Autovalores e autovetores_Algebra Linear

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Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Universidade Federal de Santa Maria
Centro de Cieˆncias Naturais e Exatas
Departamento de Matema´tica
Disciplina: A´lgebra Linear
Autovalores e Autovetores
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Conteu´do
Autovetores
Autovalores
Matrizes Semelhantes
Matrizes Diagonaliza´veis
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Autovetores
Seja f : V → V um operador linear. Dizemos que um vetor
na˜o-nulo v ∈ V e´ um autovetor do operador f se existe λ ∈ R
tal que f (v) = λv .
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Autovalores
O nu´mero real λ que satisfaz f (v) = λv e´ denominado
autovalor de f associado ao autovetor v .
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Observac¸a˜o
Por definic¸a˜o, um vetor na˜o-nulo v e´ um autovetor se a
imagem f (v) for um mu´ltiplo escalar de v . No R2 e no R3,
diz-se que v e f (v) teˆm a mesma direc¸a˜o.
Autovalores e
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Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Observac¸a˜o
Na figura abaixo, o vetor v e´ um autovetor de f . Dependendo
do valor de λ, o operador f dilata v , contrai v , inverte o
sentido de v ou o anula, no caso em que λ = 0.
Autovalores e
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Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Observac¸a˜o
O vetor v , na figura a seguir, e´ um autovetor de f ?
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gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
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Observac¸a˜o
O vetor v = 0 sempre satisfaz a igualdade f (v) = λv , para
todo λ ∈ R. Entretanto, por definic¸a˜o, o autovetor e´ sempre
um vetor na˜o-nulo.
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Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Exemplo 1
Mostre que v = (5, 2) e´ um autovetor do operador
f : R2 → R2 definido por f (x , y) = (4x + 5y , 2x + y),
associado ao autovalor λ = 6.
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v e λ
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gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Observac¸a˜o
Em outras palavras, a multiplicac¸a˜o do autovetor v pelo
autovalor λ ou pela matriz canoˆnica A de f , tem como
resultado o mesmo vetor, mu´ltiplo escalar de v . Assim a
matriz A atua na multiplicac¸a˜o por v como se fosse o
nu´mero real λ.
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gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Exemplo 2
Mostre que v = (2, 1) na˜o e´ autovetor do operador
f : R2 → R2 definido por f (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).
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de matrizes
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Exemplo 3
Sempre que um vetor v e´ autovetor de um operador linear f
associado a um autovalor λ, isto e´ f (v) = λv , o vetor αv , para
qualquer nu´mero real na˜o-nulo α, e´ tambe´m autovetor de f
associado ao mesmo autovalor λ.
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Exemplo 4
Na simetria do R3 definida por f (v) = −v , qualquer vetor
na˜o-nulo v e´ autovetor de f associado ao autovalor λ = −1.
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Exemplo 5
O vetor v = (0, 1) ∈ R2 e´ autovetor do operador linear definido
por f (x , y) = (x , 0), associado ao autovalor λ = 0.
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Observac¸a˜o
Por este u´ltimo exemplo, fica evidente que o vetor zero na˜o
poder ser, por definic¸a˜o, autovetor na˜o impede que o nu´mero
zero seja autovalor.
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Exemplo 6
Seja I : R2 → R2 o operador identidade. Mostre que todo
vetor na˜o-nulo do R2 e´ um autovetor de I .
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Exemplo 7
Seja T : R2 → R2 o operador linear definido por
T (x , y) = (x ,−y) o qual representa uma reflexa˜o no eixo x .
Mostre que (x , 0) e (0, y) sa˜o autovetores de T , para x , y
na˜o-nulos.
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Determinac¸a˜o dos Autovalores
Seja f : R2 → R2 o operador linear do R2 tal que f (v) = A.v ,
onde A =
[
a11 a12
a21 a22
]
.
