resolução - torção

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Resistência dos Materiais Exercícios de Torção 
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1) O eixo maciço de 1,5 pol de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados 
às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos trechos AC e 
CB do eixo. 
 
Solução: 
Para o trecho AC temos: 
2334AC pol
lb
4,27162
5,1
1800016
d
T16
32
d
.2
Td
J2
Td
pol5,1d
pol.lb18000pol12lb1500pés.lb1500T










 
 
Para o trecho CB temos: 
2334CB pol
lb
10865
5,1
720016
d
T16
32
d
.2
Td
J2
Td
pol5,1d
pol.lb7200pol12lb600pés.lb600T










 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A tensão de cisalhamento no trecho AC é de 27,2 ksi e no trecho CB é de 10,9 ksi. 
 
 
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2) O conjunto consiste de dois segmentos de tubos de aço galvanizado (G=11000 ksi) 
acoplados por uma redução em B. O tubo AB menor (10 pol de comprimento) tem 
diâmetro externo de 0,75 pol e diâmetro interno de 0,68 pol, enquanto o tubo BC 
maior (15 pol de comprimento) tem diâmetro externo de 1 pol e diâmetro interno de 
0,86 pol. Supondo que o tubo esteja firmemente preso à parede em C, determinar a 
tensão de cisalhamento máxima desenvolvida em cada seção do tubo quando o 
conjugado mostrado é aplicado ao cabo da chave. Encontre, também, o ângulo total 
de torção em A - extremidade livre (em graus). 
 
Solução: 
psi1011ksi11000Gpol.lb210pol14lb15T 6
 
Para o trecho AB temos: 
2444
i
4
e
e
AB
ie
pol
lb
71,7818
32
)68,075,0(
2
75,0210
32
)dd(
.2
Td
J2
Td
pol68,0dpol75,0d








 
 
Para o trecho BC temos: 
2444
i
4
e
e
BC
ie
pol
lb
02,2361
32
)86,01(
2
1210
32
)dd(
.2
Td
J2
Td
pol86,0dpol1d








 
 
O ângulo total de torção é dado pela expressão: 
graus 1,45 = rad 0,0254
pol15Lpol10L
32
)86,01(
J
32
)68,075,0(
J
J
L
J
L
G
T
GJ
TL
GJ
TL
AC
BCAB
44
BC
44
AB
BC
BC
AB
AB
BC
BC
AB
AB
AC













 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: As tensões de cisalhamento nos trechos AB e BC são 7,82 ksi e 2,36 ksi, 
respectivamente. O ângulo total de torção na extremidade livre é de 1,45º. 
 
 
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3) O eixo maciço tem diâmetro de 0,75 pol. Supondo que seja submetido aos torques 
mostrados, determinar a tensão de cisalhamento máxima desenvolvida nas regiões 
CD e EF. Os mancais em A e F permitem rotação livre do eixo. Solução: 
Para o trecho CD temos: 
2334CD pol
lb
2173
75,0
18016
d
T16
32
d
.2
Td
J2
Td
pol75,0d
pol.lb180pol12lb15pés.lb)2035(T










 
 
Para o trecho EF temos: 
2334EF pol
lb
0
75,0
016
d
T16
32
d
.2
Td
J2
Td
pol75,0d
pol.lb0pés.lb0T










 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A tensão de cisalhamento no trecho CD é de 2,17 ksi e no trecho EF é de 0,00 ksi. 
 
 
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4) Um eixo é feito de liga de aço com tensão de cisalhamento admissível de 
adm = 12 ksi. Supondo que o diâmetro do eixo seja de 1,5 pol, determinar o torque 
máximo T que pode ser transmitido. Qual seria o torque máximo T’ se fosse feito um 
furo de 1 pol de diâmetro ao longo do eixo? 
 
 
Solução: 
pol.lb16,7952
16
5,112000
16
d
T
d
T16
32
d
.2
Td
J2
dT
pol5,1d
psi12000ksi12
33
adm
34adm
adm











 
 
Para o eixo com um furo de 1 pol 
pol.lb36,6381'T
12000
32
)0,15,1(
2
5,1'T
32
)dd(
.2
Td
J2
d'T
pol0,1d
pol5,1d
psi12000ksi12
444
i
4
e
e
adm
i
e
adm











 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: As tensões de cisalhamento T e T’ são, respectivamente, 7,95 kip.pol e 6,38 kip.pol. 
 
