Mecânica Quântica
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anula no
ponto sela. Apo´s um ca´lculo simples, obte´m-se:
f(t) =
2
3
i
\u221a
|x|+ 1
2
(
t2 \u2212 2it
\u221a
|x| \u2212 |x|
)(
\u22122i
x
\u221a
|x|
)
(982)
Usando t = u+ iv,
f(t) =
\u221a
|x|
x
(
2uv \u2212 2u
\u221a
|x|
)
+ i
\uf8eb
\uf8ed2
3
\u221a
|x| \u2212
\u221a
|x|
x
(
u2 \u2212 v2 + 2v
\u221a
|x|+ x
)\uf8f6\uf8f8
(983)
Segue que
Re f(t) =
\u221a
|x|
x
2u
(
v \u2212
\u221a
|x|
)
(984)
e
Im f(t) =
2
3
\u221a
|x| \u2212
\u221a
|x|
x
(
u2 \u2212 v2 + 2v
\u221a
|x|+ x
)
(985)
216
ou
Im f(t) = \u22121
3
\u221a
|x| \u2212
\u221a
|x|
x
(
u2 \u2212 v2
)
+ 2v (986)
Ao longo da reta v = u+
\u221a
|x| temos Im f(t) = const., logo, este e´ o primeiro
trecho do caminho, aquele que passa pelo ponto sela t = i
\u221a
|x|.
Considerac¸o\u2dces inteiramente ana´logas levam a` conclusa\u2dco que o segundo
trecho do contorno e´ a reta v = \u2212u+
\u221a
|x|, ou, mais precisamente, o segmento
que comec¸a no eixo real, em
\u221a
|x| e vai a v = \u2212\u221e. Assim, o contorno de
integrac¸a\u2dco adequado para o comportamento assinto´tico para x negativo e de
grande mo´dulo e´ o que esta´ representado na figura abaixo.
i
\u221a
|x|
\u2212i
\u221a
|x|
Contorno para o ca´lculo do comportamento
assinto´tico para x negativo, de grande
mo´dulo.
A contribuic¸a\u2dco do trecho superior do contorno a` integral e´:
\u222b
C1
e
x
(
t\u2212 t3
3x
)
dt =
\u221a
2
2
\u222b \u2212\u221e
\u221a
|x|
due\u2212i
\u3c0
4 e
x
(
\u22122
\u221a
|x|
x
u2
)
e\u2212ix
2
3
\u221a
|x| (987)
=
\u221a
2
2
e\u2212i
2
3
x
\u221a
|x|\u2212i\u3c0
4
\u222b \u2212\u221e
\u221a
|x|
due\u22122
\u221a
|x|u2 (988)
= \u2212
\u221a
|x|
2
e
\u2212i
(
2
3
x
\u221a
|x|+\u3c0
4
)\u221a\u221a\u221a\u221a \u3c0\u221a
|x|
(989)
= \u2212
\u221a
2\u3c0
2|x| 14 e
\u2212i
(
2
3
x
\u221a
|x|+\u3c0
4
)
(990)
217
Alguma a´lgebra elementar leva este resultado a` forma:
i
\u221a
2\u3c0
2|\u3be| 14 e
i
(
2
3
\u3be
3
2+\u3c0
4
)
(991)
onde pusemos x = \u2212\u3be. A contribuic¸a\u2dco do outro trecho e´ perfeitamente
ana´loga, dando como resultado
\u2212i
\u221a
2\u3c0
2|\u3be| 14 e
\u2212i
(
2
3
\u3be
3
2+\u3c0
4
)
(992)
Somando as duas, temos
\u3a8(\u3be) =
A
\u3be
1
4
sin
(
2
3
\u3be
3
2 +
\u3c0
4
)
(993)
Vamos nos deter agora um pouco na interpretac¸a\u2dco f´\u131sica do resultado, com-
parando a soluc¸a\u2dco com a soluc¸a\u2dco cla´ssica para o mesmo problema. E´ pre-
ciso ressaltar que o que calculamos foram as func¸o\u2dces de onda dos estados
estaciona´rios de um corpo sob a ac¸a\u2dco de uma forc¸a constante (queda livre,
por exemplo). Classicamente nunca, ou raramente, estudamos estados esta-
ciona´rios, o que torna a comparac¸a\u2dco entre os resultados mais dificil. Para
realizar estados estaciona´rios em queda livre na meca\u2c6nica cla´ssica, temos que
recorrer a um conjunto de muitas part´\u131culas. Um bom modelo de queda
livre em estado estaciona´rio na meca\u2c6nica cla´ssica e´ uma cachoeira sem tur-
bule\u2c6ncia, um lenc¸ol homoge\u2c6neo de a´gua em queda livre. Cada gota de a´gua
estara´ em movimento, mas o conjunto de todas as gotas forma uma figura
que, no conjunto, parece imo´vel. Vamos mostrar que a soluc¸a\u2dco qua\u2c6ntica que
obtivemos possui algo em comum com a soluc¸a\u2dco cla´ssica. Isto e´ mais fa´cil de
ver usando-se a expressa\u2dco assinto´tica da Eq.(993).
