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Universidade de Bras´\u131lia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1
Lista de Fixac¸a\u2dco \u2013 Semana 6
Temas abordados : Regra da cadeia; Derivac¸a\u2dco Impl´\u131cita; Derivada de func¸o\u2dces inversas
Sec¸o\u2dces do livro: 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9
1) Calcule a derivada de cada uma das func¸o\u2dces abaixo.
(a) f(x) = cos(x+ x2) (b) f(x) = e
\u221a
x ln(
\u221a
x)
(c) f(x) = sen((x+ 1)2(x+ 2)) (d) f(x) = (3x3 + 4x2 \u2212 4)3/4
(e) f(x) = arcsen(2x) (f) f(x) =
\u221a
x+
\u221a
2x
(g) f(x) = ln(x
\u221a
x2 + 1) (h) f(x) =
x3 \u2212 3x2
(x4 + 1)5/2
(i) f(x) = arctan(3x2 + 1) (j) f(x) = (ex)x
(k) f(x) = x2e\u2212x (l) f(x) = arccos
(
1
x2 + 1
)
2) Suponha que f e´ deriva´vel e g(x) = f 2(cosx). Sabendo que f(0) = 1 e f \u2032(0) = \u22121/2,
calcule g\u2032(pi/2).
3) Seja g uma func¸a\u2dco deriva´vel e f(x) = (cosx)g2
(
tan
x
x2 + 2
)
. Sabendo que g(0) = 1/2
e g\u2032(0) = 1, calcule f \u2032(0).
4) Seja f e´ uma func¸a\u2dco deriva´vel e positiva. Mostre que (ln f(x))\u2032 = f
\u2032(x)
f(x)
. (Essa expressa\u2dco
e´ chamada de derivada logar´\u131tmica de f . A`s vezes e´ mais fa´cil encontrar f \u2032 usando a
derivada logar´\u131tmica pois, como ja´ sabemos, os produtos transformam-se em somas na
expressa\u2dco de log f(x).)
5) Usando a derivada logar´\u131tmica calcule a derivada das func¸o\u2dces abaixo.
(a) f(x) = (x+ 1)x
(b) f(x) = ( sen x)cos x.
6) Seja x = f(y) definida implicitamente pela equac¸a\u2dco x2 \u2212 x\u221axy + 2y2 = 10 para x > 0 e
y > 0.
(a) Encontre uma expressa\u2dco m(x, y) para o coeficiente angular da reta normal ao
gra´fico de f(y), para os pontos onde x3/2 \u2212 8y3/2 6= 0.
(b) Sabendo-se que o ponto (4, 1) pertece ao gra´fico da curva acima,
calcule lim
x\u21924±
m(x, 1).
(c) Interprete geometricamente o resultado do item (b).
7) Considere y = f(x) definida implicitamente por x4\u2212xy+ y4 = 1. Calcule f \u2032(0), sabendo
que f e´ uma func¸a\u2dco positiva.
Lista de Fixac¸a\u2dco da Semana 6 - Pa´gina 1 de 2
8) Considere a curva cuja equac¸a\u2dco e´ (2\u2212 x)y2 = x3.
(a) Obtenha a equac¸a\u2dco da reta tangente ao gra´fico da curva em (1, 1).
(b) Obtenha as equac¸o\u2dces das retas tangentes ao gra´fico da curva nos pontos em que
x = 3/2.
RESPOSTAS
1) (a) f \u2032(x) = \u2212(1 + 2x) sen(x+ x2)
(b) f \u2032(x) =
e
\u221a
x(1 +
\u221a
x ln(
\u221a
x))
2x
(c) f \u2032(x) = [(x+ 1)2 + 2(x+ 1)(x+ 2)] cos((x+ 1)2(x+ 2))
(d) f \u2032(x) =
3
4
(3x3 + 4x2 \u2212 4)\u22121/4(9x2 + 8x)
(e) f \u2032(x) =
2\u221a
1\u2212 4x2
(f) f \u2032(x) =
(
1 +
1\u221a
2x
)
1
2
\u221a
x+
\u221a
2x
(g) f \u2032(x) =
2x2 + 1
x(x2 + 1)
(h) f \u2032(x) =
(x4 + 1)5/2(3x2 \u2212 6x)\u2212 (x3 \u2212 3x2)(5/2)(x4 + 1)3/2(4x3)
(x4 + 1)5
(i) f \u2032(x) =
6x
9x4 + 6x2 + 2
(j) f \u2032(x) = 2xex
2
(k) f \u2032(x) = e\u2212x(2x\u2212 x2)
(l) f \u2032(x) =
2x
(x2 + 1)2
\u221a
1\u2212 (x2 + 1)\u22122
2) 1
3) 1/2
4) basta usar a regra da cadeia
5) (a) f \u2032(x) = (x+ 1)x
(
ln(x+ 1) + x
x+1
)
(b) f \u2032(x) = ( sen x)cos x
[
\u2212( sen x) ln( sen x) + cos
2 x
sen x
]
.
6) (a) m(x, y) =
3x1/2y \u2212 4xy1/2
x3/2 \u2212 8y3/2 (b) ±\u221e
7) 1/4
8) (a) y = 2x\u2212 1 (b) y = 3\u221a3x\u2212 3\u221a3 e y = \u22123\u221a3x+ 3\u221a3
Lista de Fixac¸a\u2dco da Semana 6 - Pa´gina 2 de 2