 
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5) O eixo de aço A-36 tem 3 m de comprimento e diâmetro externo de 50 mm. 
Requer que transmita 35 kW de potência do motor E para o gerador G. Determinar a 
menor velocidade angular (em rpm) que o eixo pode ter se a máximo ângulo de 
torção admissível é de 1
o
. O módulo de elasticidade transversal do aço A-36 é de 75 
GPa. 
 
 
Solução: 
 
rpm37,1248s/rad729,130
267730
35000000
T
P
N35000000kW35P
mmN267730
L
JG
T
JG
LT
mm3000m3L
32
mm50
32
d
J
mm
N
75000MPa75000G
180
44
2













 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A menor velocidade angular deve ser de 1250 rpm. 
 
 
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6) O eixo de aço A-36 (G=75 GPa) está composto pelo tubo BC e por duas partes 
maciças AB e CD. Apóia-se em mancais lisos que lhe permitem girar livremente. Se 
as extremidades estão sujeitas a torques de 85 N.m, qual o ângulo de torção da 
extremidade A em relação à extremidade D? O tubo tem diâmetro externo de 40 mm 
e diâmetro interno de 30 mm. As partes maciças têm diâmetros de 20 mm.
 
 
Solução: 
Ângulo total de torção de AD: 







CD
CD
BC
BC
AB
AB
CD
CD
BC
BC
AB
AB
AD
J
L
J
L
J
L
G
T
GJ
TL
GJ
TL
GJ
TL
 
Dados: 
2
CD
BC
AB
4
CD
44
BC
4
AB
mm
N
75000GPa75G
mm.N85000m.N85T
mm250L
mm500L
mm250L
32
)20(
J
32
)3040(
J
32
)20(
J











 
Assim: 
graus 2,256 = rad 0,03937
32
)20(
250
32
)3040(
500
32
)20(
250
75000
85000
AD
4444AD



















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O ângulo de torção da extremidade A em relação à extremidade D é de 2,26º. 
 
 
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7) A bomba opera com um motor que tem potência de 85 W. Supondo que o impulsor 
em B esteja girando a 150 rpm, determinar o diâmetro do eixo de transmissão em A 
sabendo que a tensão de cisalhamento admissível do material do eixo é de 3,44MPa. 
 
 
Solução: 
1 rotação = 2 rad 
1 minuto = 60 s 
150 rpm = 150 ×(2 rad) / (60 s) 
P = 85 W = 85000 N . mm / s 
adm=3,44 MPa = 3,44 N/mm
2
 
 
 
3
adm
3
adm
34max
t
max
P
16
d
T16
d
d
T16
32
d
2
Td
J2
Td
P
TTP











 



 
 
Assim: 
mm00953,20
44,3
60
2
150
85000
16
P
16
d
3
3
adm







 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O menor diâmetro de eixo deve ser de 20 mm. 
 
 
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8) O motor de engrenagens desenvolve 0,4 hp quando gira a 600 rpm. Supondo que a 
tensão de cisalhamento admissível para o eixo seja adm = 27,6 MPa, determinar o 
menor diâmetro de eixo que pode ser usado (em milímetros inteiros). 
 
 
Solução: 
1 rotação = 2 rad 
1 minuto = 60 s 
0,4 hp = 0,4×550 pés . lbf / s = 2640 pol . lbf / s 
 
mm10mm5683,9pol376705,0
04,0034
0169,4216
d
T16
d
d
T16
32
d
2
Td
J2
Td
pol.lbf0169,42
60
2
600
2640P
TTP
pol
lbf
04,0034
pol
4,25
1
lbf
9,806650,45359237
1
6,27
mm
N
6,27MPa6,27
3
3
adm
34max
t
max
2
2
22adm













 
















 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: O menor diâmetro de eixo deve ser de 10 mm.