Pré-Cálculo, Funções Afim e Linear

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Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 12
11 de maio de 2010
Aula 12 Pré-Cálculo 1
A função afim
Aula 12 Pré-Cálculo 2
A função afim
Uma função f : R → R chama-se afim se existem constantes
a,b ∈ R tais que f (x) = a x + b para todo x ∈ R.
Definição
Exemplo de função afim:
f : R → R
x �→ f (x) = 2x + 3 .
Aula 12 Pré-Cálculo 5
Proposição
O gráfico de uma função afim f : x �→ y = f (x) = a x + b é uma reta.
Demonstração. Basta verificarmos que três pontos quaisquer do gráfico de f são
colineares. Sejam, portanto,
P1 = (x1,ax1 + b), P2 = (x2,ax2 + b) e P3 = (x3,ax3 + b).
Para verificar que P1, P2 e P3 são colineares é necessário e suficiente que o maior dos
três números d(P1,P2), d(P2,P3) e d(P1,P3) seja igual à soma dos outros dois.
Sem perda de generalidade, podemos supor que as abscissas x1, x2 e x3 foram
ordenadas de modo que x1 < x2 < x3. A fórmula da distância entre dois pontos nos dá:
d(P1,P2) =
√
(x2 − x1)2 + a2(x2 − x1)2 = (x2 − x1)
√
1+ a2,
d(P2,P3) = (x3 − x2)
√
1+ a2,
d(P1,P3) = (x3 − x1)
√
1+ a2.
Daí se segue imediatamente que d(P1,P3) = d(P1,P2) + d(P2,P3).
Aula 12 Pré-Cálculo 19
Cuidado!
Todo gráfico de uma função afim é uma reta no plano cartesiano, mas
nem toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma função afim!
Aula 12 Pré-Cálculo 21
Observações
y = f (x) = a · x + b
(1) O gráfico de uma função afim é uma reta: a é o coeficiente
angular (com relação ao eixo x) e b é o coeficiente linear da
reta.
(2) O coeficiente linear b é a ordenada do ponto de interseção da
reta com o eixo y .
(3) O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: ele é igual
a tangente do ângulo entre a reta e o eixo x quando a mesma
escala foi usada nos dois eixos coordenados.
Aula 12 Pré-Cálculo 25
A função afim
Aula 12 Pré-Cálculo 26
Exercícios
y = f (x) = a · x + b
(1) f é crescente se, e somente se, a > 0. f é decrescente se, e
somente se, a < 0.
(2) Estude a equação ax + b = 0 (isto é, f (x) = 0). A resposta
dependerá dos sinais de a e b.
(3) Estude a inequação ax + b > 0 (isto é, f (x) > 0). A resposta
dependerá dos sinais de a e b.
Aula 12 Pré-Cálculo 33
Proposição
Dados arbitrariamente (x1, y1), (x2, y2) ∈ R2, com x1 �= x2, existe uma, e somente uma,
função afim f : R→ R tal que
f (x1) = y1 e f (x2) = y2.
Demonstração. Observe que:
{
f (x1) = y1,
f (x2) = y2,
⇔
{
a x1 + b = y1,
a x2 + b = y2.
Assim, existe uma única função afim f : R → R tal que f (x1) = y1 e f (x2) = y2 se, e
somente se, o sistema linear nas variáveis a e b
{
a x1 + b = y1,
a x2 + b = y2,
possui uma única solução. Mas, como x1 �= x2, este é o caso,
a =
y2 − y1
x2 − x1 , b =
x2y1 − x1y2
x2 − x1 .
Aula 12 Pré-Cálculo 40
A taxa de variação de uma função afim
Dados, x1, x2 ∈ R, com x1 �= x2, o número
a =
f (x2)− f (x1)
x2 − x1
é denominado taxa de variação da função f no intervalo de
extremos x1 e x2.
Definição
Trabalho (valendo 0.5, entrega dentro de uma semana):
http://www.uff.br/cdme/afim/ ou
http://www.cdme.im-uff.mat.br/afim/
Fazer a avaliação online e preencher o formulário de acompanhamento do aluno:
Aula 12 Pré-Cálculo 42
A função linear
Aula 12 Pré-Cálculo 43
A função linear
Uma função f : R → R chama-se linear se existe constante
a ∈ R tais que f (x) = a x para todo x ∈ R.
Definição
Exemplo de função afim:
f : R → R
x �→ f (x) = 2x .
Aula 12 Pré-Cálculo 46
Observações
(1) Se y = f (x) = a x é uma função linear, então f (x1 + x2) =
f (x1) + f (x2) para todo x1, x2 ∈ R e f (cx) = c f (x) para todo
c, x ∈ R.
(2) A função linear é o modelo matemático para os problemas de
proporcionalidade. A proporcionalidade é, provavelmente, a
noção matemática mais difundida na cultura de todos os povos
e seu uso universal data de milênios.