Seja v um autovetor de f associado ao autovalor λ. Enta˜o, por
definic¸a˜o, f (v) = λv . Ou seja, f (v) = Av = λv e, com isso,
Av − λIv = (A− λI )v = 0
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Determinac¸a˜o dos Autovalores
Fazendo v =
[
x
y
]
, obtemos:
(A− λI )v =
([
a11 a12
a21 a22
]
− λ
[
1 0
0 1
])[
x
y
]
=
[
0
0
]
Esta igualdade representa um sistema homogeˆneo de duas
equac¸o˜es e duas varia´veis. Como precisamos determinar v 6= 0,
enta˜o det(A− λI ) = 0.
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Determinac¸a˜o dos Autovalores
Esta e´ a equac¸a˜o caracter´ıstica do operador f e suas ra´ızes sa˜o
os autovalores de f . Os autovetores correspondentes sera˜o
obtidos ao substituirmos os valores de λ na equac¸a˜o[
a11 − λ a12
a21 a22 − λ
] [
x
y
]
=
[
0
0
]
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de matrizes
sime´tricas
Exemplo 8
Determine os autovalores e os autovetores do operador linear
f : R2 → R2 definido por f (x , y) = (4x + 5y , 2x + y)
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de matrizes
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Exemplo 9
Determine os autovalores e os autovetores da transformac¸a˜o
linear f representada pela matriz
A =
 7 −2 0−2 6 −2
0 −2 5

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Tonetv e λ
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Exemplo 10
Determine os autovalores e os autovetores da transformac¸a˜o
linear f representada pela matriz
A =
[ −16 10
−16 8
]
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Matrizes Semelhantes
Seja f : V → V um operador linear. Se A e B sa˜o bases de V
e TA e TB as matrizes que representam o operador f nas bases
A e B, respectivamente, enta˜o
TB = Q
−1TAQ
sendo Q a matriz mudanc¸a de base de B para A.
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Prova
Segue da definic¸a˜o de transformac¸a˜o linear que
f (v)A = TAvA (1)
f (v)B = TBvB (2)
Ale´m disso,
vA = QvB (3)
f (v)A = Qf (v)B (4)
Substituindo (3) e (4) em (1), obtemos:
Qf (v)B = TAQvB
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Prova
Como Q e´ uma matriz invers´ıvel, pode-se escrever
Q−1Qf (v)B = Q−1TAQvB
ou
f (v)B = Q
−1TAQvB (5)
Comparando (5) com (2), obtemos TB = Q
−1TAQ
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Diagonalizac¸a˜o
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Observac¸o˜es
As matrizes TA e TB sa˜o chamadas de matrizes semelhantes.
Duas matrizes sa˜o semelhantes quando definem, em V , um
mesmo operador linear f , em duas bases diferentes. Mais
precisamente, duas matrizes TA e TB sa˜o semelhantes se existe
uma matriz invers´ıvel Q tal que TB = Q
−1TAQ.
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Exerc´ıcio 1
Sejam f : R2 → R2 um operador linear e as bases
A = {(3, 4), (5, 7)} e B = {(1, 1), (−1, 1)}. Sabendo que
TA =
[ −2 4
2 −1
]
calcular TB utilizando a relac¸a˜o TB = Q
−1TAQ.
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Exerc´ıcio 2
Dado o operador linear f : R2 → R2 definido por
f (x , y) = (2x + 9y , x + 2y), determinar T , a matriz canoˆnica
de f , e a seguir, utilizando a relac¸a˜o entre matrizes
semelhantes, calcular a matriz de f na base
B = {(3, 1), (−3, 1)}.
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de matrizes
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Observac¸a˜o
Observe que a matriz diagonal TB que representa f na base B
e´ mais simples, no sentido de estrutura do que a matriz
canoˆnica T . Esta simplificac¸a˜o esta´ associada a escolha
adequada de uma base, pois e´ a matriz mudanc¸a de base Q
que atua sobre a matriz de um operador linear para
transforma´-la em outra matriz do mesmo operador.
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Propriedade 1
Se λ e´ um autovalor de um operador linear f : V → V , o
conjunto Sλ de todos os vetores v ∈ V , inclusive o vetor v = 0,
tais que f (v) = λv , e´ um subespac¸o vetorial de V .
