Mecânica Quântica
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~R
R2
(1052)
A curvatura e´, enta\u2dco, um vetor, cujo mo´dulo e´
K =
1
R
A curvatura do c´\u131rculo e´ tanto maior quanto menor o raio, o que mostra que
a definic¸a\u2dco acompanha a ide´ia intuitiva.
Voltemos ao caso geral. Como o vetor tangente ~s tem mo´dulo 142, de ~s.~s = 1
segue que
~s.
d~s
ds
= 0 (1053)
42Pois ~s = d~r
ds
, temos que ~s.~s = d~r
ds
.d~r
ds
= ds
2
ds2
= 1 onde usamos que d~r.d~r = ds2
228
ou seja, d~s
ds
e´ perpendicular a ~s. Logo,d~s
ds
pode ser escrito na forma
d~s
ds
= ~A× ~s (1054)
onde ~A e´ um vetor a determinar43De fato, considere o vetor
~A = a rot~s (1055)
onde a e´ uma constante. Temos d~s
ds
= a rot~s× ~s e
(
d~s
ds
)i =
d~si
ds
=
\u2202si
\u2202xl
dxl
ds
=
\u2202si
\u2202xl
sl = (\u2202lsi)s
l (1056)
enquanto
(rot~s× ~s)i = \u1ebijk(rot~s)j~sk = \u1ebijk\u1ebjlm(\u2202lsm)sk
= (\u3b4kl\u3b4im \u2212 \u3b4km\u3b4il)(\u2202lsm)sk = (\u2202lsi)sl \u2212 (\u2202isk)sk
e o u´ltimo termo e´ nulo, pois (\u2202isk)sk =
1
2
\u2202i(~s)
2, e ~s.~s = 1. Consequ¨ente-
mente,
d~s
ds
= rot~s× ~s (1057)
Ate´ agora falamos genericamente de curvas. Consideremos agora curvas que
sejam raios de luz. Como vimos anteriormente, os raios de luz sa\u2dco ortogonais
a`s superf´\u131cies S = cte., ou seja, te\u2c6m, em cada ponto dessas superf´\u131cies, a
direc¸a\u2dco de ~\u2207S. Em s´\u131mbolos,
~s =
1
n
~\u2207S (1058)
Da´\u131 decorre que
rot(n~s) = 0 (1059)
onde usamos o fato conhecido rot grad = 0. Da Eq.(1059) segue que
nrot~s+ ~\u2207n× ~s = 0
rot~s =
1
n
(~s× ~\u2207n)
e, portanto, que
d~s
ds
=
1
n
(~s× ~\u2207n)× ~s
n
d~s
ds
= (~s× ~\u2207n)× ~s
= (~s.~s)~\u2207n\u2212 (~s.~\u2207n)~s
43Em outras palavras, existe um vetor ~A tal que a Eq.(1054) e´ satisfeita.
229
e, finalmente,
n ~K = ~\u2207n\u2212 (~s.~\u2207n)~s (1060)
onde ~K e´ o vetor curvatura do raio. Uma consequ¨e\u2c6ncia imediata da Eq.(1060)
e´ que em meios homoge\u2c6neos (n constante) a curvatura e´ nula, e os raios sa\u2dco
retas. Uma outra aplicac¸a\u2dco e´ a seguinte: quando o Sol esta´ muito baixo,
no nascente ou no poente, os raios que atingem um observador sa\u2dco aprox-
imadamente horizontais. O \u131´ndice de refrac¸a\u2dco da atmosfera diminui com a
altitude, logo ~\u2207n aponta para o centro da Terra, ou seja, e´ vertical. Enta\u2dco, na
Eq.(1060), o segundo termo do segundo membro e´ muito pequeno. Conclui-
230
se que a curvatura desses raios e´ paralela a ~\u2207n, apontando para o centro da
Terra. Os raios, isto e´, se curvam para baixo. Em consequ¨e\u2c6ncia, o obser-
vador, que interpreta sempre o raio como uma reta, \u201cve\u2c6\u201d o Sol mais alto do
que esta´ na realidade. De fato, isto explica por que se ve\u2c6 o Sol ainda um
pouco depois de ele ter se posto.
