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1 Prof. Viviane Ponciano Sant’Anna viviane.santanna@docente.unip.br AULA 3 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA As tabelas estatísticas, geralmente, condensam informações de fenômenos que necessitam da coleta de grande quantidade de dados numéricos. No caso das distribuições de frequências (que é um tipo de série estatística1), os dados referentes ao fenômeno objeto de estudo se repetem na maioria das vezes sugerindo a apresentação em tabela onde apareçam valores distinto um dos outros. DADOS TABULADOS E AGRUPADOS POR FREQUÊNCIAS SEM INTERVALOS DE CLASSES A tabela de frequência contém os valores da variável e suas respectivas contagens, as quais são denominadas frequências absolutas ou, simplesmente, frequências. Este tipo de distribuição de frequência aplica-se a variáveis qualitativas (nominal e ordinal) e a variáveis quantitativas discretas, quando a variedade de valores assumidos não for muito grande. Notação: 𝑛𝑖 → 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑖 𝑛 → 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ 𝑛𝑖 Para efeito de comparação com outros grupos ou conjuntos de dados, é conveniente trabalharmos com a frequência relativa, definida por: 𝑓𝑖 = 𝑛𝑖 𝑛 Exemplos Tabela de frequência para a variável Idade dos alunos do 2º semestre de Administração Tabela 1 – Variável Idade Idade 𝑛𝑖(𝑎𝑙𝑢𝑛𝑜𝑠) 𝑓𝑖 = 𝑛𝑖 𝑛 𝑓𝑖 ∙ 100(%) 18 5 𝑓𝑖 = 5 50 = 0,1 10% 21 16 𝑓𝑖 = 16 50 = 0,32 32% 24 17 𝑓𝑖 = 17 50 = 0,34 34% 30 8 𝑓𝑖 = 8 50 = 0,16 16% 36 4 𝑓𝑖 = 4 50 = 0,08 8% Total 50 ------- 100% Fonte: Fictícia 1 É qualquer tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. 2 Tabela de frequência para a variável sexo (Extraída da tabela 1) Tabela 2 – variável Sexo Sexo 𝑛𝑖 𝑓𝑖 = 𝑛𝑖 𝑛 𝑓𝑖 ∙ 100(%) F 24 𝑓𝑖 = 24 50 = 0.48 48% M 26 𝑓𝑖 = 26 50 = 0,52 52% Total 50 -------- 100% Fonte: Fictícia DADOS TABULADOS E AGRUPADOS POR FREQUÊNCIAS COM INTERVALOS DE CLASSES Os dados são tabulados e associados à frequência (ou número de vezes) com que aparecem na amostragem, estando agrupados em classes que constituem intervalos de dados. Este tipo de distribuição de frequência aplica-se apenas a variáveis quantitativas, principalmente às quantitativas contínuas. Observe exemplo a seguir: Tabela de frequência para a variável salário dos empregados da empresa C-Ativa Tabela 3 – variável salários Salários ($) Empregados 2000 |--- 3000 2 3000 |--- 4000 3 4000 |--- 5000 13 500 0 |--- 6000 11 6000 |--- 7000 9 7000 |--- 8000 2 TOTAL 40 Fonte: Fictícia NOTA O símbolo “|---” denota intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Na distribuição de frequência acima, o valor 4000 e o valor 4999,9999 pertencem à terceira classe, mas o valor 5000 pertence à quarta classe. Na última classe, geralmente não destacado, convenciona-se que o símbolo padrão é ‘|---|’, indicando intervalo fechado nos dois extremos. 