AP2 MD2 2015.1 GABARITO

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 24/05/2015
Questa˜o 1: (3,0pts) Para a seguinte func¸a˜o f(x) = 16−x
2
(x−2)2 fac¸a o seguinte:
a) Calcule o dom´ınio Df da func¸a˜o f(x);
b) Calcule as ass´ıntotas;
c) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x);
e) Use as informac¸o˜es obtidas acima fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f(x);
Soluc¸a˜o: a) O denominador da frac¸a˜o precisa ser 6= 0. Enta˜o x 6= 2. Dai, Df = {x ∈ R : x 6= 2}.
Precisamos calcular 4 limites:
lim
x→2+
16− x2
(x− 2)2 , limx→2−
16− x2
(x− 2)2
Observe que estes dois limites tendem ambos para +∞, uma vez que o numerador tende para 12 e
o denominador sempre tende a zero com valores positivos. Ja´ os outros dois limites temos
lim
x→±∞
16− x2
(x− 2)2 = limx→+∞
x2
x2
16/x2 − 1
1− 4/x+ 4/x2 = −1.
Portanto, temos que x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical e y = −1 uma ass´ıntota horizontal.
c) Derivando temos
f ′(x) =
−2x(x− 2)2 − (16− x2)× 2(x− 2)
(x− 2)4 =
−2x(x− 2)− 2(16− x2)
(x− 2)3
=
−2x2 + 4x− 32 + 2x2
(x− 2)3 =
4x− 32
(x− 2)3
Observe que f ′(x) = 0 ⇔ 4x − 32 = 0 ⇔ x = 8. Ale´m disso, tanto no numerador como no
denominador temos func¸o˜es que alternam o sinal. Fazendo a ana´lise do sinal obtemos Logo, f e´
crescente em (−∞, 2) ∪ (8,∞) e tem m´ınimo relativo = f(8) = −4/3.
d) Derivando mais uma vez obtemos
f ′′(x) =
4(x− 2)3 − (4x− 32)× 3(x− 2)2
(x− 2)6 =
4(x− 2)− 3(4x− 32)
(x− 2)4
=
−8(x− 11)
(x− 2)4
Da´ı tiramos que a concavidade tem boca voltada para cima em (−∞, 11) e para baixo em (11,+∞).
Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 2
e) A partir destas informac¸o˜es estamos prontos para fazer um esboc¸o do gra´fico. Iniciamos tracejando
as retas x = 2 e y = −1. Feito isto, recordemos que em ambos os lados de x = 2 a func¸a˜o vai para
o mais infinito. A func¸a˜o deve se aproximar de −1 quando vai x → −∞ e ate´ 2 e´ crescente e tem
boca voltada para cima. Para valores maiores que x = 2 deve recordar que em x = 8 a func¸a˜o tem
um m´ınimo e que a direita de x = 11 a boca volta para baixo.
Questa˜o 2 (2,5 pts) Um fabricante produz por semana x toneladas de produto R. O prec¸o de venda
e´ de p Reais por tonelada do produto e esta relacionada com x por 3p = 375− 6x, p ≥ 0. O custo
de produc¸a˜o e´ dado por C(x) = 500 + 23x+ x2 Reais. Determine x para que o lucro seja ma´ximo.
Soluc¸a˜o: Precisamos maximizar a func¸a˜o lucro L(x),
L(x) = xp(x)− C(x) = x(375− 6x
3
)− (500 + 23x+ x2) = −500 + 102x− 3x2
Derivando e igualando a zero obtemos x = 102
6
= 17. E´ claro que este e´ um ponto de ma´ximo, uma
vez que a func¸a˜o lucro e´ uma func¸a˜o de grau 2 cujo o coeficiente do termos x2 e´ negativo.
Portanto, para maximizar tome x = 17.
Questa˜o 3: (2,5pts) Calcule as seguintes integrais.
a)
∫
4x
√
2x2 + 3 dx
b)
∫ 2
1
1
x2
+ 2x dx
c)
∫
3
√
x+
√
x3 dx
Soluc¸a˜o: a) (Vamos integrar usando mudanc¸a de varia´veis) seja v = 2x2 + 3⇒ dv = 4xdx. Da´ı∫
4x
√
2x2 + 3 dx =
∫ √
u dv =
2
3
√
u3 +K =
2
3
√
(2x2 + 3)3 +K.
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Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 3
b) Integrando∫ 2
1
1
x2
+ 2x dx =
[
−1
x
+ x2
]2
1
= −1
2
+ 4− (−1
1
+ 1) = −1
2
+
8
2
=
7
2
.
c) ∫
3
√
x+
√
x3 dx =
∫
x1/3 dx+
∫
x3/2 dx =
3
4
x4/3 +
2
5
x5/2 +K.
Questa˜o 4 (2,0pts) Encontre a a´rea da regia˜o entre as curvas y = 2x e y = x2 − 4x.
Soluc¸a˜o: Comec¸amos por observar que fazer 2x = x2 − 4 nos informa os valores de x onde os
gra´ficos se encontram, resolvendo a equac¸a˜o obtemos x = 0 e x = 6. Veja o gra´fico
Vamos dividir a regia˜o que queremos calcular a a´rea em treˆs regio˜es, R1 regia˜o com 0 ≤ x ≤ 4 e
acima do eixo x regia˜o, R2 regia˜o com 0 ≤ x ≤ 4 e abaixo do eixo x regia˜o e por fim R3 regia˜o com
4 ≤ x ≤ 6 e abaixo de y = 2x e acima de y = x2 − 4x. Enta˜o temos para a regia˜o R1 a integral∫ 4
0
2x dx e para a regia˜o R2 temos −
∫ 4
0
x2 − 4x dx e para R3 temos
∫ 6
4
2x− (x2 − 4x) dx juntando
e integrando todas temos
R1 +R2 +R3 =
∫ 4
0
2x dx+ (−
∫ 4
0
x2 − 4xdx) +
∫ 6
4
2x− (x2 − 4x) dx
=
∫ 4
0
2x− x2 + 4x dx+
∫ 6
4
2x− (x2 − 4x) dx
=
∫ 6
0
−x2 + 6x dx
=
[
−1
3
x3 + 3x2
]6
0
= −1
3
63 + 3× 36 = 36.
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