Expressão Gráfica - estudo do ponto -

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Expressão Gráfica
f A ê Câ
Estudo do Ponto
Professor: Alcêu Câmara
Angicos 2012.2
Elementos de projeção
2
OBJETIVOS
- Representar um ponto no espaço em épura
- Ler a épura de um ponto
- Identificar pontos simétricos (Se der tempo, 
não obrigatório)
CONCEITO
Pode-se representar um ponto de várias 
maneiras, mas é uma entidade 
matemática sem dimensões
3
SISTEMA CILÍNDRICO OBLÍQUO
As projetantes partem do infinito e têm direção oblíqua 
em relação ao plano de projeção, isto é, formam ângulos 
diferentes de 90º
SISTEMA CILÍNDRICO ORTOGONAL
As projetantes partem do infinito e têm direção ortogonal 
em relação ao plano de projeção, isto é, formam com o 
plano um ângulo de 90º
4
A j ã ilí d i t l f i d t dA projeção cilíndrica ortogonal foi adotada 
por Gaspard Monge, para a criação do 
SISTEMA MONGEANO DE PROJEÇÃO
ESTUDO DO PONTO: O ESPAÇO
Linha de Terra
1º Diedro2º Diedro
SPHP
3º Diedro 4º Diedro
5
Veja agora como é possível determinar a forma e a posição dos 
objetos no espaço
As projeções no PLANO VERTICAL são diferentes das projeções no PLANO 
HORIZONTAL, isto faz com que os objetos fiquem melhor definidos.
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
A
)
(A)
y (A)
Afastamento
taPl d fil
A`
1º Diedro
0
z(
A
C
oPlano de perfil
A0 A
Y > 0 e Z >0
Um ponto é caracterizado numericamente pela expressão:
(P) [x; y; z], isto é, 
(P) [abscissa; afastamento; cota].
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REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
2º Diedro
Y< 0 e Z >0 (B)
y (B)
B`
0
z(
B
)
B0B
(B) [x; y<0; z>0]
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
0
(C
)
y (C)
C0C
0
3º Diedro
Y< 0 e Z <0
z
(C)
C`
(B) [x; y<0; z<0]
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REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
0
z(
D
)
y (D)
D0 D
4º Diedro
Y> 0 e Z <0
(D)
C`
(D) [x; y>0; z<0]
D´
A’ A’
REPRESENTAÇÃO DO PONTO NO PLANO BIDIMENSIONAL
SPHP ≡ SPVS 
L T
(A)
A
A0A0
A
SPHA ≡ SPVI 
Após o rebatimento obtemos a representação do ponto no 
plano por suas projeções. Esta representação é 
denominada ÉPURA.
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REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO EM ÉPURA
1º Diedro
Linha de chamada
A`
(A)
y (A)
Afastamento
A` (A)
y (A)
Afastamento
A`
0
A0
A
LT
0 X(
A)
z(
A
)
C
ot
a
Plano de perfil
A0
abs
ciss
a
A
LTLT
0 X(
A)
z(
A
)
C
ot
a
Plano de perfil
A0
abs
ciss
a
A
z > 0
y > 0
A
No 1º Diedro a cota (z > 0) é medida da LT para cima e o 
afastamento (y > 0) é medido da LT para baixo. 
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO EM ÉPURA
2º Diedro
Linha de chamada
B`
B y < 0
(B)
y (B)
B` VS(B)
y (B)
B` VS
0
B0
B
z > 0
0 X(B
)
z(
B
)
( )
B0
B
B
SP
VS
SP
HP
0 X(B
)
z(
B
)
( )
B0
B
B
SP
VS
SP
HP
LTLTLT
No 2º Diedro a cota (z > 0) e o afastamento (y < 0) são 
medidos da LT para cima 
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REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO EM ÉPURA
3º Diedro
Linha de chamada
C
y < 0
(C)
SP
VS
(C)
SP
VS
0
C0
z < 0
0
X(C)
z(
C
)
y (C)
C0
C`
CSP
HP
0
LT
0
X(C)
z(
C
)
y (C)
C0
C`
CSP
HP
0
LT
C`
No 3º Diedro a cota (z < 0) é medida da LT para baixo e o 
afastamento (y < 0) é medido da LT para cima. 
(C)
C
SP
VI
(C)
C
SP
VI
REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO EM ÉPURA
4º Diedro
Linha de chamada
y (D)
SP
VS
y (D)
SP
VS
0
D0
z < 0
0
X(D) z(
D
)
y (D)
D0
C`
D SP
HA
LT
0
X(D) z(
D
)
y (D)
D0
C`
D SP
HA
LT
D`
D y > 0
No 4º Diedro a cota (z < 0) e o afastamento (z > 0) são 
medidos da LT para baixo 
(D)
C
SP
VI
D´ (D)
C
SP
VI
D´
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DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais - um horizontal, 
um vertical
RESUMO
LINHA DE TERRA - reta determinada pela intersecção dos planos Horizontal e 
Vertical de projeção
REBATIMENTO – rotação do PH em 90º para obtenção da épura
ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, por suas projeções.
LINHAS DE CHAMADA t di l à li h d t liLINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha de terra, que liga as 
projeções horizontais e verticais de pontos
COTA – distância de um ponto ao PH
AFASTAMENTO – distância de um ponto ao PV.
