Distribuição Contínua de Probabilidades
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Distribuição Contínua de Probabilidades


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\u393\u123a\u73a\u123b \ud4c  \uda8
2\u7e8
\u73a
\u741\ubd1\u123e\ub6a\ub6c\u123a\ubeb\u123b\ub3f \ubd9\u123a\ubeb\u123b\u123f \u123a3\u123b
onde: 
9
10
11
12
13
14
15
16
J K L M N O P
Função INVLOG
\u3bcY 1,5
\u3c3Y 1
Probabilidade 0,4547
x 4,00 <--=INVLOG(L13;L11;L12)
x 4,00 <--=EXP(L11+L12*INV.NORMP(L13))
TMA  \u123eDISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS\u123f
 
26 Bertolo 
 
\u742\u123a\u73a\u123b \ud4c 1 \ud46 
1
12\u73a\ub36
\ud45
1
360\u73a\ub38
\ud46
1
1260\u73a\ub3a
\u123a4\u123b
A tabela 7 fornece os valores de \u393\u123aX\u123b, com base nestas relações. 
A média, a variância e o coeficiente de assimetria \u123aA\u123b da distribuição gama podem ser obtidos por: 
\u3bc \ud4c \u3b1 \u3b2 \u123a5\u123b
 
\u3c32 \ud4c \u3b1 \u3b22 \u123a6\u123b
 
\u723 \ud4c
2
\u221a\u7d9
\u123a7\u123b
 
A distribuição gama tem assimetria positiva com o parâmetro \u3b2 diminuindo e o parâmetro \u3b1 aumentando. Variando\u2010se 
\u3b2, com \u3b1 constante, muda\u2010se a escala da distribuição, enquanto variando\u2010se \u3b1, com \u3b2 constante, muda\u2010se a sua forma. 
Quando \u3b1 \ud4c 1, DISTGAMA retornará a distribuição exponencial com:  
\u7e3 \ud4c  
1
\u7da
 
Para  um  inteiro  positivo  n,  quando  \u3b1  \ud4c  n/2,  \u3b2  \ud4c  2,  e  cumulativo  \ud4c  VERDADEIRO,  a  DISTGAMA  retornará  
\u123a1 \u2010 DIST.QUI\u123ax\u123b\u123b com n graus de liberdade.  
Quando \u3b1 for um positivo inteiro, DISTGAMA também será chamada de distribuição Erlang.  
Tabela GAMA. Função gama de Y. 
Pode\u2010se concluir, com base na equação \u123a7\u123b, que, quando \u3b1 tende para infinito A \u21d2 0, ou seja, a distribuição gama, neste 
caso, tende a ser simétrica. 
As  estimativas  dos  parâmetros  \u3b2  e  \u3b1  resultam  da  solução  das  equações  \u123a5\u123b  e  \u123a6\u123b.  Mas  essas  estimativas  não  são 
adequadas, preferindo\u2010se as estimativas descritas em Thom \u123a1966\u123b: 
\u123eDISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS\u123f TMA 
 
Bertolo 27 
 
\u7d9 \ud4c  
1
4\u723
\u124c1 \ud45 \uda81 \ud45
4\u723
3
\u124d \u123a8\u123b
 
\u7da \ud4c
\u7e4
\u7d9
\u123a9\u123b
sendo 
gXXlnA \u2212= \u123a10\u123b
onde 
\u2211
=
=
N
1i
iXN
1X \u123a11\u123b
é a média aritmética e 
( )\u2211= N
1
ig XlnN
1X \u123a12\u123b
é a média geométrica das observações, ou alternativamente, segundo Greenwood e Durand \u123a1960\u123b dada por: 
\u7d9 \ud4c  
0,5000876 \ud45 0,1648852 \u73c \ud46 0,054427 \u73c\ub36
\u73c
\u123a13\u123b
quando 0 \u2264 Z \u2264 0,5772 e por 
 