Curvatura de um raio de luz
36.8 Lentes esfe´ricas
No tratamento elementar da o´tica geome´trica obte´m-se, por constrc¸o\u2dces geome´tricas
utilizando a lei de Snell-Descartes, a equac¸a\u2dco
1
a
+
1
b
=
1
f
(1061)
sendo a a dista\u2c6ncia do objeto a` lente (supostamente de espessura desprez´\u131\u131vel),
b a dista\u2c6ncia da imagem a` lente, e f a dista\u2c6ncia focal da lente, que e´ dada
por
1
f
= (n\u2212 1)( 1
R1
+
1
R2
)
sendo n o \u131´\u131ndice de refrac¸a\u2dco do vidro, R1 e R2 os raios das superf´\u131\u131cies
esfe´ricas da lente. O significado de f pode ser obtido facilmente da Eq.(1061):
tomando-se a =\u221e, tem-se
1
b
=
1
f
(1062)
que mostra ser f a dista\u2c6ncia a que se forma a imagem quando o objeto esta´
no infinito. Na Eq.(1061) a lente e´ suposta de espessura zero, e a dista\u2c6ncia
a` lente e´ confundida com a dista\u2c6ncia ao centro da lente.
231
A F
Fig.1
d
B
Vamos tratar esse problema com o uso da equac¸a\u2dco do eikonal. Na\u2dco havera´
qualquer dificuldade em tratar o caso de lentes espessas, e o caminho estara´
aberto tambe´m para o tratamento de lentes cujas faces na\u2dco sejam superf´\u131cies
esfe´ricas. O ponto P da figura designa a posic¸a\u2dco do objeto, de coordenadas
x = 0, y = 0 e z = 0. O eixo z e´ a direc¸a\u2dco de incide\u2c6ncia: e´ a reta que une P
ao centro da lente, O.
a
P
Fig.2
T
O
Um raio partido de P e incidente sobre a lente, encontra-a no ponto T ,
pertencente a uma superf´\u131cie esfe´rica de raio R1 (a primeira face da lente).
O centro dessa superf´\u131cie esfe´rica esta´ no ponto de coordenadas x = 0, y = 0,
z = a+R1. As coordenadas de T sa\u2dco x = 0, y = 0, z = a. Um ponto vizinho
a` lente tem coordenada z = a+ \u3b6 , com |a| \u226b |\u3b6 |
As ondas esfe´ricas emitidas de P te\u2c6m o eikonal
s = nr = n
\u221a
x2 + y2 + z2 (1063)
com n = 1 (regia\u2dco externa a` lente), ou seja, mais explicitamente,
s =
\u221a
x2 + y2 + z2 (1064)
Perto da primeira face da lente o eikonal e´
S =
\u221a
x2 + y2 + (a+ \u3b6)2
232
Restringindo-nos a pequenas aberturas, basta considerar valores pequenos de
x e y. Enta\u2dco,
S =
\u221a
(a+ \u3b6)2 + x2 + y2 =
\u221a\u221a\u221a\u221a(a+ \u3b6)2(1 + x2 + y2
(a+ \u3b6)2
) (1065)
= (a+ \u3b6)
\u221a\u221a\u221a\u221a1 + x2 + y2
(a+ \u3b6)2
\u2248 (a + \u3b6)(1 + x
2 + y2
2(a + \u3b6)2
)
ou seja,
S = a + \u3b6 +
x2 + y2
2a
(1066)
A equac¸a\u2dco da superf´\u131cie da primeira face da lente e´
x2 + y2 + (z \u2212 a\u2212 R1)2 = R21 (1067)
Podemos agora resolver o problema da primeira refrac¸a\u2dco na lente.
