Apostila de técnicas experimentais Graduação

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Apostila de estatística experimental 
 
 
 
 
 
 
 
Escola de Medicina Veterinária da UFMG 
Profa. Dra. Ângela Maria Quintão Lana 
 
Escola de Medicina Veterinária e Zootecnia da UFT 
Prof. Dr. Luciano Fernandes Sousa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1 Definição de conceitos: 
 
1.1 Unidade experimental (UE) 
É a menor unidade de um experimento na qual é aplicado um tratamento, em 
experimentos de campo as unidades experimentais são denominadas parcelas. As 
parcelas irão depender no número de tratamentos e o número de repetições dos 
tratamentos. 
A unidade experimental, experimentação animal é representada geralmente por 
um indivíduo (ser humano ou animal). Quando uma resposta for medida em grupo 
(mesma baia), como por exemplo, o consumo total da baia, um animal será a unidade 
experimental para medidas individuais de peso, mas a baia será a unidade experimental 
para medidas de consumo e de conversão alimentar, pois não será possível ter acesso ao 
consumo e conversão individuais. 
 
1.2 Tratamento 
Tratamento é qualquer procedimento ou conjunto de procedimentos cujo efeito 
deverá ser avaliado e comparado com outros 
 
1.3 Experimento 
No método científico (mais especificamente no método experimental), uma 
experiência científica ou experimento consiste na montagem de uma estratégia 
concreta a partir da qual se organizam diversas ações observáveis direta ou 
indiretamente, de forma a provar a plausibilidade ou falsidade de uma dada hipótese ou 
de forma a estabelecer relações de causa/efeito entre fenômenos. 
A experiência científica é uma das pedras angulares da abordagem empirista ao 
conhecimento humano. 
 
1.4 Experimentador 
 Agente que planeja, executa e analisa as informações obtidas no experimento. 
 
1.5 Erro tipo I, erro tipo II 
Em testes de hipóteses, na Estatística, um erro de tipo I consiste em rejeitar 
uma hipótese nula que é verdadeira, por outras palavras, chegar a um resultado que tem 
significância estatística quando na verdade ele aconteceu por acidente. 
Um teste com alta especificidade terá menores erros do tipo I. O símbolo para a 
probabilidade de um erro de tipo I é a (alpha) e é por vezes descrito como o tamanho 
do teste. 
Já um erro de tipo II consiste em falhar na rejeição (ou seja, na aceitação) de 
uma hipótese nula inválida (ou seja, aceitar, como inválida, uma hipótese que na 
verdade é válida). 
O símbolo para a probabilidade de um erro de tipo II é ß (beta). O poder de um 
teste estatístico é definido como 1 - ß. Um teste com alta sensitividade terá menos erros 
do tipo II. No entanto, à medida que a probabilidade do erro de tipo II diminui, aumenta 
a susceptibilidade da ocorrência do erro de tipo I 
 
1.6 Experimentos cegos e duplamente cegos 
Experimentos cegos - Quando as UE são objetos, plantas, animal ou material 
provindo de plantas ou animais – como folhas de árvores ou peças anatômicas –, é 
 3
importante que o pesquisador pese, meça ou observe cada unidade sem saber a que 
grupo pertence essa unidade. 
Isto evita a tendenciosidade. Nessa fase do experimento, o pesquisador ou 
experimentador não pode trabalhar sozinho – precisa trabalhar com outro técnico. 
Experimentos duplamente cegos - São os experimentos feitos com pessoas, em 
que se recomendam ainda outros cuidados. 
1. Não se deve informar à pessoa (unidade experimental) o grupo para o qual foi 
designada; 
2. Devem ser mantidos alheios ao resultado do sorteio a todos os profissionais 
envolvidos no trato dessas pessoas, para não afetar o moral delas; 
O pesquisador que faz as observações ou medições deve fazê- lo sem saber a que 
grupo pertence à pessoa que examina. 
 
1.7 Dados discrepantes (outliers) 
Dados que possuem valores extremos, atípicos ou com características bastante 
distintas dos demais registros no experimento. 
Normalmente registros que contêm valores outliers são descartados da amostra, 
porém isto só deve ocorrer quando o dado representar um erro de observação, de 
medida ou algum outro problema similar. 
O dado deve ser cuidadosamente analisado antes da exclusão, pois embora 
atípico, o valor pode ser verdadeiro. Outliers podem representar, por exemplo, um 
comportamento não usua l, uma tendência ou ainda transações fraudulentas. Encontrar 
estes valores é, muitas vezes, os objetivos da obtenção de dados. 
 
1.8 Dados binários 
Dados nominais com apenas duas categorias. Tais dados podem ser codificados 
e armazenados através da combinação (seqüencial) de dois dígitos (binário), o “0” e o 
“1”. 
Dados binários ou dicotômicos são comuns em muitas áreas das ciências, nas 
quais, muitas vezes, há interesse em registrar a ocorrência, ou não, de um evento 
particular. 
 
1.9 Nível de significância 
 É denotado por e indica a probabilidade de cometer um erro tipo-I. Na maioria 
dos softwares, a significância estatística é expressa pelo nível descritivo (p-valor). Os 
níveis de significância mais utilizados são 5%, 0.1%, 1% e 10%. Sendo 5% o nível 
recomendado para experimentação animal. 
 
1.10 Testes paramétricos 
Processos estatísticos baseados em parâmetros populacionais para testar 
hipóteses ou estimar parâmetros. 
São testes que incidem explicitamente sobre um parâmetro de uma ou mais 
populações e a distribuição da estatística de teste pressupõe uma forma particular da(s) 
distribuição(ões) populacional(ais) (por exemplo, a normalidade). 
 
1.11 Testes não paramétricos 
Processos estatísticos para testar hipóteses ou estimar parâmetros, quando não há 
suposições formuladas sobre a natureza ou a forma das distribuições populacionais; 
chamados também testes livres de distribuição. 
 4
Se os dados não satisfazem as suposições feitas pelas técnicas tradicionais 
(exemplo normalidade), métodos não paramétricos de inferência estatística devem ser 
usados. 
 
1.12 Qual teste usar, sejam paramétricos ou não-paramétricos? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
2 Princípios Básicos da Experimentação 
Os princípios básicos da experimentação são: 
· Repetição (n amostral) 
· Casualização (repetições ao acaso) 
· Uniformidade da unidade experimental (repetições homogêneas) 
· Uniformidade de meio (controle do ambiente e do tempo) 
· Uniformidade de aplicação do tratamento (intervenções padronizadas) 
2.1 Repetição 
 Tratamento 1 Tratamento 2 
Animal 1 
Animal 2 
Animal 3 
Média X1 X2 
Variância S12 S22 
 
A repetição (tamanho amostral) possibilita estimar: 
· média para cada tratamento 
· variância dentro do tratamento 
 
 
 
A distribuição F é a distribuição da razão de duas estimativas de variância. É 
usada para calcular valores de probabilidade na análise de variância. 
Uma amostra muito pequena reduz a significância estatística do estudo, pois o efeito 
observado pode ser atribuído não somente ao tratamento instituído, mas também ao 
acaso. 
2.2 Casualização 
Tem o objetivo de validar a estimativa da variância dentro do grupo experimental 
2.3 Uniformidade da unidade experimental 
A unidade experimental deve ser homogênea quanto a: 
· Idade 
· Peso 
· Sexo 
· Grau de sangue (raça) 
Quando uma determinada variável representa fator de variação que influi no resultado, 
essa influência pode interferir na variância intra tratamento. Se for necessário utilizar 
Variação entre tratamentos 
Variação intra tratamento 
F = 
 6
mais de um ambiente ou períodos diferentes, os fatores ambiente e tempo devem ser 
removidos através da análise estatística. Para isso, deve haver repetição de todos os 
tratamentos em cada ambiente ou tempo. 
2.4 Uniformidade de meio 
O ambiente ou o tempo em que ocorre o experimento deve ser homogêneo para cada 
tratamento que será comparado. 
2.5 Uniformidade da aplicação do tratamentoQuando o tratamento é aplicado de forma injetável, o placebo também deve ser injetado 
de forma a uniformizar o fator estressante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7
3 Estatística comparativa (contraste) 
3.1 Comparação de pares (teste t) 
No caso de amostras dependentes ou pareadas, quando a mesma amostra é 
submetida a dois tratamentos diferentes, são comparadas as médias obtidas entre as 
amostras (ou alíquotas, ou réplicas). 
Exemplo: 
O sangue coletado de animais pode ser dividido em 2 alíquotas que serão 
submetidas a tratamentos diferentes, os quais serão comparados. Nesse caso, o 
pareamento é muito eficiente, pois as alíquotas são derivadas dos mesmos animais. 
Quando o pareamento é possível, há uma eficiência do experimento muito alta. Quando 
trabalha-se com animais diferentes, por mais bem controlada seja a escolha dos pares, a 
eficiência é perdida, e este estudo é considerado amostra independente para efeito de 
utilização de testes estatísticos. 
Os testes estatísticos são feitos para avaliar a variabilidade entre- indivíduos e 
não intra- indivíduos. 
Univitelinos, lotes, antes e depois (quando o tempo não for suficiente para influir 
na resposta) são considerados pareamentos. 
 
Exemplo: 
Dosagem de Anticorpos 
Þ soro de 11 bovinos inoculados com a mesma carga patogênica 
A hipótese é substituir o título in vivo pelo ensaio (ELISA). 
 
ANIMAL ELISA Título in vivo Diferença 
1 230,00 300,00 -70,00 
2 300,00 550,00 -250,00 
3 550,00 700,00 -150,00 
4 320,00 300,00 20,00 
5 1.300,00 1.100,00 200,00 
6 1.550,00 1.100,00 450,00 
7 510,00 500,00 10,00 
8 800,00 520,00 280,00 
9 620,00 480,00 140,00 
10 2.600,00 2.400,00 200,00 
11 400,00 380,00 20,00 
Médias 834,55 757,27 77,2727 
 
2727,77
11
850
11
=== ådifdif 
 8
( )
n
S
tdifIC difgl ´±= ,a 
Para obter o desvio-padrão dos indivíduos (da diferença) 
( )
( )
( )( ) ( )
8182,561.40
10
11
850
2025070
1
2
222
2
2
2 =
ú
û
ù
ê
ë
é -
--++
=
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
=
å å
n
n
dif
dif
S
i
i
dif
 
3996,2018182,561.40 ==S 
Para determinar o intervalo de confiança da média da diferença na amostra: 
11
3996,201
2727,77 10%,5 ´±= tIC (na tabela, t = 2,228) 
2937,1352727,77 ±=IC 
IC Þ de -58,02 a 212,57 
à Se o IC inclui o ZERO, significa que a média da diferença pode ser ZERO. Se a 
diferença entre os dois testes pode ser ZERO, então os métodos não diferem, isto é, 
podem ser IGUAIS. 
 Þ H0 à t1 – t2 = 0 
 t1 = t2 
CONCLUSÃO: Os dois métodos (ELISA e in vivo) não diferem (p>0,05) 
t > Þ é a não diferença 
t < Þ é a diferença 
 
Há prejuízo na confiabilidade porque a variância da amostra é grande e porque o 
valor de t para o erro (a) e gl é grande. 
DMS Þ DIFERENÇA MÍNIMA SIGNIFICATIVA (Teste-t) 
 
O valor da variação do intervalo de confiança é a diferença mínima significativa 
(dms), ou teste t. 
 
É o valor que o desvio tem que superar para ser significativo. A importância do 
dms é saber, com antecedência, o valor abaixo do qual as médias obtidas seriam 
consideradas não significativamente diferentes quando comparam-se mais de dois 
grupos. 
Þ Se o módulo da média for maior que o dms (? ) à o IC não inclui o ZERO 
Pareamento 
dms ( ? ) 
 9
Nos casos de pareamento, os desvios internos são calculados (diferença para cada 
repetição) e o controle de variância é maior. O pareamento apresenta alta eficiência. 
Comparação de grupos experimentais quando o pareamento não é possível. 
Quando não é possível fazer o pareamento, deve-se procurar controlar as variáveis de 
forma que as amostras sejam as mais homogêneas o quanto possível. No caso de 
amostras independentes, seria calculada a média para cada grupo e o desvio entre as 
médias externas é que seria verificado. 
(Quando são realizados mais de 3 tratamentos, a comparação de pares pode ser 
realizada. Utilizando-se o teste t, há uma perda, pois, no caso de 10 animais, a 
comparação é feita par a par. Assim, os pares teriam, cada um, 20 observações. 
Se os três tratamentos forem comparados simultaneamente (com ANOVA, por 
exemplo), ganha-se com o aumento para 30 respostas.) 
Exemplo: 
Transplante isolado de rim e duplo rim + pâncreas. Avaliação de um ano após em 
relação a triglicérides (indivíduos do sexo masculino, com 35 a 50 anos, 15 pacientes 
por grupo). 
 
repetição isolado duplo Desvio 
1 46,00 78,00 
2 92,00 109,00 
3 137,00 269,00 
4 95,00 89,00 
5 64,00 95,00 
6 65,00 117,00 
7 80,00 199,00 
8 280,00 214,00 
9 62,00 102,00 
10 92,00 256,00 
11 137,00 115,00 
12 95,00 136,00 
13 64,00 83,00 
14 80,00 239,00 
15 62,00 90,00 
Média 96,73 146,07 49,3333 
Variância 3255,50 4721,21 
S 57,06 68,71 
Razão entre as variâncias (a maior sobre a menor) 
Þ deve ser menor que 7 para ser homogênea 1,45022775 
 
2
2
2
1
2
1
, n
S
n
S
tXXIC glID +´±-= a 
 
 10
15
21,4721
15
49,3255
73,9607,146 28%,5 +´±-= tIC (t = 2,048) 
 
IC = 49,44 ± 47,23 Þ 2,11 a 96,57 mg/dl 
 
dmsXX ID >- Þ há diferença estatística entre os grupos (p<0,05) 
Conclusão: 
O IC não inclui o ZERO. Logo, o transplante duplo não apresenta taxa de 
triglicérides semelhante ao (é diferente do) isolado (p< 0,05). Foi significativo, embora 
o IC seja muito amplo, sugerindo que a amostra foi insuficiente (n=15). Entretanto, o 
resultado sendo significativo poderia ser publicado sem problemas pois, mesmo com o 
erro superestimado, a diferença entre as médias não foi mascarada. 
O problema seria se o resultado fosse não significativo com uma amostra 
pequena. Poderia significar que seria possível a diferença existir mas ter sido mascarada 
pela super-estimativa do erro. 
 
Precisão do experimento 
A precisão do experimento é dada pelo coeficiente de variação da amostra (deve 
envolver os 30 resultados): 
Do exemplo anterior: 
 Grupo isolado Grupo duplo Médias (geral) 
Média 96,73 146,07 121,40 
Variância 3255,50 4721,21 3988,3526 
S 57,06 68,71 63,1534 
CV 52,01 
 
01,52100
40,121
1534,63
100 =´=´=
geralX
S
CV % 
 
( ) 40,121
2
07,14673,96
=
+
=geralX 
( ) 3526,3988
2
2
2
2
12 =
+
=
SS
S média 
à ou usando o S, já que ambas amostras apresentam o mesmo n 
Þ ( ) 1534,632
21 =
+
=
SS
S média 
Þ O CV alto encontrado pode ser devido a uma amostra inadequada. 
Como houve diferença significativa, pode-se confiar, mesmo tendo encontrado CV alto. 
Uma adequação amostral e conseqüente redução no CV aumentariam a capacidade do 
teste, comprovando uma diferença ainda maior. 
dms 
 11
Se não tivesse sido encontrada a diferença, nesse caso poderia-se pensar na 
possibilidade do resultado ser diferente se o CV fosse menor. 
 
Calcular o tamanho amostral com erros de 5% e de 10% da média. 
 
 
n
S
tX gl ´± ,a 
erro de 5% da média (121,4 × 5/100) = 6,07 Þ variação à ? 
n
S
t gl ´=D ,a 
n
1534,63
048,207,6 ´= 
pessoasnn 45431,21
07,6
3382,129
=\== 
para erro de 10% da média (121,4 × 10/100) Þ ? = 12,14 
à n = 114 pessoas 
 
 
ANOVA 
 
Consiste em pegar um conjunto de dados de um experimentos (por exemplo, 30 
indivíduos dos dois grupos – obs. exemplo anterior) e calcular a variância total e fazer 
uma partição da mesma. O total de variação pode ser atribuído à variação de grupos 
experimentais e ao erro, considerando que não há outra fonte de variação. Nesse caso, 
as variáveis sexo, idade e outras são uniformes. 
Em outros estudos pode haver outras fontes de variação: tratamentos, sexo, idade, peso, 
linhagem, galpão utilizado, etc. 
( )
gl
n
X
X
S
i
i
total
2
2
2
åå-
= 
 
 
 
 
Toda fonte de variação não percebida e não descontada na variação total, vai ser 
atribuída ao erro. O erro sendo superestimado, fica mais difícil estabelecer as diferenças 
entre os grupos. 
 
 
 
 
? 
30 pacientes 
à grupos 
à erro 
 12
DELINEAMENTO INTEIRAMENTE CASUALIZADO 
( )
gl
n
X
X
S
i
i
total
2
2
2
åå -
= 
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl Soma de Quadrados 
Quadrado médio 
(variância do erro 
experimental) 
Total (n-1) 29 ( )
n
X
XSQt ii
2
2 åå -= 
 
Grupos (g-1) 
(variação entre grupos) 
1 ( )
n
X
r
g
SQg ii
22 åå -= 
Erro (Total – Grupos) 
(variação intra-grupo) 
28 SQe = SQt – SQg 
(Obtido por diferença) gl
SQeQMe = 
 
( )
n
X
XSQ iitotal
2
2 åå -= 
( )
n
X
r
g
SQ iigrupos
22 åå -= 
Para o exemplo anterior dos transplantes simples e duplos: 
( )
30
90239...9246
90239...9246
2
2222 ++++-++++=totalSQ 
23,927.129=totalSQ 
( )
30
90...9246
1515
222 +++
-+= duploisoladogrupos
gg
SQ 
33,253.18=gruposSQ 
SQe = SQt – SQg Þ SQe = 111.673,90 
gl
SQe
QMe = Þ QMe = 3.988,35 (QMe à quadrado médio do 
erro) 
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl Soma de 
Quadrados 
Quadrado médio (variância do 
erro experimental) 
Total (n-1) 29 129.927,23 
Grupos (g-1) 
(variação entre grupos) 
1 18.253,33 
Erro (glt – glg) 
(variação intra-grupo) 
28 111.673,90 3.988,35 
21
28%,5 r
QMe
r
QMe
tdms +´= 
FC = G2/n 
G: total geral 
n: tamanho da amostra 
Fator de 
correção 
 13
Nesse caso, como os QMe e r também são coincidentes, pode ser simplificado como 
abaixo: 
23,47
15
35,39882048,2 =´´=dms 
34,49=- ID XX Þ o módulo da diferença das médias > dms 
O IC não inclui o ZERO. As médias apresentam diferença significativa 
(p<0,05). 
O teste t foi utilizado, em vez do F, pois é muito sensível. Porém, t só deve ser 
utilizado quando é recomendado. O teste t só pode ser utilizado até para 5 
grupos e se a estabilidade é alta. Se há instabilidade, deve ser utilizado outro 
teste. 
Situação experimental 
Tratamentos: 
a) Ração tradicional à base de milho e soja 
b) 95% da ração tradicional + 5% de farelo de trigo 
c) 95% da ração tradicional + 5% de farelo de cacau 
Linhagem das aves: mesma linhagem 
Resposta: produção de ovos em % (ovos produzidos por total de galinhas) Þ numérica 
contínua de fluxo descontinuado (se a avaliação for longa; mas se for avaliada, 
como nesse caso, em períodos curtos pode ser classificada como continuada); 
estabilidade não conhecida mas na avicultura as respostas são muito instáveis; 
distribuição normal. 
O total de ovos produzido no galinheiro a cada dia é dividido pelo total de galinhas 
do galinheiro ×100. 
Unidade experimental: galinheiro com 40 galinhas, 15 galinheiros no mesmo galpão 
Cada galinheiro é uma unidade experimental. Três grupos (trataemtnos) com 5 
galinheiros cada. 
Início do ensaio: 32 semanas + 8 semanas de adaptação 
Tempo de avaliação: durante um mês (contagem diária) 
Repetições: 5 repetições / tratamento 
Delineamento: inteiramente casualizado 
Desenho do estudo 
r A B C 
1 72,4 71,8 66,8 
2 74,8 67,8 64,2 
3 70,1 72,1 67,2 
4 75,5 70,1 62,7 
5 68,1 66,6 68,9 
Total 360,9 348,4 329,8 
média 72,18 69,68 65,96 
 14
Só há variação entre os grupos (hipótese do estudo) e entre os indivíduos dentro 
dos grupos (intra-grupo). Nesse caso será feito o sorteio dos tratamentos entre 
os grupos. 
Pré-Requisitos para fazer ANOVA: 
· Grupos homogêneos 
· Distribuição normal 
Fontes de variação: tratamentos e erro experimental 
Vantagens desse delineamento: 
à delineamento simples 
àse houver perda de unidade experimental (parecela perdida), a média dos grupos não 
seria alterada. Média de 5 galinheiros é o mesmo que média de 4 galinheiros. 
Desvantagem desse delineamento: 
àa não percepção de fonte de variação superestima o erro experimental. Esse 
delineamento é o que mais sofre esse efeito. Para evitar a superestimação, as fontes 
de variação devem ser detectadas e o ambiente deve ser blocado. 
QUADRO DA ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de 
Variação 
gl Soma de 
Quadrados 
Quadrado médio 
(variância do erro 
experimental) 
Total (n-1) 14 185,029 
Grupos (g-1) 
(variação entre grupos) 
2 97,96 
Erro (glt – glg) 
(variação intra-grupo) 
12 87,069 7,2558 
TOTAL 
( )
15
9,68...8,744,72
9,687,62...8,744,72
2
2222 +++-++++=totalSQ 
029,185=totalSQ 
 
GRUPOS 
( )
15
9,68...4,72
5
8,329
5
4,348
5
9,360
555
2222222 ++
-++=-++= FC
ggg
SQ CBAgrupos
96,97=gruposSQ 
ERRO 
SQgSQtSQerro -= Þ SQe = 185,029 – 97,96 = 87,069 
 15
QMe = 87,069/12 = 7,2558 
DMS 
à como a comparação é sempre entre 2 médias, o dms é calculado com 
2QMe/5. Se os 3 grupos tivessem r diferentes, teria que voltar à fórmula original 
(
21
, r
QMe
r
QMe
tdms gl +´= a
 ) e calcular o dms para cada um dos 3 pares de médias. 
5
2
%,5
QMetdms gl ´= 
41,3
5
2558,72179,2 =´´=dms 
=- BA XX 2,5 à menor que dms Þ IC inclui ZERO, A = B 
=- CB XX 3,72 à maior que dms Þ IC não inclui ZERO, B ? C 
=- CA XX 6,22 à maior que dms Þ IC não inclui ZERO, A ? C 
 
Tratamento Médias 
A 72,18 A 
B 69,68 A 
C 65,96 B 
Médias seguidas de letras distintas 
diferem pelo teste t (p<0,05) 
Se, por exemplo B fosse igual a C e, ao mesmo 
tempo igual a A enquanto C é diferente de A, 
seria acrescentada outra letra no tratamento B 
para mostrar essa relação. Ficaria assim: 
Trat Médias Comparação 
A 
AX A 
B 
BX AB 
C CX B 
Conclusão: 
Þ Do ponto de vista da produtividade, não vale a pena utilizar 5% de farelo de cacau 
misturado à ração tradicional, pois a média de produção de ovos é menor com o 
farelo de cacau, com diferença significativa em relação às outras duas formulações 
(tradicional puro e acrescido de 5% de trigo). Não há diferença significativa em se 
utilizar as formulações do farelo tradicional ou acrescido de 5% de trigo sobre a 
produtividade de ovos. 
 
 
 
 
Consideradas iguais 
 16
4 DELINEAMENTO EM BLOCOS CASUALIZADOS 
 
Situação experimental 
Tratamento: 4 dietas com diferentes níveis de proteína 
Resposta: ganho de peso em kg aos 90 dias 
Cálculo amostral: 5 repetições para cada grupo experimental (para cada tratamento) 
Local: os grupos serão tratados no mesmo local 
Animal: suínos machos desmamados com peso uniforme 
Granja fornece: à 10 animais na 1a. entrega de animais 
à 8 animais, 15 dias após a primeira entrega 
à 8 animais 15 dias após a segunda entrega 
Classificação da variável: numérica (quantitativa), contínua, fluxo descontinuado (por 
que a idade foi definida), instabilidade não é muito alta. Podem ser feitos: 
ANOVA (teste de média), análise de regressão. 
Desenho do estudo: 
1a. entrada: 8 animais (escolher, pois não é possível usar 10)à 2 animais por 
dieta (sortear) 
2a. entrada: 8 animais à 2 animais por dieta (sortear) 
3a. entrada: 8 animais (poderia usar 4, pelo cálculo amostral) à 2 animais por 
dieta (sortear) 
FORMAÇÃO DOS BLOCOS 
Fornecimento / Entradas D1 D2 D3 D4 
1 2 3 4 1a Entrada Þ 10 animais à escolher 8 
(a escolha tem o objetivo de formar um 
grupo mais uniforme) 5 6 7 8 
9 10 11 12 
2a Entrada Þ 8 animais à usar 8 
13 14 15 16 
17 18 19 20 
3a Entrada Þ 8 animais (4 seriam 
suficientes para completar n)à usar 8 
21 22 23 24 
Este experimento será classificado como: Delineamento em blocos 
casualizados. 
Cada entrada é um estrato, sendo que os animais foram sorteados por dieta em 
cada bloco, sendo portanto 3 sorteios. Cada estrato (bloco) recebe todos os 
tratamentos. Cada entradatem condição ambiental diferente, mas essa 
diferença ambiental afetará igualmente todos os tratamentos, pois todos os 
tratamentos são distribuídos com igual chance para os animais de cada bloco. 
São testadas as diferenças entre as médias dos pesos obtidos por cada dieta, 
através de todos os blocos. 
BLOCO 1 
BLOCO 2 
BLOCO 3 
 17
Quando o desenho é de delineamento em blocos casualizados, há o efeito das entradas 
(blocos) no quadro da ANOVA, mesmo que supostamente haja a mesma condição de 
efeito. Isso, porque foi feito um sorteio para cada bloco. 
A realização de 3 sorteios implica na forma condução do experimento. Nesse 
caso exemplificado, o experimento foi realizado em cada bloco em intervalos 
curtos, sendo possível que assim não haja efeito da condição ambiental (clima, 
tempo, estação do ano). Ao realizar a ANOVA, os efeitos das entradas devem 
ser retirados. Há casos em que se observa que não há efeito de bloco (variação 
não significativa), faz-se a ANOVA com delineamento inteiramente casualizado, 
retirando-se do quadro da ANOVA as entradas dos blocos. Porém isso não pode 
ser feito por que, quando o desenho é em blocos casualizados, o sorteio é 
realizado o número de vezes correspondente ao número de blocos. E isso tem 
impicação no numero de restrições do modelo para gerar aqueles resultados. As 
entradas, mesmo não significativas, devem ser mantidas no quadro da ANOVA. 
Quando o ambiente pode não ser uniforme como, por exemplo, um galpão com 3 áreas 
não uniformes. Esses blocos formados devem ser considerados na ANOVA. 
No caso de entradas no tempo, é imprevisível. Pode-se observar que em 30 dias, 
por exemplo, não houve diferença, porém devem ser bolcados. Com relação a 
local, um galpão, por exemplo, áreas diferentes devem ser blocadas de forma 
que cada área receba animais com todos os tratamentos realizados. 
Se um bloco for perdido (água contaminada, por exemplo) ele pode ser repetido caso o 
fator tempo não acarrete uma influência no resultado. 
Se um animal for perdido durante o tratamento, deve ser analisado a causa da 
perda. Se a perda (morte, por exemplo) for efeito do tratamento, não é parcela 
perdida, mas sim resultado e deve ser discutido, pois pode ser um fato muito 
importante. Se a causa da perda for outra, deve-se estimar a parcela perdida. 
Por exemplo, se determinada entrada for favorável ao ganho de peso. Se num 
dos grupos de dieta morre um animal proveniente daquela entrada que 
favorecia o ganho de peso, a média para essa dieta ficará prejudicada em 
relação às demais. Assim a parcela perdida deve ser estimada e esse valor 
utilizado. 
Há dois casos de blocagem: tempo e espaço físico. Mas há casos em que pode-
se blocar o animal. 
Exemplo 
Tratamento: 3 diluentes 
Material: sêmen 
Resposta: % de motilidade 
Þ quantitativa (pode ser qualitativa em alguns casos em que a avaliação é 
subjetiva) 
Þ instável 
 18
No caso de respostas instáveis, é desejável blocar o animal. Por exemplo: motilidade de 
sêmen do mesmo animal, divididos em 3 alíquotas para testar 3 diferentes diluentes e 
seu efeito sobre a motilidade. 
Alíquotas iguais de uma mesma coleta de cada animal são sorteadas para cada 
tratamento. Pode-se assim reduzir o número de animais necessários para o 
experimento. Dessa forma, o animal é controlado, pois tira-se uma repetição 
para cada tratamento, por exemplo, com 5 animais poderia-se concluir o 
experimento com 15 repetições. Não podem ser retiradas 2 amostras de um 
mesmo animal e dividi-la em outras 3 alíquotas, pois isso seria uma réplica. 
Teria que pegar outro animal. Mesmo ejaculados diferentes de um mesmo 
animal não é indicado, pois a estatística é para indivíduos diferentes. Embora 
nesse caso em que a resposta é muito instável pode ser considerada a 
possibilidade de utilizar 2 ejaculados de um mesmo animal. Na possibilidade de 
usar vários ejaculados de cada animal, pode-se fazer a média das alíquotas de 
cada tratamento para representar cada animal. Mas não justifica pegar 2 
amostras por animal, pois seria feita a média das duas (para as alíquotas de 
cada tratamento). Como animal já está sendo controlado e o CV seria muito 
baixo, pois há alta precisão experimental com apenas 1 amostra por animal 
(variação do indivíduo seria controlada e a comparação dos 3 diluentes seria 
feita em alíquotas homogêneas), não há porque pegar 2 amostras. Da mesma 
forma, poderiam ser blocados leite, queijo, produtos de supermercado dos quais 
seriam retiradas alíquotas. 
De volta ao experimento de 4 dietas em 24 porcos desmamados: 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl 
Total (n-1) 23 
Entrada 2 
Dieta 3 
Erro (variação intra-grupo) 18 
O método é encontrar uma soma de quadrados (variação total dos 20 animais) e 
fazer a partição. Foram usados 24 animais (mais 4 animais fora aproveitados), 
sendo 6 repetições para cada dieta. As fontes de variação são: a entrada (gl = 
2), a dieta (gl = 3) e o erro experimental (gl = diferençaà 23 – 5 = 18). 
Þ O valor do gl do erro não deve ser inferior a 10, senão o valor tabelado 
aumenta muito. 
Na condução do experimento deve-se ter habilidade para controlar os fatores, 
ajustar a amostra para levar a uma precisão experimental mais alta. 
 
Experimento: 
Amostra: Sêmen resfriado a 4º C mantidos por 36 horas, em 4 alíquotas para cada um 
de 5 animais 
Tratamentos: gema, leite, coco e citrato 
Resposta: % de motilidade 
 19
DESENHO DO ESTUDO 
Jumento gema leite coco citrato TOTAL 
1 80 76 77 65 298 
2 72 65 60 50 247 
3 63 55 53 48 219 
4 83 75 73 64 295 
5 76 70 69 57 272 
TOTAL 374 341 332 284 1331 
Bloco: todos os 4 tratamentos passam por cada bloco 
Casualizado: os tratamentos são sorteados dentro de cada bloco 
Se fosse inteiramente casualizado, o sorteio dos tratamentos seria realizado 
para as 20 amostras. A realização de um único sorteio, um único animal 
poderia ficar com 2 tratamentos diferentes. Quando o sorteio é feito por bloco, 
cada tratamento tem uma repetição num determinado animal. 
Nesse caso não pode haver 2 repetições dentro de um mesmo bloco, pois o bloco 
é o animal. Se houvesse mais de uma repetição no mesmo bloco seria réplica. 
Quando o espaço físico é blocado, é possível ter mais de uma repetição por 
bloco. 
Quando o indivíduo (pessoa ou animal) é blocado e o tratamento é o tempo, não 
há como sortear o tempo, pois é seqüencial. Mesmo assim e um delineamento 
em blocos casualizados. Desenhos com tratamentos dependentes de tempo será 
discutido em “parcela subdividida”. O que caracteriza o delineamento em bloco 
não é o sorteio, mas o fato de cada estrato receber todos os tipos de tratamento. 
Uma pessoa sendo analisada sobre perda de peso aos 7, 14 e 21 dias é um 
bloco, pois ela tem uma informação de cada tratamento (tempo) [no caso de 
bloco por espaço físico pode ser mais de uma informação, mas deve ser em 
igual número]. 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl Soma de 
Quadrados 
Quadrado médio 
(variância do erro 
experimental) 
Total (n-1) 19 1.992,95 
Animal 4 1.117,70 
Diluente 3 829,35 
Erro 
(variação intra-grupo) 12 45,90 3,825 
SQ TOTAL (o método baseia-se em partir essa variação total) 
( )
20
1331
57...80
2
22 -++=totalSQ 
95,992.105,578.88571.90 =-=totalSQ 
 20
SQ ANIMAL 
( )
20
1331
4
272
4
295
4
219
4
247
4
298
44444
2222222
5
2
4
2
3
2
2
2
1 -++++=-++++= FC
aaaaa
SQanimal
 
70,117.105,578.8875,695.89 =-=animalSQ 
a motilidade é uma resposta muito instável: de uma variação total de 1.992,95, 
1.117,70 é atribuída ao animal. Indica que é conveniente blocar o animal, 
senão, toda essa variação do animal seria atribuída ao erro, ficando muito 
difícil assim mostrar as diferenças entre as médias. 
SQ DILUENTE 
( )
20
1331
5284
5
332
5
341
5
374
5555
222222
4
2
3
2
2
2
1 -+++=-+++= FCddddSQdiluente 
35,82905,578.8840,407.89 =-=diluenteSQ 
SQ ERRO 
Obtido pela diferença: 
SQe = SQt – SQa – SQd = 45,90 
QMe (S2) 
825,3
12
9,45 ===
gl
SQeQMe 
CV 
94,2100
55,66
825,3
100 =´=´=
geralX
S
CV Þ tamanho do erro experimental (muito bom, abaixo 
de 5%) 
A média geral pode ser a média das médias dos quatro tratamentos ou 1.331/20. 
A variável apresenta grande instabilidade, porém o delineamento em bloco 
utilizando alíquotas permitiu que o ensaio obtivesse uma alta precisão 
experimental (CV = 2,94). A comparação será feita com alta confiança. Se o 
resultado for igual é porque é igual mesmo. Se o CV fosse alto, um resultado de 
igualdade não teria confiança, pois a estimativa seria feita com o erro 
superestimado. 
CV muito baixo, deveria adotar o teste de Tuckey, portanto vamos usar o t para 
seguir uma seqüência didática até o tópico “escolha de testes”. 
DMS (teste t) 
r
QMetdms 212%,5 ´= 
 21
%70,2
5
825,32179,2 =´´=dms Þ diferença menor que 2,7% não é 
significativa. 
Uma diferença entre duas médias que seja menor que a dms é considerada uma 
diferença casual, aleatória. Uma diferença superior indica que há um efeito 
significativo do diluente na motilidade do sêmen. 
Colocar as médias em ordem facilita a comparação. 
QUADRO DE COMPARAÇÃO 
diluente média Classif. 
Gema 74,8 A 
Leite 68,4 B 
Coco 66,4 B 
Citrato 56,8 C 
Médias seguidas de letras distintas 
diferem pelo teste t (p < 0,05). 
Þ quando é diferente, p< 
Não cabe a um programa recomendar delineamentos. Há duas questões: 
escolha do teste e escolha do delineamento. 
Há dois critérios para escolher o teste: o número de tratamentos utilizado e a 
instabilidade da resposta (CV). Quanto menor o erro (QMe), deve-se utilizar 
testes mais rigorosos. Quanto maior o erro, usa-se um teste menos rigoroso, 
mais sensível, que evidencia o efeito. Para o delineamento, depende da forma de 
comparação das variáveis. É circunstancial e ligado ao controle local e de 
tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
5 DELINEAMENTO EM QUADRADO LATINO 
 
Situação experimental: 
Resposta: quantidade de aflatoxina em cinco produtos à base de milho 
Tratamentos: cinco métodos de detecção de aflotoxina 
· Há 7 laboratoristas 
· Cada laboratorista faz um exame por dia 
Nesse caso, vamos escolher o método que detecta maior quantidade de 
aflotoxina. 
QUADRADO LATINO (5X5) 
 Prod 1 Prod 2 Prod 3 Prod 4 Prod 5 
Lab 1 M2 M3 M4 M5 M1 
Lab 2 M3 M4 M2 M1 M5 
Lab 3 M1 M2 M5 M4 M3 
Lab 4 M5 M1 M3 M2 M4 
Lab 5 M4 M5 M1 M3 M2 
Blocos foram formados nas linhas e colunas. O sorteio dos métodos pode ser 
feito com sorteio sistematizado, de forma que não haja repetição de métodos por 
laboratorista ou produto. 
 
Sorteio sistematizado 
 
O sorteio sistematizado é realizado em três etapas: distribuição de métodos, de linhas e 
de colunas. As letras correspondem ao método. O preenchimento começa com a letra A 
e cada linha subseqüente começa uma coluna deslocada à direita (em negrito). As 
colunas à esquerda, deixadas em branco são completadas na seqüência (em vermelho) 
Distribuição de métodos 
 C1 C2 C3 C4 C5 
L1 A B C D E 
L2 E A B C D 
L3 D E A B C 
L4 C D E A B 
L5 B C D E A 
Quadrado latino 5 X 5 Þ 25 unidades experimentais 
 
 23
Sorteio de linhas (L4, L3, L2, L1, L5) 
 P1 P2 P3 P4 P5 
L4 C D E A B 
L3 D E A B C 
L2 E A B C D 
L1 A B C D E 
L5 B C D E A 
Sorteio de colunas (P2, P3, P5, P1, P4) 
Croquis final do ensaio 
 P2 P3 P5 P1 P4 
L4 D E B C A 
L3 E A C D B 
L2 A B D E C 
L1 B C E A D 
L5 C D A B E 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl 
Total (n-1) 24 
laboratorista 4 
produto 4 
método 4 
Erro (variação intra-grupo) 12 
Se um laboratorista faltasse um dia, poderia-se estimar a parcela perdida, mas 
com o inconveniente de perder em gl do erro e aumento de variância. Uma 
melhor alternativa seria adiar de forma que todos os laboratoristas pudessem 
fazer o exame num outro dia. 
VARIAÇÕES NO DELINEAMENTO 
 
E se fosse possível que o laboratorista pudesse fazer mais de um teste por dia? Dois 
exames por dia, por exemplo? 
QUADRADO LATINO 5 × 5 
 C1 C2 C3 C4 C5 
L1 A B C D E 
L1 E A B C D 
L2 D E A B C 
L2 C D E A B 
L3 B C D E A 
Daria para usar apenas 3 laboratoristas, ganhando nos gl. 
 24
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl 
Total (n-1) 24 
laboratorista 2 
produto 4 
método 4 
Erro (variação intra-grupo) 14 
Se fossem 4 métodos a serem testados, usaríamos 4 laboratoristas 
QUADRADO LATINO 4 X 4 
 C1 C2 C3 C4 
L1 A B C D 
L2 D A B C 
L3 C D A B 
L4 B C D A 
Þ 16 unidades experimentais 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl 
Total (n-1) 15 
laboratorista 3 
produto 3 
método 3 
Erro (variação intra-grupo) 6 
Nesse caso, o número de gl é extremamente baixo, fazendo com que a confiabilidade 
seja perdida e impossibilitando a condução do experimento. 
Para solucionar esse problema, de forma a viabilizar a realização do experimento 
poderia-se fazer 2 quadrados latinos 4 × 4, resulatando em 32 unidades experimentais. 
Porém com o cuidado de não utilizar réplicas. Usar amostras diferentes, podendo usar 
os mesmos laboratoristas, não sendo assim considerado réplica porque a medida não é 
avaliada neles. No total seriam 8 produtos sendo analisados. Faz-se um segundo 
quadrado latino após o encerramento do primeiro. 
Com a execução de dois quadrados latinos aparece uma nova fonte de variação. Entre 
um quadrado e outro há variação. 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA (para 2 quadrados latinos 4 × 4) 
Fonte de Variação gl 
Total (n-1) 31 
Quadrado Latino 1 
laboratorista 3 
produto (4-1)+(4-1) 6 
método 3 
Erro (variação intra-grupo) 18 
 25
Agora esse experimento pode ser realizado com confiabilidade aceitável. 
Poderiam ser utilizados novos 4 laboratoristas, mas se os mesmos 4 
laboratoristas puderem fazer o segundo quadrado latino é melhor para gl. Com 4 
novos laboratoristas haveria 6 gl para laboratorista e 15 gl para o erro, ainda 
confiável. 
Os sorteios do primeiro e do segundo quadrados são independentes, pois se 
houve alguma tendência, mesmo que casual, no primeiro sorteio, sendo o 
segundo sorteio realizado de forma independente, dá-se a chance dessa 
tendência não se manifestar. 
Situação Experimental 
Ensaio de competição de 5 variedades de cana-de-açúcar (variação de fertilidade no 
terreno em declive) 
Resposta: produção em quilos por parcela 
Repetições: 5 variedades A (CO-290); B (CO-421); C (CO-419); 
D (POJ-2878); E (CP-36-13) 
Terreno foi dividido em 25 lotes (5 × 5) 
Colunas: bloco 
Linhas: bloco 
QUADRADO LATINO 5 × 5 
 
 C1 C2 C3 C4 C5 Total Total de cada variedade (nome da variedade em parênteses) 
L1 
D 
432
A 
518
B 
458
C 
583
E 
331 2.322 
L2 
C 
724
E 
478
A 
524
B 
550
D 
400 2.676 
L3 
E 
489
B 
384
C 
556
D 
297
A 
420 2.146 
L4 
B 
494
D 
500
E 
313
A 
486
C 
501 2.294 
L5 
A 
515
C 
660
D 
438
E 
394
B 
318 2.325 
A (CO-290) = 518+524+420+486+515=2.463 
B (CO-421) = 458+550+384+494+318=2.204 
C (CO-419) = 583+724+556+501+660=3.024 
D (POJ-2878) = 432+400+297+500+438=2.067 
E (CP-36-13) = 331+478+489+313+394=2.005 
 2.654 2.540 2.289 2.310 1.970 
Total Geral 11.763 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl SQ QM 
Total (n-1) 24 257,724 
Linha 4 30,48 
Coluna 4 55,64 
Variedades 4 137,49 
Erro (variação intra-
grupo) 
12 34,12 2,84 kg2 
Os meus resultados foram iguais aos apresentados na aula (anotados acima), 
porém × 1.000 
Declive 
 26É possível afirmar que a variação entre as colunas é maior do entre as linhas. Significa 
que o solo varia mais no sentido “horizontal” do que no “vertical”, considerando o 
esquema do quadrado latino. 
A variação entre linhas ou entre colunas também poderia ser verificada da mesma forma 
em que é verificada para as variedades, mas nesse estudo, o objetivo não é esse. No caso 
de um galpão onde são realizados vários experimentos pode ser interessante verificar a 
variação dos locais em seu interior. 
Nesse experimento, mesmo que não seja encontrada diferenças entre colunas e/ou 
linhas, a estrutura de quadrado latino deve ser seguida, pois o sorteio já foi realizado de 
forma que alterar o delineamento posteriormente ao sorteio implica em alteração dos 
resultados. 
SQ total (obs. resultados 1000 vezes maior que os apresentados na aula) 
( )
24,724.25776,726.534.5451.792.5
25
763.11
318...432
2
22 =-=-++=totalSQ 
SQ linha (obs. resultados 1000 vezes maior que os apresentados na aula) 
FCSQlinha -++++= 5
325.2
5
294.2
5
146.2
5
676.2
5
322.2 22222
 
64,480.3076,726.534.540,207.565.5 =-=linhaSQ 
SQ coluna (obs. resultados 1000 vezes maior que os apresentados na aula) 
FCSQcoluna -++++= 5
970.1
5
310.2
5
289.2
5
540.2
5
654.2 22222
 
64,640.5576,726.534.540,367.590.5 =-=colunaSQ 
SQ variedade (obs. resultados 1000 vezes maior que os apresentados na aula) 
FCSQ iedade -++++= 5
005.2
5
067.2
5
024.3
5
204.2
5
463.2 22222
var 
24,488.13776,726.534.5215.672.5var =-=iedadeSQ 
SQ erro (obs. resultados 1000 vezes maior que os apresentados na aula) 
SQe = SQt – SQl – SQc – SQv = 34.114,72 
QMe (S2, erro experimental) (obs. resultados 1000 vezes maior que os apresentados na 
aula) 
893,842.2
12
72,114.34 ===
gl
SQeQMe 
CV 
%332,11100
52,470
893,842.2
100 =´=´=
geralX
S
CV 
(na aula o valor encontrado foi 0,36%) Þ extremamente confiável, tornando o 
teste muito sensível para detectar igualdade entre médias. 
 27
O quadrado latino é um delineamento que apresenta um alto controle de 
variação. 
São pré-requisitos, para realização do quadro da ANOVA: a distribuição normal, 
variâncias homogêneas, num modelo aditivo, no qual cada repetição é a soma do efeito 
médio geral, mais o da sua coluna, mais o da sua linha, mais o da sua variedade mais o 
erro aleatório. Os efeitos têm que ser somados, e não multiplicados. Se os efeitos são 
multiplicados, pode-se notar pela perda da homogeneidade e da conformidade. Nesse 
caso, uma transformação logarítmica pode resolver tornando os efeitos aditivos. 
Comparação das 5 médias, que é o objetivo do ensaio: 
DMS (teste t) 
32,2
5
84,22
179,2
5
84,22
12%,5 =
´
´=
´
´= tdms Þ resultado apresentado na 
aula 
480,7372,33179,2
5
787,685.5179,2
5
893,842.22
12%,5 =´=´=
´´= tdms
 
QUADRO DE COMPARAÇÃO 
variedades média Classif. Classif. (aula) 
C 604,8 A A 
A 492,6 B B 
B 440,8 BC C 
D 413,4 C D 
E 401,0 C E 
Médias seguidas de letras distintas diferem pelo teste t 
(p < 0,05). 
(diferenças menores do que dms são atribuídas ao 
erro aleatório) 
Se gl for menor que 10, não há confiabilidade. O experimento deve ser criticado e 
sugere-se 
Exemplo: situação experimental à quadrado latino 4 × 4 
Resposta: quantidade de aflatoxina em produtos à base de milho 
Tratamentos: 4 métodos de detecção de aflatoxina 
· Há 10 laboratoristas 
· Cada laboratorista faz 2 exames por dia 
Nesse caso, vamos escolher o método que detecta maior quantidade de 
aflotoxina. 
Detalhes do experimento: 
Devem ser blocados os laboratoristas e os produtos. Os métodos são o objetivo do 
experimento. 
 28
Laboratorista: Às vezes não é necessário usar todas as pessoas disponíveis. Usar 
4 laboratoristas fazendo 2 exames por dia (3 gl) é mais eficiente do que 8, pois 
aumenta gl (6 gl) para os laboratoristas, reduzindo assim os gl do erro. 
Métodos: sorteio sistematizado. 
Produto à base de milho: O produto é um lote. Só podem ser retiradas 4 
alíquotas de cada produto (lote), uma repetição para cada método. Não podem 
ser usadas réplicas. Deve usar 4 produtos num quadrado e 4 em outro. 
 
P1 à saco de 50kg de farinha 
P2 à saco de 50 kg de fubá 
P3 à saco de 50 kg de farinha de milho 
P4 à saco de 50 kg de fubá de marca ou lote diferente 
DOIS QUADRADOS LATINOS 4 × 4 
primeiro quadrado latino 4 x 4 para aflatoxina segundo quadrado latino 4 x 4 para aflatoxina 
Dia 1 Dia 2 Dia 3 Dia 4 
P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 
L1 M2 M3 M4 M1 L1 
L2 M1 M2 M3 M4 L2 Outro sorteio sistematizado 
L3 M3 M4 L3 
L4 M4 M1 L4 
 
O sorteio sistematizado deve ser feito novamente para o segundo quadrado latino. 
Sempre que possível, o sorteio deve ser independente. O objetivo do delineamento é 
controlar as fontes de variação. No caso de usar só um laboratorista não haveria o 
fator de variação do laboratorista, mas ele teria qua fazer 4 experimentos em um único 
dia. Se ele fizesse 2 exames por dia, o dia já seria um fator de variação que teria que 
ser blocado. Na necessidade de blocar o dia, é necessário que todos os experimentos 
sejam realizados num dia. 
A estratégia de blocar apresenta vantagem, pois é muito mais confiável blocar uma 
possível fonte de variação do que supor que a variação não existe ao confiar num teste 
de concordância. A variação interexaminadores (a maior variação existente) é anulada 
pelo delineamento. 
 DOIS QUADRADOS LATINOS 4 X 4 
PARA AFLATOXINA 
 P1 P2 P3 P4 TOTAL 
L1
C 
288 
B 
288 
A 
276 
D 
300 1152 
L2
D 
272 
C 
256 
B 
284 
A 
272 1084 
L3
A 
240 
D 
296 
C 
236 
B 
300 1072 
L4
B 
272 
A 
264 
D 
292 
C 
264 1092 
1072 1104 1088 1136 4400 
 
 P5 P6 P7 P8 TOTAL 
L1
D 
271 
A 
264 
B 
284 
C 
264 1083 
L2
A 
252 
B 
288 
C 
234 
D 
302 1076 
L3
B 
283 
C 
255 
D 
290 
A 
275 1103 
L4
C 
288 
D 
296 
A 
269 
B 
303 1156 
1094 1103 1077 1144 4418 
Total Geral 8818 
Sorteio 
sistematizado 
 29
Observa-se variação entre os laboratoristas, entre produtos e entre os 
quadrados. 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl SQ QM 
Total (n-1) 31 11.331,87 
Quadrados Latinos 1 10,125 
Laboratoristas 3 709,125 
Produtos [(4-1)+(4-1)] 6 1.167,25 
Métodos 3 5.681,625 
Erro (variação intra-grupo) 18 3.763,75 209,0972 
A soma de quadrados total é realizada para o ensaio como um todo. No livro, aparece 
para Produtos gl = 7, mas não aparece 1 gl para Quadrados latinos. É preferível listar 
separadamente para não confundir, pois laboratoristas e produtos fazer parte da fonte de 
variação do delineamento, mas o delineamento é repetido, surgindo a nova fonte de 
variação que é a repetição do delineamento. Métodos são o objeto de estudo. 
 
SQ Total 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 87,331.11
32
818.8
303269...288288
2
2222 =-++++=totalSQ 
SQ Quadrado Latino 
( ) ( ) ( )
125,10
32
818.8
16
418.4400.4 222
=-
+
=QLSQ 
SQ Laboratóristas 
Totais de Laboratoristas 
1 = 1152+1083 
2 = 1084+1076 
3 = 1072+1103 
4 = 1092+1156 
( ) ( ) ( )
125,709
8
11561092
...
8
10761084
8
10831152 222
=-
+
++
+
+
+
= FCSQ olaboratóri
 
SQ Produto 
Os produtos que estão no primeiro quadrado latino não são os mesmos dos que 
estão no segundo quadrado. 
( ) ( ) ( ) ( )
25,167.1
4
144.1
4
077.1
...
4
104.1
4
072.1 2222
=-++++= FCSQproduto 
 
Repetição do 
delineamento 
delineamento 
 30
SQ Método 
Métodos: 
A = 276+272+240+264+264+252+275+269 = 2.112 
B = 2.302 
C = 2.085 
D = 2.319 
( ) ( )
625,681.5
8
319.2...112.2 22
=-
++
= FCSQmétodoSQ ERRO 
SQe = SQt – SQa – SQd = 3.763,75 
 
QMe (S2) 
0972,209
18
75,763.3
===
gl
SQe
QMe 
CV 
%25,5100
5625,275
0972,209
100 =´=´=
geralX
S
CV 
CV baixo indica alta precisão. Intervalo de confiança estreito e é fácil detectar 
diferenças. Se o resultado mostrar igualdade entre métodos é porque eles 
realmente o são. 
 
Comparação dos métodos 
DMS (teste t) 
19,15
8
0972,2092
18%,5 =
´
´= tdms Þ r no denominador é o número sobre o qual 
foram calculadas as médias as serem 
comparadas. 
QUADRO DE COMPARAÇÃO 
MÉTODO média MÉTODO média Classif. 
1 264,00 4 289,875 a 
2 287,75 2 287,75 a 
3 260,625 1 264,00 b 
4 289,875 3 260,625 b 
Médias seguidas de letras distintas diferem pelo teste t (p < 0,05). [a = 0,05 é o 
mesmo que (p < 0,05)] 
 31
INTERAÇÃO ENTRE FATORES 
Até agora estudamos tratamentos com apenas um fator. Porém na experimentação 
muitas vezes vários fatores são estudados ao mesmo tempo. Por exemplo, no estudo de 
dietas, pode ser interessante estudar o efeito de níveis diferentes de proteína combinado 
a diferentes níveis calóricos, definindo qual é a melhor combinação. 
O mais comum é estudar a interação entre 2, 3 ou até 4 fatores. A interação de mais 
fatores tornam a interpretação mais complexa. 
Arranjo Fatorial 
Situação experimental: 
Estudo: dieta com 3 níveis de proteína e com 2 níveis de energia (caloria). 
Resposta: ganho de peso 
Repetições: 6 repetições por tratamento à 30 unidades experimentais 
A interação entre os níveis de proteína com os de energia resultam num fatorial 3 × 2. 
No caso desse experimento, será denominado “arranjo fatorial”. Cada nível de 
proteína será combinado com cada um dos níveis de energia, gerando 6 tratamentos. O 
arranjo do tratamento não tem nada a ver com delineamento. O delineamento vai 
depender do local e dos animais utilizados (fontes de variação a serem controladas). O 
arranjo fatorial é a forma de combinar os tratamentos analisados e compreender o efeito 
de cada combinação sobre o resultado medido. Esse tipo de estudo é muito vantajoso 
pois tem uma quantidade de informação muito maior: o efeito de cada um dos fatores e 
o da combinação entre eles. 
ARRANJO FATORIAL 3 × 2 
E1 P1 
E2 
E1 P2 
E2 
E1 P3 
E2 
6 tratamentos 
 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl gl (adequado à interação) SQ QM 
Total (n-1) 29 29 
Proteína (P) à 2 (P – 1) 
Energia (E) à 1 (E – 1) tratamento 
 
5 
P × E à 2 (P – 1) × (E – 1) 
Erro 24 24 
Os graus de liberdade do tratamento são divididos. A interação é o produto dos graus de 
liberdade dos fatores isolados (P × E). Os fatores isolados são estudados quando a 
interação é não-significativa. Em alguns casos, o resultado mostra que só justifica 
utilizar um fator se este for combinado com o outro, ou seja, isoladamente esse fator não 
tem efeito significativo. 
 32
Exemplo: situação experimental 
Qualidade de ovos em relação ao armazenamento em 2 temperaturas (4oC e 18oC) 
combinado à utilização de 2 tipos de embalagem (papelão e filme PVC) e medida nos 
tempos de estocagem de 5, 10, 15, 20 dias. 
Arranjo fatorial Þ 2 × 2 × 4 = 16 tratamentos 
Se fosse usar o modelo de ANOVA sem partição dos tratamentos: 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl 
Total (n-1) 
tratamento 15 
Erro 
 
Dividindo os graus de liberdade pelos tratamentos: 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl 
Total (n-1) 
Temperatura (T) 1 
Embalagem (E) 1 
Estocagem (Es) 3 
T×E 1 
T×Es 3 
E×Es 3 
T×E×Es 3 
Erro 
Os gl do tratamento foram divididos. Com o cálculo das somas de quadrado separadas 
para cada um dos fatores e suas combinações, é possível verificar qual fator exerce 
maior influência no resultado. 
Quando o número de tratamentos é aumentado, isso permite diminuir o número de 
repetições. Supondo um delineamento inteiramente casualizado, para conseguir 10 gl 
para o erro, 2 repetições seriam suficientes, ficando n=32 e gl do erro = 17. Há duas 
coisas a serem consideradas na experimentação: a estimativa do erro experimental e o 
cálculo da média. A estimativa do erro experimental, que deve ser igual à populacional 
(a verdadeira) e isso teoricamente é garantido se há um grande número de respostas 
sendo 10 gl suficientes. O cálculo da média é outro aspecto que às vezes fica esquecido, 
pois a média deve ser representativa do grupo e uma estimativa da variância 
individual. Mas com 2 repetições, as médias seriam calculadas sobre apenas 2 
repetições. Nesse caso, se houver valor atípico, esse valor alteraria demais a média, 
pois nesse caso, cada parcela representa 50% de peso no cálculo da média. No caso de 
perda, também seria problemático, pois uma só repetição impede o cálculo de média, 
sendo então perdida uma das combinações possíveis de tratamento. Recomenda-se 
então um cálculo amostral que forneça uma sobra. Com pelo menos 4 repetições, o 
peso de cada parcela é de 25% no cálcuo da média. 
 
15 
Interações de 1a.ordem 
(2 fatores) 
Interação de 2a.ordem 
(3 fatores) 
 33
4 repetições × 16 tratamentos Þ n= 64 à gl do erro = 48 
É possível estimar o cálculo amostral através dos gl. É uma forma prática com 
fundamentação estatística, mas quando a resposta é muito instável, é melhor calcular 
através do desvio-padrão da resposta. Às vezes 10 gl não é suficiente para variáveis 
instáveis. 
P.: Quando se usa análise de covariância? 
R.: Quando há um fator que entra na análise que não é o fator de estudo nem um 
fator desejado. Mas ele surge e é um problema que tem que ser contornado. Ele 
pode entrar como co-variavel. Essa covariável, apesar de não ser objeto de 
estudo, deve ser medida e colocada na análise de forma a determinar a influência 
da mesma sobre o resultado. 
 
Situação experimental: 
Um pesquisador estudou o efeito de vitamina B12 (0 e 50mg) e antibiótico (0, 250mg) 
em fêmeas de Pastor Alemão da desmama à puberdade. Delineamento inteiramente 
casualizado. 
Resposta: ganho de peso médio diário (em gramas) da genitália 
Experimento 
Antibiótico 0 250 
Resposta 
Vitamina 0 50 0 50 
1 1,30 1,19 1,05 1,56 
2 1,08 1,26 1,05 1,55 
3 1,19 1,21 1,00 1,52 
4 1,19 1,22 0,98 1,53 
Total 4,76 4,88 4,08 6,16 
Média 1,19 1,22 1,02 1,54 
Þ Fatorial 2 × 2 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl SQ QM 
Total (n-1) 15 0,60 
Antibiótico (A) 1 0,02 
Vit B12 (V) 1 0,30 
A + V 1 0,25 
Erro 12 0,03 0,0025 
 
SQ TOTAL 
( ) ( ) ( ) 60,0
16
88,19
53,1...3,1
2
22 =-++=totalSQ 
 
 34
SQ ANTIBIÓTICO 
( ) ( )
02,0
8
24,1064,9 22
=-
+
= FCSQA 
SQ VITAMINA 
( ) ( )
30,0
8
04,1184,8 22
=-
+
= FCSQV 
SQ TRATAMENTO (só os três: A, V e interação) 
( ) ( )
57,0
4
16,6...76,4 22
=-
++
= FCSQTRAT 
SQ A × V 
vitanttratVA SQSQSQSQ --=´ 
SQ ERRO 
Obtido pela diferença: 
SQe = SQT – SQA – SQV– SQA × V = 0,03 
QMe (S2) 
0025,0
12
03,0 ===
gl
SQeQMe 
CV 
%03,4100
24,1
0025,0
100 =´=´=
geralX
S
CV 
 
DMS (teste t) 
072,0
4
0025,02
12%,5 =
´´= tdms 
 
 Antibiótico 
Vitamina 0 250 dif 
Média 
geral 
0 1,19 a A 1,02 b B 0,17 1,10 
50 1,22 b A 1,54 a A -0,32 1,38 
dif -0,03 -0,52 
Média geral 1,20 1,28 
Médias seguidas de letras distintas, minúsculas na linha e maiúsculas na coluna, 
diferem pelo teste t (p < 0,05) 
(as médias não têm valor nesse caso, pois são utilizadas só quando não há 
interação entre os fatores.) 
 
 35
Exemplo com letras caracterizando ausência de interação (nesse caso, não são 
apresentadas as letras dentro do quadro: 
 0 250 
0 aB bB B 
50 aA bA A 
 a b 
GRÁFICO PARA MOSTRAR INTERAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando as retas são paralelas, ainteração é não significativa. 
Situação experimental: 
Ração enriquecida com 2 concentrações de cálcio e três de fósforo Deseja-se saber qual 
a combinação de concentração desses nutrientes leva ao maior ganho de peso em 
frangos de corte. 
Ca (2 e 4,5%) P (0,2; 0,5 e 0,8%) Þ (2 × 3) 
Resposta: peso aos 45 dias em kg 
Galpão com 6 lotes de 200 frangos 
4 galpões em diferentes localizações 
Unidade experimental: peso médio de 20 frangos 
 
Delineamento: 
Blocos casualizados, utilizando 4 galpões (blocos) com 6 repetições em cada bloco. 
Cada lote receberá um tratamento. Como cada lote tem 200 frangos, a medida será 
realizada só em 20 frangos cuja média é a unidade experimental. 
 
 Galpões 
P Ca I II II IV Total 
Total 
(Ca=2,0) 
Total 
(Ca=4,5) 
0,2 2,0 1,3 1,2 1,7 1,4 5,6 5,6 
0,2 4,5 2,0 1,8 2,1 1,9 7,8 7,8 
0,5 2,0 2,9 2,4 2,7 2,6 10,6 10,6 
0,5 4,5 2,9 2,7 3,5 3,1 12,2 12,2 
0,8 2,0 3,3 3,1 3,4 3,3 13,1 13,1 
0,8 4,5 1,9 1,5 2,5 1,7 7,6 7,6 
Total 14,3 12,7 15,9 14,0 56,9 29,3 27,6 
1,1 
1,2 
1,4 
1,54 
0 
antibiótico 
0 
vitamina 
250 
antibiótico 
1,22 
1,60 
 36
 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl SQ QM 
Total (n-1) 23 12,0696 
Galpão 3 0,8646 
Cálcio (Ca) 1 0,121 
Fósforo (P) 2 6,086 
Ca × P 2 4,585 
Erro 15 0,4129 0,0275 
 
SQT = (1,3)2+...+(1,7)2 – G2/24 
SQgalpão = (Bl1)2 + ... + (Bl4)2 – FC 
SQCa = [(29,3)2+(27,3)2]/12 – (56,9)2/24 
SQP = [(13,4)2+(22,8)2+(20,7)2]/8 – (56,9)2/24 
SQtrat = [(5,6)2+ ... +(7,6)2]/4 – FC = 10,792 
SQCa × P = SQtrat – SQca – SQP 
%99,6100
37,2
0275,0
=´=CV 
25,0
4
0275,02
15%,5 =
´
´= tdms 
 
QUADRO DE COMPARAÇÃO 
 Fósforo 
Cálcio 0,2 0,5 3,28 
2 1,4 c B 2,65 b B 3,28 a A 
4,5 1,95 b A 3,05 a A 1,9 b B 
Médias seguidas de letras distintas, minúsculas 
na linha e maiúsculas na coluna, diferem pelo 
teste t (p < 0,05) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 37
Interação entre fatores (continuação) 
Os tratamentos estatísticos, quando há interação entre fatores, estão combinados de 
forma em que todos os níveis de um fator estão presentes em todos os níveis de outro 
fator. 
Arranjo em parcela subdividida 
Tanto o arranjo fatorial quanto o arranjo em parcelas subdivididas são formas de 
compor o tratamento estatístico, que estão dentro de um delineamento. O delineamento 
é decorrente quase sempre de uma restrição (uniformidade de ambiente, amostra) que 
leva à formação de blocos. 
Situação experimental 
Carga parasitária de esquistossomose no volume globular em coelhos aos 7, 14 e 21 dias 
pós infecção. 
Tratamentos: 
· Ausência de carga (controle) Þ 7, 14 e 21 dias 
· Carga de 103 Þ 7, 14 e 21 dias 
· Carga de 106 Þ 7, 14 e 21 dias 
Resposta: volume globular (fluxo continuado, medido aos 7, 14 e 21 dias) 
Unidades experimentais: 15 Coelhos (grupo homogêneo) 
Há interação entre fatores, pois queremos estudar 3 cargas em 3 dias para cada fator. A 
interação é 3 × 3, mas diferentemente do arranjo fatorial, cada animal gera 3 
informações. Nesse caso, um animal foi alocado ao tratamento (carga do parasita) 
através de sorteio. Porém, as avaliações nos dias 7, 14 e 21 são realizadas num mesmo 
animal. O fator carga é subdividido, sendo que cada unidade experimental gera 3 
resultados. Quando dentro de um fator várias respostas são geradas, configura-se um 
tipo de arranjo em parcelas subdivididas (split plot). Esse ensaio apresenta um 
delineamento inteiramente casualizado com carga na parcela e tempo na subparcela. É 
comum que o tempo, num experimento, seja subparcela num arrajno em parcela 
subdividida. Porém deve-se estar atento porque nem sempre esse é o caso. 
É necessário que a resposta seja de fluxo continuado. Se o animal tiver que ser 
sacrificado, não é possível reutilizar a parcela. Daí, torna-se necessário usar o arranjo 
fatorial. 
Exemplo: 
Experimento para verificar produção de matéria seca em variedades de 
sorgo nas 4 estações do ano. A variedade de sorgo será a parcela. As 
respostas para cada estação do ano serão medidas em cada variedade. 
 38
Situação experimental 
O sêmen é estocado em uma temperatura constante e quando é descongelado, há um 
tempo do retorno à condição de utilização. Sêmen eqüino em três tempos de estocagem 
(12, 24 e 48 hs) × velocidade de retorno (A, B). 
O ejaculado de um animal é dividida em 3 amostras (A1, A2 e A3). As 3 amostras serão 
sorteadas para tempo de estocagem T12, T24 e T48. Cada uma das amostras será 
dividida em 2 alíquotas, as quais serão sorteadas para as velocidades de retorno (VA e 
VB). Esse procedimento é realizado em todas as repetições do experimento (animais). 
Resposta: porcentagem de defeitos no acrossoma. 
Blocos: os animais são blocados 
(vantagem para o controle de variação nesse caso em que a resposta é muito 
instável e é possível obter alíquotas de material proveniente de animais difíceis 
de serem obtidos em quantidade) 
 
Alíquota 1 
(sorteado p/ Vel B) 
 
Amostra 1 
(sorteado p/ 48hs) Alíquota 1 
(sorteado p/ Vel A) 
Alíquota 1 
(sorteado p/ Vel A) Animal Þ 1 ejaculado 
(1 repetição = 1 animal) 
Amostra 2 
(sorteado p/ 12 hs) Alíquota 1 
(sorteado p/ Vel B) 
Alíquota 1 
(sorteado p/ Vel A) 
 
Amostra 3 
(sorteado p/ 24 hs) Alíquota 1 
(sorteado p/ Vel B) 
 
Tempo de estocagem × Velocidade de retorno 
3 × 2 = 6 tratamentos à t1: 48, VB 
 à t2: 48, VA 
 à t1: 12, VA 
 à t1: 12, VB 
 à t1: 24, VA 
 à t1: 24, VB 
 
Delineamento em blocos casualizados e arranjo em parcelas subdivididas com tempo de 
estocagem na parcela e velocidade de retorno na subparcela 
(nem sempre o tempo é subparcela) 
Situação experimental 
Estudar 5 anestésicos em cães. Há limitação para obtenção de animais uniformes e 
espaço no hospital. 
Resposta: freqüência cardíaca em 3 tempos (fluxo continuado). 
 39
Repetições: 5 cães (serão utilizados apenas 5 cães) 
Arranjo fatorial: 5 × 3 = 15 (5 anestésicos em 3 tempos) 
 
Delineamento em quadrado latino e arranjo em parcela subdividida 5 × 3, 
sendo os anestésicos as parcelas e os tempos de avaliação as subparcelas 
 Sem. 1 Sem. 2 Sem. 3 Sem.4 Sem. 5 
10 min 10 min 10 min 10 min 10 min 
20 min 20 min 20 min 20 min 20 min Cão 1 B 
30 min 
D 
30 min 
E 
30 min 
C 
30 min 
A 
30 min 
10 min 10 min 10 min 10 min 10 min 
20 min 20 min 20 min 20 min 20 min Cão 2 C 
30 min 
B 
30 min 
A 
30 min 
E 
30 min 
D 
30 min 
10 min 10 min 10 min 10 min 10 min 
20 min 20 min 20 min 20 min 20 min Cão 3 D 
30 min 
A 
30 min 
C 
30 min 
B 
30 min 
E 
30 min 
10 min 10 min 10 min 10 min 10 min 
20 min 20 min 20 min 20 min 20 min Cão 4 A 
30 min 
E 
30 min 
B 
30 min 
D 
30 min 
C 
30 min 
10 min 10 min 10 min 10 min 10 min 
20 min 20 min 20 min 20 min 20 min Cão 5 E 
30 min 
C 
30 min 
D 
30 min 
A 
30 min 
B 
30 min 
à B (10, 20, 30 min) Þ parcela (soma das 5 repetições) 
à B (10 min) Þ subparcela (soma das 5 repetições) 
Todos os 5 cães serão subemtidos aos 5 anestésicos e todos os anestésicos serão 
testados em todas as semanas. As respostas serão medidas em 3 tempos para cada 
anestésico. O estudo deverá ser realizado num prazo de 5 semanas, dando um tempo de 
recuperação (wash-out) do efeito residual do tratamento anterior antes de proceder o 
seguinte. Delineamento em quadrado latino e arranjo em parcelas subdivididas com 
anestésico na parcela e os tempos de avaliação na subparcela. 
Nos delineamentos estudados anteriormente, o quadro da ANOVA apresentava 
somente um tipo de erro. Nos arranjos em parcela subdividida há dois tipos de 
erro: erro a e erro b. 
Erros a e b 
Erro a Þ variação individual atribuída à parcelaErro b Þ variação individual atribuída à subparcela 
Na comparação das médias, ora é utilizado o erro a, ora o erro b e outras vezes os dois 
erros são utilizados com ponderação. Portanto as análises com dms serão realizadas três 
vezes: a, b e ponderada. 
O valor da resposta de cada uma das 5 combinações do tratamento com o anestésico B, 
medida aos 10 minutos (B-10) é uma subparcela. Os valores dessas 5 subparcelas 
apresentam variação individual. Essa variação que ocorre dentro de uma mesma 
subparcela será chamada de erro b: erro da subparcela. O mesmo ocorre com as 
combinações B-20, B-30, A-10, A-20, A-30 e assim por diante, gerando também uma 
 40
variação individual para essas subparcelas. A média dessas variações individuais das 
subparcelas vai gerar o erro b. 
Quando é considerado o resultado de cada anestésico, esse é a soma das suas respectivas 
subparcelas, gerando o resultado da parcela. A soma de B-10, B-20 e B-30 nas 5 
repetições resulta na resposta da parcela B. Os resultados de cada uma das 5 parcelas 
também apresentam variação. A média das variações das parcelas é chamada de erro 
a. 
Da mesma forma que no arranjo fatorial, o arranjo em parcelas subdivididas 
tem o objetivo de avaliar qual a melhor combinação de tratamentos. Pela forma 
de condução do experimento, quando um fator está incluído no outro, 
configura-se uma forma específica de arranjo fatorial denominada parcela 
subdividida. 
Não é raro o pesquisador dividir um experimento cuja resposta é avaliada por 
tempo. Isso gera um prejuízo devido ao efeito do tamanho amostral. 
Considerando esse experimento como exemplo, há 75 repetições. Quando o 
experimento é dividido em 3 ensaios, um para cada um dos tempos de 
avaliação, cada experimento resultante teria n = 25. Outra limitação da divisão 
é que no estudo dividido não podem ser feitas comparações entre os tempos, ao 
contrário do ensaio completo no qual pode-se avaliar a evolução da resposta 
nos 3 tempos, inferindo a partir das comparações entre resultados obtidos nos 
diferentes tempos. A divisão do estudo leva a duas perdas: informação e 
precisão experimental. 
Exemplo: 
Suplementação na dieta de frangos com duas concentrações de Cálcio, e outra de 
Fósforo com três níveis de concentração. A resposta será medida em 45 e 90 
dias. 
As parcelas são o arranjo fatorial 2 × 3, mais um terceiro fator (tempo) que é a 
subparcela. As subparcelas são os tempos de avaliação para cada parcela (2 × 3 
× 2). 
No caso do animal for abatido (resposta descontinuada) o mesmo estudo deverá 
ser reconfigurado apenas em arranjo fatorial, havendo necessidade de dobrar a 
amostra para avaliar o fator tempo. 
 
Ca P Tempo 
45d 
0,2 
90d 
45d 
0,5 
90d 
45d 
2,0 
0,8 
90d 
45d 
0,2 
90d 
45d 
0,5 
90d 
45d 
4,5 
0,8 
90d 
 41
Nesse caso, há um arranjo fatorial na parcela composta por 2 fatores, mais um 
terceiro fator na subparcela. Se a resposta não fosse continuada, caso o animal 
tivesse que ser abatido, não seria parcela subdividida, mas somente arranjo 
fatorial. Haveria dessa forma necessidade de compensar o tamanho amostral 
aumentando o número de repetições. 
Continuação da situação experimental anterior, porém com tempos de estocagem de 
12, 24, 36. 
O sêmen é estocado em uma temperatura constante e quando é descongelado, há 
um tempo do retorno à condição de utilização. Sêmen eqüino em três tempos de 
estocagem (12, 24 e 36 hs) × velocidade de retorno (A, B). 
O ejaculado de um animal é dividida em 3 amostras (A1, A2 e A3). As 3 
amostras serão sorteadas para tempo de estocagem T12, T24 e T36. Cada uma 
das amostras será dividida em 2 alíquotas, as quais serão sorteadas para as 
velocidades de retorno (VA e VB). Esse procedimento é realizado em todas as 
repetições do experimento (animais). 
Resposta: porcentagem de defeitos no acrossoma. 
Blocos: os animais são blocados 
Repetições: 10 animais produzindo 60 alíquotas de sêmen 
Delineamento em blocos casualizados e arranjo em parcelas 
subdivididas com tempo de estocagem na parcela e velocidade de 
retorno na subparcela 
 Tempo de estocagem Totais 
 Vel. 12 24 36 sub A sub B Animais 
Animal 1 A 8 10 16 34 
 B 12 15 19 46 
80 
Animal 2 A 3 7 11 21 
 B 6 12 18 36 
57 
Animal 3 A 10 13 20 43 
 B 15 17 23 55 
98 
Animal 4 A 4 6 13 23 
 B 6 10 17 33 
56 
Animal 5 A 9 12 19 40 
 B 14 18 24 56 
96 
Animal 6 A 5 6 11 22 
 B 11 15 22 48 
70 
Animal 7 A 7 10 15 32 
 B 10 18 23 51 
83 
Animal 8 A 5 9 13 27 
 B 9 16 23 48 
75 
Animal 9 A 13 14 21 48 
 B 17 22 29 68 
116 
Animal 10 A 4 8 9 21 
 B 9 13 20 42 
63 
TOTAIS 177 251 366 311 483 794 
10 animais × 3 estocagens × 2 velocidades 
10 × 3 × 2 = 60 observações ou U.E. (cada unidade é uma subparcela) 
 Totais das parcelas 
 12 24 36 
Animal 1 20 25 35 
Animal 2 9 19 29 
Animal 3 25 30 43 
Animal 4 10 16 30 
Animal 5 23 30 43 
Animal 6 16 21 33 
Animal 7 17 28 38 
Animal 8 14 25 36 
Animal 9 30 36 50 
Animal 10 13 21 29 
 42
Quando se tem tempo 12 e velocidade A, dentro dessa parcela 12 e desse mesmo 
nível do fator de subparcela (A), a variação entre 8, 3, 10, ...,13, 4) é a variação 
individual entre subparcelas, ou erro b. A parcela é composta pelos valores das 
subparcelas. Quando é observado o valor total da parcela do nível 12, esse é 
formado pela soma de 10 parcelas (8+12=20; 3+6=9; ...; 13+17=30; 4+9=13), 
a variação individual entre essas parcelas é denominada erro a, ou variação 
atribuída à parcela. 
tempo de estocagem = parcela à erro a = variação entre estocagens 
velocidade = subparcela à erro b = variação entre 
velocidades 
Þ 30 parcelas e 60 subparcelas 
QUADRO DE ANÁLISE DE VARIÂNCIA 
Fonte de Variação gl SQ QM 
Total (parcelas) (30-1) 29 1.496,7333 
Animal (blocos) (10-1) 9 566,7333 
Tempo de estocagem (T) (3-1) 2 907,0333 
Erro a à obtido por diferença 18 22,9667 1,2759 
Total (subparcelas) (60-1) 59 2.076,7333 
Velocidade (2-1) 1 493,0667 
T × V (2 × 1) 2 22,0333 
Sub-blocos (30-1) (parcelas) 29 1.496,7333 
Erro b (59-1-2-29) 27 64,8999 2,4037 
* erro a à [efeitos de animal e tempo] 
 erro b à [efeitos de animal, tempo e velocidade] 
Se o delineamento fosse inteiramente casualizado, não haveria controle de fonte 
de variação pela formação de blocos (animal). Para encontrar a SQerro a, é 
calculado o SQtotal das parcelas – SQanimal – Sqtempo. O SQerro b é 
calculado pela SQtotal de subparcelas – SQde todas as fontes de variação à 
SQtotal de subparcelas – SQvelocidade – SQinteração – SQsub-blocos. Não é 
necessário colocar sub-blocos no quadro, mas é bom colocar para não esquecer 
de subtrair seu valor para o cálculo do erro b. 
Sub-bloco pode ser entendido como divisão das subparcelas. Para velocidade, 
que é o fator que está sendo dividido dentro do outro fator, tempo de estocagem 
comporta-se como um bloco. Há 2 velocidades, A e B, sendo que as duas 
passam pelo fator tempo de estocagem, da mesma forma em que os blocos no 
delineamento. 
Nesse experiento há o fatorial 3 × 2 = 6 tratamentos. Os gl de tratamento são 5, 
desdobrados em velocidade (1), tempo de estocagem (2) e interação (2). 
SQ parcelas (total) à denominador = 2 Þ duas repetições por parcela 
( ) ( ) ( ) ( )
7333,496.1
60
794
2
29...2520 2222
=-
++
=parcelasSQ 
 Total de subparcelas na parcela 
Delineamento 
Fator da parcela 
Fator da subparcela 
Interação 
 43
SQ animal 
( ) ( ) ( ) ( )
7333,566
60
794
6
63...5780 2222
=-
+++
=animalSQ 
SQ tempo 
( ) ( ) ( ) ( )
0333,907
60
794
20
366251177 2222
=-
++
=tempoSQ 
 
O total para cada tempo é calculado a partir de 20 observações (10 animais × 2 
velocidades). 
SQ erroaSQea = 1.496,7333 – 566,7333 – 907,0333 = 22,9667 
Þ 2759,1
18
9667,22
==aQMe 
SQ subparcelas à denominador = 1 Þ uma repetição por subparcela 
( ) ( ) ( ) ( ) 7333,076.2
60
794
20...128
2
222 =-+++=ssubparcelaSQ 
 
 
SQ velocidade 
( ) ( )
0667,493
30
483311
3030
2222
=-
+
=-+= FCFC
VV
SQ BAvelocidade 
 
SQ interação 
SQ (v × t) = SQtrat – SQt – SQvel 
SQ tratamento (necessário para calcular a SQinteração) 
A interação é um fator que envolve a parcela e a subparcela, e será 
estudada na subparcela. A SQtratamento = SQtempo + SQvelocidade + 
SQinteração. Tempo de estocagem foi colocada na primeira parte do 
quadro da ANOVA porque é parcela. A velocidade é subparcela, 
colocada na segunda parte do quadro, pois está dentro da parcela. 
Conforme um critério de ordem de apresentação dos dados, a interação, 
que é a combinação dos fatores, é apresentada após a apresentação dos 
fatores isolados (fatores principais). Nessa situação, calcular somente o 
SQtratamento não é indicado, pois haveria perda de informação no 
sentido em que se deseja saber os efeitos dos fatores e suas combinações. 
Total de repetições por animal 
Total de repetições por tempo de estocagem 
Total de repetições por subparcela 
Total de repetições por velocidade 
1 
 44
Tratamentos à fatorial 2 × 3 = 6 
T12A = 68 T24A = 95 T36A = 148 
T12B = 109 T24B = 156 T36B = 218 
 
( ) ( ) ( )
1333,422.1
10
218...10968 222
=-
+++
= FCSQtratamento 
 
SQ (v × t) = SQtratamento – SQtempo – SQvelocidade 
Þ SQ (v × t) = 1.422,1333 – 907,0333 – 493,0667 = 22,0333 
SQ errob 
SQeb = 2.076,7333 – 493,0667 – 22,0333 – 1.496,7333 = 64,8999 
Þ 4037,2
27
8999,64
==aQMe 
Continuação: parcela subdividida 
Comparação de médias 
Tempos 
Velocidades 12 24 36 
Média 
velocides 
A 6,8 9,5 14,8 10,37 
B 10,9 15,6 21,8 16,10 
Média tempos 8,85 12,55 18,30 
 
QM para erros: 
QMea = 1,2759 (com 18 gl) 
QMeb = 2,4037 (com 27 gl) 
 
O erro b é o erro que envolve todas as subparcelas, ou seja, todas as unidades 
experimentais. É o erro do experimento para o cálculo do CV. 
CV: 
100´=
X
QM
CV errob à média geral: 23,13
60
794
60
===
G
X 
%72,11100
23,13
4037,2
=´=CV 
Total de repetições por tratamento 
 45
dms 
parcela à tempo de estocagem 
subparcela à velocidade de retorno 
1a.comparação: 
níveis da subparcela / fixando a parcela 
VA – VB / 12 à comparam-se as velocidades A e B para tempo 12 
VA – VB / 24 à comparam-se as velocidades A e B para tempo 24 
VA – VB / 36 à comparam-se as velocidades A e B para tempo 36 
à Quando compara subparcelas dentro de uma parcela (a parcela é fixa portanto 
há erro de parcela) devo usar o QMeb (que é o erro da subparcela) Þ não há 
variação causada por parcela 
 
2a.comparação: 
níveis de parcela / fixando a subparcela 
12 – 24 – 36 / vel A à comparam-se os tempos 12, 24 e 36 para 
velocidade A 
12 – 24 – 36 / vel B à comparam-se os tempos 12, 24 e 36 para 
velocidade B 
à Quando comparo parcelas dentro de uma subparcela, tenho o fator parcela + 
o fator subparcela (variação de parcela e subparcela) Þ devo combinar o 
erro a e o erro b com média aritmética ponderada. 
 
1. 
 dms para subparcela/parcelas 
r
QMetdms bglerrob
2
, ´= a Þ r à número de repetições para 
calcular as médias 
2. 
 dms para parcela/subparcelas 
r
QMe
tdms ponderadoponderado
2
´= 
S/P 
P/S 
S/P 
P/S 
 46
b
QMebQMeQMe ba
ponderado
)1( -+= Þ b = número de 
níveis do fator da 
subparcela 
( )
( ) ba
bbaa
ponderado QMebQMe
QMebtQMett
´-+
´-´+´=
1
1
 Þ ta à t 5%, gl erro a 
Þ tb à t 5%, gl erro b 
1. 
dms para velocidade/tempo de estocagem 
42,1
10
4037,22
27, =
´´= atdms 
2. 
dms para tempo/velocidade 
( )
8398,1
2
4037,2122729,1
=
´-+
=ponderadoQMe 
( )
( ) 0690,24037,2122729,1
4037,212052,22729,1101,2
=
´-+
´-´+´
=ponderadot 
26,1
10
8398,120690,2 =´´=dms 
Comparação de médias 
Tempos 
Velocidades 12 24 36 
Média 
velocidades 
A 6,8 a A 9,5 b A 14,8 c A 10,37 
B 10,9 a B 15,6 b B 21,8 c B 16,10 
Média tempos 8,85 12,55 18,30 
à Em qualquer tempo, a velocidade A é melhor que a velocidade B 
à A porcentagem de defeitos aumenta com o tempo, tanto na 
velocidade A como na B. 
Þ RECOMENDAÇÃO: velocidade A, tempo 12 
à Como o comportamento é o mesmo dentro da velocidade e dentro do tempo 
Linhas = igual à todas na seqüência abc 
Colunas = igual à sempre na ordem AB 
S/P 
P/S 
não há 
interação 
 47
Comparação relatadas através das médias, nas margens da tabela 
Tempos 
Velocidades 12 24 36 
Média 
velocidades 
A 10,37 A 
B 16,10 B 
Média tempos 8,85 a 12,55 b 18,30 c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Reta vel A abaixo de vel B, pois apresenta menor % de defeito. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vel A 
Vel B 
 48
ASSOCIAÇÃO DE VARIÁVEIS QUANTITATIVAS 
· Correlação de Pearson 
· Regressão linear 
 
Correlação à medida de associação entre variáveis (respostas) não dependentes 
Regressão linear à condição de dependência entre variáveis 
Correlação 
A correlação de Pearson mede a associação entre respostas independentes (variáveis 
quantitativas). Para que a correlação seja utilizada, é pré-requisito que haja variação em 
ambas as respostas. Se não houver variação em uma das respostas, a correlação será não 
significativa. 
Coeficiente de correlação de Pearson (r(x,y)), mede a “intensidade”da variância entre 
duas variáveis x e y. 
Para as análises de correlação e regressão linear, a “amplitude”do intervalo 
das variáveis deve ser pequena. 
( )
( )( )
( ) ( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
=
åååå
ååå
n
y
y
n
x
x
n
yx
xy
r yx 2
2
2
2
,
 Þ ( )
YX
XY
yx SQSQ
SP
r
´
=, 
Após o cálculo do coeficiente, há necessidade de verificar a significância 
estatística. 
Exemplo: 
Situação experimental: ganho de peso em novilhos em 5 meses 
n = 12 
Reprodutor Confinados (x) Campo (y) x × y x2 y2 
1 73 64 4.672 5.329 4.096 
1 71 62 4.402 5.041 3.844 
1 72 66 4.752 5.184 4.356 
2 64 55 3.520 4.096 3.025 
2 65 59 3.835 4.225 3.481 
2 66 65 4.290 4.356 4.225 
2 70 65 4.550 4.900 4.225 
3 71 69 4.899 5.041 4.761 
3 68 64 4.352 4.624 4.096 
3 70 65 4.550 4.900 4.225 
3 67 63 4.221 4.489 3.969 
 66 62 4.092 4.356 3.844 
Total 823 759 52.135 56.541 48.147 
Soma de produtos 
de X e Y 
Numerador 
da S2X 
Numerador 
da S2Y 
 49
Sx = 823 Sy = 759 Sxy = 52.135 
Sx2 = 56.541 Sy2 = 48.147 
O ganho de peso nos confinados não interfere no ganho de peso do campo e 
vice-versa. Entretanto, o ganho de peso de confinados se correlaciona com o 
ganho em campo? 
Aplicando-se a fórmula: 
( )
ú
û
ù
ê
ë
é
-ú
û
ù
ê
ë
é
-
´
-
=
12
759
147.48
12
823
541.56
12
759823
135.52
22
, yxr 
( ) 688,0, =yxr à para 10 gl (12 – 2) 
Þ r(x,y) = 68,8% 
Na tabela (Tabela A-4), o coeficiente para 10 gl é 0,58. como o r calculado 
(0,688) é maior que o r tabelado (0,58), a corrrelação é significativa (p < 0,05). 
A correlação encontrada é positiva. 
Intervalo de confiança para o Coeficiente de Correlação 
Os limites do intervalo de confiança devem abranger 95% dos resultados de estudos de 
duas populações independentes e correlacionadas. 
Quando - 0,70 < r < 0,70, os valores de r podem estar distribuídos livremente entre –1 e 
+ 1 seguindo uma distribuição próxima à normal. Quando r está próximo dos limites de 
–1 ou +1, a distribuição se dá de forma assimétrica. Para compensar essa