O conjunto Sλ e´ denominado autoespac¸o associado ao
autovalor λ.
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Propriedade 2
Matrizes semelhantes teˆm o mesmo polinoˆmio caracter´ıstico e,
por isso, os mesmos autovalores.
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Exerc´ıcio 3
Determine a matriz de f : R2 → R2 definido por
f (x , y) = (x + 2y ,−x + y) na base A = {(−1, 1), (1, 2)} e,
utilizando a relac¸a˜o entre matrizes semelhantes, calcular a
matriz de f na base B = {(1,−3), (0, 2)}.
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Exerc´ıcio 4
Seja f : R2 → R2 um operador linear. Dadas as base
A = {(1, 0), (0, 1)} e B = {(4, 1), (−11,−3)}, e sabendo que
TB =
[
3 5
1 2
]
determinar TA utilizando a relac¸a˜o entre matrizes semelhantes.
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de matrizes
sime´tricas
Exerc´ıcio 5
Dado o operador linear f : R2 → R2 definido por
f (x , y) = (x + y , x − y),
a) Determinar TB sendo B = {(1, 2), (0,−1)}.
b) Utilizar TB para calcular f (v)B , sabendo que v = (4, 2).
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de matrizes
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Diagonalizac¸a˜o de Operadores
Sabe-se que, dado um operador linear f : V → V , a cada base
B de V corresponde uma matriz TB que representa f nesta
base. Pretendemos obter uma base do espac¸o vetorial V de
modo que a matriz de f nessa base seja a mais simples poss´ıvel.
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Diagonalizac¸a˜o
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Propriedade I
Autovetores associados a autovalores distintos sa˜o linearmente
independentes.
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Diagonalizac¸a˜o
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Prova
Seja f : R2 → R2 com autovalores distintos λ1 e λ2 tais que
f (v1) = λ1v1
e
f (v2) = λ2v2
Consideremos a1v1 + a2v2 = 0.
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
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Prova
Segue da linearidade de f que:
f (a1v1 + a2v2) = a1f (v1) + a2f (v2) = 0
ou seja,
a1λ1v1 + a2λ2v2 = 0
Mas, multiplicando ambos membros de a1v1 + a2v2 = 0 por λ1
obtemos
a1v1λ1 + a2v2λ1 = 0
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
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Prova
Subtraindo estas igualdades, obtemos
a2(λ2 − λ1)v2 = 0
Como v2 e´ na˜o nulo e λ1 e λ2 sa˜o autovalores distintos, enta˜o
a2 = 0.
Da mesma forma, como v1 e´ na˜o nulo e a1λ1v1 + a2λ2v2 = 0
enta˜o a1 = 0. Portanto, o conjunto {v1, v2} e´ LI.
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
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Propriedade 2
Se f : V → V e´ um operador linear, dimV = n e f possui n
autovalores distintos, o conjunto {v1, v2, ..., vn} formado pelos
respectivos autovetores e´ uma base de V .
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de matrizes
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Exemplo 11
Determine os autovalores e os autovetores do operador linear
f : R2 → R2 definido por f (x , y) = (−3x − 5y , 2y).
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Propriedade 3
Se um operador linear f : R3 → R3 admite autovalores
λ1, λ2, λ3 distintos, associados a v1, v2, v3, respectivamente, a
propriedade 2 assegura que o conjunto {v1, v2, v3} e´ uma base
de R3.
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Propriedade 3
Tendo em vista que
f (v1) = λ1v1 + 0v2 + 0v3
f (v2) = 0v1 + λ2v2 + 0v3
f (v3) = 0v1 + 0v2 + λ3v3
o operador f e´ representado na base P dos autovetores pela
matriz diagonal
TP =
 λ1 0 00 λ2 0
0 0 λ3
 = D
cujos elementos da diagonal principal sa˜o os autovalores de f .
A matriz D e´ a mais simples representante do operador f .