233
36.9 A primeira refrac¸a\u2dco
Q P
a
Fig.3
T
r
A figura mostra um raio saindo de P e incidindo sobre a lente, e o raio
refratado (que existe so´ dentro da lente). Prolongando-se o raio refratado ate´
que atinja o eixo da lente, determina-se o ponto Q1. Esse raio, TQ1, existiria
se a propagac¸a\u2dco se desse num meio homoge\u2c6neo de \u131´ndice de refrac¸a\u2dco igual ao
da lente, n. O eikonal do raio refratado e´, enta\u2dco,
S = n
\u221a
x2 + y2 + (z \u2212 a + r)2 (1068)
pois as coordenadas de Q1 sa\u2dco x = 0, y = 0, z = \u2212(r \u2212 a). Para pontos
pro´ximos a` primeira face da lente temos z = a+ \u3b6 , com |a| \u226b |\u3b6 |. Enta\u2dco,
S = n
\u221a
x2 + y2 + (r + \u3b6)2 (1069)
ou, aproximadamente,
S = n(r + \u3b6 +
x2 + y2
2r
) + S0 (1070)
onde S0 e´ uma constante. Em geral essa constante aditiva e´ desnecessa´ria,
embora esteja sempre presente, ja´ que, sendo a equac¸a\u2dco do eikonal uma
equac¸a\u2dco para ~\u2207S, se um S e´ soluc¸a\u2dco, S + S0 tambe´m o sera´, S0 sendo
uma constante arbitra´ria. Neste problema que estamos estudando, impore-
mos a continuidade do eikonal numa determinada superf´\u131cie, e, para isso ser
poss´\u131vel, e´ necessa´rio incluir o S0.
A condic¸a\u2dco de contorno e´ que o eikonal (a fase!) varie continuamente ao
atravessar a face da lente. Se isto na\u2dco lhe parece intuitivo, note que e´ sob
essa condic¸a\u2dco que se obte´m a lei de Snell-Descartes para a refrac¸a\u2dco numa
superf´\u131cie plana, o que pode ser considerado uma \u201cverificac¸a\u2dco experimental\u201d
do fato. Para pequenas aberturas os pontos que satisfazem a Eq.(1067) da
superf´\u131cie sa\u2dco tais que
x2 + y2 + (\u3b6 \u2212 R1)2 = R21 (1071)
234
ou, como R1 \u226b |\u3b6 |,
x2 + y2 +R21(1\u2212
\u3b6
R1
)2 = R21 (1072)
ou ainda,
\u3b6 =
x2 + y2
2R1
(1073)
Devemos ter a coincide\u2c6ncia dos dois eikonais sobre a superf´\u131cie da lente.
Enta\u2dco,
{a+ \u3b6 + x
2 + y2
2a
}Sup = {n(r + \u3b6 + x
2 + y2
2r
) + S0}Sup (1074)
que leva a
a+
x2 + y2
2R1
+
x2 + y2
2a
= nr + S0 + n
x2 + y2
2R1
+ n
x2 + y2
2r
(1075)
ou seja,
S0 + nr = a (1076)
e
1
2R1
+
1
2a
=
n
2R1
+
n
2r
(1077)
ou ainda
n\u2212 1
R1
=
1
a
\u2212 n
r
(1078)
Esta equc¸a\u2dco resolve o problema da refrac¸a\u2dco por um dioptro esfe´rico.
36.10 A segunda refrac¸a\u2dco
Q P
a
Fig.4
C B
T
b
r
A equac¸a\u2dco da segunda face, se R2 e´ o seu raio e C o seu centro, e´
(x\u2212 xC)2 + (y \u2212 yC)2 + (z \u2212 zC)2 = R22 (1079)
235
ou
x2 + y2 + (z \u2212 (R2 \u2212 a\u2212 d))2 = R22 (1080)
Para pontos pro´ximos a` segunda face, temos
z = a+ d+ \u3b6
com |\u3b6 | \u226a |a+ d|. Enta\u2dco,
x2 + y2 + (a+ d+ \u3b6 = (a+ d\u2212R2))2 = R22 (1081)
ou
x2 + y2 + (\u3b6 +R2)
2 = R22 (1082)
e, usando o fato de que |\u3b6 | e´ pequeno,
x2 + y2 +R22(1 +
2\u3b6
R2
)2 = R22 (1083)
e, finalmente,
x2 + y2 + 2\u3b6R2 = 0 (1084)
que podemos