- Planos bissetores ímpar (βI) e par (βP)
PLANOS BISSETORES 
(βI)
1º Diedro2º Diedro
3º Diedro
(βP) 4º Diedro
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Corte dos planos de projeção, (π) e (π’), e
β β
(βI)(βP)
Planos bissetores ímpar (βI) e par (βP)
dos planos bissetores, (βI) e (βP)
(π’s) 1º d
( )( )
(βI)2º d (βP)
1a
2a3a
4a
(π’I)
(πA)(πP)
3º d 4º d
π`π5a
6a 7a
8a
(π’) (β )
Coordenadas de pontos nos bissetores e suas
representações em ÉPURA (bissetor ímpar):
(π)
(βI)
A’
45º
(A)
A45º
C
Y(A)
Y(C)
Z(
A
)
Z(
C
)
0
A0
A’
C0
Z(
A
)
C
Y(A)
Z(
C
)
Y(C)
C’(C)
Cota e afastamento igual
Y(A) = Z (A) e Y(C) = Z(C)
As projeções são simétricas
A
C’
1º diedro 3º diedro
12
(π’)
Coordenadas de pontos nos bissetores e suas
representações em ÉPURA (bissetor par):
(π)
(βp)
B’
45º
(B)
B
D
Y(B)
Z(
D
)
Z(
B
)
0
B0
B’ ≡ B
D0
Y(D)
Y(B)
2º diedro
45º
Z(B)
Z(D)
D’ (D)
|Y(B) | = Z (B) e Y(D) = |Z(D)|
ou
Y(B) = - Z(B) e Y(D) = - Z(D)
Y(D)
As projeções são coincidentes
4º diedro
D’ ≡ D
Exercícios:
1. Representar por suas projeções (em Épura) os seguintes pontos:
1. (A) (2; 3; 1)
2. (B) (4; -4; 5)
3 (C) (6 4 2 5)
8. (Q) (16; ?; -5), situado em 
(π`)
9. (X) (18; ?; ?), situado em 3. (C) (6; -4; -2,5)
4. (D) (8; 3; -1)
5. (M) (10; 4; ?), situado em 
(π)
6. (N) (12; ?; 3,5), situado em 
(π`)
( ) ( ; ; ),
π`π
10. (Y) (20; 4; ?), situado em 
(βI)
11. (Z) (22; ?; 4), situado em 
(βP)
12. (W) (24; -5; ?), situado em 
7. (P) (14; -3; ?), situado em 
(π)
( ) ( ; ; ),
(βP)
Obs.: Utilizar uma só linha de terra;
2. Ler as épuras dos itens 1 a 12 do exercício 1. 
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SIMETRIA DE DOIS PONTOS:
Dois pontos são simétricos em relação a um plano quando o
segmento de reta que os une é ortogonal ao plano e admite um
ponto médio neste plano.
(π’)
(π)0
y
d
d
(A)
(M)
Ponto simétricos situam-se em um mesmo plano de perfil
ρ
(B)
SIMETRIA EM RELAÇÃO A (π)
(π’)
(A) A’
(π)
C’
( )
C ≡ D
Z(A)
Y(A) ≡ Y(B)
(C)
(D)
A’
Z(B)
A ≡ B
A0 ≡ B0
D’
Y(c) ≡ Y(D)
0
C’
A0 ≡ B0
A ≡ B 2º e 3º diedro
C0 ≡D0
C ≡ D
D’
As projeções horizontais são coincidentes (y(A) = Y(B)) e 
as verticais são simétricas (z(A) = -Z(B))
(B)B’
1º e 4º diedro
B’
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SIMETRIA EM RELAÇÃO A (π’)
(π’)
(A)A’(B) B’ A’ ≡ B’
C
(π)A0 ≡ B0
( )
AB
Z(A)
C
DY(A)Y(B)
C’ D’ (D)(C)
Z(B)
0
B
C0 ≡D0
A
A0 ≡ B0
C’ ≡ D’
As projeções verticais são coincidentes (Z(A) = Z(B)) e as
horizontais são simétricas (Y(A) = -Y(B))
1º e 2º diedro
D
3º e 4º diedro
SIMETRIA EM RELAÇÃO A (π’ π)
(π’)
(A)
A’ A’
B
(π)A
(B) B’
B
Z(A)
C
D
Y(A)
D’ (D)
Z(C)
d
α
α
d
Y(C) 0
C
B0 ≡D0
A
A0 ≡ C0
B’
D’
As projeções horizontais e as projeções verticais são 
simétricas (Y(A) = - Y(C) e Z(A) = -Z(C))
C’
(C) 1º e 3º diedro
A
D
2º e 4º diedro
C’
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SIMETRIA EM RELAÇÃO AO (βI)
(βI)(A)
A’
(π’)
d
A’ C
A
(π)(B)B’
B
d
d
C D
(C) C’
0 C0 ≡D0A0 ≡ B0
B’
A
D
C’
45º
As projeções de nomes contrários são simétricas 
(Y(A) = Z(B) e Y(B) = Z(A))
D’
(D)
B D’
1º diedro 3º diedro
(βP)
(A)
A’
SIMETRIA EM RELAÇÃO AO (βP)
A’ ≡ B
(B) B’
BA
D C
C’ (C) 2º diedro
4º diedroA ≡ B’ 
0
C’ ≡ D
As projeções de nomes contrários são coincidentes 
(Y(A) = - Z(B) e Y(B) = -Z(A))
D’ (D)
C ≡ D’ 
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Exercícios:
3. Determine o ponto de simetria (B) dos pontos abaixo.
1. (A) (2; 3; -4) em relação ao (π) 
2. (C) (-3; -2; 5) em relação ao (π`) 
3. (D) (-2; -1; -2) em relação ao (π`π) 
4. (E) (4; -3; -2) em relação ao (βP) 
5. (F) (3; 4; -1) em relação ao (βI) 
6. (G) (-1; -5; 1) em relação ao (π) 
Obs.: Representa a épura para cada item com o seu devido
ponto de simetria.