Tarefa 03 Geometria Analítica

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Geometria Analítica no IR3 / Álgebra Vetorial 
Prof. Neudson Muniz
Sistemas de Equações Lineares a Duas e Três Incógnitas. Distâncias – Superfície Esférica – Plano Tangente --Plano Secante.
Tarefa III 
1) Determinar a posição relativa dos planos α e β, nos casos: 
a) { α: x + 2y + 5z + 4 = 0
 β: 2x + 4y + 7z + 9 = 0
R: Secantes e oblíquos.
b) { α: x – 3y + 2z – 1 = 0
 β: -3x + 9y – 6z + 3 = 0
R: Coincidentes 
2) Determinar a condição sobre k e m, para que o sistema. 
{x + 2y – 2z = m não tenha solução diferente do vazio.
 2x + 4y + kz = 10
R: k = - 4; m ≠ 5
3) Determinar, se existir, o ponto de intersecção dos planos α , β e γ, nos casos: 
{ α: x + y – 2z = 4; β: 2y + z = 3/2; e γ: 2z = 3}. 
R: (7/3;0;3/2)
b) α: x + y + 2z = 0; β: x + 3y + z = -2; γ: 4x + y + z = 3
R: (1;-1;0)
4) Classificar cada sistema seguinte, em: determinado, indeterminado, ou incompatível (impossível). Justificar, em cada caso,dizendo como fica a posição relativa dos planos representados. 
a) {x + 2y + 3z = 6
 x – 3y + 4z = 2
 2x – y + 5z = 6
R: Determinado.
b) { x + y + 2z = 4
 x – 2y – z = -2
 3x – y + 2z = 4
R: Indeterminado.
c) {x + y – z = 4
 2x – y + z = -1
 4x + y – z = 10
R: Impossível.
05) Verificar a posição relativa do ponto P ao plano γ. Após, calcular a distância entre o ponto e o plano, nos casos:
a) P (4, 4,-8) e γ: 2x + y – 2z + 2 = 0
R: 10
b) P (-1, -5, 2) e γ: x + y/2+ z/3 = 1
 
R: 23/7
06) Dado o tetraedro de vértices A ( 1; 2; 1 ), B ( 2 -1; 1 ), C ( 0; -1; -1 ) e D ( 3; 1; 0 ), calcular a medida da altura baixada do vértice D ao plano da face ABC. R: 1,84 unidades de comprimento. 
 
07) Verificar a posição relativa do ponto P ( 1; 1; -1 ), à reta r: {x-y = 1; x + y – z = 0 Calcular a distância do ponto à referida reta. 
 R: 1,87 unid. compr.
 
08) Represente a perpendicular ”p” ao plano α pelo ponto P(1,2,-1), onde α: 3x – 4y – 5z + 1=0. Determinar a equação da perpendicular na forma reduzida ( variável livre z ). Após, avalie a distância do ponto ao plano medindo o segmento da perpendicular, limitado do ponto até o plano. Compare a reposta obtida com aquela que se obteria ao aplicar simplesmente a fórmula da distância de ponto a plano.												
R: equação da reta p:x=(2-3z)/5; y=(6-4z)/5. 
09) Determinar a distância da reta r: { x = 3
 y = 4
a) ao plano x0z
b) ao plano yoz
c) ao eixo oz
d) ao plano α: x+y – 12 = 0
R: a) 4
 b) 3
 c) 5
 d) 5/√2
 
10) Verifique se a equação x2 + y2 + z2 – 4x – 2y + 8z + 12 = 0 é a equação de uma superfície esférica. Caso seja, dê o centro e o raio. 
R: Sim, C (2;1;-4), R= 3
11) Verifique se a equação x2 + y2 + z2 - √3x – 4y + 8 =0 e a equação de uma superfície esférica. 
R: Não é; é a equação de um conjunto vazio.
12) Ache a equação geral da superfície esférica que passa pelos pontos (0;0;0), (1;0;0), (0;2;0) e (0;0;3)
R: x2 + y2 + z2 – x – 2y – 3z = 0 
13) Ache o raio da superfície esférica que passa pelos pontos (-2;1; √26), (1;2; -4) , (2;2;3) e cujo centro está no plano 0xy.
R: R= √26.
14) Dê a equação geral da superfície esférica S1, concêntrica com a superfície esférica S: x2 + y2 +z2 – 2x + 3y – z = 0 e que passa pelo ponto P (1; 1;0) 
R: S1: x2 + y2 + z2 – 2x + 3y – z -3 = 0
15) Localize os pontos M (1;2;1), N (-1;-1;0) e A (1;0;-1), em relação a superfície esférica S: x2 + y2 + z2 – 2x + 4y – z -1 = 0
R: {M→ exterior
 N→ interior
 Q Є S
16) Ache uma equação da superfície esférica de centro C (3;2;-2), tangente ao plano α , tal que α: x + 3y – 2z + 1 = 0
R: x2 + y2 + z2 – 6x – 4y + 4z + 3 = 0
Dê uma equação da superfície esférica tangente dos três planos coordenados, situada no 1º octante, com centro no plano 3x + 2y – z – 8 = 0.
R: x2 + y2 + z2 – 4x – 4y - 4z + 8 = 0
Ache o centro e o raio da circunferência intersecção do plano 2x – 2y – z + 9 = 0 com a superfície esférica x2 + y2 + z2 – 6x + 4y – 2z – 86 =0.
R: (-1;2;3) e 8