q3ad1resolucao2015-1
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DisciplinaMétodos Determinísticos2.390 materiais3.036 seguidores
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AD1 - QUESTA\u2dcO 3 - Resoluc¸a\u2dco
a) (1.1 pt) Se a fantasia de Pierro\u2c6 esta´ cara, enta\u2dco a fantasia de Colombina na\u2dco esta´ barata. Ou
a fantasia de Colombina esta´ barata ou Manoel na\u2dco usa fantasia de Pierro\u2c6. Ora, Manoel usa
fantasia de Pierro\u2c6.
i) (0.2 pt) Escreva as proposic¸o\u2dces simples envolvidas nas premissas do enunciado acima e designe
para cada uma delas uma letra diferente.
ii) (0.2 pt) Usando os s´\u131mbolos lo´gicos e as letras escolhidas no item anterior, escreva as pre-
missas dadas no enunciado.
iii) (0.7 pt) Analise as premissas e marque a alternativa verdadeira.
(A) A fantasia de Pierro\u2c6 esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata.
(B) A fantasia de Pierro\u2c6 esta´ cara e a fantasia de Colombina na\u2dco esta´ barata.
(C) A fantasia de Pierro\u2c6 na\u2dco esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata.
(D) A fantasia de Pierro\u2c6 na\u2dco esta´ cara e a fantasia de Colombina na\u2dco esta´ barata.
(E) Se A fantasia de Pierro\u2c6 na\u2dco esta´ cara, enta\u2dco a fantasia de Colombina esta´ barata.
Soluc¸a\u2dco:
i) Vamos escrever as proposic¸o\u2dces elementares envolvidas nas premissas do enunciado acima e
representa´-las por letras:
P : a fantasia de Pierro\u2c6 esta´ cara;
C: a fantasia de Colombina esta´ barata;
M : Manoel usa fantasia de Pierro\u2c6.
ii) Agora, vamos escrever as premissas usando os s´\u131mbolos lo´gicos:
I) P \u21d2\u223c C (Se a fantasia de Pierro\u2c6 esta´ cara, enta\u2dco a fantasia de Colombina na\u2dco esta´ barata.);
II) C\u2228\u2d9 \u223cM (Ou a fantasia de Colombina esta´ barata ou Manoel na\u2dco usa fantasia de Pierro\u2c6.);
III) M (Manoel usa fantasia de Pierro\u2c6.)
iii) Analisemos as premissas que temos.
Pela premissa III), sabemos que M e´ verdadeira. Logo, \u223cM e´ falsa.
Na premissa II), temos uma disjunc¸a\u2dco exclusiva (ou ... ou...). Logo, apenas uma das
duas proposic¸o\u2dces envolvidas nessa premissa e´ verdadeira. Como \u223c M e´ falsa, segue que
C e´ verdadeira. O que significa que \u223c C e´ falsa.
Sabemos que a premissa I) e´ verdadeira. Assim, como \u223c C e´ falsa, a u´nica forma de ter a
premissa I) verdadeira e´ que P seja falsa. Ou seja, \u223c P e´ verdadeira.
Conclu´\u131mos que:
\u2022 Manoel usa fantasia de Pierro\u2c6.
\u2022 a fantasia de Colombina esta´ barata
\u2022 a fantasia de Pierro\u2c6 na\u2dco esta´ cara.
Me´todos Determin´\u131sticos I AD1 - Questa\u2dco 3 2
Consequentemente, sa\u2dco verdadeiras as alternativas:
(C) \u201cA fantasia de Pierro\u2c6 na\u2dco esta´ cara e a fantasia de Colombina esta´ barata\u201d. (A
conjunc¸a\u2dco de duas proposic¸o\u2dces verdadeiras e´ verdadeira)
(E) \u201cSe A fantasia de Pierro\u2c6 na\u2dco esta´ cara, enta\u2dco a fantasia de Colombina esta´ barata\u201d
. (A implicac¸a\u2dco em que a condic¸a\u2dco e a conseque\u2c6ncia sa\u2dco verdadeiras e´ verdadeira)
b) (1.4 pt) Considere os conjuntos A =
{
0,
2
9
,
4
3
,
16
3
}
e B =
{
\u22122,\u2212
1
3
, 0,\u22128
}
. Escreva por extenso
as proposic¸o\u2dces matema´ticas abaixo, e decida se elas sa\u2dco verdadeiras ou falsas. Justifique suas
respostas.
i) (0.5 pt) \u2200 x \u2208 A,
(
x2 + x < 15
)
ii) (0.4 pt) \u2203 x \u2208 B, (3x+ 3) e´ par
iii) (0.5 pt) \u2200 x \u2208 B, \u2203 y \u2208 A,
(x
3
\u2212 y = x
)
Soluc¸a\u2dco:
i) Falsa.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a\u2dco. \u201cPara todo x que pertence ao conjunto A, tem-se
que x2+x < 15\u201d. Desta forma, para que a proposic¸a\u2dco seja verdadeira, e´ necessa´rio que para
todo elemento x de A, a soma do quadrado de x com x seja menor do que 15. Isto e´ falso,
pois existe um elemento que pertence ao conjunto A, tal que a soma do quadrado de x com
x na\u2dco e´ menor do que 15. De fato, o elemento x =
16
3
\u2208 A e´ tal que
x2 + x =
256
9
+
16
3
=
256
9
+
48
9
=
304
9
> 15.
ii) Verdadeira.
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a\u2dco. \u201cExiste x que pertence ao conjunto B, tal que
3x+3 e´ par\u201d. Para que a proposic¸a\u2dco acima seja verdadeira, devemos encontrar, pelo menos,
um elemento do conjunto B, de modo que 3x + 3 seja par. Isto e´ verdadeiro, pois, para
x = \u2212
1
3
\u2208 B, temos que 3
(
\u2212
1
3
)
+ 3 = \u22121 + 3 = 2 e´ par.
iii) Verdadeira.
\u2200 x \u2208 B, \u2203 y \u2208 A,
(x
3
\u2212 y = x
)
Vamos primeiro reescrever a proposic¸a\u2dco. \u201cPara todo x que pertence ao conjunto B, existe y
que pertence no conjunto A tal que
x
3
\u2212y = x\u201d. Para que a proposic¸a\u2dco acima seja verdadeira,
para todo elemento x do conjunto B, devemos encontrar, pelo menos, um elemento y do
conjunto A, tal que
x
3
\u2212 y = x. Isto e´ verdadeiro pois temos
\u2022 para x = \u22122 \u2208 B, y =
4
3
\u2208 A, que
x
3
\u2212 y =
\u22122
3
\u2212
4
3
= \u2212
6
3
= \u22122;
\u2022 para x = \u2212
1
3
\u2208 B, y =
2
9
\u2208 A, que
\u2212
1
3
3
\u2212
2
9
= \u2212
1
9
\u2212
2
9
= \u2212
3
9
= \u2212
1
3
;
\u2022 para x = 0 \u2208 B, y = 0 \u2208 A, que
x
3
\u2212 y =
0
3
\u2212 0 = 0;
\u2022 para x = \u22128 \u2208 B, y =
16
3
\u2208 A, que
x
3
\u2212 y =
\u22128
3
\u2212
16
3
= \u2212
24
3
= \u22128.
Fundac¸a\u2dco CECIERJ Conso´rcio CEDERJ