3 FREQUÊNCIAS ACUMULADAS A frequência acumulada até certo valor e obtida pela soma das frequências de todos os valores da variável menores ou iguais ao valor considerado, isto é, a soma das frequências anteriores com a frequência deste valor. • A soma da frequência absoluta do elemento considerado com todas as anteriores é chamada de frequência absoluta acumulada (F i). • A soma da frequência relativa do elemento considerado com todos os anteriores é chamada de frequência relativa acumulada (Fri). Exemplo A tabela de frequência a seguir apresenta uma pesquisa realizada com 1000 mães de crianças entre 0 a 24 meses sobre o período de amamentação (em meses). Tabela 4 – variável período de amamentação Período da amamentação (meses) Frequência Absoluta (𝒏𝑰) Frequência relativa (𝒇𝒊) Frequência absoluta acumulada (𝑭𝒊)) Frequência relativa acumulada (Fr) 0 |— 5 320 320 1000 = 032 = 32% 320 32% 5 |— 10 360 360 1000 = 0,36 = 36% 𝟑𝟐𝟎 + 𝟑𝟔𝟎 = 𝟔𝟖𝟎 𝟑𝟐% + 𝟑𝟔% = 𝟔𝟖% 10 |— 15 250 250 1000 = 0,25 = 25% 𝟔𝟖𝟎 + 𝟐𝟓𝟎 = 𝟗𝟑𝟎 𝟔𝟖% + 𝟐𝟓% = 𝟗𝟑% 15 |— 20 50 50 1000 = 0,05= 5% 𝟗𝟑𝟎 + 𝟓𝟎 = 𝟗𝟖𝟎 𝟗𝟑% + 𝟓% = 𝟗𝟖% 20 |— 25 20 20 1000 = 0,02 = 2% 𝟗𝟕𝟎 + 𝟐𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟗𝟖% + 𝟐% = 𝟏𝟎𝟎% Total 1000 100% ----------- ----------- Fonte: Fictícia 4 ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Observe a Distribuição de frequência a seguir, que servirá de base para as definições e exemplos sobre os possíveis elementos que compõem uma Distribuição de Frequência. Tabela 5 - Salário dos Empregados da Empresa Alpha X Classe (i) Salários (R$) 𝑛𝑖 𝑓𝑖 (%) 𝐹𝑖 𝐹𝑖 (%) 1 2000 |— 3000 2 5,0% 2 5% 2 3000 |— 4000 3 7,5% 5 12,5% 3 4000 |— 5000 13 32,5% 18 45,0% 4 5000 |— 6000 11 27,5% 29 72,5% 5 6000 |— 7000 9 22,5% 38 95,0% 6 7000 |— 8000 2 5,0% 40 100% Total (N) 40 100,% Salário dos Empregados da Empresa Alpha X Classe (i) Salários (R$) 𝑛𝑖 𝑓𝑖 (%) Fi Fri (%) 1 2000 |— 3000 2 5,0% 2 5,0% 2 3000 |— 4000 3 7,5% 5 12,5% 3 4000 |— 5000 13 32,5% 18 45,0% 4 5000 |— 6000 11 27,5% 29 72,5% 5 6000 |— 7000 9 22,5% 38 95,0% 6 7000 |— 8000 2 5,0% 40 100,0% Total (N) 40 100,% Índice da classe (𝒊) É a variável de controle da notação indexada. Assume valores inteiros positivos representando a ordem das classes de uma Distribuição de Frequência. Assim, i assume valores de 1 até o número total de classes (𝑘) em uma Distribuição de frequência. Número Total de Classes (𝒌) Representa o número de ordem da última classe de uma Distribuição de frequências. Uma distribuição deve ter no mínimo 5 linhas e no máximo 15 linhas. Classes (𝒙𝒊) Representam os valores assumidos pela variável em estudo. Limite Inferior de Classe (i) Representa o extremo inferior da classe i. Existe apenas em distribuições com intervalos de classes. Como representa um dos possíveis valores que a variável pode assumir, 3 k L5 5 deve também ser acompanhado da unidade da variável. Na distribuição de referência, temos que 3 = R$ 4000,00 ou 5 = R$ 6000,00 e assim por diante. Limite Superior de Classe (Li) Representa o extremo superior da classe i. Existe apenas em distribuições com intervalos de classes. Na distribuição de referência, temos