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Universidade de Bras´\u131lia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Aplicac¸a\u2dco \u2013 Semana 6 \u2013 Soluc¸a\u2dco
Temas abordados : Regras da cadeia; Derivac¸a\u2dco impl´\u131cita; Derivada de func¸o\u2dces inversas
Sec¸o\u2dces do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9
1) Suponha que a relac¸a\u2dco entre o comprimento L, em metros, e o peso P , em kg, de um
determinado peixe seja dada por P (L) = 10L3. Suponha ainda que a taxa de variac¸a\u2dco
do comprimento em relac¸a\u2dco ao tempo, dado em anos, satisfaz a equac¸a\u2dco
d
dt
L(t) = 0, 2 (2\u2212 L(t)).
(a) Determine o comprimento do peixe no caso em que P = 20 kg.
(b) Determine a taxa de variac¸a\u2dco do peso em relac¸a\u2dco ao tempo.
(c) Use os itens anteriores para determinar a taxa de variac¸a\u2dco do peso do peixe, em
relac¸a\u2dco ao tempo, para um peixe de 20 kg.
Soluc¸a\u2dco:
(a) Note que P (t) = 10L(t)3. No instante t0 em que P (t0) = 20 temos que
L(t0) = 2
1/3. (1)
(b) Derivando e usando a regra da cadeia obtemos
P \u2032(t) = 30L(t)2
d
dt
L(t) = 6L(t)2(2\u2212 L(t)). (2)
(c) Combinando (1) e (2) obtemos
P \u2032(t0) = 6 · 22/3(2\u2212 21/3).
Lista de Aplicac¸a\u2dco da Semana 6 - Pa´gina 1 de 5
2) Um avia\u2dco de cac¸a sobrevoa uma cidade percorrendo uma trajeto´ria retil´\u131nea conforme a
figura abaixo. Sua posic¸a\u2dco escalar sobre tal trajeto´ria e´ uma func¸a\u2dco do tempo x(t) = 3t\u22122
se t \u2264 1 e x(t) = t3 se t > 1, onde t e´ o tempo medido em minutos. A dista\u2c6ncia entre o
cac¸a e a cidade e´ dada por y(t) =
\u221a
H2 + x2(t).
(a) Calcule os limites laterais
lim
h\u21920±
x(1 + h)\u2212 x(1)
h
e em seguida decida sobre a existe\u2c6ncia de
x\u2032(1).
(b) Determine a velocidade escalar do avia\u2dco
v(t) = x\u2032(t), para cada t real.
(c) Dada f(z) =
\u221a
H2 + z2, encontre
d
dz
f(z).
(d) Sabendo que y(t) = f(x(t)), determine
d
dt
y(t).
(e) Em quais instantes o avia\u2dco se aproxima e em quais ele se afasta da cidade?
Soluc¸a\u2dco:
(a) Temos que
lim
h\u21920\u2212
x(1 + h)\u2212 x(1)
h
= 3
e
lim
h\u21920+
x(1 + h)\u2212 x(1)
h
= lim
h\u21920+
(1 + h)3 \u2212 1
h
= lim
h\u21920+
3h+ 3h2 + h3
h
= 3.
Dessa forma,
x\u2032(1) = 3.
(b) Segue diretamente da expressa\u2dco para x(t) e do item acima que
v(t) = x\u2032(t) =
{
3, se 0 < t \u2264 1,
3t2, se t > 1.
(c) Aqui, lembre-se que (
\u221a
z)\u2032 = 1/(2
\u221a
z). Logo, pela regra da cadeia,
f \u2032(z) =
1
2
\u221a
H2 + z2
(z2)\u2032 =
z\u221a
H2 + z2
(d) Do mesmo modo, para o item d), temos que
y\u2032(t) =
d
dt
f(x(t)) = f \u2032(x(t))x\u2032(t),
e e´ suficiente agora usar os itens (b) e (c).
(e) Veja que o avia\u2dco se aproxima sempre que a dista\u2c6ncia y(t) diminui, isto e´, para o
valores de t que satisfazem y\u2032(t) < 0.
Lista de Aplicac¸a\u2dco da Semana 6 - Pa´gina 2 de 5
3) Indique por W (V ) o trabalho realizado por um ga´s ideal ao se expandir isotermicamente,
desde um volume inicial V0 ate´ o volume V . Pode-se mostrar que em unidades apropri-
adas, W (V ) = C · ln
(
V
V0
)
, onde C > 0 e´ uma constante que depende da temperatura e
do nu´mero de mols do ga´s. Suponha que o volume seja uma func¸a\u2dco do tempo dada por
V (t) = 2t4 + 1, t \u2265 0. A pote\u2c6ncia gerada pelo sistema e´ a taxa de variac¸a\u2dco do trabalho
em relac¸a\u2dco ao tempo.
(a) Encontre as derivadas d
dV
W (V ) e d
dt
V (t).
(b) Encontre a expressa\u2dco da pote\u2c6ncia gerada pelo sistema, P (t) = d
dt
W (V (t)).
(c) Sabendo que C = 10, obtenha a pote\u2c6ncia do sistema quando o volume e´ 33.
Soluc¸a\u2dco:
(a) A derivada de V com relac¸a\u2dco ao tempo e´ dada por V \u2032(t) = 8t3. Para o ca´lculo da
derivada de W com respeito a V temos que usar a regra da cadeia como segue
dW
dV
= C
1
V/V0
d
dV
(
V
V0
)
= C
V0
V
1
V0
=
C
V
.
O termo 1
V/V0
acima e´ exatamente a derivada da func¸a\u2dco ln(s) aplicada no ponto
s = V/V0.
