Fis1C- Aula 24

Prévia do material em texto

CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
Exemplo 14.2 
Um disco gira em torno de seu eixo central, de forma que a
posição angular q(t) de uma linha no disco é dada por:
Onde os ângulos estão em radianos e o tempo em segundos.
A posição angular zero coincide com o semi-eixo x positivo.
a) Com base na equação, diga qual a posição inicial da linha e se o disco
começa girando no sentido horário ou anti-horário.
b) Faça o gráfico q(t) vs t do disco para o intervalo de 0 a 5 s. Esboce
também a posição da linha para cada instante.
c) Para qual instante t a linha no disco está alinhada com a posição angular
zero?
d) Em que instante t a posição angular atinge seu valor mínimo ? E qual é
esse valor?
e) Faça o gráfico w(t) vs t do disco para o intervalo de 0 a 5 s. Esboce
também o sentido do vetor w .
Aula 024 1
Aula 024 2
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
a) q0 = 1,00 rad (57,3°) e inicia girando no sentido horário
pois w0 = -1,20 rad/s
Respostas:
Eixo de rotação
q = 0 (posição angular zero)
Linha no disco cujo
movimento é dado pela
equação do enunciado
Aula 024 3
b)
t (s) q (rad)
0 1
1 0,05
2 -0,40
3 -0,35
4 0,20
5 1,25
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
3
q (rad)
1,0
-1,0
0,5
0 t (s)2 41 3 5
-0,5
Aula 024 4
c)
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
d) Pontos extremos de uma função 1ª derivada = 0
Inversão do sentido de movimento velocidade = 0
Aula 024 5
t (s) w
(rad/s)
0 -1,2
1 -0,7
2 -0,2
3 0,3
4 0,8
5 1,3
w (rad/s)
t (s)
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
e)
1,0
-1,0
0,5
0
-0,5
2 41 3 5
Aula 024 6
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
14.3 – Relações entre variáveis lineares e angulares :
A
B
Em uma volta completa:
- Os pontos A e B percorrem
a mesma distância angular
(Dq = 2p rad) no mesmo
intervalo de tempo Dt.
rB
- Mas o ponto A descreve um
círculo de raio rA enquanto o
ponto B descreve um círculo
maior, de raio rB. Portanto, as
distâncias lineares que A e B
percorrem são diferentes.
rA
Aula 024 7
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
14.3.1 – Posição angular e posição linear:
q = 0
A
qA
sA
rA
rA
Enquanto q é definida por um
ângulo, a posição linear é definida
por uma distância linear, dada pelo
arco de círculo formado entre a linha
de referencial e a posição da
partícula.
A posição linear de um ponto no corpo depende
de sua distância r ao eixo de rotação!
s e r devem estar sempre em metros e q em rad.
Aula 024 8
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
14.3.2 – Velocidade angular e velocidade linear:
Derivando a equação anterior em relação à t ...
A velocidade linear de um ponto no corpo depende de sua
distância r ao eixo de rotação!
v e r devem estar em [m/s] e [m], respectivamente. w em [rad/s]
(A distância r ao eixo de rotação não varia
durante o giro)
Aula 024 9
A
B
Em uma volta completa:
Justamente por isso os pontos
mais afastados do eixo de
rotação precisam ter maior
velocidade linear.
rB
O ponto A descreve um círculo de
raio rA enquanto o ponto B descreve
um círculo de raio rB. Portanto, as
distâncias lineares que A e B
percorrem são diferentes.
rA
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
vA
vB
Aula 024 10
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
14.3.3 – Aceleração angular e aceleração linear:
Derivando a equação anterior em relação à t ...
Como a velocidade linear de um ponto em movimento circular
é sempre tangencial à trajetória, a aceleração calculada pela
equação acima também será sempre tangencial à trajetória
aT e r devem ser em [m/s2] e [m], respectivamente. a em [rad/s2]
Aula 024 11
Mas já sabemos que para a velocidade linear ser sempre
tangencial à trajetória no movimento circular, é preciso que a
direção da velocidade linear varie constantemente. A
aceleração que causa essa mudança tem que ser tangencial à
velocidade linear, atuando, portanto, sempre na direção radial.
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
A
A aceleração linear será a soma
vetorial das componentes tangencial e
radial no ponto em questão.
Aula 024 12
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
14.3.4 – Período:
Só para relembrar, período é o tempo necessário para
completar uma volta. Quando a velocidade angular é constante,
o período pode ser calculado por:
Aula 024 13
Exemplo 14.3 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
Um ponto em um disco está a uma distância r = 0,40 m do eixo
de rotação, sobre uma linha caracterizada pelo ângulo q = 0. Em
t = 0,25 s depois de o disco começar a girar, a linha encontra-se
em q = 10°.
a) Admitindo que a aceleração angular seja constante, quanto
tempo levará para o disco girar a 33,3 rpm ?
b) A aceleração tangencial desse ponto também será constante?
c) E a aceleração radial?
d) Calcule a aceleração linear do ponto no instante em que o
disco atinge 33,3 rpm.
Aula 024 14
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
a) qi = 0 rad ; qf = 0,1745 rad ; wi = 0 rad/s ; t = 0,25 s
Respostas:
a = 5,6 rad/s2
wi = 0 rad/s ; a = 5,585 rad/s2 ; wf = 1,11.p = 3,487 rad/s
t = 0,62 s
b) r = constante ; a = constante ; = constante
c) r = constante ; w = variável ; = variável
Aula 024 15
d) r = 0,4 m ; a = 5,585 rad/s2 ; w = 3,487 rad/s
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
Aula 024 16
Exemplo 14.4 
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
Relacione as velocidades angulares das duas rodas dentadas
de uma bicicleta com o número de dentes em cada uma. Em
qual situação você obtém a maior velocidade para a bicicleta?
Aula 024 17
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
Sempre trataremos correias como inextensíveis, de forma que
não se esticam nem deslizam durante o movimento
 a velocidade linear é a mesma em todos os pontos da 
correia
v na borda da
coroa (d) e v na
borda da pinha
(t) são iguais
em módulo!
Aula 024 18
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
 a velocidade angular de cada roda é inversamente 
proporcional ao seu raio
Com relação ao número de dentes N, é necessário que o
espaçamento entre os dentes seja o mesmo na coroa (d) e na
pinha (t), pois devem se encaixar na mesma correia.
 Então a razão entre a circunferência (2pR) e o número de 
dentes (N) deve ser igual nas duas rodas dentadas, pois 
assim o espaçamento entre os dentes será igual.
Aula 024 19
CAPÍTULO 14 – Rotação de corpos rígidos
Comparando com a relação
encontrada anteriormente:
 a velocidade angular de cada roda é inversamente 
proporcional ao número de dentes
Então teremos a maior velocidade angular na roda traseira (que
impulsiona a bicicleta) quando a razão Nd/Nt for máxima.
 a maior velocidade da bicicleta é atingida quando Nd é 
grande (maior coroa) e Nt é pequeno (menor pinha)