Questão 3 da AD 2 de MD 1- gabarito

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AD2 – Questa˜o 3 – Gabarito
a) (1.5 pt) Determine o que e´ pedido em cada item abaixo:
i) Encontre a equac¸a˜o do c´ırculo de raio 3/2 e centro no ponto (1/2,−1).
ii) Encontre as coordenadas dos pontos P e Q onde o c´ırculo do item i) intercepta o eixo das
ordenadas Y.
Soluc¸a˜o:
i) Um c´ırculo de raio
3
2
e de centro no ponto
(
1
2
,−1
)
e´ dado pela equac¸a˜o
(
x− 1
2
)2
+
(
y − (−1)
)2
=
(
3
2
)2
⇐⇒ x2 − 2
(
1
2
)
x+
1
4
+ y2 + 2y + 1 =
9
4
⇐⇒ x2 + y2 − x+ 2y + 1
4
+ 1− 9
4
= 0
⇐⇒ x2 + y2 − x+ 2y − 1 = 0.
ii) Os pontos P e Q onde o c´ırculo x2 + y2 − x + 2y − 1 = 0 intercepta o eixo das ordenadas
Y teˆm abscissa x = 0. Da´ı, levando este valor nesta equac¸a˜o, tem-se
y2 + 2y − 1 = 0 ⇐⇒ y = −2±
√
4− 4(−1)
2
⇐⇒ y = −2±
√
8
2
=
−2± 2
√
2
2
= −1±
√
2
⇐⇒ y1 = −1 +
√
2, y2 = −1−
√
2.
Consequentemente, as coordenadas de P e Q sa˜o P(0,−1 +
√
2), Q(0,−1−
√
2).
b) (1,0 pt) Os pontos A = (3,−2) e C = (−1, 2) do plano cartesiano sa˜o os ve´rtices do quadrado
ABCD cujas diagonais sa˜o AC e BD. Em qual ponto do plano cartesiano, a diagonal BD
intercepta o eixo das ordenadas Y ? Este item deve ser resolvido algebricamente.
Sugesta˜o: Utilize o fato de que, no quadrado, todo ponto de uma diagonal e´ equidistante dos
dois pontos extremos da outra.
Soluc¸a˜o: Seja P o ponto de intersec¸a˜o da diagonal BD com o eixo das ordenadas Y , conforme
Figura 1. Assim, este ponto P tem coordenadas (0, y).
Utilizando a sugesta˜o, tem-se que
d
(
(0, y), A
)
= d
(
(0, y), C
)
.
Da´ı,√
(0− 3)2 + (y − (−2))2 =
√
(0− (−1))2 + (y − 2)2 ⇐⇒
√
9 + (y + 2)2 =
√
1 + (y − 2)2
⇐⇒
(√
9 + (y + 2)2
)2
=
(√
1 + (y − 2)2
)2
⇐⇒ 9 + (y + 2)2 = 1 + (y − 2)2
⇐⇒ 9 + y2 + 4y + 4 = 1 + y2 − 4y + 4
⇐⇒ 13 + 4y = −4y + 5
⇐⇒ 8y = −8
⇐⇒ y = −1.
Me´todos Determin´ısticos I AD2 - questa˜o 3 2
Logo, a diagonal intercepta o eixo das ordenadas Y no ponto P = (0,−1).
P
AB
C D
-1 3
x
-2
2
y
Figura 1: Item b)
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