ATPS Matemática Aplicada (2)

Prévia do material em texto

FACULDADE ANHANGUERA
Sumário
Etapa 01
Passo 01 2
Passo 02 4
Passo 03 5
Passo 04 6
Etapa 02
Passo 03 7
Etapa 03
Passo 01 8
Passo 03 9
Etapa 04
Passo 01 10
Passo 03 12
2
ETAPA 01
Passo 01
O que pode parecer simples nos dias atuais é um trabalho que vem sendo desenvolvido de forma lenta através dos séculos. O conceito de função vem sendo desenvolvido desde a época dos matemáticos Babilônicos que utilizaram tabelas de quadrado e de raízes quadradas e cúbicas ou quando os Pitagóricos tentaram relacionar a altura do som emitido por cordas submetidas à mesma tensão com seu comprimento.
Mas o conceito só veio ficar claro no século XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, se tornou possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e estudar analiticamente funções. 
A partir desse momento a matemática evolui de forma considerável devido as observações ou experiências realizadas, sempre procurando e determinando a fórmula ou função que relaciona as variáveis em estudo. Por outro lado, a introdução de coordenadas, além de facilitar o estudo de curvas já conhecidas permitiu a “criação” de novas curvas, imagens geométricas de funções já definidas por relações entre variáveis.
A derivara tem grande importância dentro da administração, pois podemos aplica-la em custo, lucro e receita. Através dela podemos analisar a variação e quanto essa acarretaria financeiramente para a empresa se, por exemplo, no lugar de produzir uma quantidade x de produtos ela produzisse x + 1. Dessa forma a empresa pode decidir qual a quantidade certa de produção para que haja melhor custo, lucro e despesa.
Dizemos que Derivada é a taxa de variação de uma função y = f(x) em relação à x, dada pela relação ∆x / ∆y. Considerando uma função y =ƒ(x), a sua derivada no ponto x = x0 corresponde à tangente do ângulo formado pela intersecção entre a reta e a curva da função y = ƒ(x), isto é, o coeficiente angular da reta tangente à curva.
De acordo com a relação ∆x / ∆y, temos que:
ƒ'(x0) = lim = ƒ(x) – ƒ(x0) → ∆y → variação de y
 x→x0 x – x0 ∆ x → variação de x
Nesse ponto vamos verificar o nosso limite (até onde podemos ir, sem zerar), pois estamos analisando a variação de um intervalo.
Em sala estudamos a derivada em dois momentos distintos, o primeiro se aplica a taxa de variação média em um intervalo. Nesse ponto aprendemos através da função (descrita abaixo) a calcular intervalos. Um exemplo de aplicação dessa função é em uma linha de produção, onde temos que calcular a produção de um produto x em tonelada em um intervalo de 3 a 4 horas.
ƒ'(x) - ƒ'(x0) = 42 – 32 = 16 – 9 = 7 toneladas/hora
 x – x0 4 – 3 1 
Outro momento de aplicação da derivada abordado em aula é a taxa de variação instante, onde vamos calcular a produção até aquele momento. Um exemplo prático é calcular quanto do mesmo produto x em tonelada vamos produzir em 3 horas. Notem que não existe mais um intervalo, mas um tempo definido, porém não podemos calcular 3 horas redondas, pois se não iremos zerar, então vamos começar o nosso calculo com 1/10 de hora, no caso 0,01. Caso seja necessário iremos diminuir esse tempo, pois o objetivo é chegar ao mais próximo possível de 3 horas. Para isso iremos utilizar a função:
a = 3 horas
h = 0,1
P = x2
 ƒ (a + h) – ƒ (a) = ƒ(3 + 0,1)2 – ƒ(3)2 = 9,61 – 9 = 0,61 = 6,1 toneladas/ hora 
 h 0,1 0,1 0,1 
Observemos que o tempo gasto para essa produção foi de 3 horas e 6 minutos, então nesse caso ainda podemos nos aproximar mais se usarmos 0,01 que é 10% de 6 min, nesse caso vamos ter um tempo de produção de 3 horas e 36 segundos.
Passo 02
Y=x2-40x+700				
Y=02-40(0)+700
Y=700
Y=102-40(10)+700
Y=100-400+700
Y=400
Y=202-40(20)+700
Y=400-800+700
Y=300
Y=302-40(30)+700
Y=900-1200+700
Y=400
Y=402-40(40)+700
Y=1600-1600+700
Y=700
Y=502-40(50)+700
Y=2.500-2.000+700
Y=1.200
Y=602-40(60)+700
Y=3.600-2.400+700
Y=1.900
TABELA 1 – Função Custo
	Quantidade “X” do produto B a ser produzido.
	
