Ciclo Trigonométrico

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1 - O ciclo trigonométrico
O ciclo trigonométrico é um ente matemático que possibilita o cálculo de medidas trigonométricas (seno, cosseno, tangente etc) para qualquer ângulo.
Ele é uma circunferência de raio 1 centrada na origem.
O ponto (1,0) é de onde começamos a medir os ângulos, sendo que sentido positivo é o anti-horário.
Os eixos delimitam 4 quadrantes no plano cartesiano, sendo que o primeiro quadrante fica em cima, à direita:
Agora vamos entender como esse negócio vai nos ajudar a determinar senos e cossenos.
Vamos imaginar um ângulo x a partir do centro. Este ângulo encontra um ponto do ciclo trigonométrico. A partir deste ponto fazemos uma projeção no eixo x para construir um triângulo retângulo. A hipotenusa deste triângulo é 1, pois é a medida do raio da circunferência. Vamos chamar seus catetos de a e b.
Isso significa que no ciclo trigonométrico:
a projeção do arco no eixo x determina o cosseno;
a projeção do arco no eixo y determina o seno.
É importante lembrar que estamos no plano cartesiano, então haverão medidas trigonométricas tanto positivas quanto negativas.
2 - Sinais de seno e cosseno
Como vimos, o cosseno é medido através do eixo x. Portanto, para ângulos à esquerda da origem o cosseno é negativo e à direita, é positivo:
Como o seno é medido através do eixo y, ângulos que ficam abaixo da origem possuem seno negativo, e aqueles acima da origem possuem seno positivo:
3 - Ângulos maiores que 360°
Qualquer ângulo maior que 360∘ possui um correspondente menor que 360∘
Na prática, basta dividir o ângulo em questão por 360∘ e considerar o resto da divisão
4 - Ângulos negativos
Os ângulos negativos correspondem a giros anti-horários no ciclo trigonométrico.
5 - Redução ao primeiro quadrante
O ciclo trigonométrico é dividido em 44 quadrantes, sendo que o 1º é o superior direito, onde ficam todos os ângulos agudos (que você já ama e conhece).
O ciclo trigonométrico permite que encontremos ângulos agudos correspondentes aos ângulos dos quadrantes II, III e IV. Este ângulo correspondente possui as mesmas medidas trigonométricas que o ângulo original, exceto por uma correção de sinal (da qual falaremos adiante).
Na prática, isso significa que é possível calcular, por exemplo, seno de 330∘, cosseno de 330∘ etc, porque os ângulos de 330∘ e 120∘ podem ser reduzidos ao primeiro quadrante para algum ângulo conhecido.
As fórmulas de redução dependem do quadrante em que o ângulo está.
7 - Cálculo de seno ou cosseno para qualquer ângulo
Finalmente vamos juntar tudo que aprendemos para calcular seno ou cosseno de qualquer ângulo.
O processo será o seguinte:
1º passo – Analisar o sinal do resultado dependendo do quadrante;
2º passo – Reduzir ao 1º quadrante;
3º passo – Calcular o seno/cosseno do ângulo do 1º quadrante.
8 - A tangente no ciclo trigonométrico
A medida da tangente de um ângulo no ciclo trigonométrico é definida a partir de um reta tangente ao ciclo trigonométrico, paralela ao eixo y.
Traçamos uma reta que liga o ponto do ciclo e a origem do sistema; vemos onde esta reta cruza a reta tangente; a tangente do ângulo será a distância (considerando sinal) deste ponto de cruzamento até o eixo horizontal.
Além disso, vamos lembrar do triângulo formado por um ângulo no ciclo trigonométrico:
8.1
Sinais da tangente no ciclo
A partir da definição que demos, podemos concluir que nos quadrantes I e III o sinal da tangente é positivo, pois a projeção bate na parte positiva da tangente.
Nos quadrantes II e IV a projeção bate na parte negativa da tangente
Então podemos resumir o sinal da tangente na seguinte figura.
8.2
Tangente dos ângulos limite
Alguns ângulos não possuem medida de tangente; na primeira volta estes ângulos são 90∘ e 270∘.
A primeira explicação é que a reta que liga a origem ao ponto que determina estes ângulos é paralela à reta da tangente
9.1
Calculando valor com a identidade fundamental
10.1 Calculando valores com as novas relações
11 - Identidades trigonométricas
Uma das coisas que podemos fazer com todas as relações que estudamos é verificar identidades trigonométricas. A palavra “identidade”, neste caso, é utilizada com o sentido de “idêntico”, “igual”, não tem nada a ver com o seu RG.
Ou seja, as identidades trigonométricas são equações que utilizam as razões trigonométricas.
Para demonstrar que uma equação A = B é verdadeira podemos:
desenvolver a expressão A até chegar em B;
desenvolver a expressão B até chegar em A;
desenvolver ambas as expressões e chegar no mesmo resultado, i.e., cos x = cos x ou então 1 = 1 ou 0 = 0.
etc
Veja abaixo alguns exemplos de como demonstrar estas identidades trigonométricas.