Mecânica Quântica
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cnm\u3c8
(0)
m =
\u2211
m
(
\u3b4nm + c
(1)
nm
)
\u3c8(0)m (498)
ou, usando os resultados ja´ obtidos,
\u3c8n = \u3c8
(0)
n +
\u2211
m
c(1)nm\u3c8
(0)
m
= \u3c8(0)n \u2212
\u2211
m6=n
Vmn
E
(0)
m \u2212 E(0)n
\u3c8(0)m + c
(1)
nn\u3c8
(0)
n (499)
111
ou
\u3c8n =
(
1 + c(1)nn
)
\u3c8(0)n \u2212
\u2211
m6=n
Vmn
E
(0)
m \u2212 E(0)n
\u3c8(0)m (500)
Impondo que \u3c8n seja normalizada a menos de termos de segunda ordem,
temos \u222b
dq\u3c8
\u2217
n(q)\u3c8n(q) =
\u222b
dq
{(
1 + c
(1)\u2217
nn
)
\u3c8
(0)\u2217
n \u2212
\u2211
m 6=n
V \u2217mn
E
(0)
m \u2212 E
(0)
n
\u3c8
(0)\u2217
m
}{(
1 + c
(1)
nn
)
\u3c8
(0)
n \u2212
\u2211
m 6=n
Vmn
E
(0)
m \u2212 E
(0)
n
\u3c8
(0)
m
}
=
\u222b
dq\u3c8
(0)\u2217
n \u3c8
(0)
n +
\u222b
dq
(
c
(1)\u2217
nn + c
(1)
nn
)
\u3c8
(0)\u2217
n \u3c8
(0)
n
= 1 +
(
c
(1)\u2217
nn + c
(1)
nn
)
= 1
Logo,
c(1)\u2217nn + c
(1)
nn = 0 (501)
ou
cnn(1) = i\u3b1 (502)
onde \u3b1 e´ um nu´mero real. Assim, o primeiro termo de (500) e´
\u3c8n = (1 + i\u3b1)\u3c8
(0)
n + . . . (503)
que, nesta ordem, e´ indistingu´\u131vel de
\u3c8n = e
i\u3b1\u3c8(0)n + . . . (504)
Ou seja, o termo c(1)nn so´ contribui para uma mudanc¸a de fase de \u3c8
(0)
n , que, de
qualquer forma, e´ definido a menos de uma fase. Logo, podemos legitima-
mente por c(1)nn = 0. Os resultados enta\u2dco sa\u2dco, ate´ primeira ordem
24,
\u3c8n = \u3c8
(0)
n \u2212
\u2211
m6=n
Vmn
E
(0)
m \u2212 E(0)n
\u3c8(0)m (505)
24O leitor arguto estara´ perguntando: mas eu posso mudar a fase so´ do \u3c8
(0)
n ? A mudanc¸a
de fase permitida na\u2dco e´ uma mudanc¸a de fase simulta\u2c6nea para todos os estados? Na\u2dco,
leitor arguto. Um mesmo estado e´ descrito pela classe de todos os vetores de mo´dulo 1
que diferem apenas por uma fase constant. No entanto, por curiosidade, vamos mostrar
que, neste caso, a mudanc¸a de fase pode ser vista como uma mudanc¸a geral de fase.
Examinemos a Eq.(505) em maior detalhe. O resultado obtido, para c
(1)
nn = i\u3b1, e´
\u3c8n = (1 + i\u3b1)\u3c8
(0)
n \u2212
\u2211
m 6=n
Vmn
E
(0)
m \u2212 E(0)n
\u3c8(0)m
Mas, ate´ primeira ordem, isto e´ o mesmo que
\u3c8n = (1 + i\u3b1)
\uf8eb
\uf8ed\u3c8(0)n \u2212 \u2211
m 6=n
Vmn
E
(0)
m \u2212 E(0)n
\u3c8(0)m
\uf8f6
\uf8f8
112
En = E
(0)
n + Vnn (506)
22.2 Exemplo trivial: Oscilador Harmo\u2c6nico com per-
turbac¸a\u2dco linear
Seja H\u2c60 = ~p
2/(2m) o hamiltoniano na\u2dco-perturbado, e
H\u2c6 =
~p2
2m
+ 1/2(k +\u2206k)x2
o hamiltoniano perturbado. Neste caso o problema de autovalores de H\u2c6 , o
hamiltoniano perturbado, pode ser resolvido exatamente, pois e´ essencial-
mente igual a H\u2c60, com um diferente valor de k. De fato, seus autovalores
sa\u2dco
En = h¯(\u3c9 +\u2206\u3c9)(n+ 1/2) (507)
com
\u3c9 +\u2206\u3c9 =
\u221a
k +\u2206k
m
(508)
E´ feita, adicionalmente, a hipo´tese de que
\u2206k
k
\u226a 1
de maneira que
\u3c9 +\u2206\u3c9 =
\u221a
k
m
(
1 +
\u2206k
k
) 1
2
\u2248 \u3c9
(
1 +
\u2206k
2k
)
(509)
onde usamos o resultado de Newton (sim, Sir Isaac!):
(1 + x)\u3b1 \u2248 1 + \u3b1x , (510)
para |x| \u226a 1.
