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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da AP2 – Me´todos Determin´ısticos II – 24/05/2015 Questa˜o 1: (3,0pts) Para a seguinte func¸a˜o f(x) = 16−x 2 (x−2)2 fac¸a o seguinte: a) Calcule o dom´ınio Df da func¸a˜o f(x); b) Calcule as ass´ıntotas; c) Calcule e estude o sinal de f ′(x); d) Calcule e estude o sinal de f ′′(x); e) Use as informac¸o˜es obtidas acima fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f(x); Soluc¸a˜o: a) O denominador da frac¸a˜o precisa ser 6= 0. Enta˜o x 6= 2. Dai, Df = {x ∈ R : x 6= 2}. Precisamos calcular 4 limites: lim x→2+ 16− x2 (x− 2)2 , limx→2− 16− x2 (x− 2)2 Observe que estes dois limites tendem ambos para +∞, uma vez que o numerador tende para 12 e o denominador sempre tende a zero com valores positivos. Ja´ os outros dois limites temos lim x→±∞ 16− x2 (x− 2)2 = limx→+∞ x2 x2 16/x2 − 1 1− 4/x+ 4/x2 = −1. Portanto, temos que x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical e y = −1 uma ass´ıntota horizontal. c) Derivando temos f ′(x) = −2x(x− 2)2 − (16− x2)× 2(x− 2) (x− 2)4 = −2x(x− 2)− 2(16− x2) (x− 2)3 = −2x2 + 4x− 32 + 2x2 (x− 2)3 = 4x− 32 (x− 2)3 Observe que f ′(x) = 0 ⇔ 4x − 32 = 0 ⇔ x = 8. Ale´m disso, tanto no numerador como no denominador temos func¸o˜es que alternam o sinal. Fazendo a ana´lise do sinal obtemos Logo, f e´ crescente em (−∞, 2) ∪ (8,∞) e tem m´ınimo relativo = f(8) = −4/3. d) Derivando mais uma vez obtemos f ′′(x) = 4(x− 2)3 − (4x− 32)× 3(x− 2)2 (x− 2)6 = 4(x− 2)− 3(4x− 32) (x− 2)4 = −8(x− 11) (x− 2)4 Da´ı tiramos que a concavidade tem boca voltada para cima em (−∞, 11) e para baixo em (11,+∞). Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 2 e) A partir destas informac¸o˜es estamos prontos para fazer um esboc¸o do gra´fico. Iniciamos tracejando as retas x = 2 e y = −1. Feito isto, recordemos que em ambos os lados de x = 2 a func¸a˜o vai para o mais infinito. A func¸a˜o deve se aproximar de −1 quando vai x → −∞ e ate´ 2 e´ crescente e tem boca voltada para cima. Para valores maiores que x = 2 deve recordar que em x = 8 a func¸a˜o tem um m´ınimo e que a direita de x = 11 a boca volta para baixo. Questa˜o 2 (2,5 pts) Um fabricante produz por semana x toneladas de produto R. O prec¸o de venda e´ de p Reais por tonelada do produto e esta relacionada com x por 3p = 375− 6x, p ≥ 0. O custo de produc¸a˜o e´ dado por C(x) = 500 + 23x+ x2 Reais. Determine x para que o lucro seja ma´ximo. Soluc¸a˜o: Precisamos maximizar a func¸a˜o lucro L(x), L(x) = xp(x)− C(x) = x(375− 6x 3 )− (500 + 23x+ x2) = −500 + 102x− 3x2 Derivando e igualando a zero obtemos x = 102 6 = 17. E´ claro que este e´ um ponto de ma´ximo, uma vez que a func¸a˜o lucro e´ uma func¸a˜o de grau 2 cujo o coeficiente do termos x2 e´ negativo. Portanto, para maximizar tome x = 17. Questa˜o 3: (2,5pts) Calcule as seguintes integrais. a) ∫ 4x √ 2x2 + 3 dx b) ∫ 2 1 1 x2 + 2x dx c) ∫ 3 √ x+ √ x3 dx Soluc¸a˜o: a) (Vamos integrar usando mudanc¸a de varia´veis) seja v = 2x2 + 3⇒ dv = 4xdx. Da´ı∫ 4x √ 2x2 + 3 dx = ∫ √ u dv = 2 3 √ u3 +K = 2 3 √ (2x2 + 3)3 +K. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos 2 AP2 3 b) Integrando∫ 2 1 1 x2 + 2x dx = [ −1 x + x2 ]2 1 = −1 2 + 4− (−1 1 + 1) = −1 2 + 8 2 = 7 2 . c) ∫ 3 √ x+ √ x3 dx = ∫ x1/3 dx+ ∫ x3/2 dx = 3 4 x4/3 + 2 5 x5/2 +K. Questa˜o 4 (2,0pts) Encontre a a´rea da regia˜o entre as curvas y = 2x e y = x2 − 4x. Soluc¸a˜o: Comec¸amos por observar que fazer 2x = x2 − 4 nos informa os valores de x onde os gra´ficos se encontram, resolvendo a equac¸a˜o obtemos x = 0 e x = 6. Veja o gra´fico Vamos dividir a regia˜o que queremos calcular a a´rea em treˆs regio˜es, R1 regia˜o com 0 ≤ x ≤ 4 e acima do eixo x regia˜o, R2 regia˜o com 0 ≤ x ≤ 4 e abaixo do eixo x regia˜o e por fim R3 regia˜o com 4 ≤ x ≤ 6 e abaixo de y = 2x e acima de y = x2 − 4x. Enta˜o temos para a regia˜o R1 a integral∫ 4 0 2x dx e para a regia˜o R2 temos − ∫ 4 0 x2 − 4x dx e para R3 temos ∫ 6 4 2x− (x2 − 4x) dx juntando e integrando todas temos R1 +R2 +R3 = ∫ 4 0 2x dx+ (− ∫ 4 0 x2 − 4xdx) + ∫ 6 4 2x− (x2 − 4x) dx = ∫ 4 0 2x− x2 + 4x dx+ ∫ 6 4 2x− (x2 − 4x) dx = ∫ 6 0 −x2 + 6x dx = [ −1 3 x3 + 3x2 ]6 0 = −1 3 63 + 3× 36 = 36. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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