 
\u7d9 \ud4c
8,898919 \ud45 9,05995 \u73c \ud46 0,9775373 \u73c\ub36
\u73c\u123a17,79728 \ud45 11,968477 \u73c \ud45 \u73c\ub36
\u123a14\u123b
quando 0,5772 \ud4f Z \ud4f 7,0, onde 
( ) gXXlnZ \u2212= \u123a15\u123b
Neste caso o parâmetro \u3b2 continua sendo calculado como na equação \u123a23\u123b. 
A função cumulativa de probabilidade é: 
\u728\u123a\u754\u123b \ud4c  
1
\u393\u123a\u7d9\u123b\u7da\uc08
\udb1 \u73a\uc08\ub3f\ub35\u741
\ub3f\ubd1\uc09\u740\u754
\ubd1
\ub34
\u123a16\u123b
Esta equação não tem solução imediata, exigindo tabelas ou técnicas de integração numérica como expansão em série e 
a fórmula de Simpson, por exemplo. A série normalmente utilizada é a seguinte: 
\u728\u123a\u7de\u123b \ud4c
\u7de\uc08
\u7d9\u393\u123a\u7d9\u123b\u741\uc0d
\u12481 \ud45
\u7de\ub35
\u7d9 \ud45 1
\ud45
\u7de\ub36
\u123a\u7d9 \ud45 1\u123b\u123a\u7d9 \ud45 2\u123b
\u1249 \ud45 \u6ae\ud45
\u7de\ub37
\u123a\u7d9 \ud45 1\u123b\u123a\u7d9 \ud45 2\u123b\u123a\u7d9 \ud45 3\u123b
\u123a17\u123b
Na equação \u123a15\u123b, fazendo\u2010se \u7de \ud4c   \ubd1
\uc09
; x\ud4c\u3b2t; dx\ud4c\u3b2dt, chega\u2010se a equação \u123a17\u123b. 
A probabilidade de ocorrer um valor de X \u2264 t é F\u123at\u123b. 
EXEMPLO 1 \u123a Projeto PAE \u2013 Bolsista: Michelle S. Reboita\u123b 
Considerem\u2010se  os  95  valores mensais  de  chuva  do mês  de  janeiro  em  Pelotas,  RS,  na  tabela  8,  cuja  distribuição  de 
freqüências é mostrada na tabela 9. 
Solução 
Considerando-se a tabela 9, tem-se: 
\u2211 =+++++++= 95124913202818f
\u2211 =×+×+×+×+×+×+×+×= 5,598.101,32511,28321,24141,19991,157131,115201,73281,3118fX  
\u7e4 \ud4c  
10.598,5
95
\ud4c 111,56 
TMA  \u123eDISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS\u123f
 
28 Bertolo 
 
\u2211 =×+×+×+×+×+×+×+×= 75,101.608.11,32511,28321,24141,19991,157131,115201,73281,3118fX 222222222  
\u7ea\ub36 \ud4c  
\ud64\u2211 \u742\u73a\ub36 \ud46 
\u123a\u2211\u742\u73a\u123b\ub36
\u2211\u742 \ud68
\u123a\u2211\u742 \ud46 1\u123b
\ud4c  
\ud641.608.101,75  \ud46 10.598,5
\ub36
95 \ud68
94
\ud4c 4.528,72 
\udcdln\u123a\u73a\u123b \u742 \ud4c 18\u754\u748\u74a\u123a31,1\u123b \ud45  28\u754\u748\u74a\u123a73,1\u123b \ud45 20\u754\u748\u74a\u123a115,1\u123b \ud45 13\u754\u748\u74a\u123a157,1\u123b \ud45 9\u754\u748\u74a\u123a199,1\u123b \ud45 4\u754\u748\u74a\u123a241,1\u123b \ud45 2\u754\u748\u74a\u123a283,1\u123b
\ud45 1\u754\u748\u74a\u123a325,1\u123b \ud4c 429,3573 
\u723 \ud4c ln\u123a111,93\u123b \ud46 
429,3573
95
\ud4c 0,19504 
Tabela 8. Chuva mensal de janeiro em Pelotas, RS, no período de 1895 a 1989. 
Ano  0  1  2  3 4 5 6 7  8  9
189...          112,6 32,1 129,9  183,1  63,4
190...  68,3  77,5  113,3  35,8 145,6 22,3 20,2 15,5  121,4  148,5
191...  203,6  117,8  81,3  50,1 197,7 132,6 130,1 72,8  86,6  23,1
192...  81,5  65,7  159,0  182,0 28,8 129,6 33,4 82,7  59,3  119,7
193...  97,0  239,6  31,5  59,0 151,7 45,7 64,5 64,5  232,0  92,4
194...  269,0  271,3  68,3  25,1 244,7 44,1 113,4 101,8  340,3  87,6
195...  10,4  84,9  62,8  144,4 160,1 22,1 210,9 58,4  162,0  134,5
196...  143,5  106,6  64,5  151,1 11,5 48,1 107,8 84,4  191,3  105,2
197...  83,9  148,1  178,1  213,9 127,0 129,8 140,1 119,7  72,5  14,7
198...  59,6  85,4  71,0  135,9 246,8 78,6 166,0 82,7  149,5  209,4
 
