Teoria Cinética dos Gases

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
ENGENHARIA ELETRÔNICA
THAYLINE VALÉRIO DA SILVA
TEORIA CINÉTICA DOS GASES
TOLEDO
NOVEMBRO, 2013
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THAYLINE VALÉRIO DA SILVA
TEORIA CINÉTICA DOS GASES
Trabalho apresentado
como parte da avaliação da       
disciplina de Física 2 no curso de           
Engenharia Eletrônica na   
Universidade Tecnológica Federal   
do Paraná.
TOLEDO
NOVEMBRO, 2013
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Sumário
Introdução……………………………………………………………………………….. 4
Teoria Cinética dos Gases……………………………………………………………. 5
Interpretação Molecular da Pressão de um Gás Ideal………………………………. 5
Interpretação Molecular da Temperatura de um Gás Ideal…………………………...6
Distribuição de Velocidades Moleculares……………………………………………..8
Conclusão…………………………………………………………………………….....10
Referências Bibliográficas…………………………………………………………….11
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Introdução
A Teoria Cinética dos Gases é um estudo realizado principalmente por Boltzmann                     
e Maxwell, dos gases ideais num ponto de vista microscópico; com base, porém, nos                         
estudos macroscópicos e as variáveis de estado (pressão), (volume) e              P     V       T
(temperatura).
O ponto de vista microscópico é uma reanálise da lei do gás ideal ( )                          V RTP = n
para cada molécula que forma o gás. Ou seja, estabelece uma relação das grandezas                         
macroscópicas com a análise do movimento dos átomos que compõem o gás. Já que um                           
gás é formado por várias partículas, bem espaçadas, que se movimentam rapidamente e                       
a única interação entre essas partículas são as colisões que sofrem entre si. Essas                         
colisões, no entanto, podem ser desprezadas por não alterarem a quantidade de                     
movimento total do gás.
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Teoria Cinética dos Gases
O estudo da pressão e temperatura de um gás com variáveis microscópicas, diz                       
que:
● O gás é composto por inúmeras moléculas. O espaço entre cada molécula é muito                         
menor que a dimensão da partícula (infinitamente pequenas). Ou seja, o volume                     
que as partículas ocupam é insignificante. Por terem tamanhos praticamente                 
desprezíveis é que o gás tem a capacidade de expandir facilmente e da grande                         
dilatação térmica.
● As moléculas tem movimento perpétuo e aleatório. Isto é desordenado, se movem                     
para qualquer direção e com qualquer velocidade.
● A única interação que existe entre as moléculas são as colisões entre si. Elas                         
também sofrem colisões com a parede do recipiente. Essas colisões são                   
perfeitamente elásticas, fazendo com que a energia cinética total e a quantidade                     
de movimento total se conservem. As moléculas apresentam movimento retilíneo                 
uniforme (MRU).
● Todas as moléculas do gás são idênticas. Portanto, o gás é tratado como uma                         
substância pura.
Interpretação Molecular da Pressão de um Gás Ideal
O gás exerce uma pressão sobre o recipiente. Isso é consequência das colisões                       
das moléculas nas paredes. Com a taxa de variação da quantidade de movimento das                         
partículas colidindo com o recipiente, é possível calcular essa força.
Suponha um cubo de lado e uma molécula de massa com uma velocidade . A          d             m         v  
componente   da velocidade, muda de sinal quando a molécula colide com a parede.xv
      
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Pela fórmula do momento ( ), temos que o momento antes da colisão é        vQ = m                
, e o momento depois da colisão é . Com isso calculamos ax xQ = m • v                 x − xQ = m • v        
variação do momento nessa situação:   .Qx − x m x) − xΔ = m • v − ( • v = 2 • m • v
Substituindo na equação do impulso:  .Δt Qx − xF = Δ = 2 • m • v
A Força  , é a força que a parede faz na molécula no instante ( ) da colisão.F tΔ
Infere­se que para saber o intervalo de tempo para que a molécula colida uma segunda                           
vez no mesmo local, temo que:  .tΔ = vx2d
Com isso é possível saber a força que a parede exerce sobre a partícula em longo                             
intervalo de tempo (até o momento que ela colide pela segunda vez no mesmo lugar):                           
.F = d−m•vx²
Analisando o resultado e aplicando a terceira lei de Newton, a componente da                       
força que a molécula exerce sobre a parece é igual em módulo, mas com sinal oposto:                             
.F = dm•vx²
O módulo da força média total sobre a parede pelo gás é possível ser            F                
econtrada somando as componentes médias das forças   de cada molécula.F
A média da componente da velocidade elevado ao quadrado ( ) para as        x             x²v      N
moléculas, é igual a soma dos termos ( ) dividido pelo numero de termos ( ).x²v N
Analisando a equação do módulo da força média total , é a média de por                 F           x²v    N
, temos:  Nvx².F = dm
Calculando uma média de com componentes , e , pelo teorema de        ²v       x²v   y²v     z²v      
Pitágoras e tendo por base que o movimento dessa molécula é totalmente desordenado,                       
é possível que:  vx².v² = 3
Portanto, a força total sobre a parede é  .( )F = 3N dmv²
Finalmente, a pressão exercida sobre a parede (relação de uma força sobre a                       
área) é calculada: . “Esse resultado mostra que a pressão é proporcional ao      ( )( mv²)P = 32 VN 21                  
número de moléculas por unidade de volume e à energia cinética translacional média das                         
moléculas,  .” (SERWAY, Raymond, Princípios de Física, Vol. 2, 1998, p. 573).mv²  21
Com isso foi estabelecida uma conexão entre o mundo microscópico e                   
macroscópico.