De fato, usando a Eq.(993) temos que
|\u3a8(\u3be)|2 = |A|2
sin2
(
2
3
\u3be
3
2 + \u3c0
4
)
\u221a
\u3be
(994)
O sistema cla´ssico correspondente e´ uma part´\u131cula de massa m em queda
livre (ou, antes, uma enorme quantidade delas). A conservac¸a\u2dco da energia
da´
mv2
2
\u2212mgx = E (995)
de onde se tira
v =
2
m
\u221a
E +mgx (996)
218
e, portanto,
1
v
\u223c 1\u221a
x
(997)
Para o sistema cla´ssico, a probabilidade de se encontrar a part´\u131cula em torno
de uma posic¸a\u2dco x e´ inversamente proporcional a` velocidade dela naquela
posic¸a\u2dco, pois e´ diretamente proporcional ao tempo que a part´\u131cula em torno
da posic¸a\u2dco. Quanticamente esta probabilidade e´ dada por |\u3a8(x)|2. Compara-
ndo a Eq.(994) com a Eq.(997), vemos que a depende\u2c6ncia em 1
x
comparece
nas duas.
35.4 Ape\u2c6ndice do ape\u2c6ndice: O Me´todo do Ponto Sela
Seja
g(x) =
\u222b
C
exf(z)dz (998)
onde C e´ um contorno aberto com a propriedade de que Re (f(z)) tenda
a \u2212\u221e em ambas as suas extremidades. A partir de agora escreveremos o
nu´mero complexo f(z) assim, decomposto em sua parte real e imagina´ria:
f(z) = fR(z) + ifI(z) (999)
Consideremos valores positivos e grandes de x. Como
exf(z) = exfR(z)eixfI(z)
e |eixfI(z)| = 1, o mo´dulo do integrando na Eq.(998) e´ dado por exfR(z).
Esta func¸a\u2dco, para um dado x, varia de um valor ma´ximo, atingido quando
fR(z) e´ ma´ximo, ate´ zero, pelo menos nos extremos. Para x > 0 e muito
grande, temos um \u201cpico\u201d muito elevado, de onde o valor da integral cai
rapidamente para o \u201cvale\u201d (regia\u2dco de baixos valores). Ale´m disso, podemos
utilizar a possibilidade de deformar o contorno, para fazer com que ele fique
\u201ca maior parte do tempo\u201d nos vales, subindo ao pico pelo caminho mais
\u131´ngreme. Desta maneira, apenas uma pequena parte do contorno contribuira´
efetivamente para a integral. O me´todo do ponto sela e´ isto: achar o contorno
mais \u131´ngreme, passando pelo pico. Note que sa\u2dco os valores muito grandes de
x que acentuam essas propriedades extremas. Logo, o me´todo se presta para
calcular valores assinto´ticos.