Tabela  9.  Distribuição  de  freqüências  dos  totais mensais  de  chuva  de  janeiro  em Pelotas  \u2013 RS.  Ajuste  à  distribuição 
gama. 
Classes  Ponto Médio \u123aX\u123b f f . X f . X2  ln\u123aX\u123b . f
10,1 \u2013 52,1  31,1  18 559,8 17.409,78  61,8697
52,1 \u2013 94,1  73,1 28 2.046,8 149.621,08  120,1712
94,1 \u2013 136,1  115,1 20 2.302,0 264.960,20  94,9160
136,1 \u2013 178,1  157,1 13 2.042,3 320.846,33  65,7395
178,1 \u2013 220,1  199,1 9 1.791,9 356.767,29  47,6443
220,1 \u2013 262,1  241,1 4 964,4 232.516,84  21,9408
262,1 \u2010 304,1  283,1 2 566,2 160.291,22  11,2916
304,1 \u2013 346,1  325,1 1 325,1 105.609,01  5,7841
Totais  \u2010 95 10.598,5 1.608.101,75  429,3573
 
\u7d9 \ud4c \ud6c
1
4
\u7540,19504\ud70 \u754 \u124e1 \ud45 \uda81 \ud45
4\u7540,19594
3
\u124f \ud4c 2,7206 
\u7da \ud4c  
111,56
2,7206
\ud4c 41,0066 
\u393\u123a\u7d9\u123b \ud4c  \u393\u123a2,7206\u123b é estimada pela equação \u123a3\u123b, na qual 
\u742\u123a\u3b1\u123b \ud4c 1 \ud46  1
12\u7542,7206\ub36
\ud45 
1
360\u7542,7206\ub38
\ud46 
1
1260\u7542,7206\ub3a
\ud4c 0,98879 
\u393\u123a\u7d9\u123b \ud4c  \uda7\ub36\uc17
\uc08
\u741\uc08\u123e\ub6a\ub6c\u123a\uc08\u123b\ub3f \ubd9\u123a\uc08\u123b\u123f \ud4c  \uda7
\ub36\uc17
\ub36,\ub3b\ub36\ub34\ub3a
\u741\ub36,\ub3b\ub36\ub34\ub3a\u123e\ub6a\ub6c\ub36,\ub3b\ub36\ub34\ub3a\ub3f \ub34,\ub3d\ub3c\ub3c\ub3b\ub3d\u123b\u123f \ud4c 1,5704 
As estimativas dos parâmetros com base nas equações \u123a5\u123b e \u123a6\u123b a fim de comparações ficam: 
\u3bc \ud4c \u3b1 \u3b2 \ud4c 2,7206 x 41,0066 \u2245 115,56 
\u3c32 \ud4c \u3b1 \u3b22 \ud4c 2,7206 x \u123a41,0066\u123b2 \ud4c 4.574,80 
\u123eDISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS\u123f TMA 
 