0
	
10
	
20
	
30
	
40
	
50
	
60
	C(x)=x2-40+700 Custo para produzir q unidades do produto B
	
700
	
400
	
300
	
400
	
700
	
1.200
	
1.900
Passo 03
 
Caso a empresa, por algum motivo, tiver que ficar parada o dia todo, ou seja, não produzir nada neste dia, esta terá um custo? Quanto será este custo? Estará relacionado a quê?
Sim, esse custo será de R$700,00 relacionado a: pagamento de aluguel do terreno onde a empresa está localizada.
Produzir muito nem sempre é sinônimo de lucratividade, pois existem máquinas que sujeitas a elevadas horas contínuas de trabalho podem sofrer desgastes o que acarretaria na sua quebra ou pelo menos na diminuição significativa da sua vida útil, elevando desta forma os custos de produção. Em vista disso, relate o que vocês observaram sobre a quantidade de pares de sapatos que devem ser produzidos diariamente para obter o custo mínimo, ou seja, vocês devem destacar qual a quantidade “ótima” de produção diária.
Ao analisarmos a tabela, elaborada no passo 2, observamos que para a empresa atingir um custo benefício satisfatório a produção diária deverá ser de 20 unidades do produto B.
Passo 04
Utilizar os dados dispostos na tabela 1 e esboçar o gráfico da função Custo, destacando o ponto de mínimo encontrado.
ETAPA 02
Passo 01
Texto *
Passo 03
 Derivar a função custo C(q) = q2 – 40q + 700, fazer C’ (q) = 0 e resolver a equação.
	C’ (q) = 2q – 40 = 0
	2q = 40 q = = 20 Quantidade/ R$.
ETAPA 03
Passo 01
Toda função com esboço f(x) = ax² + bx + c, e que tenha números reais em a, b e c sendo a ≠ de 0 é chamada de equação de 2º grau. Uma função de 2º grau pode apresentar valores para b e c iguais a 0, porém quando isso acontece consideramos essa como incompleta.
Abaixo alguns exemplos de função de 2º grau:
f(x) = 5x2 – 2x + 8; a = 5, b = – 2 e c = 8 (Completa);
f(x) = x2 – 2x; a = 1, b = – 2 e c = 0 (Incompleta);
f(x) = – x2; a = –1, b = 0 e c = 0 (Incompleta);
Uma função do 2º grau (ou quadrática) é uma função definida por um polinômio. Os gráficos de uma função quadrática são expressos em parábolas, essas podem apresentar suas concavidades voltadas para cima, se o coeficiente de ‘a’ for positivo, ou voltadas para baixo, se o coeficiente de ‘a’ for negativo. 
As funções de 2º grau podem ser aplicadas no nosso dia-a-dia, como por exemplo, na Física, envolvendo movimento uniformemente variado, na Biologia, quando estudamos os processos da fotossíntese, e, pensando no nosso cursoatual, podemos aplicar também na Administração e Contabilidade quando tratamos das funções custo, receita e lucro.
Focando na aplicação das derivadas na Administração e Economia, vamos encontrar as funções marginais: custo marginal, receita marginal e lucro marginal (essas são as derivadas das funções custo, receita e lucro).
O custo marginal pode ser aplicado da seguinte forma, digamos que uma fábrica de sapatos deseja saber quantos pares é necessário produzir para obter um custo menor, levando em consideração tudo que engloba a produção de um par de sapato. Nesse momento a fábrica pode produzir x pares de sapato, pois saberá que produzindo aquela quantidade o seu custo será menor.
A receita marginal pode ser aplicada da seguinte forma, essa mesma fábrica deseja saber quanto é a receita de suas vendas, então após calcular essa fábrica saberá quando está recebendo por cada par de sapato vendido. 
O lucro marginal utiliza o dado obtido no custo + o dado das receitas, dessa forma a fábrica irá saber se a produção está dando lucro ou prejuízo.
Sempre que buscamos um custo menor vamos obter um lucro maior e assim vice-versa. 
Passo 03
Determine a função Lucro do Sr. Otávio.
L’ (x) = x2-40x+700
Derivar a função Lucro.
L’ (x) = 2x-40
Fazer L (q) = 0
L’ (o) = 2x-40
Resolver L (q) = 0
40 = 2x
X = = 20x
ETAPA 04
Passo 01
Todas as operações matemáticas possuem uma operação inversa, adição – subtração, multiplicação – divisão, seno – cosseno, tangente – cotangente. A derivada também possui uma operação inversa, chamada de antiderivada ou integral. As integrais podem ser definidas ou indefinidas. 
Integrais Indefinidas
As integrais indefinidas são aquelas que não possuem coeficiente, logo não tem limites definidos, veja exemplo abaixo:
Se  f(x) = , então  é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x4 é .
   
Se f(x) = x3, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2é f(x) = x3.
   
Se f(x) = x3 + 4, então f'(x) = 3x2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x2 é f(x) = x3 + 4.
 Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x3 quando x3+4 são integrais indefinidas para 3x2. A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x2 é  x3+C, onde C é uma constante real.
Integração por substituição
Seja expressão . 
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem:
,
admitindo que se conhece .
O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
. 
Integrais Definidas 
As integrais definidas são aquelas que possuem coeficiente, logo tem limites definidos, veja exemplo abaixo:
Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:
onde: a é o limite inferior de integração;
b é o limite superior de integração;
f(x) é o integrando.
Se   representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para 
 
	
Passo 03
Bibliografia 
MUROLO, Afrânio Carlos; BONETTO, Giácomo. Matemática Aplicada à
Administração, Economia e Contabilidade. 2a ed. São Paulo: Cengage Learning, 
2012. Cap. 11 e 12.
Só Matemática. Integrais. Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais2.php>. Acesso em: 30/05/2015.
FERNANDES,Doutorando Gildásio Guedes. Integração Indefinida – Parte 01. Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais2.php>. Acesso em: 30/05/2015.
SILVA, Marcos Noé Pedro da. Função de Segundo Grau. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/funcao-segundo-grau.htm>. Acesso em: 17/05/2015.
SILVA, Marcos Noé Pedro da. Função de Segundo Grau. Disponível em: <http://www.mundoeducacao.com/matematica/funcao-2-grau.htm >. Acesso em: 17/05/2015.
BIZELLI, Maria Helena S S. Função do 2º grau... Disponível em: <http://www.calculo.iq.unesp.br/sitenovo/Calculo1/funcao-graficos-2grau.html>. Acesso em: 17/05/2015.