que L3 = R$5000,00 ou L5 = R$7000,00 e assim por diante. Amplitude de um Intervalo de Classe (𝒉𝒊) É a medida do ‘tamanho’ do intervalo que define a 𝑪𝒍𝒂𝒔𝒔𝒆 𝒊. Existe apenas em distribuições com intervalos de classes. É calculada pela diferença entre os limites superior (LI) e inferior (I ) da classe. Ou seja: Amplitude Total da Distribuição (AT) É a diferença entre o limite superior da última classe (ou limite superior máximo Lmáx) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo min). Ponto Médio da Classe ( XI ) É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. É calculado como a média aritmética entre os limites inferior e superior da classe. A formulação matemática desta definição é: Na Distribuição de frequência, temos 𝒙𝟑 = 𝒍𝟑+𝑳𝟑 𝟐 = 𝟒𝟎𝟎𝟎+𝟓𝟎𝟎𝟎 𝟐 = 𝑹$ 𝟒𝟓𝟎𝟎, 𝟎𝟎 iii Lh −= 1kLAT −= 2 L x iii + = 6 PROCESSO DE CONSTRUÇÃO DE DISTRIBUIÇÕES POR VARIÁVEL CONTÍNUA Tabela 6 – rol dos dados 1) AMPLITUDE TOTAL, sendo sua fórmula de cálculo: 𝐴𝑇 = 𝑋𝑚𝑎𝑥 – 𝑋𝑚𝑖𝑛. Onde 𝐴𝑇 é a diferença entre o maior valor e o menor da amostra organizada (ROL) crescente ou decrescente de valores. Assim, 𝑨𝑻 = 𝑿𝒎𝒂𝒙 – 𝑿𝒎𝒊𝒏. AT = 95 − 44 𝐀𝐓 = 𝟓𝟏 2) NÚMERO DE CLASSES (ou seja, linhas), pelo chamado critério da raiz para a distribuição por variável contínua. A fórmula que utilizaremos será: 𝑲 = √𝒏 Onde K será o número de linhas que a distribuição irá possuir, sendo o resultado da raiz quadrada do número de amostras (n). Como temos 50 amostras: 𝐾 = √𝑛 𝐾 = √50 𝐾 = √7,07 ≅ 7 (Quantidade de linhas da nossa distribuição de frequência) 3) INTERVALO DE CADA CLASSE, pela fórmula: ℎ = 𝐴𝑇 𝐾 ℎ = 𝐴𝑇 𝐾 ℎ = 51 7 = 7,285 ≅ 7,29 7 ORGANIZANDO A TABELA Na Tabela 6, temos 7 classes (ou intervalos). Consideremos, por exemplo, a 1ª classe ou intervalo: 44,00 ⊢ 51,29, onde temos: Limite inferior (𝑙𝑖): 44,00 Limite superior (𝑙𝑠): 51,29 Amplitude ou tamanho do intervalo: ℎ = 𝑙𝑠 – 𝑙𝑖; (ℎ = 51,29 – 44,00 = 7,29) 8 EXERCÍCIOS 1. Considere a seguinte distribuição de frequências correspondente aos diferentes preços de um determinado produto em vinte lojas pesquisadas. a) Quantas lojas apresentaram um preço de R$ 52,00? b) Construa uma tabela de frequências simples relativas e frequências absolutas acumuladas. PREÇOS Frequência absoluta (𝑛𝑖) Frequência relativa (𝑓𝑟) Frequência absoluta acumulada (𝐹𝑖) Frequência acumulada relativa𝐹(%) c) Quantas lojas apresentaram um preço de até R$ 52,00 (inclusive)? d) Qual a porcentagem de lojas com preço de até R$ 53,00 (inclusive)? e) Qual a porcentagem de lojas com o preço maior que R$ 51,00 e menor do que R$ 54,00? 2. Para a variável “escolaridade” construa a seguinte tabela de frequência. Escolaridade Frequência absoluta(𝑛𝑖) Frequência relativa(𝑓𝑟) Frequência absoluta acumulada (𝐹𝑖) Frequência acumulada relativa(𝐹𝑟𝑖) Ensino fundamental 12 Ensino Médio 16 Ensino superior 8 Pós-graduação 4 ∑ 40 9 3. Observar as notas de Estatística de 20 alunos. 