A determinac¸a\u2dco do caminho mais \u131´ngreme passando pelo pico pode ser
feita assim: considere as curvas de n´\u131vel de fR(z), ou seja, as curvas ao
longo das quais fR(z) e´ constante. O que procuramos sa\u2dco as curvas que
cortem essas curvas de n´\u131vel ortogonalmente: sa\u2dco estas as que \u201csobem mais
rapidamente\u201d. Ora, essas curvas sa\u2dco, como se sabe da teoria de func¸o\u2dces
219
anal´\u131ticas de uma varia´vel complexa, as curvas ao longo das quais fI(z) e´
constante. Logo, temos de achar a curva dessa fam\u131´lia que passa pelo \u201cpico\u201d.
No \u201cpico\u201d (que e´ o ponto sela) temos d
dz
fR(z) = 0. Vimos agora que, pelo
caminho escolhido, fI(z) e´ constante, e, portanto,
d
dz
fI(z) = 0. Logo, o ponto
sela satisfaz a equac¸a\u2dco complexa
df(z)
dz
= 0 (1000)
Seja z0 o ponto em que essa equac¸a\u2dco e´ satisfeita (pode haver va´rios). Ex-
pandindo a func¸a\u2dco em torno desse ponto, temos
f(z) = f(z0) + (z \u2212 z0)
(
df
dz
)
z0
+
(z \u2212 z0)2
2!
(
d2f
dz2
)
z0
(1001)
mais termos de ordem superior. A derivada primeira e´ nula, por definic¸a\u2dco de
ponto sela. Logo, temos, para a parte real do integrando,
exf(z) = exf(z0)e
(z\u2212z0)
2
2
(
d2f
dz2
)
z0 (1002)
com
(
d2f
dz2
)
z0
> 0, ao longo do contorno, por ser um ma´ximo de fR(z). Logo,
\u222b
C
exf(z)dz = exf(z0)
\u222b
C
e\u2212|
d2f
dz2
|z0
(z\u2212z0)
2
2 dz (1003)
que, em geral, por ser a integral de uma gaussiana, pode ser calculada facil-
mente.
35.4.1 Exemplo simples
Considere a func¸a\u2dco
g(\u3b1) =
\u222b
C
e
\u2212\u3b1(z2+ 1
z2+a2
)
dz (1004)
onde o contorno C, ilustrado na figura, comec¸a e termina no eixo real, em
\u2212\u221e e \u221e, respectivamente.
220
C
iab
A func¸a\u2dco e´ da forma \u222b
C
e\u3b1f(z)dz
com f(z) dada por
f(z) = \u2212z2 \u2212 1
z2 + a2
(1005)
Um ca´lculo simples mostra que
fR(z) = \u2212x2 + y2 \u2212 x
2 \u2212 y2 + a2
(x2 \u2212 y2 + a2)2 + 4x2y2 (1006)
enquanto que
fI(z) = \u22122xy
(
1\u2212 1
(x2 \u2212 y2 + a2)2 + 4x2y2
)
(1007)
Como a integral converge, ja´ que fR(z) tende a zero para x
2 tendendo a
infinito com y limitado, as singularidades de g(\u3b1) sa\u2dco as singularidades do
integrando. A func¸a\u2dco f(z) tem polos em z = ±ia. O contorno C esta´ entre
ia e o eixo real. Logo, podemos deforma´-lo a vontade nessa regia\u2dco.
O ponto sela e´ determinado pela equac¸a\u2dco
df
dz
= 0 (1008)
ou seja,
2z(1\u2212 1
(z2 + a2)2
) = 0 (1009)
que tem a soluc¸a\u2dco
z = 0 (1010)
221
A derivada segunda de f(z) e´
d2f
dz2
= \u22122 + 2
(z2 + a2)2
\u2212 8z
2
(z2 + a2)3
(1011)
e, no ponto sela, tem o valor(
d2f
dz2
)
0
= \u22122
(
1\u2212 1
a4
)
(1012)
A fam\u131´lia de curvas fI(z) = cte. e´ muito complicada. No entanto, para a
curva