Interpretação Molecular da Temperatura de um Gás Ideal
Nessa parte, é relacionado a temperatura do gás com estruturas miscroscópicas.
Analisando a equação anterior de outra forma , , e comparando com a lei              V N( mv²)P = 32 21          
do gás ideal  . Igualando as duas equações, tem­se:  .V kTP = N ( mv²)T = 23k 21
“[...]a temperatura de um gás é uma medida direta da energia cinética translacional média das                           
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moléculas.”(SERWAY, Raymond, Princípios de Física, Vol. 2, 1998, p. 574). Ou seja, a energia                         
cinética é proporcional à temperatura.
A energia cinética translacional é igual para qualquer componente de (                    v  
), e cada uma dessas componentes contribui com quantidade igual de energia.x, vy e vzv                        
Isso envolve o teorema de equipartição da energia.
Para encontrar a energia cinética translacional total do sistema, que contém                      N
moléculas, é:  .( mv²) NkT nRTE = N 21 = 23 = 23
A energia cinética é igual a energia interna. Num gás monoatômico, essa é a única                           
energia que ele possui. Portanto, a equação anterior é a mesma para essa situação.
Moléculas mais leves se deslocam mais rapidamente do que as moléculas                   
pesadas. Isso é observado pela velocidade média quadrática ( ). Portanto,                 √v²      v =√ m3•k•T
. =√ M3•R•T
Abaixo, uma tabela de algumas velocidades médias quadráticas:
Após a parte teórica da Cinética dos Gases, segue um exercício de exemplo.
Exemplo) O gás oxigênio (O⑵) tem uma massa molar de cerca de 32,0 g/mol, e o gás
hidrogênio (H⑵) tem uma massa molar de cerca de 2,00 g/mol. Calcule (a) a rapidez
(velocidade média quadrática) de uma molécula de oxigênio quando a temperatura é 300
K e (b)  rapidez de uma molécula de hidrogênio, ã mesma temperatura.
● Determinamos   usando a equação.  Por coerência de unidades,mqv mq  v =√ M3RT
usamos   e expressamos as massas molares do O⑵ e do H⑵, 14R = 8 3 /(mol )J • K
em kg/mol.
● (a) 1. Substitua na equação:
mq 83, 6 m/s  484 m/s  v =√ 0,0320 kg/mol3(8,314 J /mol∙K)(300K) = 4 5 =  
● (b) 1. Repita o cálculo com  , 0200 kg/molM = 0 0 :
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mq 934 m/s , 3 0³ m/s  v =√ 0,00200 kg/mol3(8,314 J /mol∙K)(300 K) = 1 = 1 9 × 1
● Como   é inversamente proporcional a   e a massa molar do hidrogênio émqv √M
um dezesseis avos da do oxigênio, a rapidez  do hidrogênio é quatro vezes amqv
do oxigênio. Os cálculos concordam com isto, porque  .4841930 = 4
A Distribuição de Velocidades Moleculares
É possível calcular, e já foi mostrado, a velocidade quadrádica da molécula e sua
energia cinética. Porém, é possível calcular também a distribuição dessas velocidades
das moléculas.
Utiliza­se um aparato para para medir essa distribuição:
E, para dar um exemplo, no gráfico a seguir, está plotado os valores para dois
valores de temperatura. O eixo f(v), é a distribuição de Maxwell­Boltzmann.
. Essa é a função distribuição de velocidades de(v)  ( ) v²ef =   4√π
m
2kT
2
3 −mv²
(2kT )
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Maxwell­Boltzmann.
Também é capaz saber a velocidade máxima, a qual f(v) é máximo:  .mx  v =√ M2RT
Conclusão
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Da lei de estado do gás ideal, pode­se fazer um estudo sobre a pressão, a                           
temperatura e a velocidade dos gases, tudo com grandezas macroscópicas. Com a                     
Teoria Cinética dos Gases, é possível o mesmo estudo (pressão, temperatura e                     
velocidade), mas com grandezas microscópicas.
Ficou claro que, o gás é composto por inúmeras moléculas que ocupam um                       
volume desprezível no recipiente. Essas moléculas colidem com a parede e exercem uma                       
pressão sobre o recipiente. A energia cinética e o momento das moléculas não mudam,                         
pela razão dessas colisões serem perfeitamente elásticas. A temperatura influencia na                   
velocidade dessas moléculas, a qual varia com qualquer módulo e qualquer direção e                       
sentido, ou seja, quanto maior a temperatura maior a agitação e velocidade dessas                       
partículas.
Portanto, tudo está relacionado. Num sistema com temperatura em equilíbrio, a                   
energia está dividida igualmente para todas as moléculas e suas componentes (teorema                     
de equipartição da energia).
Referências Bibliográficas
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● Raymond A. Serway / John W. Jewett, Jr. Princípios de Física: Movimento                     
Ondulatório e Termodinâmica. 3 Eͣdição. São Paulo: Cengage Learning, 2004.                   
Volume 2.
● Paul A. Tipler / Gene Mosca. Física Para Cientistas e Engenheiros: Mecânica,                     
Oscilações e Ondas, Termodinâmica. 6 Eͣdição. Rio de Janeiro: LTC ­ Livros                       
Técnicos e Científicos Editora Ltda, 2009. Volume 1.
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