8,0 6,0 7,0 4,0 9,0 7,0 9,0 8,0 7,0 5,0 4,0 3,0 6,0 9,0 8,0 9,0 7,0 6,0 8,0 7,0 Elaborar uma tabela de distribuição de frequência com frequência absoluta, frequência relativa e frequências acumuladas. NOTAS Frequência absoluta (𝑛𝑖) Frequência relativa(𝑓𝑟) Frequência absoluta acumulada (𝐹𝑖) Frequência acumulada relativa(𝐹𝑟𝑖) Com base na tabela, responda: a) Quantos alunos obtiveram nota maior ou igual a 5,0, que é a nota mínima de aprovação? b) Quantos alunos obtiveram nota menor ou igual a 8,0? c) Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota menor que 6,0? d) Qual foi a porcentagem de alunos reprovados em Estatística? E aprovados? 4. Complete a tabela para a variável “venda mensal”, entretanto, os valores estão distribuídos no intervalo de 540 a 2900 reais, não havendo praticamente repetição. Nesse caso, os dados estão agrupados em intervalos de 500 em 500 a partir de R$ 500,00. Renda mensal (R$) (𝑛𝑖) (𝑓𝑟) (𝐹𝑖) (𝐹𝑟𝑖) 500 |---1000 12 1000 |--- 1500 9 1500 |---2000 5 2000 |--- 2500 2 2500 |--- 3000 2 ∑ 30 10 5. Observe os pontos marcados por uma equipe de basquete em 20 jogos realizados. 80 85 90 95 100 110 80 85 85 90 90 85 90 100 100 80 85 80 90 95 Com base nas informações abaixo, preencha a tabela abaixo e responda as perguntas. a) Qual é a frequência relativa, em porcentagem, para 85 pontos? b) Qual é a frequência absoluta acumulada para 90 pontos? c) Qual é a frequência relativa acumulada, em porcentagem, para 90 pontos? 6. As idades de um grupo de 25 turistas em uma excursão as cidades históricas de Minas Gerais estão relacionadas a seguir: 19 40 41 19 43 24 27 23 29 36 25 22 30 28 38 32 35 31 48 26 22 32 46 37 21 Construa uma tabela de frequência para esses valores, agrupando em intervalos de amplitude igual a 5: Idade (𝑛𝑖) Frequência relativa (𝑓𝑟) Pontos (𝑛𝑖) (𝑓𝑟) (𝐹𝑖) (𝐹𝑟𝑖) 11 7. Complete os dados da distribuição de frequência abaixo, obtidos de 200 estagiários da Empresa Beta. Salários Classes em R$ (𝑛𝑖) 𝒇𝒓 (%) Fi 𝑭𝒓 (%) 600,00 |--- 800,00 12% 800,00 |--- 1000,00 30 |--- 106 |--- 24% |--- 91% |--- Total 8. A partir das idades dos alunos de uma escola, construa uma distribuição por frequência, agrupando os dados em classes e depois aponte as seguintes informações: • ponto médio para cada classe; • amplitude para cada classe; • amplitude total. Idades (dados brutos) 8 8 7 6 9 9 7 8 10 10 12 15 13 12 11 11 9 7 8 6 5 10 6 9 8 6 7 11 9 9. Em uma escola tomou-se a medida da altura de cada um de quarenta estudantes, obtendo-se os seguintes dados (em centímetros): 160 152 155 154 161 162 162 161 150 160 163 156 162 161 161 171 160 170 156 164 155 151 158 166 169 170 158 160 168 164 163 167 157 152 178 165 156 155 153 155 Monte uma tabela de distribuição de frequência com 6 classes. (inicie por 150 cm) e responda as questões abaixo: a) Quantos são os estudantes com estatura inferior a 160 cm? b) Que porcentagem de estudantes tem estatura igual ou superior a 175 cm? c) Quantos são os estudantes com estatura maior ou igual a 160 cm e menor que 175 cm? d) Qual a porcentagem de estudantes com estatura abaixo de 170 cm?
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