(3) Uma proporcionalidade direta é uma função f : R → R tal que,
para quaisquer números reais c, x tem-se f (cx) = c f (x).
(4) Uma proporcionalidade inversa é uma função f : R∗ → R∗
(onde R∗ = R−{0}) tal que, para quaisquer números c, x ∈ R∗
tem-se f (cx) = f (x)/c.
Aula 12 Pré-Cálculo 51
O teorema fundamental da proporcionalidade
Seja f : R→ R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) f (k x) = k f (x) para todo k ∈ Z e todo x ∈ R.
(2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) = a · x para todo x ∈ R.
(3) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) para quaisquer x1, x2 ∈ R.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que (1) ⇒ (2). Vamos dividir a demonstração
em dois casos: primeiro mostraremos que f (x) = a · x para todo x racional e, depois,
que f (x) = a · x para todo x irracional.
(Caso 1) Seja r um número racional. Logo, r = m/n, com m ∈ Z e n ∈ Z∗. Usando (1)
temos que
n · f (r · x) = f (n · r · x) = f (m · x) = m · f (x),
logo
f (r · x) = m
n
· f (x) = r · f (x).
Seja a = f (1). Temos que para todo r racional,
f (r) = f (r · 1) = r · f (1) = r · a = a · r .
Aula 12 Pré-Cálculo 71
O teorema fundamental da proporcionalidade
Seja f : R→ R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) f (k x) = k f (x) para todo k ∈ Z e todo x ∈ R.
(2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) = a · x para todo x ∈ R.
(3) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) para quaisquer x1, x2 ∈ R.
Demonstração (continuação).
(Caso 2) Como f (0) = f (0 · 0) = 0 · f (0) = 0, o fato de f ser crescente nos dá que
a = f (1) > f (0) = 0. Assim, a é positivo. Suponha, por absurdo, que exista algum
número irracional x tal que f (x) �= a · x . Para fixar ideias, admitamos que f (x) < a · x
(o caso f (x) > a · x seria tratado de modo análogo). Temos então que f (x)/a < x .
Tomemos um número racional r entre f (x)/a e x :
f (x)
a
< r < x .
Então f (x) < a · r < a · x , ou seja, f (x) < f (r) < a · x . Mas isto é absurdo, pois f é
crescente logo, como r < x , deveríamos ter f (r) < f (x). Esta contradição completa a
prova de que (1)⇒ (2).
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O teorema fundamental da proporcionalidade
Seja f : R→ R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) f (k x) = k f (x) para todo k ∈ Z e todo x ∈ R.
(2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) = a · x para todo x ∈ R.
(3) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) para quaisquer x1, x2 ∈ R.
Demonstração (continuação).
As implicações (2) ⇒ (3) e (3) ⇒ (1) são mais fáceis de se demonstrar e ficam como
exercício.
Aula 12 Pré-Cálculo 91
Versão para ser aplicada em grandezas positivas
Seja f : R+ → R+ uma função crescente, onde R+ = {x ∈ R | x > 0}. As seguintes
afirmações são equivalentes:
(1+) f (n x) = n f (x) para todo n ∈ N e todo x ∈ R+.
(2+) Pondo a = f (1), tem-se f (x) = a · x para todo x ∈ R+.
(3+) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) para quaisquer x1, x2 ∈ R+.
Demonstração. Defina F : R→ R por
F (x) =
⎧⎨
⎩
f (x), se x > 0,
0, se x = 0,
−f (−x), se x < 0.
Cada uma das afirmações (1+), (2+) e (3+) para f equivale a umas das afirmações (1),
(2) e (3) do teorema fundamental da proporcionalidade para f .
Aula 12 Pré-Cálculo 96
Aplicação
A área de um retângulo de altura a e base x é igual a a · x .
Demonstração. Seja f (x) a área do retângulo de altura a e base x . É claro que f é uma
função crescente de x . Além disso, é claro que um retângulo de altura a e base n · x
pode ser decomposto em n retângulos de mesma altura a, com um com base x .
a
x x x x
Logo, f (n · x) = n · f (x). Assim, pelo teorema fundamental da proporcionalidade, temos
que
f (x) = c · x ,
onde c = f (1) é a área do retângulo de base 1 e altura a. Vamos mostrar que c = a.
O mesmo argumento aplicado aos retângulos de mesma base 1 e altura variável mostra
que f (1) = a · u, onde u é área do quadrado de lado 1a qual, por definição, é igual a 1.
Logo, c = f (1) = a.
Aula 12 Pré-Cálculo 111
O gráfico da função modularf (x) = |x | =
{
x , se x ≥ 0,
−x , se x < 0.
Definição
Aula 12 Pré-Cálculo 114
Gráfico da função modular
Aula 12 Pré-Cálculo 115