2c6\u3009
Segue imediatamente que
(\u3c8A, \u3c8B)\u2212 (\u3c8B, \u3c8A) =
(
\u3c8, [A\u2c6, B\u2c6]\u3c8
)
(466)
e, da Eq.(465), que
\u2016\u3c8A\u20162\u2016\u3c8B\u20162 \u2265
(
1
2i
\u3008[A\u2c6, B\u2c6]\u3009
)2
(467)
ou, em notac¸a\u2dco mais familiar,
(\u2206A)2(\u2206B)2 \u2265
(
1
2i
\u3008[A\u2c6, B\u2c6]\u3009
)2
(468)
que sa\u2dco as relac¸o\u2dces de incerteza de Heisenberg.
Exemplo: seja A\u2c6 = p\u2c6x, e B\u2c6 = x\u2c6. Enta\u2dco,
(\u2206px)
2(\u2206x)2 \u2265
(
1
2i
\u3008\u2212ih¯\u3009
)2
105
(\u2206px)
2(\u2206x)2 \u2265 h¯
2
4
e, finalmente,
\u2206px\u2206x \u2265 h¯
2
Exerc´\u131cio: determine \u2206px e \u2206x para o estado fundamental do a´tomo de hidroge\u2c6nio.
Mostre que:
(a) \u2206px =
h¯\u221a
3a0
.
(b)\u2206x =
\u221a
2a0.
(c) \u2206px\u2206x =
2
3 h¯
(d)