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Diagonalizac¸a˜o
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sime´tricas
Propriedade 3
Sendo A a matriz canoˆnica do operador linear f , as matrizes A
e D sa˜o semelhantes por representarem o mesmo operador em
bases diferentes e, portanto, D = Q−1AQ, onde Q e´ a matriz
mudanc¸a de base de P para a base canoˆnica C do R3.
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
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Propriedade 3
Tendo em vista que
Q = C−1P = I−1P = P
obtemos que D = P−1AP, sendo P a matriz cujas colunas sa˜o
os autovetores de f .
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de matrizes
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Matriz Diagonaliza´vel
A matriz quadrada A e´ diagonaliza´vel se existe uma matriz
invers´ıvel P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal.
Equivalentemente, um operador f : V → V e´ diagonaliza´vel se
existe uma base para V formada de autovetores de f .
Diz-se, neste caso, que a matriz P diagonaliza A ou que P e´ a
matriz diagonalizadora.
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Exerc´ıcio 6
Determinar uma matriz P que diagonaliza a matriz
A =
 3 −1 1−1 5 −1
1 −1 3

e calcular P−1AP.
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de matrizes
sime´tricas
Exerc´ıcio 7
Dado o operador linear f : R2 → R2 definido por
f (x , y) = (4x + 5y , 2x + y) determinar uma base do R2 em
relac¸a˜o a` qual a matriz de f e´ diagonal.
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gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Exerc´ıcio 8
Determinar uma matriz P que diagonaliza a matriz
A =
 2 −1 00 1 −1
0 2 4

.
Autovalores e
Autovetores
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Propriedade 1
A equac¸a˜o caracter´ıstica de uma matriz sime´trica tem apenas
ra´ızes reais.
Autovalores e
Autovetores
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gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Prova
Consideremos a matriz sime´trica
A =
[
p r
r q
]
cuja equac¸a˜o caracter´ıstica e´
det(A− λI ) = (p − λ)(q − λ)− r2 = 0
Autovalores e
Autovetores
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Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Prova
Tendo em vista que esse discriminante e´ uma soma de
quadrados, as ra´ızes da equac¸a˜o caracter´ıstica sa˜o reais e,
portanto, a matriz A possui dois autovalores.
Autovalores e
Autovetores
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Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Propriedade 2
Se f : V → V e´ um operador linear sime´trico com autovalores
distintos, os autovetores correspondentes sa˜o ortogonais.
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Diagonalizac¸a˜o de matrizes sime´tricas
Lembre que uma matriz A e´ diagonalizada pela matriz P da
base de autovetores por meio de D = P−1AP.
No caso particular de A ser uma matriz sime´trica, P sera´ uma
matriz de uma base ortogonal, de acordo com a Propriedade 2.
A`s vezes, por convenieˆncia, ha´ interesse que a base P seja
ortonormal, o que se obte´m normalizando cada vetor.
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Diagonalizac¸a˜o de matrizes sime´tricas
Assim, segue de P ser uma matriz ortogonal, que
P−1 = Pt
e, com isso,
D = P−1AP = PtAP
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Exerc´ıcio 9
Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz
sime´trica
A =
 7 −2 0−2 6 −2
0 −2 5
 .
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Exerc´ıcio 10
Dado o operador linear sime´trico f : R3 → R3 definido pela
matriz
A =
 1 0 −20 0 0
−2 0 4

determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza A.
Autovalores e
Autovetores
Profa. Dra.
Luciane Gobbi
Tonet
v e λ
Matrizes
Semelhantes
Matrizes Dia-
gonaliza´veis
Diagonalizac¸a˜o
de matrizes
sime´tricas
Importante
E´ importante observar que se v2.v3 6= 0, seria necessa´rio utilizar
o processo de Gram-Schmidt para se obter os autovetores
ortogonais, isto e´ v2.v3 = 0 e, em consequeˆncia, os vetores
µ1, µ2, µ3 serem ortonormais.
	v e 
	Matrizes Semelhantes
	Matrizes Diagonalizáveis
	Diagonalização de matrizes simétricas