Bertolo 29 
 
Com os parâmetros \u3b2 e \u3b1 estimado têm\u2010se, então, a função densidade de probabilidade, na forma da equação \u123a1\u123b, 
\u742\u123a\u754; \u5df; \u7da\u123b \ud4c  
1
\u7da\uc08\u393\u123a\u7d9\u123b
\u754\uc08\ub3f\ub35\u741
\ub3f\ubeb\uc09 
\u742\u123a\u754\u123b \ud4c 2,61 . 10\ub3f\ub39 . \u73a\ub35,\ub3b\ub36\ub34\ub3a . \u741\ub3f
\ubd1
\ub38\ub35,\ub34\ub34\ub3a\ub3a 
e a função cumulativa de probabilidade \u123aequação 16\u123b será: 
F\u123a\u73a\u123b \ud4c  2,61 . 10\ub3f\ub39 \udb1 \u73a\ub35,\ub3b\ub36\ub34\ub3a\u741\ub3f
\ubd1
\ub38\ub35,\ub34\ub34\ub3a\ub3a\u740\u754
\ubeb
\ub34
 
A solução dessa equação exige o emprego de técnicas de integração numérica ou uso de tabelas específicas. Adotou\u2010se 
aqui a expansão em série na forma da equação \u123a17\u123b, cuja reprodução de todos os cálculos é praticamente impossível de 
ser apresentada aqui. Mas, considerando apenas a primeira classe da distribuição de frequências, a título de exemplo, 
tem\u2010se: 
\u7de \ud4c  
52,1
41,0066
\ud4c 1,2705 
\u728\u123a\u7de\u123b \ud4c
1,2705\ub36,\ub3b\ub36\ub34\ub3a
2,7206 .1,5704\u123b\u741\ub35,\ub36\ub3b\ub34\ub39
\u12461 \ud45
1,2705
3,7206
\ud45
1,2705\ub36
3,7206\u7544,7206
\ud45
1,2705\ub37
3,7206\u7544,7206\u7545,7206
\ud45 
1,2705\ub38
3,7206\u7544,7206\u7545,7206\u7546,7206
\ud45 
1,2705\ub39
3,7206\u7544,7206\u7545,7206\u7546,7206\u7547,7206
\ud70 
\ud4c 0,12602 \u123a1 \ud45 0,341484 \ud45 0,091909 \ud45 0,020413 \ud45 0,003859\u123b \ud4c 0,12602 x 1,4583. 
F\u123aX1\u123b \ud4c F\u123a52,1\u123b \u2245 0,1838 
Os valores de F\u123aX\u123b e as freqüências esperadas são assim calculados: 
F\u123aX1\u123b \ud4c F\u123a52,1\u123b   \ud4c 0,1838 \u21d2 fe \ud4c 17  
F\u123aX2\u123b \ud4c F\u123a94,1\u123b   \ud4c 0,4734 \u21d2 fe \ud4c 28 
F\u123aX3\u123b \ud4c F\u123a136,1\u123b \ud4c0,7052 \u21d2 fe \ud4c 22 
F\u123aX4\u123b \ud4c F\u123a178,1\u123b \ud4c0,8490 \u21d2 fe \ud4c 14 
F\u123aX5\u123b \ud4c F\u123a220,1\u123b \ud4c0,9271 \u21d2 fe \ud4c 7 
F\u123aX6\u123b \ud4c F\u123a262,1\u123b \ud4c0,9663 \u21d2 fe \ud4c 4 
F\u123aX7\u123b \ud4c F\u123a304,1\u123b \ud4c0,9849 \u21d2 fe \ud4c 2 
F\u123aX8\u123b \ud4c F\u123a346,1\u123b \ud4c0,9934 \u21d2 fe \ud4c 1 
Tabela 10. Distribuição de freqüências dos totais mensais de chuva de janeiro em Pelotas \u2013 RS, ajustados à distribuição 
gama de probabilidade. 
Classes  Ponto Médio \u123aX\u123b f F\u123aX\u123b fe 
10,1 \u2013 52,1  31,1  18 0,1838 17 
52,1 \u2013 94,1  73,1 28 0,4734 28 
94,1 \u2013 136,1  115,1 20 0,7052 22 
136,1 \u2013 178,1  157,1 13 0,8489 14