(b) Usando a regra da cadeia novamente obtemos
P (t) =
dW
dt
=
dW
dV
dV
dt
=
C
V
8t3 = C
8t3
2t4 + 1
.
(c) Usando a expressa\u2dco de V (t) conclu´\u131mos que o instante em que o volume e´ igual a
33 e´ exatamente t0 = 2. Agora basta usar a expressa\u2dco acima para calcular P (2) =
640/33.
Lista de Aplicac¸a\u2dco da Semana 6 - Pa´gina 3 de 5
4) Suponha que o nu´mero de indiv´\u131duos de uma populac¸a\u2dco de bacte´rias seja dado, no in-
stante t \u2265 0, por N(t) = 2N0/(1 + ekt), onde k > 0 e´ uma constante e N0 > 0 e´ a
populac¸a\u2dco inicial. Sabendo que a derivada da exponencial e´ ela pro´pria, (ex)\u2032 = ex,
resolva os itens seguintes.
(a) Determine o instante t0 em que o nu´mero de indiv´\u131duos e´ metade do inicial.
(b) Determine a derivada d
dt
ekt.
(c) Determine a taxa de variac¸a\u2dco do nu´mero de indiv´\u131duos em relac¸a\u2dco ao tempo.
(d) Sabendo que N0 = 1000 e k = 4, determine a taxa acima no instante t0 calculado
no item (a).
Soluc¸a\u2dco:
(a) Procuramos por t0 tal que N(t0) = 2N0/(1 + e
kt0) = N0/2. Isto e´,
1 + ekt0 = 4\u21d2 ekt0 = 3\u21d2 t0 = (ln 3)/k,
onde aplicamos o logaritmo em ambos os lados da penu´ltima expressa\u2dco.
(b) Pela regra da cadeia
(ekt)\u2032 = ekt(kt)\u2032 = kekt.
(c) Uma outra aplicac¸a\u2dco da regra da cadeia nos fornece
N \u2032(t) = (2N0(1 + e
kt)\u22121)\u2032 = \u22122N0(1 + ekt)\u22122kekt.
Note que, no ca´lculo da derivada acima, poder´\u131amos ter utilizado a regra do quo-
ciente.
(d) Para obter a reposta do u´ltimo item basta fazer t = t0 = ln 3/k na expressa\u2dco acima
e lembrar que eln 3 = 3.
Lista de Aplicac¸a\u2dco da Semana 6 - Pa´gina 4 de 5
5) A func¸a\u2dco secante, com o dom\u131´nio restrito ao intervalo [0, pi/2) e contradom\u131´nio restrito
ao intervalo [1,\u221e), e´ bijetiva sendo portanto invert´\u131vel. Sua inversa arcsec : [1,\u221e) \u2212\u2192
[0, pi/2) e´ definida por
y(x) = arcsec(x) \u21d4 y \u2208 [0, pi/2) e sec(y(x)) = x.
Sabendo que ela e´ deriva´vel em (1,+\u221e), siga os passos abaixo para calcular y\u2032(x).
(a) Use a regra do quociente (ou a da cadeia) para mostrar que d
dy
sec(y) = sec(y) tg(y).
(b) Aplique o operador de derivac¸a\u2dco d
dx
em ambos os lados da igualdade x = sec(y(x)),
na\u2dco esquecendo de usar a regra da cadeia para derivar o lado direito da igualdade.
(c) Isole o termo y\u2032(x) na expressa\u2dco encontrada acima.
(d) Lembrando que x = sec(y) e sec2(y) = tg2(y) + 1, escreva tg(y) como func¸a\u2dco de x.
(e) Substitua sec(y) e tg(y) na resposta do item c) para obter a expressa\u2dco de y\u2032(x) como
func¸a\u2dco apenas da varia´vel x.
Soluc¸a\u2dco:
(a) Temos que
d
dy
sec(y) =
d
dy
1
cos(y)
=
\u22121 · (cos(y))\u2032
cos2 y
= sec(y) tg(y).
(b) Usando a regra da cadeia para derivar a igualdade x = sec(y(x)) com respeito a`
varia´vel x, obtemos
1 =
d
dx
x =
d
dx
sec(y(x)) = sec(y(x)) tg(y(x))y\u2032(x).
(c) Note que o termo y\u2032(x) do lado direito e´ exatamente a derivada da func¸a\u2dco \u201cde
dentro\u201dna composic¸a\u2dco sec(y(x)). Segue da expressa\u2dco acima que
y\u2032(x) =
1
sec(y) tg(y)
.
(d) Usando a identidade trigonome´trica citada no enunciado obtemos tan2(y) = sec2(x)\u2212
1. Uma vez que y \u2208 [0, pi/2) temos que tan(y) \u2265 0. Desse modo, conclu´\u131mos que
tg(y) =
\u221a
sec2(y)\u2212 1. (3)
Substituindo-se y = arcsec(x) na expressa\u2dco acima obtemos que
tg(arcsec(x)) =
\u221a
x2 \u2212 1. (4)
(e) Combinando-se (3) e (4) segue que a derivada da func¸a\u2dco arco secante e´
d
dx
arcsec(x) =
1
x
\u221a
x2 \u2212 1 , x \u2208 (1,+\u221e).
Uma observac¸a\u2dco importante e´ que a func¸a\u2dco secante pode ser invertida em um
intervalo maior, a saber (\u2212\u221e,\u22121] \u222a [1,+\u221e). Nesse caso o contradom\u131´nio seria
[0, pi/2) \u222a (pi/2, pi] e, procedendo como acima, obter´\u131amos a seguinte derivada (veri-
fique!)
d
dx
arcsec(x) =
1
|x|\u221ax2 \u2212 1 , |x| > 1.
Lista de Aplicac¸a\u2dco da Semana 6 - Pa´gina 5 de 5