Logo, podemos escrever
En = h¯\u3c9
(
1 +
\u2206k
2k
)(
n+
1
2
)
(511)
pois os termos \u2211
m 6=n
i\u3b1
Vmn
E
(0)
m \u2212 E(0)n
\u3c8(0)m
sa\u2dco de segunda ordem!
113
e, portanto,
En = E
(0)
n
(
1 +
\u2206k
2k
)
(512)
e, finalmente, lembrando que E(0)n = h¯(n+ 1/2),
E(1)n = E
(0)
n
\u2206k
2k
. (513)
Para o estado fundamental,
E
(1)
0 =
h¯\u3c9
2
\u2206k
2k
(514)
Vaos agora obter este mesmo resultado usando o formalismo perturbativo 25.
Na notac¸a\u2dco perturbativa, temos, para o estado fundamental de H\u2c60,
\u3c80(x) =
(
m\u3c9
\u3c0h¯
) 1
4
e\u2212
m\u3c9x2
2h¯ (515)
e
V =
1
2
\u2206k x2 (516)
Temos
V00 =
1
2
(
m\u3c9
\u3c0h¯
) 1
2
\u222b \u221e
\u2212\u221e
dx x2e\u2212
m\u3c9x2
h¯ =
h¯\u2206k
4
\u221a
mk
(517)
Logo,
E
(1)
0 =
h¯\u3c9
4k
\u2206k =
h¯\u2206k
4
\u221a
mk
(518)
que coincide com (514).
22.3 Correc¸o\u2dces de segunda ordem
Voltemos a` Eq.(488):
cnkE
(0)
k +
\u2211
m
Vkm = Encnk (519)
e escrevamos a expansa\u2dco de \u3c8n nas func¸o\u2dces de onda na\u2dco-perturbadas ate´
segunda ordem:
\u3c8n =
\u2211
m
(
\u3b4nm + c
(1)
nm + c
(2)
nm
)
\u3c8(0)m (520)
25Sim, leitor arguto. E´ redundante! Mas, didaticamente, e´ u´til, porque e´ simples, e e´
um caso em ue se pode verificar o resultado.
114
Analogamente, para as correc¸o\u2dces a` energia , teremos:
En = E
(0)
n + E
(1)
n + E
(2)
n (521)
Usando (520) e (521) em (519), temos
(
\u3b4nk + c
(1)
nk + c
(2)
nk
)
E
(0)
k +
\u2211
m
(
\u3b4nm + c
(1)
nm + c
(2)
nm
)
Vkm =
=
(
E(0)n + E
(1)
n + E
(2)
n
) (
\u3b4nk + c
(1)
nk + c
(2)
nk
)
(522)
Igualando os termos de ordem zero:
\u3b4nkE
(0)
k = \u3b4nkE
(0)
n (523)
Igualando os de ordem um:
c
(1)
nkE
(0)
k + Vkn = c
(1)
nkE
(0)
n + E
(1)
n \u3b4nk (524)
E os de ordem 2:
c
(2)
nkE
(0)
k +
\u2211
m
c(1)nmVkm = c
(2)
nkE
(0)
m + c
(1)
nkE
(1)
n + \u3b4nkE
(2)
n (525)
As relac¸o\u2dces de ordem zero e um ja´ foram exploradas. Vamos a`s de ordem 2.
Para n = k, temos, lembrando que c(1)nn = 0,\u2211
m6=n
c(1)nmVnm = E
(2)
n (526)
ou
E(2)n = \u2212
\u2211
m6=n
VmnVnm
E
(0)
m \u2212E(0)n
(527)
e, lembrando que Vnm = V
\u2217
mn,
E(2)n =
\u2211
m6=n
|Vmn|2
E
(0)
n \u2212E(0)m
(528)
23 Perturbac¸o\u2dces de um n´\u131vel degenerado
Recomendamos ao leitor, neste ponto, a leitura do Ape\u2c6ndice Matema´tico
1, que se encontra no fim destas notas.
