Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
AD2 – Questa˜o 3 – Gabarito a) (1.5 pt) Determine o que e´ pedido em cada item abaixo: i) Encontre a equac¸a˜o do c´ırculo de raio 3/2 e centro no ponto (1/2,−1). ii) Encontre as coordenadas dos pontos P e Q onde o c´ırculo do item i) intercepta o eixo das ordenadas Y. Soluc¸a˜o: i) Um c´ırculo de raio 3 2 e de centro no ponto ( 1 2 ,−1 ) e´ dado pela equac¸a˜o ( x− 1 2 )2 + ( y − (−1) )2 = ( 3 2 )2 ⇐⇒ x2 − 2 ( 1 2 ) x+ 1 4 + y2 + 2y + 1 = 9 4 ⇐⇒ x2 + y2 − x+ 2y + 1 4 + 1− 9 4 = 0 ⇐⇒ x2 + y2 − x+ 2y − 1 = 0. ii) Os pontos P e Q onde o c´ırculo x2 + y2 − x + 2y − 1 = 0 intercepta o eixo das ordenadas Y teˆm abscissa x = 0. Da´ı, levando este valor nesta equac¸a˜o, tem-se y2 + 2y − 1 = 0 ⇐⇒ y = −2± √ 4− 4(−1) 2 ⇐⇒ y = −2± √ 8 2 = −2± 2 √ 2 2 = −1± √ 2 ⇐⇒ y1 = −1 + √ 2, y2 = −1− √ 2. Consequentemente, as coordenadas de P e Q sa˜o P(0,−1 + √ 2), Q(0,−1− √ 2). b) (1,0 pt) Os pontos A = (3,−2) e C = (−1, 2) do plano cartesiano sa˜o os ve´rtices do quadrado ABCD cujas diagonais sa˜o AC e BD. Em qual ponto do plano cartesiano, a diagonal BD intercepta o eixo das ordenadas Y ? Este item deve ser resolvido algebricamente. Sugesta˜o: Utilize o fato de que, no quadrado, todo ponto de uma diagonal e´ equidistante dos dois pontos extremos da outra. Soluc¸a˜o: Seja P o ponto de intersec¸a˜o da diagonal BD com o eixo das ordenadas Y , conforme Figura 1. Assim, este ponto P tem coordenadas (0, y). Utilizando a sugesta˜o, tem-se que d ( (0, y), A ) = d ( (0, y), C ) . Da´ı,√ (0− 3)2 + (y − (−2))2 = √ (0− (−1))2 + (y − 2)2 ⇐⇒ √ 9 + (y + 2)2 = √ 1 + (y − 2)2 ⇐⇒ (√ 9 + (y + 2)2 )2 = (√ 1 + (y − 2)2 )2 ⇐⇒ 9 + (y + 2)2 = 1 + (y − 2)2 ⇐⇒ 9 + y2 + 4y + 4 = 1 + y2 − 4y + 4 ⇐⇒ 13 + 4y = −4y + 5 ⇐⇒ 8y = −8 ⇐⇒ y = −1. Me´todos Determin´ısticos I AD2 - questa˜o 3 2 Logo, a diagonal intercepta o eixo das ordenadas Y no ponto P = (0,−1). P AB C D -1 3 x -2 2 y Figura 1: Item b) Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar