Análise de Sistemas Dinâmicos - Contínuos

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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
ANA´LISE LINEAR DE SISTEMAS
JOSE´ C. GEROMEL
DSCE / Faculdade de Engenharia Ele´trica e de Computac¸a˜o
UNICAMP, CP 6101, 13083 - 970, Campinas, SP, Brasil,
geromel@dsce.fee.unicamp.br
Campinas, Novembro de 2006
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
NOTA AO LEITOR
Este material foi preparado como suporte a`s aulas e e´
inteiramente baseado no livro texto :
Jose´ C. Geromel e Alvaro G. B. Palhares, Ana´lise Linear de
Sistemas Dinaˆmicos : Teoria, Ensaios Pra´ticos e Exerc´ıcios,
ISBN 85-212-0335-7, Editora Edgard Blu¨cher Ltda, Sa˜o Paulo,
SP, 2004.
onde o leitor podera´ encontrar maiores informac¸o˜es e detalhes
a respeito dos to´picos aqui abordados.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Conteu´do
1 Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas lineares
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Transformada de Laplace
Soluc¸a˜o via transformada de Laplace
Representac¸a˜o de estado
Sistemas dinaˆmicos lineares
Func¸a˜o de transfereˆncia
Resposta em frequ¨eˆncia
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas lineares
Sistemas lineares
Um sistema dinaˆmico a tempo cont´ınuo definido para todo
t ∈ R e´ um dispositivo que converte um sinal de entrada g(t)
(definido para todo t ∈ R) em um sinal de sa´ıda y(t)
(definido para todo t ∈ R), atrave´s da relac¸a˜o
y = S[g ]
onde S[·] indica um ente matema´tico que associa sinais de
entrada com sinais de sa´ıda. Por exemplo :
S [g ] = 3g → y(t) depende apenas de g(t).
S [g ] =
∫ t
−∞
g(τ)dτ → y(t) depende de g(τ),−∞ ≤ τ ≤ t.
S [g ] =
∫∞
−∞
g(t − τ)2dτ → y(t) depende de
g(τ),−∞ ≤ τ ≤ ∞.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas lineares
Sistemas lineares
Um sistema dinaˆmico pode ser qualificado como :
Causal quando y(t) depende de g(τ) apenas para τ ≤ t. Ou
seja, em qualquer instante a sa´ıda depende apenas da entrada
ocorrida no passado e no presente.
Linear quando y(t) =
∑
i αiyi (t) for a sa´ıda correspondente a`
entrada g(t) =
∑
i αigi(t) para todo escalar αi .
Invariante no tempo quando y(t − τ) for a sa´ıda
correspondente a` entrada g(t − τ) para todo τ ∈ R.
⇓
Sistemas inteiramente definidos atrave´s de sua resposta a uma
entrada particular, o impulso unita´rio g(t) = δ(t).
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas lineares
Sistemas lineares
O impulso unita´rio permite decompor sinais cont´ınuos no
tempo. Sendo g(t) definido em t ∈ R, vale a igualdade :
g(t) =
∫ ∞
−∞
g(τ)δ(t − τ)dτ
Um sistema LIT com entrada g(t) tem como sa´ıda :
y(t) = S
[∫ ∞
−∞
g(τ)δ(t − τ)dτ
]
=
∫ ∞
−∞
g(τ)S[δ(t − τ)]dτ
=
∫ ∞
−∞
g(τ)h(t − τ)dτ
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas lineares
Sistemas lineares
Da primeira para a segunda igualdade usamos a linearidade e
da segunda para a terceira a invariaˆncia no tempo aplicada a`
resposta ao impulso
h(t) = S[δ(t)]
Fato (Sistema LIT)
A sua resposta y(t) e´ dada pela convoluc¸a˜o de sua resposta ao
impulso h(t) pela entrada g(t), isto e´ :
y(t) = g(t) ∗ h(t)
=
∫ ∞
−∞
g(τ)h(t − τ)dτ
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas lineares
Sistemas lineares
Propriedades importantes :
A convoluc¸a˜o e´ uma operac¸a˜o associativa, distributiva e
comutativa.
Um sistema LIT e´ Causal se
h(t) = 0 , ∀ t < 0
pois h(t − τ) = 0 para todo τ > t fazendo com que sua
resposta seja dada por
y(t) =
∫ t
−∞
g(τ)h(t − τ)dτ
e assim y(t) depende apenas de g(τ) para τ ≤ t.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Resposta ao degrau unita´rio g(t) = υ(t) de um sistema LTI :
y(t) =
∫ ∞
−∞
υ(τ)h(t − τ)dτ
=
∫ ∞
0
h(t − τ)dτ
=
∫ t
−∞
h(ξ)dξ
Para sistemas LIT causais
y(t) =
∫ t
0
h(τ)dτ
e´ a integral da resposta ao impulso unita´rio.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Resposta a` func¸a˜o exponencial g(t) = eλt de um sistema LTI :
y(t) =
∫ ∞
−∞
eλτh(t − τ)dτ
=
∫ ∞
−∞
eλ(t−τ)h(τ)dτ
=
(∫ ∞
−∞
e−λτh(τ)dτ
)
eλt
Para sistemas LIT causais
y(t) =
(∫ ∞
0
e−λτh(τ)dτ
)
eλt
e´ proporcional a` entrada, por um fator que depende de λ.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Sistemas LIT causais de grande interesse sa˜o descritos por
equac¸o˜es diferenciais do tipo
n∑
i=0
ai
d iy
dt i
(t) =
m∑
i=0
ei
d ig
dt i
(t) , t ∈ R
onde ai e ei sa˜o escalares e n ≥ m. Note que especificar a
func¸a˜o de entrada g(t) na˜o e´ condic¸a˜o suficiente para que a
resposta y(t) correspondente seja u´nica. Dentre muitas, uma
soluc¸a˜o espec´ıfica pode ser individualizada impondo-se
algumas condic¸o˜es suplementares sobre y(t). Por exemplo, o
seu valor e de suas derivadas em alguns instantes de tempo
previamente selecionados.
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Sistemas lineares
Sistemas lineares
Sendo t = 0 adotado como instante inicial a func¸a˜o de
entrada so´ e´ definida para t ≥ 0. Para selecionar uma soluc¸a˜o
espec´ıfica pode-se impor os valores de
y(0),
dy
dt
(0), · · · ,
dn−1y
dtn−1
(0)
que caracterizam as condic¸o˜es iniciais do sistema.
Uma resposta espec´ıfica y(t) correspondente a uma entrada
g(t) dada, pode ser determinada observando que se y(t)
satisfaz a equac¸a˜o diferencial enta˜o h0(t) + y(t) onde
n∑
i=0
ai
d ih0
dt i
(t) = 0
tambe´m a satisfaz.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas lineares
Sistemas lineares
O seguinte resultado e´ fundamental no presente contexto :
Fato (Soluc¸a˜o geral)
Qualquer soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial em estudo, definida para
todo t ≥ 0, pode ser unicamente individualizada pela escolha
adequada de h0(t) e e´ dada por
y(t) = h0(t) +
∫ t
0
h(t − τ)g(τ)dτ
As func¸o˜es h0(t) e h(t), definidas para todo t ≥ 0, precisam
ser determinadas com o devido cuidado. Este aspecto sera´
abordado em seguida.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas lineares
Sistemas lineares
Exemplo : A figura abaixo mostra um peˆndulo oscilando no
interior de uma caixa
x
ℓ
M
m
θ
κ
A determinac¸a˜o do modelo matema´tico que descreve o seu
comportamento dinaˆmico e´ um dos objetivos deste curso.
Para pequenos deslocamentos, trata-se de um sistema LIT
causal.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Considere a equac¸a˜o diferencial com coeficientes constantes
n∑
i=0
ai
d iy
dt i
(t) = g(t) , ∀ t ≥ 0
onde g(t) e´ uma func¸a˜o dada e ai ∈ R para i = 0, · · · , n sa˜o
escalares, com an 6= 0. Adotamos a notac¸a˜o mais compacta
D[y ] = g onde D[·] denota o operador diferencial
D[y ] =
n∑
i=0
ai
d iy
dt i
(t)
com polinoˆmio caracter´ıstico
∆D(λ) =
n∑
i=0
aiλ
i
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Os seguintes aspectos sa˜o relevantes :
O operador D[·] e´ linear.
Para a func¸a˜o exponencial verifica-se que
D
[
eλt
]
=
n∑
i=0
aiλ
ieλt
= ∆D(λ)e
λt
ou seja D
[
eλt
]
e eλt sa˜o colineares. Por este motivo, eλt e´
denominada auto func¸a˜o do operador D[·].
A equac¸a˜o alge´brica ∆D(λ) = 0 e´ denominada equac¸a˜o
caracter´ıstica. Tem grau n e todos os seus coeficientes sa˜o
reais. Assim sendo, ela admite n ra´ızes em pares complexos
conjugados.
16 / 69Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
O seguinte resultado e´ fundamental no estudo de equac¸o˜es
diferenciais lineares :
Teorema (Existeˆncia e unicidade)
Seja g(t) uma func¸a˜o cont´ınua para todo t ≥ 0. A equac¸a˜o
diferencial D[y ] = g sujeita a`s condic¸o˜es iniciais
y(0),
dy
dt
(0), · · · ,
dn−1y
dtn−1
(0)
admite uma u´nica soluc¸a˜o y(t) para todo t ≥ 0.
Observe que para qualquer conjunto de condic¸o˜es iniciais a
soluc¸a˜o existe e e´ u´nica. Portanto, sem especificar as
condic¸o˜es iniciais a unicidade deixa de ocorrer.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Fato (Independeˆncia Linear)
O conjunto de func¸o˜es f1(t), · · · , fm(t), definidas para todo t ≥ 0,
e´ linearmente independente - LI se a igualdade
fα(t) :=
m∑
i=1
αi fi(t) = 0 ,∀ t ≥ 0
for satisfeita apenas com todos os escalares α1, · · · , αm nulos.
Caso conta´rio o conjunto e´ dito linearmente dependente - LD.
E´ preciso estabelecer um teste para classificar conjuntos como
LI ou LD. Assumimos que as func¸o˜es sejam continuamente
diferencia´veis, isto e´, as suas derivadas de qualquer ordem
existem e sa˜o cont´ınuas em t > 0.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
A func¸a˜o fα(t), bem como as suas derivadas sucessivas,
devem ser nulas para todo t > 0, ou seja

f1 f2 · · · fm
f
(1)
1 f
(1)
2 · · · f
(1)
m
...
... · · ·
...
f
(m−1)
1 f
(m−1)
2 · · · f
(m−1)
m


︸ ︷︷ ︸
W (t)


α1
α2
...
αm


︸ ︷︷ ︸
α
= 0
Para a classe de func¸o˜es consideradas temos :
det(W (t)) 6= 0 para algum t > 0 =⇒ LI.
det(W (t)) = 0 para todo t > 0 =⇒ LD. Sem a continuidade
da func¸a˜o e de suas derivadas sucessivas, isto pode na˜o ocorrer.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
A soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o diferencial em estudo pode ser
decomposta na forma
y(t) = yh(t) + yp(t) , ∀ t ≥ 0
onde :
yh(t) satisfaz a equac¸a˜o homogeˆnea D[yh] = 0.
yp(t) e´ uma soluc¸a˜o particular que satisfaz D[yp] = g .
pois
D[y ] = D[yh + yp] = D[yh] + D[yp] = g
Assim sendo, resta verificarmos como podemos impor as n
condic¸o˜es iniciais dadas. Isto e´ feito atrave´s da determinac¸a˜o
de um conjunto de n soluc¸o˜es homogeˆneas LI.
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Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Equac¸a˜o homogeˆnea : Sa˜o obtidas a partir da relac¸a˜o
D[eλt ] = ∆D(λ)e
λt , ∀ t ≥ 0
a qual indica que todas as fuc¸o˜es do tipo eλi t , definidas para
todo t ≥ 0, com λi sendo uma das ra´ızes de ∆D(λ) = 0, sa˜o
soluc¸o˜es da equac¸a˜o homogeˆnea. Como ∆D(λ) e´ um
polinoˆmio de grau n, com coeficientes reais, ele admite n
ra´ızes em C em pares complexos conjugados. Supondo que as
n ra´ızes sejam distintas, as func¸o˜es
eλi t , ∀ t ≥ 0 , i = 1, · · · , n
formam um conjunto LI.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
De fato, a matriz W (t) e´ dada por
W (t) =

 1 · · · 1... · · · ...
λn−11 · · · λ
n−1
n


︸ ︷︷ ︸
W0

 e
λ1t · · · 0
... · · ·
...
0 · · · eλnt


onde W0 e´ uma matriz de Vandermonde cujo determinante e´
diferente de zero tendo em vista que todos os λi , i = 1, · · · , n
sa˜o diferentes entre si. Consequ¨entemente, det(W (t)) 6= 0
para todo t ≥ 0. A soluc¸a˜o geral e´ dada por
y(t) =
n∑
i=1
cie
λi t + yp(t)
onde ci , i = 1, · · · , n sa˜o constantes determinadas com as n
condic¸o˜es iniciais dadas.
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Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Quando duas ou mais soluc¸o˜es da equac¸a˜o caracter´ıstica na˜o
sa˜o distintas um conjunto de soluc¸o˜es homogeˆneas pode ser
obtido observando-se que a igualdade
teλt =
deλt
dλ
permite verificar que
D[teλt ] = D
[
deλt
dλ
]
=
d
dλ
∆D(λ)e
λt
=
[
d
dλ
∆D(λ) + t∆D(λ)
]
eλt
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Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Por exemplo, considerando que λj seja uma raiz com
multiplicidade dois da equac¸a˜o caracter´ıstica enta˜o
∆D(λ) = (λ− λj)
2d(λ) para algum polinoˆmio d(λ) de ordem
n − 2. Portanto
∆D(λj ) = 0 ,
d
dλ
∆D(λj ) = 0
fazem com que as func¸o˜es eλj t e teλj t , definidas para todo
t ≥ 0 sejam soluc¸o˜es da equac¸a˜o homogeˆnea. Ale´m disso,
calculando-se a matriz W (t) verificamos que o conjunto de
func¸o˜es eλ1t , · · · , eλj t , teλj t , · · · , eλnt e´ LI. Neste caso,
y(t) =

 n∑
i 6=j=1
cie
λi t + cj te
λj t

+ yp(t)
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Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Este procedimento e´ va´lido para ra´ızes com qualquer
multiplicidade. Se λj for uma raiz com multiplicidade m ≤ n
enta˜o
∆D(λj), · · · ,
dm−1
dλm−1
∆D(λj) = 0
e, com racioc´ınio ana´logo, verificamos que as func¸o˜es t ieλj t ,
definidas para todo t ≥ 0 e todo i = 0, · · · ,m− 1 sa˜o soluc¸o˜es
da equac¸a˜o homogeˆnea e formam um conjunto de func¸o˜es LI.
Podemos assim determinar as n soluc¸o˜es da equac¸a˜o
homogeˆnea que formam um conjunto de func¸o˜es linearmente
independentes. Estas func¸o˜es sa˜o denominadas Modos
Pro´prios da equac¸a˜o diferencial.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Soluc¸a˜o particular : O chamado Me´todo dos Coeficientes a
Determinar se aplica para a classe de func¸o˜es g(t) que em
conjunto com suas derivadas sucessivas, ate´ uma certa ordem
m, formam um conjunto LD. Portanto, existe um operador
diferencial com polinoˆmio caracter´ıstico ∆N(λ) de ordem m
tal que
N[g ] = 0
Neste caso, uma soluc¸a˜o particular de D[y ] = g pode ser
calculada atrave´s da equac¸a˜o homogeˆnea definida pelo
operador diferencial composto
N[D[y ]] = 0
que nada mais e´ que uma equac¸a˜o diferencial homogeˆnea de
ordem n +m.
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Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o temporal
Verificando que
N[D[eλt ]] = ∆D(λ)∆N(λ)e
λt
a sua equac¸a˜o caracter´ıstica e´ dada por ∆D(λ)∆N(λ) = 0 e
como ja´ sabemos (supondo que todas as ra´ızes sejam
distintas)
y(t) =
n∑
i=1
cie
λi t
︸ ︷︷ ︸
∆D(λ)=0=⇒yh(t)
+
m∑
i=1
die
λi t
︸ ︷︷ ︸
∆N(λ)=0=⇒yp(t)
sendo que os coeficientes d1, · · · , dm sa˜o determinados
impondo-se D[yp] = g . No caso da eventual ocorreˆncia de
ra´ızes mu´ltiplas o tratamento anterior deve ser adotado.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Exemplos
A equac¸a˜o diferencial y˙(t) + y(t) = e−2t com y(0) = 1
admite ∆D(λ) = λ+ 1 e ∆N(λ) = λ+ 2. Portanto
y(t) = c1e
−t︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1e
−2t︸ ︷︷ ︸
yp(t)
substituindo yp(t) obte´m-se d1 = −1 e, em seguida, com a
condic¸a˜o inicial obte´m-se c1 = 2. A soluc¸a˜o geral e´
y(t) = 2e−t − e−2t , ∀ t ≥ 0
A equac¸a˜o diferencial y˙(t) + y(t) = e−t com y(0) = 1 admite
∆D(λ) = λ+ 1 e ∆N(λ) = λ+ 1. Portanto
y(t) = c1e
−t︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1te
−t︸ ︷︷ ︸
yp(t)
substituindo yp(t) obte´m-se d1 = 1 e, em seguida, com a
condic¸a˜o inicial obte´m-se c1 = 1.
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Equac¸o˜es diferenciais lineares
Exemplos
A equac¸a˜o diferencial y¨(t) + y(t) = sen(t) e´ tal que
∆D(λ) = λ
2 + 1 e ∆N(λ) = λ
2 + 1. Portanto
y(t) = c1e
jt + c2e
−jt︸ ︷︷ ︸
yh(t)+ d1te
jt + d2te
−jt︸ ︷︷ ︸
yp(t)
Uma equac¸a˜o diferencial com ∆D(λ) = (λ+ 1)(λ − 1) e
entrada tal que ∆N(λ) = λ+ 1 tem a soluc¸a˜o geral
y(t) = c1e
−t + c2e
t︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1te
−t︸ ︷︷ ︸
yp(t)
Uma equac¸a˜o diferencial com ∆D(λ) = (λ+ 1)
2 e entrada tal
que ∆N(λ) = λ− 1 tem a soluc¸a˜o geral
y(t) = c1e
−t + c2te
−t︸ ︷︷ ︸
yh(t)
+ d1e
t︸︷︷︸
yp(t)
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace de uma func¸a˜o f (t) definida para
todo t ∈ R, denotada por fˆ (s) ou L(f (t)), e´ uma func¸a˜o de
varia´vel complexa
fˆ (s) : D(fˆ )→ C
onde D(fˆ ) e´ o seu dom´ınio e
fˆ (s) :=
∫ ∞
−∞
f (t)e−stdt
D(fˆ ) := {s ∈ C : fˆ (s) existe}
E´ importante ressaltar que fˆ (s) existe indica que a integral
acima converge e e´ finita.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Geralmente D(fˆ ) na˜o coincide com C. Nestes casos existem
pontos s ∈ C tais que s /∈ D(fˆ ) e, portanto, torna-se essencial
a determinac¸a˜o do dom´ınio da transformada de Laplace.
Importante : O dom´ınio D(fˆ ) da transformada de Laplace
depende fortemente do dom´ınio da func¸a˜o f (t). Como
verificaremos em seguida :
t ∈ [0,+∞) =⇒ Re(s) ∈ (α,+∞)
t ∈ (−∞, 0] =⇒ Re(s) ∈ (−∞, β)
t ∈ (−∞,+∞) =⇒ Re(s) ∈ (β, α)
para valores adequados de α, β ∈ R. Quanto maior o dom´ınio
de f (t), menor o dom´ınio de fˆ (s) e vice-versa.
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Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Os seguintes exemplos ilustram os dom´ınios das transformadas
de Laplace de algumas func¸o˜es :
f (t) = e−at : R → C e D(fˆ ) = ∅.
f (t) = e−at : [0,+∞)→ C e
fˆ (s) =
1
s + a
, D(fˆ ) = {s ∈ C : Re(s) > −Re(a)}
f (t) = e−at : (−∞, 0]→ C e
fˆ (s) = −
1
s + a
, D(fˆ ) = {s ∈ C : Re(s) < −Re(a)}
f (t) = e−a|t| : (−∞,+∞)→ C e
fˆ (s) =
−2a
s2 − a2
, D(fˆ ) = {s ∈ C : |Re(s)| < Re(a)}
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
A func¸a˜o exponencial eλt : R → C com λ ∈ C qualquer na˜o
admite a transformada de Laplace. Portanto, para func¸o˜es
definidas em todo t ∈ R a transformada de Laplace e´ muito
restritiva. Para contornar esta dificuldade vamos restringir
nosso interesse a func¸o˜es definidas no intervalo t ∈ [0,+∞) e
assim :
fˆ (s) :=
∫ ∞
0
f (t)e−stdt
que admite o dom´ınio na forma gene´rica
D(fˆ ) := {s ∈ C : Re(s) > α}
para algum α ∈ R a ser adequadamente determinado.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Classe importante : Definida pela existeˆncia de sf ∈ C tal
que o limite
lim
τ→∞
∫ τ
0
|f (t)e−sf t |dt
existe e e´ finito.
Lema (Dom´ınio)
Para as func¸o˜es da classe acima, e´ va´lido que :
Qualquer s ∈ C satisfazendo Re(s) ≥ Re(sf ) pertence a D(fˆ ).
Existe M finito tal que |fˆ (s)| ≤ M para todo s ∈ D(fˆ ).
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Forma geral : Para func¸o˜es definidas para todo t ≥ 0 :
D(fˆ ) := {s ∈ C : Re(s) > α}
Determinac¸a˜o do dom´ınio : Para a func¸a˜o f (t) dada
determine o menor valor de α ∈ R tal que
lim
τ→∞
∫
τ
0
|f (t)e−αt |dt <∞
Determinac¸a˜o do dom´ınio : Para a func¸a˜o fˆ (s) dada
determine o menor valor de α ∈ R tal que ela permanec¸a
anal´ıtica e portanto finita em todo s ∈ D(fˆ ).
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
A func¸a˜o fˆ (s) = e
−s
s
na˜o e´ anal´ıtica em s = 0. A sua se´rie de
Laurent e´
fˆ (s) =
1
s
− 1 +
s
2
−
s2
6
+ · · ·
e portanto
D(fˆ ) := {s ∈ C : Re(s) > 0}
A func¸a˜o fˆ (s) = 1−e
−s
s
e´ anal´ıtica em s = 0. A sua se´rie de
Taylor e´
fˆ (s) = 1−
s
2
+
s2
6
− · · ·
e portanto
D(fˆ ) := {s ∈ C : Re(s) > −∞} = C
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Uma func¸a˜o racional e´ da forma
fˆ (s) :=
N(s)
D(s)
=
∑m
i=0 ei s
i∑n
i=0 ais
i
onde m ≤ n, ei ∈ R para todo i = 1, · · · ,m e ai ∈ R para
todo i = 1, · · · , n. Se n = m ela e´ chamada pro´pria, caso
contra´rio ela e´ dita estritamente pro´pria. Ela deixa de ser
anal´ıtica nos seus po´los, ra´ızes de D(s) = 0. Assim sendo
α = max
i=1,··· ,n
Re(pi )
O impulso unita´rio (Dirac) :
δˆ(s) = 1 , D(δˆ) = C
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Va´rios ca´lculos envolvendo a transformada de Laplace
dependem da determinac¸a˜o correta do seu dom´ınio :
Integral : A integral de uma func¸a˜o em todo o seu dom´ınio e´
dada por ∫ ∞
0
f (t)dt = fˆ (0)
desde que 0 ∈ D(fˆ ).
Limite : O limite de uma func¸a˜o definida em t ≥ 0 satisfaz
lim
t→∞
f (t) = lim
s→0
sfˆ (s)
desde que 0 ∈ D(sfˆ ).
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
No estudo de equac¸o˜es diferenciais via transformada de
Laplace, as seguintes propriedades sa˜o importantes para
func¸o˜es definidas em t ≥ 0 e escalares θ1, θ2, · · ·
Combinac¸a˜o linear :
L
(∑
i
θi fi (t)
)
=
∑
i
θi fˆi (s)
Convoluc¸a˜o a tempo cont´ınuo :
L(f (t) ∗ g(t)) = fˆ (s)gˆ (s)
Derivada em relac¸a˜o ao tempo :
L(f˙ (t)) = sfˆ (s)− f (0)
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Como as func¸o˜es que estamos considerando sa˜o definidas
apenas para t ≥ 0, a sua derivada em t = 0 deve ser melhor
qualificada (note que f (t) pode na˜o existir para t < 0).
Derivada em relac¸a˜o ao tempo :
h(t) :=
{
f˙ (t) , t > 0
valor finito , t = 0
geralmente adota-se h(0) = limt→0+ f˙ (t) = f˙ (0
+) <∞.
Lema (Derivada temporal)
A transformada de Laplace de h(t) definida acima e´ dada por :
hˆ(s) = sfˆ (s) − f (0) , D(hˆ) = D(sfˆ )
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Infelizmente, a definic¸a˜o anterior na˜o permite levar em conta
a possibilidade de f (t) variar arbitrariamente ra´pido em t = 0.
Ou seja, considerar f (t) descont´ınua em t = 0, o que ocorre
quando f (0) 6= 0. Vamos analisar esta situac¸a˜o peculiar com a
sequ¨eˆncia de func¸o˜es :
fn(t) := f (t)− f (0)
(
1 +
t
τn
)
e−t/τn , ∀ t ≥ 0
onde τn > 0 tende a zero quando n tende a infinito.
fn(0) = 0 para todo n ∈ N.
limn→∞ fn(t) = f (t) para todo t > 0, portanto
lim
n→∞
fˆn(s) = fˆ (s) , ∀ s ∈ D(fˆ )
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Notando como h(t) e hn(t) a derivada em relac¸a˜o a t > 0 das
func¸o˜es f (t) e fn(t) respectivamente, com o lema anterior
obtemos hˆn(s) = sfˆn(s)− fn(0) para todo n ∈ N e
lim
n→∞
hˆn(s) = sfˆ (s)
= (sfˆ (s)− f (0)) + f (0)
= hˆ(s) + f (0)
levando a
lim
n→∞
hn(t) = h(t) + f (0)δ(t)
A quantidade limn→∞ hn(t) e´ denominada derivada
generalizada de f (t). Ela coincide com f˙ (t) para todo t > 0
mas e´ diferente em t = 0 sempre que f (0) 6= 0.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
A transformada de Laplace da derivada generalizada e´ obtida
multiplicando-se a transformada da func¸a˜o por s. Para ilustrar
este conceito vamos considerara func¸a˜o degrau unita´rio
definida por υ(t) = 1 para todo t ≥ 0.
υˆ(s) =
1
s
, D(υˆ) = {s ∈ C : Re(s) > 0}
Derivada temporal : hˆ(s) = sυˆ(s) − 1 = 0 de acordo com o
fato de que h(0) = 0 e h(t) = υ˙(t) = 0 para todo t > 0.
Derivada generalizada : limn→∞ hˆn(s) = sυˆ(s) = 1 de acordo
com o fato de que limn→∞ hn(t) = δ(t) para todo t ≥ 0.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Transformada de Laplace
Para func¸o˜es racionais, a inversa da transformada de Laplace
pode ser obtida via Decomposic¸a˜o em Frac¸o˜es Parciais com a
qual determinamos os escalares αi tais que∑m
i=0 ei s
i∑n
i=0 ai s
i
= α0 +
M∑
i=1
αi
(s − pi)ni
onde pi sa˜o seus po´los e
∑M
i=1 ni = n. Observe que estamos
considerando que cada po´lo pi tenha multiplicidade ni para
todo i = 1, · · · ,M. A inversa e´ determinada com a relac¸a˜o
L−1
(
1
(s − p)r+1
)
=
1
r !
d r
dpr
ept =
tr
r !
ept , ∀ t ≥ 0
va´lida para todo r ≥ 0.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o via transformada de Laplace
Considere a equac¸a˜o diferencial anterior dada na forma
n∑
i=0
ai
d iy
dt i
(t) =
m∑
i=0
ei
d ig
dt i
(t) , ∀t ≥ 0
com condic¸o˜es iniciais d
i y
dt i
(0), para todo i = 0, · · · , n − 1.
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros e
levando em conta o efeito de impulsos na entrada (derivada
generalizada), obtemos
yˆ(s) = H0(s)︸ ︷︷ ︸
cond. iniciais
+ H(s)gˆ (s)
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Soluc¸a˜o via transformada de Laplace
Os aspectos mais importantes sa˜o :
h0(t) := L
−1(H0(s)) e´ a parte da soluc¸a˜o que depende
exclusivamente das condic¸o˜es iniciais.
h(t) := L−1(H(s)) e´ a resposta ao impulso (obtida a partir de
condic¸o˜es nulas). A func¸a˜o h(t) ∗ g(t) obtida pela
transformada de Laplace inversa, e´ a parte da soluc¸a˜o que
depende exclusivamente da func¸a˜o de entrada.
⇓
y(t) = h0(t) +
∫ t
0
h(t − τ)g(τ)dτ , ∀ t ≥ 0
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Exemplo
Aplicando a transformada de Laplace na equac¸a˜o diferencial
y¨ + 3y˙ + 2y = g˙ − 3g com condic¸o˜es iniciais y(0) = 1 e
y˙(0) = 0 determinamos
H0(s) =
s + 3
(s + 2)(s + 1)
, H(s) =
s − 3
(s + 2)(s + 1)
Sendo g(t) o degrau unita´rio temos :
yˆ(s) =
s2 + 4s − 3
s(s + 2)(s + 1)
=
6
s + 1
−
7/2
s + 2
−
3/2
s
ou seja
y(t) = 6e−t − (7/2)e−2t − 3/2, ∀ t ≥ 0
Note que y(0+) = 1 e y˙(0+) = 1 6= y˙(0) = 0. A derivada de
y(t) sofreu uma variac¸a˜o brusca em t = 0.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Representac¸a˜o de estado
Qualquer equac¸a˜o diferencial linear de ordem n pode ser
convertida em um sistema de n equac¸o˜es diferenciais de
primeira ordem. Este sistema de equac¸o˜es diferenciais,
geralmente acoplado, denominado representac¸a˜o de estado da
equac¸a˜o original e´ expresso na forma matricial:
x˙(t) = Ax(t) + Bg(t) , x(0) = x0
y(t) = Cx(t) + Dg(t)
onde A ∈ Rn×n, B ∈ Rn×1, C ∈ R1×n e D ∈ R1×1.
As matrizes (A,B ,C ,D) e a condic¸a˜o inicial x0 ∈ R
n devem
ser determinadas de tal forma que a func¸a˜o produzida pela
representac¸a˜o de estado y(t) coincida com a soluc¸a˜o da
equac¸a˜o diferencial em estudo para todo t ≥ 0.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Representac¸a˜o de estado
Para a equac¸a˜o D[y ] = g com an = 1, definimos as varia´veis
de estado
x(t) =

 x1(t)...
xn(t)

 , xi (t) := y (i−1)(t), i = 1, · · · , n
e obtemos
A =


0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
... · · ·
...
−a0 −a1 −a2 · · · −an−1

 , B =


0
0
...
0
1


C =
[
1 0 0 · · · 0
]
, D =
[
0
]
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Representac¸a˜o de estado
A equac¸a˜o D[y ] = E [g ] com an = 1 e E [·] sendo um operador
diferencial de ordem m ≤ n − 1 pode ser reescrita na forma
D[ξ] = g , y = E [ξ]
Definindo como no caso anterior as varia´veis de estado
x(t) =

 x1(t)...
xn(t)

 , xi (t) := ξ(i−1)(t), i = 1, · · · , n
as matrizes A e B na˜o se alteram. Ademais
y(t) = E [ξ] =
m∑
j=0
ejξ
(j)(t) =
m∑
j=0
ejxj+1(t)
permite determinar as matrizes restantes
C =
[
e0 e1 e2 · · · 0
]
, D =
[
0
]
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Representac¸a˜o de estado
A equac¸a˜o D[y ] = E [g ] com an = 1 e E [·] sendo um operador
diferencial de ordem m = n pode ser reescrita na forma
D[ξ] = g , y = E˜ [ξ] + eng
onde E˜ [ξ] := E [ξ]− enD[ξ] com coeficientes e˜i = ei − enai
para i = 0, · · · , n − 1 e´ um operador diferencial de ordem
n − 1. Definindo as mesmas varia´veis de estado do caso
anterior, as matrizes A e B na˜o se alteram. Ademais
y(t) = E˜ [ξ] + eng =
n−1∑
j=0
e˜jxj+1(t) + eng
permite determinar as matrizes restantes
C =
[
e˜0 e˜1 e˜2 · · · e˜n−1
]
, D =
[
en
]
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Representac¸a˜o de estado
Para qualquer matriz quadrada A ∈ Rn×n define-se a func¸a˜o
exponencial de matriz:
eAt =
∞∑
k=0
(At)k
k!
sendo que a soma indicada converge para todo t ≥ 0.
Lema (Transformada de Laplace)
A transformada de Laplace da func¸a˜o F (t) = eAt definida para
todo t ≥ 0 e´ dada por
Fˆ (s) = (sI − A)−1 , D = {s ∈ C : Re(s) > maxRe(λi )}
onde λi , i = 1, · · · , n sa˜o os autovalores de A.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Representac¸a˜o de estado
Aplicando a transformada de Laplace nas equac¸o˜es de estado
determinamos
H0(s) = C (sI − A)
−1x0 , H(s) = C (sI − A)
−1B + D
e, com o lema anterior, as func¸o˜es
h0(t) = Ce
Atx0 , h(t) = Ce
AtB + Dδ(t)
Teorema (Soluc¸a˜o da equac¸a˜o de estado)
A soluc¸a˜o da equac¸a˜o de estado e´ dada por
x(t) = eAtx0 +
∫ t
0
eA(t−τ)Bg(τ)dτ
y(t) = Cx(t) + Dg(t) , ∀ t ≥ 0
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Representac¸a˜o de estado
Para completarmos o ca´lculo da representac¸a˜o de estado de
uma equac¸a˜o diferencial, resta determinarmos o vetor de
condic¸o˜es iniciais x0 ∈ R
n. Neste sentido, derivando
sucessivamente a parte da soluc¸a˜o que depende das condic¸o˜es
iniciais
y(t) = CeAtx0
em t = 0 obtemos:

y(0)
y (1)(0)
...
y (n−1)(0)

 = Ox0 , O :=


C
CA
...
CAn−1


A matriz O ∈ Rn×n e´ chamada Matriz de Observabilidade e e´
invers´ıvel sempre que o sistema for de ordem m´ınima.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Representac¸a˜o de estado
Finalmente, deve ser notado que a representac¸a˜o de estado
na˜o e´ u´nica. U´nica e´ a func¸a˜o H(s) e, dada as condic¸o˜es
iniciais, u´nica tambe´m e´ a func¸a˜o H0(s). Com uma
representac¸a˜o de estado (A,B ,C ,D) e uma matriz na˜o
singular T ∈ Rn×n, a chamada Transformac¸a˜o de Similaridade
permite obter uma nova representac¸a˜o de estado
(T−1AT ,T−1B ,CT ,D) mas ambas representando a mesma
func¸a˜o H(s). De fato, simples ca´lculos levam a
H(s) = C (sI − A)−1B + D
= CT (sI − T−1AT )−1T−1B + D
Ademais, observe que det(sI − A) = det(sI − T−1AT ).
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Equac¸o˜es diferenciais lineares
Exemplo
A func¸a˜o de transfereˆncia do deslocamentoangular do elo
rotacional de uma junta robo´tica e´
H(s) =
s2 + 0.12s
s2 + 0.12s + 9.4
A representac¸a˜o de estado aqui considerada e´
x˙ =
[
0 1
−9.4 −0.12
]
︸ ︷︷ ︸
A
x +
[
0
1
]
︸ ︷︷ ︸
B
g
y =
[
−9.4 0
]︸ ︷︷ ︸
C
x + [1]︸︷︷︸
D
g
Note que os autovalores de A sa˜o iguais aos po´los de H(s).
Isto e´ sempre verdade!
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Func¸a˜o de transfereˆncia
De maneira gene´rica, um sistema dinaˆmico LIT e´
caracterizado por ter seu comportamento, no decorrer do
tempo, descrito por uma equac¸a˜o diferencial linear com
coeficientes constantes. A partir das condic¸o˜es iniciais
definidas em t = 0 e de uma func¸a˜o de entrada g(t) definida
para todo t ≥ 0, a sua sa´ıda e´ dada por
yˆ(s) = H0(s) + H(s)gˆ (s)
onde
Definic¸a˜o (Func¸a˜o de transfereˆncia)
A func¸a˜o H(s) e´ denominada func¸a˜o de transfereˆncia do sistema e
h(t) = L−1(H(s)) definida para todo t ≥ 0 e´ a sua resposta ao
impulso.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Func¸a˜o de transfereˆncia
A func¸a˜o de transfereˆncia de um sistema torna expl´ıcito como
a entrada influencia a sa´ıda. Para condic¸o˜es iniciais nulas
H0(s) = 0 e a relac¸a˜o entrada / sa´ıda torna-se :
yˆ(s) = H(s)gˆ(s)⇐⇒y(t) = h(t) ∗ g(t)
Definic¸a˜o (Estabilidade)
A func¸a˜o de transfereˆncia H(s) e´ denominada assintoticamente
esta´vel se ela for anal´ıtica em todos os pontos da regia˜o Re(s) ≥ 0.
Como consequ¨eˆncia :
Todos os po´los de H(s) esta˜o localizados na regia˜o Re(s) < 0.
limt→+∞h(t) = 0.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Resposta em frequ¨eˆncia
A resposta em frequ¨eˆncia de um sistema com func¸a˜o de
transfereˆncia H(s) e´ simplesmente dada por H(jω) para todo
ω ∈ R. Isto exige que todos os pontos do eixo das ordenadas
do plano complexo estejam no dom´ınio de H(s), isto e´
s = jω ∈ D(H) , ∀ ω ∈ R
Desta forma, devemos nos restringir ao ca´lculo da resposta
em frequ¨eˆncia apenas para sistemas assintoticamente esta´veis.
Para esta classe de sistemas, o efeito das condic¸o˜es iniciais
desaparece no decorrer do tempo pois H0(s) e H(s) teˆm os
mesmos po´los e portanto limt→+∞h0(t) = 0. A sua sa´ıda
tende a uma func¸a˜o que depende exclusivamente da entrada,
denominada soluc¸a˜o de regime permanente.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Resposta em frequ¨eˆncia
Considerando a entrada g(t) = ejωt para t ≥ 0 temos como
resposta
yˆ(s) = H0(s) + H(s)
1
(s − jω)
cuja decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais resulta em
yˆ(s) = H0(s) + R(s) +
H(jω)
(s − jω)
onde R(s) denota os demais termos da decomposic¸a˜o. Como
os po´los de R(s) sa˜o aqueles de H(s) tem-se limt→+∞r(t) = 0
de tal forma que para t suficientemente grande
y(t) ≈ H(jω)ejωt := yperm(t)
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Resposta em frequ¨eˆncia
Exemplo : A figura abaixo mostra yperm(t) e a resposta y(t),
a partir de condic¸o˜es iniciais nulas, de uma suspensa˜o
H(s) =
6s + 100
s2 + 6s + 100
, g(t) = (1/4)sen(10t)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
Mesmo com H0(s) = 0 ambas coincidem so´ apo´s um certo
tempo.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Resposta em frequ¨eˆncia
A resposta em frequ¨eˆncia de um sistema pode ser representada
graficamente atrave´s de diagramas. Os mais utilizados e
dispon´ıveis em va´rios pacotes computacionais sa˜o :
Diagramas de Bode de Mo´dulo e de Fase : Definidos
respectivamente por
A(ω)dB × log(ω) , ∀ ω > 0
φ(ω)× log(ω) , ∀ ω > 0
onde A(ω)dB e´ o mo´dulo de H(jω) expresso em decibe´is e
φ(ω) e´ a fase de H(jω) expressa em graus ou radianos.
Definic¸a˜o (Decibel)
O mo´dulo de H(jω) expresso em decibe´is e´ dado por
A(ω)dB := 20log(|H(jω)|) onde log denota o logaritmo na base dez.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Resposta em frequ¨eˆncia
Os diagramas de Bode sa˜o calculados numericamente sem
grandes dificuldades. E´ importante ressaltar que diagramas
aproximados podem ser obtidos atrave´s do ca´lculo de
ass´ıntotas gerando enta˜o os chamados Diagramas de Bode
Assinto´ticos. Considere a func¸a˜o de transfereˆncia racional
H(s) =
∑m
i=0 ei s
i∑n
i=0 ais
i
que pertence a` classe de func¸o˜es de fase m´ınima, para as
quais na˜o so´ os seus po´los mas tambe´m os seus zeros esta˜o
localizados no semiplano esquerdo complexo (Re(s) < 0).
Assim sendo, todos os seus coeficientes sa˜o positivos.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Resposta em frequ¨eˆncia
As ass´ıntotas sa˜o assim determinadas :
Baixa frequ¨eˆncia : Com ω > 0 suficientemente pequeno
H(jω) ≈ Kb , Kb =
e0
a0
> 0
e assim
A(jω)dB ≈ 20log(Kb)
φ(ω) ≈ 0
Alta frequ¨eˆncia : Com ω > 0 suficientemente grande
H(jω) ≈ Ka(jω)
m−n , Ka =
em
an
> 0
e assim
A(jω)dB ≈ 20log(Ka) + 20(m− n)log(ω)
φ(ω) ≈ (m − n)
pi
2
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Resposta em frequ¨eˆncia
Note que se n 6= m as ass´ıntotas do diagrama de mo´dulo se
interceptam em uma frequ¨eˆncia ωc denominada frequ¨eˆncia de
corte
ωc =
(
Kb
Ka
) 1
m−n
Estes ca´lculos levam aos diagramas assinto´ticos :
A(ω)dB =
{
20log(Kb) ω ≤ ωc
20log(Ka) + 20(m − n)log(ω) ω ≥ ωc
φ(ω) =
{
0 ω < ωc
(m − n)pi/2 ω > ωc
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Resposta em frequ¨eˆncia
As seguintes considerac¸o˜es sa˜o relevantes :
Geralmente os diagramas assinto´ticos na˜o fornecem resultados
precisos para frequ¨eˆncias pro´ximas a ωc . Para melhorar a
precisa˜o podemos decompor H(s) = ΠNi=1Hi (s) e aplicar o
procedimento anterior em cada parcela
A(ω)dB =
N∑
i=1
Ai (ω)dB , φ(ω) =
N∑
i=1
φi (ω)
Para sistemas de fase m´ınima apenas o seu diagrama de
mo´dulo define H(s). Com as ass´ıntotas que variam apenas em
mu´ltiplos de ±20dB por de´cada (intervalo de frequ¨eˆncias [a, b]
com b = 10a) e as frequ¨eˆncias de corte de cada parcela Hi (s)
e´ importante saber como obter H(s), dada na forma
H(s) = ΠNi=1Hi (s), a partir do seu diagrama assinto´tico de
mo´dulo.
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Exemplo
Diagramas de magnitude com ass´ıntotas obtidos com
H1(s) = s + 1 , H2(s) =
10
s2 + s + 100
10−1 100 101 102
−60
−40
−20
0
20
40
10−1 100 101 102
−30
−20
−10
0
10
20
30
H1
H2
H = H1H2
Mag. [dB] × Freq. [rad/s]
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Exemplo
Diagramas de fase com ass´ıntotas obtidos com
H1(s) = s + 1 , H2(s) =
10
s2 + s + 100
10−1 100 101 102
−200
−150
−100
−50
0
50
100
10−1 100 101 102
−100
−50
0
50
100
H1
H2
H = H1H2
Fase [graus] × Freq. [rad/s]
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Cap´ıtulo I - Fundamentos de Dinaˆmica Cont´ınua
Sistemas dinaˆmicos lineares
Exemplo
Na figura abaixo vemos a sa´ıda em regime permanente
(dividida por 10) de H(s) correspondente a` entrada
g(t) = cos(10t) + cos(100t) , ∀t ≥ 0
Observe a filtragem da componente de alta frequ¨eˆncia.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
t[s]
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	Capítulo I - Fundamentos de Dinâmica Contínua
	Sistemas lineares
	Equações diferenciais linearesSistemas dinâmicos lineares