Vimos que o n´\u131vel En do a´tomo de hidroge\u2c6nio tem uma degeneresce\u2c6ncia
de ordem n2. Isto e´, existem n2 estados diferentes do a´tomo de hidroge\u2c6nio
com energia En (se contarmos o spin, sera\u2dco 2n
2). Quando se aplica um
115
campo externo ao a´tomo, pode acontecer de esses estados interagirem de
maneira diferente com o campo, e enta\u2dco a degeneresce\u2c6ncia e´ quebrada: em
lugar de um n´\u131vel passaremos a ter va´rios, possivelmente ate´ 2n2, se o campo
externo for suficientemente complicado. Diz-se, enta\u2dco, que a degeneresce\u2c6ncia
foi removida.
Na\u2dco podemos aplicar cegamente os resultados obtidos ate´ aqui pelo seguinte
motivo: a correc¸a\u2dco de primeira ordem a` func¸a\u2dco de onda na\u2dco-perturbada que
obtivemos,
\u3c8n = \u3c8
(0)
n \u2212
\u2211
m6=n
Vmn
E
(0)
m \u2212E(0)n
\u3c8(0)m (529)
conte´m, no caso de n´\u131veis degenerados, situac¸o\u2dces em que E(0)m = E
(0)
n , para
n 6= m, ou seja, na fo´rmula acima, apareceriam denominadores nulos.
23.1 Reobtendo as fo´rmulas gerais
Para obter as correc¸o\u2dces correspondentes para n´\u131veis degenerados, precisamos
de uma adaptac¸a\u2dco do me´todo anterior a esta nova situac¸a\u2dco. Para evitar um
excesso de \u131´ndices, vamos reobter as fo´rmulas ba´sicas sob forma ligeiramente
diferente.
Seja H\u2c6 o hamiltoniano perturbado, e vamos escreve\u2c6-lo em uma se´rie de
pote\u2c6ncias de um para\u2c6metro pequeno, \u3bb, desta forma[10]:
H\u2c6 = H\u2c6(0) + \u3bbH\u2c6(1) + \u3bb2H\u2c6(2) + . . . (530)
Note-se que, no nosso tratamento anterior, o termo H\u2c6(1) era denotado por V\u2c6 , e os demais, H\u2c6(2), H\u2c6(3), etc, eram omitidos.
Aqui sa\u2dco inclu´\u131dos mais por razo\u2dces este´ticas do que por real utilidade. E´ claro que o H\u2c6(0) daqui e´ o H\u2c60 do tratamento
anterior.
Seja \u3c6 a func¸a\u2dco de onda perturbada, que queremos calcular. Sera´ escrita
tambe´m como uma se´rie de pote\u2c6ncias em \u3bb:
\u3c6 = \u3c6(0) + \u3bb\u3c6(1) + \u3bb2\u3c6(2) + . . . (531)
e tambe´m para a energia se escrevera´
E = E(0) + \u3bbE(1) + \u3bb2E(2) + . . . (532)
A equac¸a\u2dco de Schro¨dinger para as quantidades perturbadas e´
(H\u2c6 \u2212 E)\u3c6 = 0 (533)
que, pelo uso das expanso\u2dces acima, se escreve{\u2211
n
\u3bbn
(
H\u2c6(n) \u2212E(n)
)}{\u2211
m
\u3bbm\u3c6(m)
}
= 0 (534)
116
ou, por extenso,{(
H\u2c6(0) \u2212 E(0)
)
+ \u3bb
(
H\u2c6(1) \u2212 E(1)
)
+ \u3bb2
(
H\u2c6(2) \u2212 E(2)
)
+ . . .
}
×{
\u3c6(0) + \u3bb\u3c6(1) + \u3bb2\u3c6(2) + . . .
}
= 0 (535)
Igualando a zero os coeficientes da va´rias pote\u2c6ncias de \u3bb, temos(
H\u2c6(0) \u2212E(0)
)
\u3c6(0) = 0 (536)(
H\u2c6(0) \u2212E(0)
)
\u3c6(1) +
(
H\u2c6(1) \u2212 E(1)
)
\u3c6(0) = 0 (537)(
H\u2c6(0) \u2212E(0)
)
\u3c6(2) +
(
H\u2c6(1) \u2212 E(1)
)
\u3c6(1) +
(
H\u2c6(2) \u2212 E(2)
)
\u3c6(0)